2013年高考数学(文)解析分类汇编6不等式

【2006高考试题】一、选择题（共15题） 1．（安徽卷）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞ 解：由112x <得：112022x x x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

2．（江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 解：运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。

3．（江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4．（山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2） 解：令12x e ->2（x <2），解得1<x <2。

令23log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞）选C5．(陕西卷)已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.86．(陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0<a<3),若x 1<x 2,x 1+x 2=1－a,则( )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定 解析：函数f (x )=ax 2+2ax +4(0<a <3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，0<a <3，∴ x 1+x 2=1－a ∈(－2，1)，x 1与x 2的中点在(－1，21)之间，x 1<x 2，∴ x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴ f (x 1)<f (x 2) ，选A ．7．(陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定8．(陕西卷)设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为( )A. 6B.9C.12D.15 解析：x ，y 为正数，(x +y )(14x y+)≥414y x x y +++≥9，选B .9．(上海卷)若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）（A ）2∈M，0∈M； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M． 解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集：xk )1(2+≤4k ＋4422min455(1)2[(1)2]2111k x k x k k k k +⇒≤=++-⇒≤++-=+++；10．(上海卷)如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A ）11a b< （B <（C ）22a b < （D ）||||a b > 解：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，∴ 11a b<，选A.11．（浙江卷）“a ＞b ＞c ”是“ab＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件12．（浙江卷）“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 解：由“a ＞0，b ＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，选A13．(重庆卷)若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-214．(重庆卷)若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（A ）（B ）3 （C ）2 （D 解：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋（b －c ）2≥12，当且仅当b ＝c 时取等号，故选A15．（上海春）若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.二、填空题（共6题）16．（江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为17．(上海卷)三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ． 解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而252510x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；18．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______吨．解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x⋅+万元，40044x x ⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06 不等式（教师版）【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。

2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。

线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。

考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。

3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。

对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。

2013年高考解析分类汇编1：集合一、选择题 1 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】 方法：代值法，排除法。

当a=1时，A=R ，符合题意；当a=2时，符合题意。

,)2),[]1,(),,1[R B A A B =⋃∴+∞⋃-∞=+∞=综上，选B标准解法如下: )1,(),,1[--∞⊇∴=⋃+∞-=a A R B A a B，时符合题意；当当时，当由),[]1,(11,10))(1(+∞⋃-∞∈>=∈=⇒≥--a x a a R x a a x x11),1[],(1;2111<⇒-≥⇒+∞⋃-∞∈<≤<-≥⇒a a a a x a a a 时当解得.2综上，≤a选B2 ．（2013年高考重庆卷（文））已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U A B =ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算。

{1,2,3}AB =，所以()={4}U AB ð，选D.3 ．（2013年高考浙江卷（文））设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（ ）A ．[-4,+∞)B ．(-2, +∞)C ．[-4,1]D ．(-2,1]【答案】D【解析】如图1所示(2,1]S T ⋂=-，所以选D【考点定位】此题考查集合的运算，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题。

