中科院计算机研究所99年数学试题

中国科学技术大学一九九九年招收硕士学位研究生入学考试试卷试题名称：物理化学选择题部分（共五题，每题2分）（1）1mol理想气体在100℃作如下等温膨胀变化：初态体积25dm3，终态体积100dm3。

先在外压恒定为体积等于50 dm3时的压力下膨胀到50 dm3，再在外压恒定为终态压力下膨胀到100 dm3。

整个变化所做膨胀功为：（）（A）3101J（B）5724J（C）2573J（D）4208J（2）373.15K和p下，水的蒸发潜热为40.7kJ⋅mol-1，1mol水的体积为18.8 cm3⋅1mol－1，水蒸汽的体积为30200 cm3⋅mol-1，在该条件下1mol水蒸发为水蒸汽的U∆为：（）（A）45.2kJ (B)40.7kJ (C)37.6kJ (D)52.5kJ(3)373.15K和p下，1mol水向真空汽化膨胀为373.15K和p的水蒸汽，则该变化的G∆为：（）（A）40.7kJ (B)52.5kJ (C)37.6kJ (D)0(4)用界面移动法测定H+离子的迁移率（淌度），在历时750秒后，界面移动了4.0cm，迁移管两极之间的距离为9.6cm，电位差为16.0V，设电场是均匀的，H+离子的迁移率为：（）（A）3.2×10-7m2·V-1·s-1, （B）5.8×10-7m2·V-1·s-1,（C）8.5×10-4m2·V-1·s-1,（A）3.2×10-5m2·V-1·s-1,（5）在稀的砷酸溶液中通入H2S制备硫化砷（As2S3）溶胶，该溶胶稳定剂是H2S，则其胶团结构式是：（）（A）+--23[(As S)H,()HS]HSxmn n x x+⋅-⋅（B）-+-+23m[(As S)HS,(-)H]Hxn n x x⋅⋅（C）+--23[(As S)H,()HS]HSxmn n x x-⋅-⋅（D）-++23m[(As S)HS,(-)H]Hxn n x x+⋅⋅计算题部分1.（9分）温度与压力分别为298.15K，p时，已知下列反应的热效应：（1）3222CH COOH(l)+2O(g)2CO(g)+2H O(l)→-1,1870.3kJ molr mH∆=-⋅（2）22C(O(g)CO(g)→石墨）＋-1,2393.5kJ mol r m H ∆=-⋅（3）222H (g)+12O (g)H O(l)→ -1,3285.8kJ mol r m H ∆=-⋅求反应2232C()+2H (g)+O (g)CH COOH(l)→石墨 的摩尔焓变r m H∆＝？2.（10） 试应用麦克斯韦关系式证明理想气体的内能与体积无关，而仅是温度的函数0T U V ⎡⎤∂⎛⎫⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦即＝；而范德华气体的内能随体积的增大而增加0T U V ⎡⎤∂⎛⎫ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦即＞。

武汉测绘学院1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：测量平差 科目代码775一、填空题(共20分，每空1分)。

1、已知观测向量TL L L L ],,[32113=⨯的协方差阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211140103LLD ，单位权方差22= σ，设有函数：，，3122112L L f L L f -==则：), (P ) (D ) (D ) (12121L f f f f ====，，，D)(Q ) (P ) (2132f f L ===，，L P 。

2、已知观测向量TL L L ],[2112=⨯的协方差阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2113LL D ，而1L 关于2L 的协因数 5121-=L L q ，则单位权方差。

) (P ), (P ,) (21L L 20===σ3、设观测值向量TL L L ],[2112=⨯的权阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3112LL p ， 已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6515.05.012121L L y y y ,则变换y 的权阵yy P ＝（ ），相比之下1y 的精度比1L 的精度（ ），2y 的精度比2L 的精度（ ）。

4、某控制网，必要观测数t=3，有9个观测值。

若设2个函数独立的参数，则按（ ）法进行平差，应列（ ）个条件方程和（ ）个误差方程。

5、上题中，若选5个参数。

就要按（ ）法进行平差，应列立（ ）个方程，其中（ ）个误差方程，（ ）个条件方程。

二、 某人租用全站仪承担如图1所示的极坐标放样任务。

甲方要求P 点放样精度为点位中误差绝对值mm p 8≤σ，已知S=600m ，A 、B 两点均无误差，现可租用的全站仪有三(图1) 设每测回需要一个小时，问租用那种全站仪放样经济效益最高？为什么？（5102⨯=ρ）。

（10分）三、 在图2所示的边角网中，A 、B 为已知点，C 、D 是待定点，T AD 是已知方位角，边 长观测值为S i (i=1,2,3,4)，角度观测值为21αα、。