4 ．（2013年高考天津卷（文1））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[-2,2]D ．[-2,1]【答案】D【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B Ax x =-≤≤，选D.5 ．（2013年高考四川卷（文1））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ． {2,1,2,3}-【答案】B【解析】}2{}2,2{}3,2,1{=-= B A ，选B.6 ．（2013年高考山东卷（文2））已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}U A B =ð,{1,2}B =,则U A B =ð（ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【答案】A【解析】{1,2,3}A B =,{3}U A C B =,故选A 。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ð（ ）（A ）{2} （B ）{3,4} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】U B A =ð{2,3,4}{3,4,5}{3,4}=，故选B ．（2）【2013年湖北，文2，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有222sin cos 1c θθ=+=，即焦距相等，故选D ．（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-；② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+；④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序 号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 【答案】D【解析】在①中，y 与x 不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D ． （5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B ，故选C ．（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x =+∈R 可化为2cos()6y x π=-（x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称，故选B ．（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A（B（C） （D） 【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则向量AB 在向量CD方向上的射影为cos AB CDAB CDθ⋅====，故选A ． （8）【2013年湖北，文8，5分】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）增函数 （D ）周期函数 【答案】D【解析】函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有(1)1[1][]()f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数，故选D ．（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）（A ）31200元 （B ）36000元 （C ）36800元 （D ）38400元 【答案】C【解析】根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有2170,03660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨>>⎪⎪+=⎩， 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为4(7)1A ,，2(5)1B ,，6(15C ,），目标函数 （租金）为16002400k x y =+，如图所示．将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：1600524001236800k =⨯+⨯=（元），故选C ． （10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,0)-∞ （B ）1(0,)2（C ）(0,1) （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点01（,-）作ln y x =的切线，设切点为00x y （,），则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-． 切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为10（,）．切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<，故选B ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2013年湖北，文11，5分】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ． 【答案】23i -+【解析】复数123i z =-在复平面内的对应点123Z -（,），它关于原点的对称点2Z 为2,3-（），所对应的复数为223i z =-+．（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为 ．【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）()178795491074710+++++++++=；（2）2s =． （13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ． 【答案】4【解析】初始值2110m A B i ====，，，，第一次执行程序，得121i A B ===，，，因为A B <不成立，则第二次执行程序，得2224122i A B ==⨯==⨯=，，，还是A B <不成立，第三次执行程序，得3428236i A B ==⨯==⨯=，，，仍是A B <不成立，第四次执行程序，得48216i A ==⨯=，，424B =⨯=，有A B <成立，输出4i =．（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =_________． 【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 1=，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示．（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ． 【答案】3 【解析】因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[-m ，m ] ，其区间长度为2m ． 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间[2,4]-分为[]2m -，和[m ，4]，且两区间的长度比为5:1，所以3m =．（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水． 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸． 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()22961061031963V ππ=⨯++⨯=⨯（立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为323196()3196⨯=寸（寸）（寸）． （17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点． 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形． 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ． 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（1）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数． 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）． 【答案】（1）3, 1, 6；（2）79 【解析】（1）S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6．（2）根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 41b c += ①由（1）有63a b c ++= ② 再由格点DEF ∆中，S=2，N=0，L=6，得62b c += ③联立①②③，解得1,1, 1.2b c a ==-=所以当71N =，18L =时，171181792S =+⨯-=．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2013年湖北，文18，12分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（19）【2013年湖北，文19，13分】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得243223418S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩，即23211121(1)18a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩， 解得132a q =⎧⎨=-⎩，故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-．（2）由（1）有3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----．若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤-当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥． 综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ．（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<． 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ． 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：（1）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2．又121A A d =， 122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ．同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形． （2）V V <估． 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥．而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥．由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中．又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估．由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．（21）【2013年湖北，文21，13分】设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+． （1）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G ． 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H ． 若()H f x G ≤≤，求x的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++． 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减．（2）（i ）(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>．故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+，即2(1)()[b f f f a =．①所以(1),()bf f f a 成等比数列．因2a b +≥，即(1)f f ≥．由①得()b f f a ≤． （ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()(b f f xf a ≤≤．② 当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤即x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦． （22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=． 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ．解法二：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（2）解法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ②1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ> 轴不重合的直线l 使得12S S λ=．解法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d =12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A B x x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1， C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A B x x >． 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=．。