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设232()x y x e -=+,则0x y ='=＿＿＿＿＿＿.(2)121(x dx -+=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 微分方程250y y y '''++=的通解为＿＿＿＿＿＿.(4) 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦＿＿＿＿＿＿.(5) 由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当0x →时,2(1)xe ax bx -++是比2x 高阶的无穷小,则 ( )(A) 1,12a b == (B) 1,1a b == (C) 1,12a b =-=- (D) 1,1a b =-=(2) 设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义,若当(,)x δδ∈-时,恒有2|()|f x x ≤,则0x =必是()f x 的 ( ) (A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点,且(0)0f '= (D) 可导的点,且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导,则 ( )(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞,必有lim ()x f x →-∞'=-∞(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞,必有lim ()x f x →-∞=-∞(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞,必有lim ()x f x →+∞'=+∞(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞,必有lim ()x f x →+∞=+∞(4) 在区间(,)-∞+∞内,方程1142||||cos 0x x x +-= ( )(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()()g x f x m <<(m 为常数),由曲线(),y g x =(),y f x x a ==及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 ( )(A) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(B) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰(C) [][]()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(D)[][]()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)计算ln 0⎰.(2) 求1sin dxx +⎰.(3) 设2022(),[()],t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰其中()f u 具有二阶导数,且()0f u ≠,求22d y dx .(4) 求函数1()1xf x x-=+在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式. (5) 求微分方程2y y x '''+=的通解.(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b 、,用过此柱体底面的短轴与底面成α角(02πα<<)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V .四、(本题满分8分)计算不定积分22arctan (1)xdx x x +⎰.α五、(本题满分8分)设函数2312,1,(),12,1216, 2.x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) ()g x 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定,试求()y y x =的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''>,试证明：存在(,)a b ξ∈和(,)a b η∈,使()0f ξ=及()0f η''=.八、(本题满分8分)设()f x 为连续函数,(1) 求初值问题0(),0x y ay f x y ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y x ,其中a 为正的常数；(2) 若|()|f x k ≤(k 为常数),证明：当0x ≥时,有|()|(1)ax ky x e a-≤-.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】13【解析】132221132x xy x e e ,---⎛⎫⎛⎫'=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02111323x y =⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.(2)【答案】2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式()1122112121022x x dx dx --⎡⎤⎡⎤=+-==+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：若()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数,则()0aaf x dx -=⎰；若()f x 在[,]a a -上连续且为偶函数,则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.(3)【答案】()12cos2sin 2xy ec x c x -=+【解析】因为250y y y '''++=是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250r r ++=有一对共轭复根1212r ,r i.=-±故通解为()12cos2sin 2xy e c x c x -=+.(4)【答案】2【解析】因为x →∞时,sin ln 1ln 1k k kx x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k 为常数),所以, 原式3131lim sin ln 1lim sin ln 1lim lim 312x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】1ln 22-【解析】曲线1y x ,x =+2y =的交点是()12,,2211,x y x x x '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭当1x >时 1y x x=+(单调上升)在2y =上方,于是 212211211ln 2ln 2.22S x dx x x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭⎰二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由()21x e ax bx -++()()222112!x x x ax bx ο⎛⎫=+++-++ ⎪⎝⎭()()()222112b x a x x x οο⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭令,可得 10111202b ,a ,b .a ,-=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩应选(A). 方法2：用洛必达法则.由2200(1)2lim lim 0,2x x x x e ax bx e ax bx x→→-++--=洛 有 ()lim 210 1.xx e ax b b b →--=-=⇒=又由 0022121limlim 02222x x x x e ax b e a a a x →→----===⇒=. 应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当0x =时,|(0)|0(0)0f f ≤⇒=. 而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)f x f f x x x x x x x-≤=≤=→→,由夹逼准则, 0()(0)(0)lim0x f x f f x→-'==,故应选(C).方法二：显然,(0)0f =,由2|()|f x x ≤,(,)x δδ∈-,得2()1(,0)(0,)f x x xδδ≤∈-,,即2()f x x有界,且 200()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x x →→-⎛⎫'==⋅= ⎪⎝⎭. 故应选(C).方法三：排除法.令3(),(0)0,f x x f '==故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如()f x x =,则(A),(C)不对；又令()xf x e -=,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim ()x f x →+∞'=+∞,对于0M >,存在0x ,使得当0x x >时,()f x M '>.由此,当0x x >时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()f x f x f x x f x M x x x ξ'=+->+-→+∞→+∞,从而有lim ()x f x →+∞=+∞,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导,那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.(4)【答案】(C)【解析】令1142()||||cos f x x x x =+-,则()()f x f x -=,故()f x 是偶函数,考察()f x 在(0,)+∞内的实数个数：1142()cos f x x x x =+-(0x >).首先注意到(0)10f =-<,1142()()()10,222f πππ=+>>当02x π<<时,由零值定理,函数()f x 必有零点,且由314211()sin 042f x x x x --'=++>,()f x 在(0,)2π单调递增,故()f x 有唯一零点.当2x π≥时,11114242()cos ()()10,22f x x x x ππ=+-≥+->没有零点； 因此,()f x 在(0,)+∞有一个零点.又由于()f x 是偶函数,()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b ⋅<),那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=.(5)【答案】(B) 【解析】见上图,作垂直分割,相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元22(())(())dV m g x dx m f x dx ππ=---[][](())(())(())(())m g x m f x m g x m f x dx π=-+-⋅--- [][]2()()()()m g x f x f x g x dx π=--⋅-,于是 [][]2()()()()ba V m g x f x f x g x dx π=--⋅-⎰,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】方法一：换元法.u =,则221ln(1),21u x u dx du u=--=-, 所以2ln 220011111)2)11211u du du du u u u u==-=+----+⎰1ln(22==. 方法二：换元法.令sin xe t -=,则cos ln sin ,sin t x t dx dt t =-=-,:0ln 2:26x t ππ→⇒→,ln 62026cos 1cos sin sin sin t t dt t dt t tππππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰2266ln(csc cot)cos ln(22t t tππππ=--=-.方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln2ln00()xe e--==-⎰⎰22ln2xxe e--=-+⎰令x e t=,则:0ln2:12x t→⇒→,原式2211ln(22t=-+=-++⎰ln(22=-+. 【相关知识点】1.1csc ln csc cotsinxdx dx x x Cx==-+⎰⎰,2. 0a>时,ln x C=++.(2)【解析】方法一：2(1sin)1sin1sin(1sin)(1sin)cosdx x dx xdxx x x x--==++-⎰⎰⎰22221sin cosseccos cos cosxdx d xdx xdxx x x=-=+⎰⎰⎰⎰1tancosx Cx=-+.方法二：21sin(cos sin)22dx dxx xx=++⎰⎰222(1tan)sec222(1tan)(1tan)1tan222xdxdx Cx x x+===-++++⎰⎰.方法三：换元法.令tan2xt=,则22222tan22arctan,,sin11tan1t tx t dx xt t t====+++,原式2221222221(1)111tan12dtdt C Ct xt t tt=⋅==-+=-+++++++⎰⎰.(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为22222()()24()()dydy f t f t tdt tf tdxdx f tdt'⋅⋅'===,所以 2222221()(4())4()4()2()d y d dy dt d dt tf t f t tf t t dx dt dx dx dt dx f t ''''⎡⎤=⋅=⋅=+⋅⋅⎣⎦ 22224()2()()f t t f t f t '''⎡⎤=+⎣⎦. (4)【解析】函数()f x 在0x =处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()(1)1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!n n n n f f x f x f f x x x n n θθ++'=++++<<+.对于函数1()1xf x x -=+,有 12()12(1)1,1f x x x-=-=+-+2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+3()2(1)(2)(1),f x x -''=⋅-⋅-+ ,,()(1)()2(1)!(1)n n n f x n x -+=-⋅+所以 ()(0)2(1)!,(1,2,3),n n fn n =-⋅ =故 121112()122(1)2(1)(01)1(1)n n n n n xx f x x x x xx θθ+++-==-+++-+- <<++.(5)【解析】方法一：微分方程2y y x ''+=对应的齐次方程0y y '''+=的特征方程为20r r +=,两个根为120,1r r ==-,故齐次方程的通解为12x y c c e -=+.设非齐次方程的特解2()Y x ax bx c =⋅++,代入方程可以得到1,1,23a b c ==-=, 因此方程通解为3212123xy c c ex x x -=++-+. 方法二：方程可以写成2()y y x ''+=,积分得303x y y c '+=+,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为30(())3dxdx xy e c e dx C -⎰⎰=++⎰33001(())()33xx x x xx e c e dx C e x de c e C --=++=++⎰⎰320(3)3x xx x e x e e x dx c Ce --=-++⎰ 332200(2)33x x xx x x x x x e e x dx c Ce e e x e xdx c Ce ----=-++=--++⎰⎰ 3202()3x x x x x x e e x e c Ce --=-+-++ 32123x x x x c Ce -=-+++. 方法三：作为可降阶的二阶方程,令y P '=,则y P '''=,方程化为2P P x '+=,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为220020()(22)2 2.x x x x x x xP e c x e dx e c x e xe e c e x x ---=+=+-+=+-+⎰再积分得 321223xx y c c e x x -=++-+. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 4. 一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数. (6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为22221x y a b+=.方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其中一条直角边长为x=tan α, 故截面面积为22221()()tan 2a S y b y bα=-⋅. 楔形体的体积为222220022()tan ()tan 3bb a V S y dy b y dy a b b αα==-=⎰⎰.方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为2y =另一条边长为tan x α⋅, 故截面面积为()2tan bS x aα=,楔形体的体积为200222()tan tan 3aa b V S x dx a b a αα===⎰⎰.四、(本题满分8分)【解析】方法一：分部积分法.2222arctan arctan arctan (1)1x x xdx dx dx x x x x =-++⎰⎰⎰1arctan ()arctan (arctan )xd xd x x=--⎰⎰2211arctan arctan (1)2dx x x x x x -+-+⎰分部 22111arctan ()arctan 12x x dx x x x x =-+--+⎰ 22111arctan ln ln(1)arctan 22x x x x C x =-+-+-+.方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t =,则2tan ,sec x t dx tdt ==,2222222arctan sec cot (1)tan (1tan )tan x t t t dx dt dt t tdt x x t t t ===++⎰⎰⎰⎰2(csc 1)(cot )t t dt td t tdt =-=--⎰⎰⎰21cot cot 2t t dt t -+-⎰分部 2cos 1cot sin 2x t t dt t x =-+-⎰211cot sin sin 2t t d t t t =-+-⎰21cot ln sin 2t t t t C =-+-+.五、(本题满分8分)【分析】为了正确写出函数()f x 的反函数()g x ,并快捷地判断出函数()g x 的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】反函数的性质：① 若函数()f x 是单调且连续的,则反函数()g x 有相同的单调性且也是连续的；② 函数()f x 的值域即为反函数()g x 的定义域；③ 1()()g x f x '=',故函数()f x 的不可导点和使()0f x '=的点x 对应的值()f x 均为()g x 的不可导点.【解析】(1) 由题设,函数()f x的反函数为1,()18,16,8.12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩(2) 方法一：考察()f x的连续性与导函数.注意2312,1,(),12,1216,2x xf x x xx x⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩在(,1),(1,2),(2,)-∞--+∞区间上()f x分别与初等函数相同,故连续.在1,2x x=-=处分别左、右连续,故连续.易求得24,1,()3,12,(1)4,(1)3,12,2(2)12,(2)12(2)12.x xf x x x f fxf f f-+-+-<-⎧⎪'''=-<<-=-=⎨⎪>⎩'''==⇒=由于函数()f x在(,)-∞+∞内单调上升且连续,故函数()g x在(,)-∞+∞上单调且连续,没有间断点.由于仅有0x=时()0f x'=且(0)0f=,故0x=是()g x的不可导点；仅有1x=-是()f x的不可导点(左、右导数∃,但不相等),因此()g x在(1)1f-=-处不可导.方法二：直接考察()g x的连续性与可导性.注意1,()18,16,8,12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞区间上()g x分别与初等函数相同,故连续.在1,8x x=-=处分别左、右连续,故连续,即()g x在(,)-∞+∞连续,没有间断点.()g x在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞内分别与初等函数相同,在0x =不可导,其余均可导.在1x =-处,1111(1),(1),43x x g g -++=--=-'⎛'''-==-== ⎝ (1)g '⇒-不∃.在8x =处,881161(8),(8),121212x x x g g -+-+=='+'⎛⎫''====⎪⎝⎭ (8)g '⇒∃.因此,()g x 在(,)-∞+∞内仅有0x =与1x =-两个不可导点.六、(本题满分8分)【解析】方程两边对x 求导,得22320,(32)0.y y yy xy y x y y x y y x ''''-++-=-++-= ①令0,y '=得y x =,代入原方程得32210x x --=,解之得唯一驻点1x =；对①两边再求导又得22(32)(32)10x y y x y y y x y y '''''-++-++-=. ②以1,0x y y '===代入②得11210,0,2x y y =''''-==> 1x =是极小点.【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点). 2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数()f x 在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定()f x 在驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且00()0,()0f x f x '''=≠,那么 (1) 当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值； (2) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.七、(本题满分8分)【解析】首先证明(,)a b ξ∃∈,使()0f ξ=：方法一：用零点定理.主要是要证明()f x 在(,)a b 有正值点与负值点.不妨设()0,f a '>()0f b '>.由()()lim ()()0x a f x f a f a f a x a ++→-''==>-与极限局部保号性,知在x a =的某右邻域,()()0f x f a x a->-,从而()0f x >,因而111,,()0x b x a f x ∃>>>；类似地,由()0f b '>可证2122,,()0x x x b f x ∃<<<.由零点定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使()0f ξ=.方法二：反证法.假设在(,)a b 内()0f x ≠,则由()f x 的连续性可得()0f x >,或()0f x <,不妨设()0f x >.由导数定义与极限局部保号性,()()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a f a x ax a +++→→-''===≥--,()()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b f b x b x b ---→→-''===≤--, 从而()()0f a f b ''≤,与()()0f a f b ''>矛盾.其次,证明(,)a b η∃∈,()0f η''=：由于()()()0f a f f b ξ===,根据罗尔定理,12(,),(,)a b ηξηξ∃∈∈,使12()()0f f ηη''==；又由罗尔定理, 12(,)(,),()0a b f ηηηη''∃∈⊂=.注：由0()0f x '>可得：在000(,),()()x x f x f x δ-<；在000(,),()()x x f x f x δ+>.注意由0()0f x '>得不到()f x 在00(,)x x δδ-+单调增的结果！【相关知识点】1.零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b ⋅<),那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=.2．函数极限的局部保号性定理：如果0lim ()x x f x A →=,且0A >(或0A <),那么存在常数0δ>,使得当00x x δ<-<时,有()0f x >(或()0f x <).3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在0x 的某去心邻域内()0f x ≥(或()0f x ≤),而且0lim ()x x f x A →=,那么0A ≥(或0A ≤).4.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.八、(本题满分8分)【解析】(1) ()y ay f x '+=为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为[]()()()ax ax ax y x e f x e dx C e F x C --⎡⎤=+=+⎣⎦⎰,其中()F x 是()axf x e 的任一原函数,由(0)0y =得(0)C F =-,故[]0()()(0)()xax ax at y x e F x F e e f t dt --=-=⎰.(2) 当0x ≥时,0()()()xxaxat axat y x ee f t dt ee f t dt --=⋅≤⎰⎰001(1)x x ax at ax at ax k ke e dt ke e e a a---⎛⎫≤⋅=⋅=- ⎪⎝⎭⎰.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.。