2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

新高考数学复习考点知识与题型专题讲解6 等式性质与不等式性质（一）基本事实两个实数a ，b ，其大小关系有三种可能，即a>b ，a ＝b ，a<b.依据如果a>b ⇔ . 如果a ＝b ⇔ . 如果a<b ⇔ .结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的与的大小（二）重要不等式∀a ，b ∈R ，有a2＋b22ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. （三）等式的基本性质 1.如果a ＝b ，那么. 2.如果a ＝b ，b ＝c ，那么. 3.如果a ＝b ，那么a±c ＝b±c. 4.如果a ＝b ，那么ac ＝bc. 5.如果a ＝b ，c≠0，那么＝cbc a （四）不等式的性质序号 性质注意事项1 a>b ⇔ba ⇔ 2a>b ，b>c ⇒a>c不可逆3 a>b ⇔a ＋cb ＋c 可逆 4a>b ，c>0⇒ _______ a>b ，c<0⇒ _______c 的符号5 a>b ，c>d ⇒ ___________ 同向6 a>b>0，c>d>0⇒ ________ 同向 7a>b>0⇒anbn(n ∈N ，n≥2)同正答案：（一）a －b>0 a －b ＝0 a －b<0 （二）≥ （三）b ＝a a ＝c （四）< > ac>bc ac<bc a ＋c>b ＋d ac>bd >题型一由不等式性质比较数（式）大小1．若a b <，d c <，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（） A ．d a c b <<< B ．a c b d <<< C ．a d b c <<< D ．a d c b <<<【答案】A【解析】因为()()0c a c b --<，a b <，所以a c b <<，因为()()0d a d b -->，a b <，所以d a <或d b >，而a c b <<，d c <，所以d a <． 所以d a c b <<<． 故选：A ．题型二作差法比较代数式大小2．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（） A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2 C ．2211ab a b< D ．b a a b<【答案】C【解析】对于A ，取3,2a b =-=-，则a b <，但22a b >，故A 错误. 对于B ，取3,2a b =-=，则a b <，但221812a b ab =>-=，故B 错误. 而2332b aa b=->-=，故D 错误. 对于C ，因为2222110a b ab a b a b --=<，故2211ab a b<，故C 正确. 故选：C.3．已知1m n >>，则下列不等式中一定成立的是（） A ．11+>+m n n mB ．->-m n m nC ．3322+>m n mnD ．3322+>m n m n【答案】ABC【解析】对于A 项，11111,,m n m n n m n m>>>∴+>+，故A 正确； 对于B 项，()()22222220m nm nmn n n n ---=->-=，结合0,0m n m n ->->可得->-m n m n ，故B 正确；对于C 项，()()323222222()()m mn n mn m m n n n m m n m mn n -+-=-+-=-+-，222220,0m mn n m n n m n +->+->->，即3322+>m n mn ，故C 正确；对于D 项，当3,2m n ==时，33227835236m n m n +=+=<=，故D 错误； 故选：ABC题型二作差法比较代数式大小4．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（） A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2 C ．2211ab a b< D ．b a a b< 【答案】C【解析】对于A ，取3,2a b =-=-，则a b <，但22a b >，故A 错误. 对于B ，取3,2a b =-=，则a b <，但221812a b ab =>-=，故B 错误. 而2332b aa b=->-=，故D 错误. 对于C ，因为2222110a b ab a b a b --=<，故2211ab a b<，故C 正确. 故选：C.题型三作商法比较代数式大小5．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）231x x -+与221x x +-； （2）当0a >，0b >且ab 时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >. 【解析】（1）()()()2222312122110xx x x x x x -+-+-=-+=-+>，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a ba ba b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.①当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>； ②当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>. 综上所述，当0a >，0b >且a b 时，a b b a a b a b >.题型四由不等式性质证明不等式6．若0a b >>，0c d <<,||||b c > （1）求证：0b c +>；（2）求证：22()()b c a da cb d ++<--；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---.【解析】（1）因为||||b c >，且0,0b c ><，所以b c >-，所以0b c +>.（2）因为0c d <<，所以0c d ->->．又因为0a b >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->．所以22()()0a c b d ->->． 所以22110()()a c b d <<--，因为,a b d c >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+． 所以0a d b c +>+>，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--.（3）因为0b c +>，22110()()a c b d <<--， 所以22()()b c b ca cb d ++<--，因为0b c a d <+<+，210()b d >-，所以22()()b c a db d b d ++<--，所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---. 所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意. 1．下列命题为真命题的是 A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b< 【答案】B【解析】当0c 时，A 显然不成立；若0a b >>时，则22a ab b >>，即B 正确；当2,1a b =-=-时，224,2,1a ab b ===，显然C 不成立； 当2,1a b =-=-时，112a =-，1b =-，显然D 不成立； 故选：B.2．用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -; (2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ; (3)如果0a b >>,那么21a ____21b ;(4)如果0a b c >>>,那么c a ____c b. 【答案】> < < <【解析】解析:(1)c d <,c d ∴->-.a b >,a c b d ∴->-. (2)0c d <<,0c d ∴->->.0a b >>,ac bc bd ∴->->-,ac bd ∴<.(3)0a b >>,0ab ∴>,10ab>,110a b ab ab ∴⋅>⋅>,110b a ∴>>,2211b a ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211a b <.(4)0a b >>,所以0ab >,10ab>.于是1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,即11a b <. 0c >,c ca b∴<.故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<3．比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小. 【答案】()()()()3746x x x x ++<++. 【解析】解：()()x 3x 7++-()()x 4x 6++=()22x 10x 21x 10x 24.++-++=-3<0所以()()()()x 3x 7x 4x 6++<++ 4．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --； （3）当1x >时，2x 与21x x -+； （4）221x y ++与2(1)x y +-.【答案】（1）2256259x x x x ++<++.（2）2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）221x x x >-+.（4）2212(1)x y x y ++>+-.【解析】解：（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，所以2256259x x x x ++<++. （2）因为()()222(3)(2)(4)696810x x x x x x x ----=-+--+=>，所以2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）因为()22110x x x x --+=->，所以当1x >时，221x x x >-+.（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++--+=-+-+>，所以2212(1)x y x y ++>+-.5．已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--． 【答案】>e e a c b d--【解析】0c d <<，0c d ∴->->，又0a b >>， 0a c b d ∴->->，∴110a c b d<<--， 又0e <， ∴e e a c b d>--．6．火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t 乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？【答案】见解析【解析】解：设安排A 型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z所以352515301535115050x yx yx y+⎧⎪+⎨⎪+=⎩，所以2830x又因为*x∈N ，所以2822xy=⎧⎨=⎩或2921xy=⎧⎨=⎩或3020xy=⎧⎨=⎩.所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.当3020xy=⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z=⨯+⨯=（万元）此时运费较少.。