1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题 ⎛ 11 ⎞ ⎟ = （ 1）lim ⎜ − .2 x tan x ⎠x → 0 ⎝ x 1 【 【 答】3详解 1】⎛⎜ 1 1 ⎞ ⎟ tan x − x tan x − x lim − = lim = lim 2 x tan x ⎠ x 2 tan xx −1 3x tan x 3 x → 0 ⎝ x x → 0 x → 0 sec 2 = = = lim 2x → 0 2 x lim 2 x → 0 3x 1 3【 详解 2】⎛⎜ 1 1 ⎞ sin x − x cos x sin x − x cos x lim − = lim = lim ⎟ 2 x tan x ⎠ x 2 sin x x 3 x → 0 ⎝ x x → 0x → 0 cos x − cos x + x sin x = = lim 2x → 0 3x sin x 3x 1 lim = x → 0 3d∫ x( −) 2（ 2）sin x t dt = .dx【 答】 sin x 2 . 【 详解】dd∫x( − ) 2∫ 0(−)sin u dusin x t dtx t u − = 2dxdx0 xd x ∫ = sin u du2dx 0 = sin x 2故本题应填sin x2(3) y ' − 4y = e 2x的通解为.⎛ 1 ⎞ 4 ⎠ = −2x+ C + x e 2x ,其中C ,C 为任意常数.1 2 【 答】y C e⎜ ⎝⎟ 1 2 λ 2 − 4 = 0,解得 λ = 2,λ = −2 【 故 详解】 特征方程为： 1 2 ' − 4y = 0 的通解为 y 1C e = −2x+ C e 2x , 由于非齐次项为 f (x ) = e 2x ， a = 2 为特征方程2y 11y * = Axe 2x , 代入原方程可求得 A = ， 的单根，因此原方程的特解可设为 故所求通解为414y = y 1 + y * = C e −2xC e 2x+ + xe 2x12 ⎛ ⎝1 ⎞ 4 ⎠ 故本题应填y C e −2x= + ⎜ C + 2 x e 2x ⎟ , 1 （ 4）设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 .n −1【 答】n , 0,",0 【 详解】 因为λ −1 −1 " −1 λ − n −1 " −1 − # − 1 λ −1 " −1λ − n λ −1 "−1 λE − A = = # # # # # # # 1 −1 " λ −1 λ − n −1 " λ−1−1 " −1 1 0 # λ # " # " 0= λ − n#λ故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重）n −1因此本题应填 n , 0,",0 .12 （ 5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,9( ∪ ∪ ) = ( ) =,则 P A且 P A B C .16 1【 答】. 4【 详解】 根据加法公式有( ∪ ∪ ) = ( )+ ( )+ ( )− ( )− ( )− ( )+ ()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC 1 由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC= , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,因此有2( )= ( )= ( ) = 2 ( ) P AB P AC P BC P A , ( )= (φ) = P ABC P 0,9( ∪ ∪ )= ( )− 2( ) = 从而P A B C 3P A 3P A 163 1( ) =解得 P A( ) = , P A 4 4 1 2 1 4 ( ) < 又根据题设 P A( ) =,故 P A 二、选择题( ) ( )1）设 f x 是连续函数，F x 是其原函数，则 （ （ （ （ （ ( ) ( ) A ） 当 f x 是奇函数时，F x 必是偶函数. ( ) ( ) B ） 当 f x 是偶函数时，F x 必是奇函数. ( ) ( ) C ） 当 f x 是周期函数时，F x 必是周期函数. ( ) ( )D ） 当 f x 是单调增函数时，F x 必是单调增函数. 【 】【 【 答】 应选（A ）∫ x( )+f t dt C ,于是( ) ( )( ) = 详解】 f x 的原函数F x 可以表示为F x− x x(− )= ∫0 ( ) + = − ∫(− ) (− )+F x f t dt Cu t f u d u C . 0 ( ) (− )= −( )u f u ，从而有当 f x 为奇函数时， f x (− )= ∫ ( ) F x f u du C + 0∫ x( ) + = ( ) f t dt C F x= 0( )F x 为偶函数.即故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：1 ( ) = f x2() = x 3 +1不是奇函数，可排除（B ）； x 是偶函数，但其原函数F x 3 1 2 14( ) = 2 ( ) = + f x cos x 是周期函数，但其原函数F x x sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；1 ( )= x 在区间(−∞ + ∞)f x( ) = 2x 在区间 (−∞ + ∞)内非内是单调增函数，但其原函数F x 2 单调增函数，可排除（D ）.⎧ ⎪ ⎨ 1− cos x, x > 0 ( ) = 2）设 f x( ) ( ) = （ x其中 g x 是有界函数，则 f x 在 x 0 处 ⎪ x 2g (x ), x ≤ 0⎩（ （ A ）极限不存在.（B ）极限存在，但不连续 （D ）可导.C ）连续，但不可导 【 】【 【 答】 应选（D ） 详解】 因为( )− ( ) f x f 0 1− cos x(0 + 0)= lim= lim = 0, f ' 32→ 0 +xx →0 − x x ( )− ( )2 ( ) f x f 0 x g x f '(0 − 0)= lim= lim lim g (x )x = 0, x − x −x → 0 −x → 0 x →0 ( ) = ( ) = 可见， f x 在 x 0 处左、右导数相等，因此， f x 在 x 0 处可导， 故正确选项为(D).⎧1 2 x ,0 ≤ x ≤ ⎪ ⎪a ∞ ∑( ) = (3)设 f x( ) = ， S x + π −∞ < < +∞, ⎨ ⎪ 0 a cos n x , x n 1 2 n =1 2 − 2x , < x <1 ⎪ ⎩ 2⎛ ⎝ 5 ⎞2 ⎠ 1" ∫( ) ( = ) 则 S − 其中 a n = 2 f x cos n xdx , n 0,1, 2, π , 等于 ⎜ ⎟ 0 1 1 3 3 4(A)(B) −(C)(D) −2 24【 】【 答】 应选（C ）.( ) [ ) [− ] 【 详解】 由题设知，应先将 f x 从 0,1 作偶延拓，使之成为区间 1, 1 上的偶函数，然后 再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有⎛ ⎝ 5 ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝1 ⎞2 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎝ 2 ⎠ S − = S −2 − = S − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎠ ⎛ 1 ⎝ 2 ⎞f − 0 + f + 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎠⎝ 2 = S = ⎜ ⎝ ⎟2 3 = . 4（ 4）设 A 是 m ×n 矩阵， B 是 n ×m 矩阵，则 （ A ）当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0（B ）当 m > n 时，必有行列式 AB = 0（ C ））当 n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D ）当 n > m 时，必有行列式 AB = 0【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 因为 AB 为 m 阶方阵，且( ) ≤ ⎡ ( ) ( )⎤ ≤ ( )秩 r AB min⎣r A ,r B ⎦ min m ,n 当 m > n 时，由上式可知， r (AB 因此，正确选项为（B ）.)≤ < n m ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB 0. =( ) ( ) 5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N 0,1 和 N 1, 1 ，则（ （ （ 1 12 { + ≤ } = { +≤ } = A ） P X Y 0 . .(B) P X Y 1 . 2 11{ − ≤ } = {−≤ } = C ） P X Y 0 (D) P X Y 1 . 22【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( + ) ( ) ( −) (−1, 2)X Y ~ N 1, 2 , X Y ~ N 1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 知，（B ）为正确选项.2三、设 y = y (x ), z = z (x )是由方程 z = xf (x + y )和 F (x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和dz dxF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求. ( + )和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得 详解】 分别在 z xf x y【 = ⎧ dz dx⎛ ⎝ dy ⎞ dx ⎠= f + x 1+ f '⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎨ ⎪ dy dz F ' x + F ' y + F ' z = 0 ⎪ ⎩dx dx 整理后得⎧ dy dz + − xf ' = f + xf '⎪ ⎪dx dx ⎨ ⎪ dy dx dz F ' y + F ' z = −F ' x ⎪⎩ dx解此方程组，得( ) F y − xf f + xf ' ' ' 'F z dz dx (z ≠ 0)= , F ' y + xf ' F ' F ' y +xf ' ' F z∫(e x ( ))( ) I =sin y −b x + y dx + e x cos y − ax dy 其 中 a ,b 为 正 常 数 ， L 为 从 点 , 四 、 求 L ( ) = ax − x 到点O (0, 0)的弧.2 A 2a ,0 沿曲线 y ( ) = ( )【 详解】 添加从点O 0,0 沿 y 0到点 A 2a ,0 的有向直线段 L , 则 1∫ ⎡y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dyI = − e xsin − + + xcos − ⎣ ⎦ L +L 1∫ ⎡ y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dye xsin − + + x cos − ⎣ ⎦ L 1利用格林公式，前一积分⎛ ∂ ∂ ⎞ Q P ∫ ∫ dxdy b a dxdy = ( − )∫∫ I 1 = − ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ x y ⎠ D D π =2 (b − a ) a2 其中 D 为 L + L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L : 11⎧ ⎨ ⎩x = xy = 0 ( ≤ ≤ ) , 0 x 2a , 可直接积分∫ 2a(− ) = − I 2 = bx dx 2a b 2 0⎛ π ⎞ ⎠ π 故I = I − I = ⎜ ⎝+ 2 a ⎟ 2 b −3 a . 1 2 2 2 ( )( ≥ )( )> ( )= = ( )设函数 y x x 0 二阶可导且 y x 0, y 0 1, 过曲线 y y x 上任意一点'五、( ) P x , y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S , 区 1 [ ] = ( ) − 12间 0, x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S ，并设 2S S 恒为1，求此曲线 2yy x = ( )的方程.( )上点 P (x , y )处的切线方程为 详解】 曲线 y y x【 = ( ) =y x'( )( − )y x X xY −⎛⎞ y 它与 x 轴的交点为⎜ x − ,0⎟ 由于 '(x ) > 0, y (0) =1,因此 y (x )(x > 0) yy '⎠⎝ ⎛ ⎞ 2 1y y 于是 S = y x −⎜ x − ⎟ = .1 ' 2y '2 ⎝ y ⎠ ∫ x( ) y t dt 又S 2 = 0y 2∫ x ( ) = y t dt 1,根据题设2S − S =1，有− 1 2 y ' 2 0 '(0) =1，两边对 x 求导并化简得y并且( )2yy ' = y ' 这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ' ，则上述方程可化为dpyp= p 2 ，分离变量得 dydp dy = p ydy解得 p = C y ，即= C y , 1 1 dxy = C e + C 2x从而有 1 根据 y 0 1, y 0 1, 可得 C 1 =1,C 20,( ) = '( ) = =故所求曲线得方程为y = e x.六、试证：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 1】 ( )= ( − ) x 2 1 ln x x 1 . 易知 f (1)= 0−( − ) 2令 f x 又1 (x )= 2x ln x − x +2 − , f '(1)= 0f f ' x1' (x )= 2ln x +1+ , f ' (1)= 2 > 0 x2 2(x−1)2'' (x ) =f x 3可见，当 0 < x <1时，f '' (x )< 0;当1< x < +∞ 时， '' (x ) > 0;f因此，有当1< x < +∞ 时，' (x )≥ f ' (1)= 2 > 0(x ) 是单调增函数推知，当 0 < x <1时，f (1)= 0 及(x )> 0;因此进一步有 f x ''(x )< 0; 当1< x < +∞ 时，f又由 f ' f f '( )≥ ( )= ( < < +∞) f 1 0 0 x ，即证之：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时，(x 2−1 ln x ≥ x −1 .等价于当 0 < x <1时，) ( ) 2ln x ≤x−1;当1< x < +∞ 时， ln x ≥x−1;于是令x +1x +1x −1 x +1 ( ) =f x ln x− 1 2 x +1 2 (x ) = − = > 0(x > 0) 2则 f 'x ( + ) 2( + ) x x 1x 1 ( ) = 又因为 f 1 0，可见有当 0 < x <1时， f x 0 ，( ) < 当1< x < +∞ 时， f x 0 ，从而当 x 0 时，有( ) > > (x 2 )( ) ( −1 f x = x −1)ln x −(x −1) ≥ 0,22x > 0 时，(x 2) ( ) 2即当 −1 ln x ≥ x −1 .七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400 N ,缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：①1N ×1m =1J ;m , N ,s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【 详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W =W +W +W 31 2其中W 是克服抓斗自重所作的功；W 是克服缆绳重力作的功；W 为提出污泥所作的功.由题 1 2 3 意知W = 400×30 =12000.1将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为( − )dW 2 50 30 x dx , = 3 0∫ ( −) =50 0 x dx 22500.从而 W 2 =[ + ]在时间间隔 t ,t dt 内提升污泥需作功为 ( − ) dW 3 3 2000 20t dt. = 3 0将污泥从井底提升至井口共需时间=10 ，所以 31 0∫ 3(2000 − 20t )dt = 57000.W 3 = 0因此，共需作功= + + = ( )W 12000 22500 57000 91500 J【 详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 ( ) ( − )( ) 力 f x 包 括 抓 斗 的 自 重 400 N , 缆 绳 的 重 力 50 30 x N ， 污 泥 的 重 力12000 −⋅ ( )，即 x 20 N32 0 1703 ( )=+( − )+f x400 50 30 x2000− x = 3900 − x ,3于是⎛ 170 ⎞85 3∫ 302|30 0=117000 − 24500 = 91500(J )W = 3900 − x dx = 3900x − x ⎜ ⎝⎟ 3 ⎠ 0 x 2 y 2八、设 S 为椭球面 ++ z 2 =1的上半部分，点 P (x , y , z )∈S ,π 为 S 在点 P 处的切平面， 2 2 zρ (x , y , z)为点O (0, 0, 0)到平面π 的距离，求 ∫∫ ρ (x , y , z )dS .Sx 2 y 2 ( ) = + + z 21,设 X ,Y ,Z 为π 上任意一点，则π 的方程为− () 【 详解】 令 F x , y , z 2 2(X − x )+ F' (Y − y )+ F (Z − z )= 0,z' F ' x y xX yY即 + + zZ =1 2 2从而知−1Ax + By + Cz⎛ x ⎞ ⎟ ⎠ 2y22ρ (x , y , z ) = = ⎜+ + z 2 + B 2 + C 2 ⎝ 4 4 A 2 x y这里 A = , B = ,C = z ,2 2 ⎛ 2 2 ⎞x y 由曲面方程知 z = 1−⎜ + ⎟,⎝2 2 ⎠ 于是∂z−x∂z∂y−y= , = ,∂x⎛ 22 ⎞ ⎟⎛ ⎜ 22⎞ ⎟xy x y 2 1−⎜ + 2 1− + ⎝ 22 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠因此2⎛ ∂⎞ 2− 4 x 2 − y 2⎛ ∂ ⎞ z z dS = 1+ + d σ =d σ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎛ 22⎞ xy 2 1− + ⎜⎝ ⎟ 22 ⎠故有z x 2 y 2 ∫ ∫ ∫∫ ρ (x , y , z )dS =z 4 + 4 + z dS 2S S 11 4 2π2 ∫∫(4 − x 2 )d σ = ∫ ∫ (4 − r )rdr = − y 2d θ 2 40 D32= ππ ∫ 九、设 a =n4 tan nxdx,∞1∑ (+ a n a n +2 )的值；（ 1） 求n n =1∞ann λ∑（ 【 2） 试证：对任意的常数λ > 0, 级数 收敛n =1详解】 （1）因为ππ1 1 )= ∫ n1 ( + n ( +2 )= ∫n 2 a n a n +2 4tan x 1 tan x dx 4tan x sec xdx n n 0 0 1 11 ∫ tan x = t tn dt = ( + )n n 1n 0 又由部分和数列n1 n1 1n +1 ∑ ∑ ( + ) = =1− S n = a a i +2 ,i ( + )i i 1i i =1 i =1 有lim S =1, n n →∞ ∞1 ∑ (a n a n +2)=1.+ 因此n n =1 （ 2）先估计a 的值，因为 nπ nt 1n +1 11 ∫ x = t ∫∫ 0a =ntan n xdx tandt <nt dt = , 41+ t 2 00 a nnλ1 1所以< <, n n 1 n λ+1 ( + ) λ ∞1nλ+ ∑ 由λ +1>1知 收敛 1 n =1 ∞a n λ ∑ n 也收敛.从而n =1⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤⎥ 十、设矩阵A = 5 b 3 − ⎥a，其行列式 A = −1，又A 的伴随矩阵A * 有一个特征值λ ， ⎥ 0 ⎢ 1− c 0 ⎣ ⎦ 属于λ 的一个特征向量为 1, 1, 1 α = (− − )T ，求a ,b ,c 和λ 的值.0 0【 详解】A α = λ α, * 根据题设有 0 AA * = A E = −E , 于是 AA *α = A λ α = λ A α,又 即0 0 −α = λ A α 0⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤ ⎡−1⎤ ⎡−1⎤⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 也即λ 0 5 b 3 −1 = − −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− a − ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ c 0 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦由此，可得⎧ a 1 c λ ( + + ) = 1 0 ⎪ ⎨ 5 b 3 λ (− − + ) = 1 0⎪ ⎩1 c a λ (− + − )= − 1 0 解此方程组，得 λ =1,b = −3,a = c又由A = −1和 a = c ，有a −1 −3 3 = a −3 = −1 −aa51 − a 0 故 a = c = 2,因此 a = 2,b = −3,c = 2,λ =1. 0十一、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为 m ×n 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：( ) =n .B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r B 详解】 必要性. 设 B AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有T【 (B T AB x > 0, )即 (Bx ) BA (Bx )> 0, TxT 于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r B ( ) = n(B T AB)T= B A TB = B AB 故 B , AB 为实对称矩阵.若 r B = nT T T ()充分性. 因则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A 为正定 矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有 Bx BA Bx 0, ( ) T() >(B T ( ) AB x = Bx A Bx > ，故B AB 为正定矩阵. ) ( ) T 0 于是当 x ≠ 0 ，有 x T T( ) 十二、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X ,Y 联合分布律及关于X 和 关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.{ P X= } = y 1y 2 y 3x p ii 1 8x 1 x 218 1 { P Y= } = 1y ip j6【 详解】{ P X= } = y 1y 2 y 3 x p ii 11 1 1 x 1 x 224 8 3 12 1 4 3 1 8 1 8 1 4 1 4{ P Y= } =pj1y i623十三、设总体X 的概率密度为⎧ 6x(θ − ) < <θ x ，0 x⎪ ( )= θ f x ⎨ 3 ⎪ ⎩ 0, 其他 X , X ,", X 是取自总体X 的简单随机样本. 1 2 n ^（ 1） 求θ 的矩估计量θ ；^⎛ ⎞ ^（ 2） 求θ 的方差D ⎜θ ⎟. ⎝ ⎠6 θ xθ + ∞θ()= ∫ ( ) = ∫ 0(θ −) 【 详解】 (1) E X xf x dx x dx = 3 2 −∞ 1 nθ ^ ∑ 记 X = X , 令 = X ,得θ 的矩估计量θ = 2X ；i n 2i =1 （ 2）由于6 θ x 2 6x 2+ ∞( ) ∫ ( ) ∫ (θ − x )dx =E X2= x 2f x dx = 3 20−∞6θ 2 ⎛θ ⎞ ⎝ 2 ⎠ 2 θ 2 ( )= (D xE x)− ⎡( )⎤ 22E x = − = ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ 2 0 20^因此 θ = 2X 的方差为⎛ ⎞ ^ ( ) ( )D ⎜θ ⎟ = D 2X = 4D X ⎝ ⎠4θ 2 = ( ) = D X n 5n。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试卷一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1)0lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.(2)sin t tdt π=⎰＿＿＿＿＿＿.(3)曲线0(1)(2)xy t t dt =--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4)设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿.(5)设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =＿＿＿＿＿＿.(6)设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿.(7)设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿.二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)已知arcsin y e =,求y '.(2)求2ln dx x x ⎰.(3)求10lim(2sin cos )xx x x →+.(4)已知2ln(1),arctan ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22d ydx .(5)已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2)若2350a b -<,则方程532340x ax bx c +++= ( )(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个不同实根 (D)有五个不同实根 (3)曲线cos ()22y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ( )(A)2π(B)π(C)22π(D)2π(4)设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处( )(A)必取极大值 (B)必取极小值(C)不可能取极值 (D)是否取极值不能确定(5)微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数) ( )(A)xae b +(B)xaxe b +(C)xae bx +(D)xaxe bx +(6)设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是( )(A)1lim [()()]h h f a f a h→+∞+-存在 (B)0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在(C)0()()lim 2h f a h f a h h→+--存在(D)0()()lim h f a f a h h→--存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.五、(本题满分7分)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分)证明方程0ln x x e π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数21x y x +=,填写下表：八、(本题满分10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试卷解读一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】12【解读】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一：000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x xx x xx x x→→→==⋅0011lim lim sin 22cos 22x x x x x →→==洛. 方法二：00cos 2lim cot 2lim sin 2x x xx x x x→→=0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22x x x x x x x →→=⋅== 【相关知识点】0sin lim x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x xx→=.(2)【答案】π【解读】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,sin t tdt π=⎰[]00(cos )cos (cos )td t t t t dt πππ-=---⎰⎰分部法[]00sin (00)t ππππ=++=+-=.