2013年高考解析分类汇编13：常用逻辑用语一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文2））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥ D ．存在0x R ∈,都有200x <【答案】A【解析】本题考查全称命题的否定。

根据全称命题的否定式特称命题，所以选A.2 ．（2013年高考四川卷（文4））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（ ） A ．:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉【答案】C【解析】由命题p ：A x ∈∀，B x ∈2，命题否定为p ⌝：A x ∈∃，B x ∈2.故选D.3 ．（2013年高考湖南（文））“1<x<2”是“x<2”成立的______（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【命题立意】本题考查充分条件，必要条件的推理和判断。

根据充分条件必要条件的定义可知选A.4 ．（2013年高考天津卷（文4））设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。

若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.5 ．（2013年高考山东卷（文7））给定两个命题q p ,,p q ⌝是的必要而不充分条件,则p q⌝是（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】命题若p ⌝则q 与q ⌝则p 为逆否命题，由p ⌝是q 的必要不充分条件知，q⌝是p 的必要不充分条件，所以p 是q ⌝的充分不必要条件，故选A.6 ．（2013年高考安徽（文））“(21)0x x -=”是“0x =”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】210,0)12(或==-x x x ，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.7 ．（2013年高考陕西卷（文6））设z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ） A ．若20z ≥, 则z 是实数 B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <【答案】C【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设。

2013年高考解析分类汇编16：选修部分一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式222x -<的解集是（ ）A ．()-1,1B ．()-2,2C ．()()-1,00,1D ．()()-2,00,2【答案】D【解析】2|2|2<-x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧->-<-222222x x ，所以402<<x ，所以22<<-x ，且0≠x ，故选D.二、填空题2 ．（2013年高考陕西卷（文15））(几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______.P【答案】.6【解析】//.BC PE BCD PED ∴∠=∠且在圆中.BCD BAD PED BAD ∠=∠⇒∠=∠.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以3 ．（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.【答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）。

4 ．（2013年高考陕西卷（文））A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a -b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______.【答案】R【解析】 考察绝对值不等式的基本知识。

函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：2||)().|,[|>-≥∈∀+∞-b a x f R x b a 时，因此，当.所以，不等式2||||>-+-b x a x的解集为R 。