(3)【答案】2y x =【解读】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2x y ='=--=.所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n【解读】方法一：利用函数导数的概念求解,即0()(0)(1)(2)()0(0)limlim x x f x f x x x x n f x x→→-++⋅⋅+-'==lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,()(1)(2)()1(2)()f x x x x n x x x n '=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++(1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅,所以 (0)(01)(02)(0)00f n '=++⋅⋅++++12!n n =⋅⋅⋅=.(5)【答案】1x -【解读】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令1()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (6)【答案】a b =【解读】如果函数在0x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0f f a b a -==+⋅=. 而 000sin sin sin (0)lim lim lim x x x bx bx bxf b b b x bx bx++++→→→==⋅=⋅=, 如果()f x 在0x =处连续,必有(0)(0)f f -+=,即a b =. (7)【答案】2()dxx y + 【解读】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2sec y dy dx dy ⋅=+, 所以 222sec 1tan ()dx dx dxdy y y x y ===++,(0x y +≠).二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解读】令u e=,v =则arcsin arcsin y e u ==,由复合函数求导法则,(arcsin )v v y u u e v e ''''===⋅=即y e '=【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数(())()y f x f x ϕ'''=.(2)【解读】利用不定积分的换元积分法,22ln 1ln ln ln dx d x C x x x x ==-+⎰⎰.(3)【解读】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,11lim(2sin cos )lim[1(2sin cos 1)]xxx x x x x x →→+=++-12sin cos 12sin cos 10lim[1(2sin cos 1)]x x x x xx x x +-⋅+-→=++-,令 2sin cos 1x x t +-=,则当0x →时,0t →, 则 112sin cos 1lim[1(2sin cos 1)]lim[1]x x tx t x x t +-→→++-=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)tt t e →+=.所以 012sin cos 1limlim(2sin cos )x x x xxx x x e→+-→+=,而 002sin cos 12cos sin limlim 21x x x x x xx →→+--=洛,所以 012sin cos 1lim20lim(2sin cos )x x x xxx x x ee →+-→+==.(4)【解读】这是个函数的参数方程,22111221dy dy dt t dx t dx t dt t +===+, 2222321111211()()()2222(2)41d y d d dt d t dx t dx dx t dt t dx dt t t tdt t -+==⋅=⋅=⋅=-+. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='. (5)【解读】利用定积分的分部积分法求解定积分,111122220000111(2)(2)(2)(2)222x f x dx x df x x f x f x dx '''''⎡⎤==⋅-⎣⎦⎰⎰⎰分部法 []1011(2)0(2)2f xf x dx ''=⋅--⎰1011(2)(2)22f xdf x '=-⎰ ()1100111(2)(2)(2)222f xf x f x dx ⎡⎤'=--⎢⎥⎣⎦⎰ 1111(2)(2)(2)222f f f x dx '=-+⎰, 令2t x =,则11,22x t dx dt ==,所以121(2)()2f x dx f t dt =⎰⎰.把1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰代入上式,得11200111(2)(2)(2)(2)222x f x dx f f f x dx '''=-+⎰⎰ 21111(2)(2)()2222f f f t dt '=-+⋅⎰ 1111101022222=⋅-⋅+⋅⋅=.三、选择题(每小题3分,满分18分.) (1)【答案】(A)【解读】函数1sin y x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sinx是有界函数.当0x +→时,x 为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以1lim lim sin 0x x y x x++→→==, 故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x t x+→+∞→+∞→=== , 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解读】判定方程()0f x =实根的个数,其实就是判定函数()y f x =与x 有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用, 令 53()234f x x ax bx c =+++, 则 42()563f x x ax b '=++.令 2t x =,则422()563563()f x x ax b t at b f t ''=++=++=,其判别式22(6)45312(35)0a b a b ∆=-⋅⋅=-<,所以 2()563f t t at b '=++无实根,即()0f t '>.所以 53()234f x x ax bx c =+++在(,)x ∈-∞+∞是严格的单调递增函数. 又 53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →-∞→-∞=+++=-∞53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →+∞→+∞=+++=+∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)-∞+∞内至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x =,又因为()y f x =是严格的单调函数,故0x 是唯一的.故()0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C)【解读】如图cos ()22y x x ππ=-≤≤的图像,则当cos y x =绕x 轴旋转一周,在x 处取微增dx ,则微柱体的体积2cos dV xdx π=,所以体积V 有222cos V xdx πππ-=⎰222222cos 21cos 22242x dx xd x dx πππππππππ---+==+⎰⎰⎰[][]22222sin 20()422222x x ππππππππππ--=-+=++=. 因此选(C).(4)【答案】(D) 【解读】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取2()()()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值0,而4()()()()F x f x g x x a ==-在x a =处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取2()()1()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值1,而22()()()1()F x f x g x x a ⎡⎤==--⎣⎦在x a =处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).(5)【答案】(B)【解读】微分方程1xy y e ''-=+所对应的齐次微分方程的特征方程为210r -=,它的两个根是121,1r r ==-.而形如xy y e ''-=必有特解1x Y x ae =⋅；1y y ''-=必有特解1Y b =.由叠加得原方程必有特解xY x ae b =⋅+,应选(B). (6)【答案】(D)【解读】利用导数的概念判定()f x 在x a =处可导的充分条件. (A)等价于0()()limt f a t f a t→++-存在,所以只能保证函数在x a =右导数存在；(B)、(C)显然是()f x 在x a =处可导的必要条件,而非充分条件,如 1cos ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不连续,因而不可导,但是 0001111cos(0)cos(0)cos cos()()lim lim lim 0222h h h f a h f a h h h h h h h h→→→+---+--===, 0001111cos()cos(0)cos cos(2)()2222lim lim lim 0h h h f a h f a h h h h h h h h→→→---+-+===均存在； (D)是充分的：00()()()()lim limx h x h f a x f a f a f a h x h ∆=-∆→→+∆---=∆存在0()()()lim h f a f a h f a h→--'⇒=存在,应选(D).四、(本题满分6分)【解读】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成规范形式211(1)x y y e x x'+-=,通解为 11(1)(1)21()dxdx x xxy ee e dx C x ---⎰⎰=+⎰211()()x x x x x x e e e dx C e C x x e x=+=+⎰. 代入初始条件(1)0y =,得C e =-,所求解为()x xe y e e x=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的规范形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.五、(本题满分7分)【解读】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,()sin ()()sin ()()x x xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()x xf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xex αβ,0,1,i i αβαβ==±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++.又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分)【解读】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数. 令()ln x f x x e π=-+⎰,其中π⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故0π>⎰,为简化计算,令00k π=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以,x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为 00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln x x e π=-⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：ππ=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]00sin cos 0xdx x πππ==-=>⎰.其它同方法一.七、(本大题满分11分)【解读】函数21x y x +=的定义域为()(),00,-∞+∞,将函数化简为211,y x x =+ 则 32243321126216(1),(2)y y x xx x x x x x '''=--=--=+=+.令0y '=,得2x =-,即2212(1)0,(2,0),12(1)0,(,2)(0,),y x x xy x x x⎧'=-->∈-⎪⎪⎨⎪'=--<∈-∞-+∞⎪⎩故2x =-为极小值点.令0y ''=,得3x =-,即3316(2)0,(3,0)(0,),16(2)0,(,3)y x x xy x x x⎧''=+>∈-+∞⎪⎪⎨⎪''=+<∈-∞-⎪⎩为凹，，为凸，y ''在3x =-处左右变号,所以23,(3)9x y =--=-为函数的拐点.又 20011lim lim(),x x y x x→→=+=∞故0x =是函数的铅直渐近线；211lim lim()0,x x y x x→∞→∞=+=故0y =是函数的水平渐近线. 填写表格如下： (0,)+∞(0,)+∞八、(本题满分10分)【解读】由题知曲线过点(0,0),得0c =,即2y ax bx =+. 如图所示,从x x dx →+的面积dS ydx =,所以11123200011()32S ydx ax bx dx ax bx ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰32a b =+, 由题知 1323a b +=,即223ab -=.当2y ax bx =+绕x 轴旋转一周,则从x x dx →+的体积2dV y dx π=,所以 旋转体积1254232211222000()()523523a x abx b x a ab b V y dx ax bx dx ππππ⎡⎤==+=++=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰, b 用a 代入消去b ,得224(1)(1)5273a a a a V π⎡⎤--=++⎢⎥⎣⎦,这是个含有a 的函数,两边对a 求导得4(1)275dV a da π=+, 令其等于0得唯一驻点54a =-,dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,这时32b =,故所求函数225342y ax bx c x x =++=-+.。

1999年4月全国计算机等级考试二级笔试试题基础部分与Fortran程序设计下列各题A),B),C),D)四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项涂写在..jo ___. 答题卡相应位置上,答在 ___上不得分. ..jo ___.(1)微型计算机的性能主要取决于 ..jo ___. A)内存 B) ___处理器C)硬盘 D)显示卡..jo ___.(2)有一个数值152,它与十六进制数6A相等,那么该数值是 ..jo___. A)二进制数 B)八进制数 C)十进制数 D)四进制数..jo ___.(3)使用超大规模集成电路制造的计算机应该归属于 ..jo ___. A)第一代 B)第二代 C)第三代 D) ___..jo ___.(4)已知英文字母a的ASCII代码值是十六进制数61H,那么字母d的ASCII代码值是 ..jo ___. A)34H B)54H C)24H D)64H..jo ___.(5)一片存储容量是1.44MB的软磁盘,可以存储大约140万个..jo___. A)ASCII字符 B)中文字符 C)磁盘文件 D)子目录..jo ___.(6)在MS-DOS环境中同时按下[Ctrl]和[Break]两个键,其作用是..jo ___. A)终止当前操作 B)暂停当前操作 C)关机 D)热启动..jo ___.(7)将二进制数 ___001转换为十制数应该是..jo ___. A)127B)129 C)126 D)128..jo ___.(8)磁盘处于写保护状态,那么磁盘中的数据 ..jo ___. A)不能读出,不能删改,也不能写入新数据..jo ___. B)可以读出,不能删改,也不能写入新数据..jo ___. C)可以读出,可以删改,但不能写入新数据..jo ___. D)可以读出,不能删改,但可以写入新数据..jo ___.(9)微型机启动后,DOS提示符是C:\>,现提示符变为C:\USER>,则说明刚执行过命令..jo ___. A)PROMPT B)PROMPT C)PROMPT $P$GD)CD USER..jo ___.(10)MS-DOS文件系统目录的 ___形式属于..jo ___. A)关系型结构B)网络型结构 C)树型结构 D)直线型结构..jo ___.(11)应用软件系统TH的总容量大约1MB,其主要程序文件存放在..jo ___. A)XCOPY C:\TH A:\ B)XCOPY C:\TH A:\ /S..jo ___.C)XCOPY C:\TH A:\ /M D)XCOPY C:\TH A:\ /P..jo ___.(12)执行COPY A.TXT+B.TXT这个DOS命令后得到的磁盘文件是..jo ___. A)A.TXT B)B.TXT C)AB.TXT D)A+B.TXT..jo ___.(13)在WINDOWS中,将一个应用程序窗口最小化之后,该应用程序..jo ___. A)仍在后台运行 B)暂时停止运行..jo ___. C)完全停止运行 D)出错..jo ___.(14)CD-ROM属于..jo ___. A)感觉媒体 B)表示媒体 ..jo ___. C)表现媒体 D)存储媒体..jo ___.(15)在因特网(Inter)中,电子公告板的缩写是..jo ___. A)FTP B)C)BBS D)E- ___il ..jo ___.(16)按照翻译类型分类,FORTRAN77程序设计语言属于..jo ___. A)汇编型 B)解释型..jo ___. C)编译型 D)解释型兼编译型..jo ___.(17)一个完整的FORTRAN77源程序的组成不应该..jo ___. A)只有一个主程序没有子程序..jo ___. B)有一个主程序和若干子程序..jo ___. C)有一个主程序和一个子程序..jo ___. D)只有子程序而没有主程序..jo ___.(18)下列关于FORTRAN77源程序规则的叙述之中,正确的是..jo___. A)时一行都必须从第7列开始..jo ___. B)主程序第一行必须是PROGRAM语句..jo ___. C)每个FORMATO语句必须具有标号..jo ___. D)每个子程序中必须有一个RETURN语句..jo ___.(19)在FORTRAN77源程序中不能用作续行标志的字符是..jo ___.A)0 B)X C)+ D)$..jo ___.(20)下列关于FORTRAN77源程序规则的叙述之中,正确的是..jo___. A)IMPLICIT语句可以放在REAL语句行之后..jo ___. B)DATA 语句可以在放在紧靠END语句行之前..jo ___. C)注释行不可以放在END语句行之后..jo ___. D)FORMAT语句可以放在PROGRAM语句行之前..jo ___.(21)下列FORTRAN77源程序的变量名之中,不符合规则的是..jo___. A)W B)W3 C)W─3 D)W3W..jo ___.(22)若FORTRAN77中一个INTEGER型数据占用2个字节,那么该类型的数据值范围是..jo ___. A)-2147484648 2147483647 B)-32768 32767..jo ___. C)0 4294967295 D)0 65535..jo ___. (23)阅读下列程序..jo ___. X=0.618..jo ___. WRITE(*,'(E12.4)')X..jo___. END..jo ___. 程序运行后显示结果是..jo ___. A).6180B)6.180E-01 C).0618E+01 D).6180E+00..jo ___.(24)梯形的上底为A,下底为B,高为H,计算其 ___的FORTRAN77表达式中错误的是..jo ___. A)1/2*(AB)*H B)(A+B)*H/2C)(A+B)/2*H D)0.5*(A+B)*H..jo ___.(25)要选拔身高T>1.7米且体重W(26)在fortran77的变量类型说明语句中没有..jo ___. a)real语句 b)char语句 c)integer语句 d)logical语句 ..jo ___.(27)一次成功的fortran77源程序编译操作,不能..jo ___. a)同时编译一个主程序和一个子程序 b)同时编译几个子程序 c)同时编译一个主程序和几个子程序 d)同时编译几个主程序 ..jo ___.(28)阅读下列程序 f=1.0 do 20,j=3,7,2 do 20,k=J-1,J 20 f=F*K write(*,'(13,f8.1)')j,f end 程序运行结果是..jo ___. a)3 6.0 b)5 120.0 c)9 5040.0 d)9362880.0 ..jo ___. (29)阅读下列程序character*10 w do 10 k=1,10 read(*,'(a 10)'w if(w(1:2).eq.'ab'.or.w(1:2).eq.'ab')write(*,*)'',w10 continue end 程序的功能是..jo ___. a)首字符是a或b的字符串被输出显示 b)第一、的二个字符是aa或ab的字符串被输出显示 c)首字符是a或b的字符串将被输出显示 d)第一、的二个字符是aa或bb的字符串将被输出显示..jo ___.(30)阅读下列程序 logical l read(*,*)a,b l=A.GT.B if(l)then x=B+2*A else x=B end if write(*,*)x end 使用键盘为上述程序输入两个初值4和3,其输出的x值是 ..jo ___. a)4.0 b)3.0c)11.0 d)10.0 ..jo ___.(31)阅读下列程序 read(*,*)k write(*,100)k 100 for ___t(15) end 程序运行时输入初始值12345,那么显示结果是 ..jo ___.a)12345 b)2345 c)**** d)***** ..jo ___.(32)阅读下列程序 integer f f(x,y)=X+Y a=-2.5 b=2.1b=B+F(A,B) write(*,'(f3.1)')b end 程序运行的结果是..jo ___.a).1 b).7 c)2.1 d)1.7 ..jo ___.(33)阅读下列程序 a=3.5 call suba(a,a,a) write(*,'(f4.1)')a end subroutine suba(x,y,z) y=Y-2.0 z=Z+X end 程序运行的结果是 a)7.0 b)5.0 c)3.0 d)1.5 ..jo ___.(34)阅读下列程序 character a*4,b*5,c*4 webstripperattrwas webstripperlinkwas=..chinaschool./reeducate/_grade/test/two /Z+X a,b,c/','middle','s ___ll'/ write(*,20)a,b,c 20 for ___t(1x,a2,a3,a4) end 程序运行结果是 ..jo ___. a)bigmiddle b)*********c)bigmids ___ d)bimids ___l ..jo ___.(35)阅读下列程序 n=0 do 10 k=1,3 n=N+1 m=K*N 10 continue write(*,'(1x,2i3)')m,k end 程序运行结果是..jo ___. a)9 4 b)9 3 c)12 4 d) 12 3(#^) ..jo ___.(36)阅读下列程序 fun(c,d)=a*c+b/d webstripperattrwas webstripperlinkwas=..chinaschool./reeducate/_grade/test/two /a*c+b/d a,b/1.0-1.0/ write(*,'(f4.1)')fun(a,b)-fun(b,a) end 程序运行结果是..jo ___. a)0.0 b)4.0 c)2.o d)3.o ..jo ___.(37)阅读下列程序 logical l1,l2,l3,l4,l5 webstripperattrwas webstripperlinkwas=..chinaschool./reeducate/_grade/test/two /a*c+b/d l1,l2,l3/3*.true./ l4=.NOT.L1.AND..NOT.L2.AND.L3 l5=.NOT.L1.OR..NOT.L2.OR.L3 write(*,*)l4,l5 end 程序运行结果是 ..jo ___. a)t t b)t f c)f f d)f t ..jo ___.(38)阅读下列程序 read(*.500)r.w write(*.500)r.w 500 for___t(1x,f5.2,f5.3) end 程序运行时输入初始值01234567 ___9,结果显示的是 a)*****67. ___9 b)12.3456.7 ___ c)********** d)123.4567. ___9 ..jo ___.(39)阅读下列程序 y=-123WRITE(*,200)Y 200 for___t('y=',F5.1)' end 程序运行结果是..jo ___. a)y=*****b)=***** c)y=-123.0 d)=-123.0 ..jo ___.(40)阅读下列程序 k(x,y)=X/Y+X a=-2.0 b=4.0 b=1.0+K(A,B) write(*,'(f4.1)')b end 程序运行结果是..jo ___. a)-1.0 b)1.0 c)2.0 d)3.0 ..jo ___.(41)阅读下列程序 dimension m(3,3) data m/1,2,3,4,5,6,7,8,9/ write(*,100)(m(3,j),j=1,3) 100 for ___t(1x,3i2) end 程序运行结果是 ..jo ___. a)2 5 8 b)3 6 9 c)4 5 6 d)7 8 9 (42)阅读下列程序 integer a(100),g read(*,*)n,(a(i),i=1,N) do 10i=1,N-1 g=I do 20 j=I+1,N if(a(j).lt.a(g))then g=J endif 20 continue k=A(I) a(i)=A(G) a(g)=K 10 continuewrite(*,'(1x,10i2)')(a(i),i=1,N) end 程序运行时输入的初始值是3,6,9,7,则运行结果是 a)6 7 8 b)8 7 6 c)6 8 9 d)9 8 6 (43)阅读下列程序 i=1 m=1 10 if(i.le.3)then fact=1 do100k=1,2*I+1 fact=FACT*K 100 continue m=M+FACT i=I+1 goto10 write(*,'(i15)')m end 程序运行结果是 a)5040 b)5160c)5166 d)5167 (44)阅读下列程序 dimension s(3) webstripperattrwaswebstripperlinkwas=..chinaschool./reeducate/_grade/test/two /I+1 s/1.0,2.0,3.0/ write(*,*)la(3,s) end function la(n,x) dimension x(n) la=0 l=2 do 20 i=1,N la=LA+X(I)/L 20 continue end 程序运行结果是 a)1.0000000 b)2.0000000 c)1 d)2 (45)阅读下列程序 dimension n(2) do 10 i=1,2 n(i)=0 10 continue k=2 do 20 i=1,K do 30 j=1,K n(j)=N(I)+1 30 continue 20 continue write(*,100),n(2) 100 for ___t(i3,i3) end 程序运行结果是 a)2 3 b)3 3 c)2 2 d)3 2 (46)阅读下列程序write(*,*)'input a,b,h(cm)' read(*,100)a,b,h s=(A+B)*H/2s=INT(S*10+0.5)/10 write(*,200)s 100 for ___t(3f4.2) 200for ___t(1x,'s=',F6.2)' end 程序运行时输入初始值246035701240,输出结果是 a)s=373.86 b)s=373.90 c)s=****** d)s=37 ___00.00 (47)阅读下列程序 integer a(3,3) dataa/9,8,7,6,5,4,3,2,1/ write(*,10)((a(m,n),n=1,M=1,3) 10 for ___t(i2/,2i2/,3i2) end 程序运行结果是 a)9 6 3 b)9 8 7 c)9 d)9 5 2 5 4 8 5 6 5 1 1 7 4 1 3 2 1 (48)点p在直角坐标系中的横坐标u=-3.5,纵坐标V=1.8,使用下列FORTRAN77程序计算射线op与x轴正向的夹角度数.o是坐标原点. pk=45/ATAN(1.O) u=-3.5v=1.8 write(*,*) *pk,'(deg)' end 在输出语句write(*,*)与*pk,'(deg.)'之间的空白处应该添加的是 a)atan2(u/v)b)atan2(u,v) c)atan2(v/u) d)atan2(v,u) (49)阅读下列程序 n=0 do 10 k=50,0,-2 do 10 l=-100,100,1 10 n=N+1 write(*,*)n end 程序运行结果是 a)5000 b)5026 c)5200 d)5226 (50)阅读下列程序character*4 a,b,c*5 webstripperattrwaswebstripperlinkwas=..chinaschool./reeducate/_grade/test/two /N+1 a,b,c/'your','boys','girls'/write(*,'(1x,a4,a5,a6,a1)')a,b,c,'!' end 程序运行结果是a)yourboysgirls! b)your凵boys凵girls! c)your凵boysgirls!d)yourboys凵girls! 二.填空题:(每空2分,共40分) 请将每空的答案写在答题卡__1__至__20__序号的横线上.答在 ___上不得分.(1)dos中的自动批处理文件的全名是__1__. (2)在dos启动盘中,除connand.外,还有两个必备的系统文件,它们是msdos,sys (或ibmdos.)与__2__. (3)在dos下,要将当前目录中ab. ___文件设置为只读属性,应该使用的完整命令行是 __3__. (4)在dos下,要查看当前目录中所有批处理文件的总字节数,应该使用的完整命令行是__4__. (5)计算机病毒除有破坏性,潜伏性激发性外,还有一个最明显的特性是__5__. (6)阅读下列程序.其功能是求出方程2x3-3x2+4x-11=0在区间(1,5)中的一个实数根, 运行结果是显示根值和对分次数.使用的是二分算法. 请在其中______处填入适当的内容. fun(x)=2.0*X**3-3.0*X**2+4.0*X-11.0 data xl,xr,n/1.o,5.0,0/10 continue __6__ x=(XL+XR)/2.0 __7__ if(abs(fx).lt.1e-6 .or.n.ge.1000)then write(*,'(1x,a2,f12.7,a5,14)')'x=',X,' n=',N' else if(fun(__8__)*fx.ge.0.0)then xr=X else xl=X endif goto 10 endif end (7)阅读下列程序.其功能是计算y=1+1.1X+1.2X2+1.3X3+1.4X4+1.5X5当X=3.1时的值.主程序调用了函数子程序. 请在其中____处填入适当的内容. program pvalue __9__ data a/1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5/,n,x/6,3.1/ __10__ write(*,'(1x,a5,6f5.1)')'a(k)=',A'write(*,'(1x,a2,f5.1,a6,f8.2)')'x=',X,' ; y=',Y' end function poly(b,m,v) dimension b(m) poly=B(1) fv=1.0 do10k=2,M fv=FV*V 10 __11__=POLY+B(K)*FV end (8)函数子程序dtoh能够将一个十进制正整数dec转换为一个表示十六进制数的字符字符串,其长度不超过8.例如127转换为'7f'. 算法是:将dec除16取余,将所得的商再除16取余,如此反复,直到商和零为止,最后按照逆序输出所得的各个余数. 请在其中____处填入适当的内容. character*8 function dtoh(dec) integer dec,r,pos pos=9 dtoh='' 111 continue __12__ if(pos.ge.1)then r=MOD(DEC,16) if(r.lt.1o)then __13__=CHAR(ICHAR('0')+R ) elsedtoh(pos:pos)=CHAR(ICHAR('A')+R-10) else dtoh='**********' goto999 endif dec=DEC/16 if(__14__)goto 111 999 continue end program dechex character*8 dtoh wrete(*,*) dtoh(127) end (9)有一个十进制的四位数abcd与一个十进制的三位数cdc的差等于十进制的三位数abc. 下列程序按"abcd=9876"的样式打印出ABCD这个数. 请在其中____外填入适当的内容. integer a,b,c,d do 10 a=1,9 do 10 b=0,9 do 10 c=1,9 __15__l=1000*A+100*B+10*C+D m=100*C+10*D+C n=100*B+Cif(__16__)write(*,'(__17__)')'xabcd=',A,B,C,D' 10 continue end (10)阅读下列程序.其功能是使用筛法选出n以内的所有素数并显示. 算法:在n以内的自然数列中先筛除2的倍数;在2之后筛乘下的第一个数是3,于是再筛除3的倍数;在3之后筛剩下的第一个数是5,于是再筛除5的倍数;如此重复下去,直到遇见筛剩下的第一个数是最接近n的平方根的那个数为止. 请在其中____处填入适当的内容. program prines parameter (n=100) integera(n),p(n) do 10 k=1,N 10 a(k)=K do 20 k=3,N 20if(__18__.eq.0)a(k)=0 isr=SQRT(REAL(N)) do 30m=3,ISR,2 do 30k=M+2,N 30 if(a(k).ne.0.and.mod(a(k),m).eq.0)a(k)=0 m=1 do 40k=2.N if(a(k).ne.0)then __19__ m=M+1 endif 40 continue write(*,'(1x,1018)')(p(k),__20__) end 1999年4月全国计算机等级考试二级笔试 ___ 基础知识和fortran语言程序设计答案及评分标准一.选择题((1)～(40)题每题1分,(41)～(50)题每题2分,共60分) (1)b (2)b (3)d (4)d (5)a (6)a (7)b (8)b (9)d (10)c (11)b (12)a (13)a (14)d (15)c (16)c (17)d (18)c (19)a (20)b (21)c (22)b (23)d (24)a (25)c (26)b (27)d (28)c (29)b (30)c (31)b (32)a (33)c (34)d (35)a (36)b (37)d (38)c (39)b(40)b (41)b (42)c (43)d (44)d (45)b (46)b (47)c (48)d (49)d (50)b 二.填空题(每空2分,共40分)(所有字母都允许大,小写或大小写混合) (1)__1__autoexec.bat (2)__2__io.sys或ibmbio. (3)__3__attrib ab. ___ +r ab. ___ (4)__4__dir *.bat或dir *.bat/p或dir *.bat/w或dir *.bat/p/w 或dir *.bat/w/p (5)__5__传染性或传播性 (6)__6__n=N+1或N=1+N __7__fx=FUN(X) __8__xr (7)__9__dimension a(6)或repl a(6)__10__y=POLY(A,N,X) __11__poly (8)__12__pos=POS-1__13__dtoh(pos:pos) __14__dec.ne.0或dec.gt.0 (9)__15__do 10 d=0,9或DO 10,d=0,9 __16__l-m.eq.n或(l-m).eq.n__17__a6.411 (10)__18__mod(a(k),2) __19__p(m)=A(K)__20__k=1,M-1模板,内容仅供参考。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n ∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T=--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 【答】31 【详解1】 302020tan lim tan tan lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020cos sin lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x xdu u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202sin sin x du u dxd x ==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ.故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填x xe x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.(4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλ n n n A E λλλ 0000111)(---=n故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。

中科院计算机技术研究所1998年硕士生入学试题离散数学1.（10分）证明：若（A-B）U（B-A）=C，则A包含于（B-C）U（C-B）的充要条件是A交B交C=空。

2.（12分）找出只有6个元素的所有不同构的群。

3.（14分）R1和R2为X上的两个关系，且R1*R2=Ix（恒同关系）（1）若X为有限集合，证明：存在X上双射F1和F2，使得F1*F2=Ix且aR1b〈==〉b=F1（a），cR2d〈==〉d=F2（c）。

（2）若X为无限集合，举例说明（1）的结论不成立。

4.（10分）令A分别为下列各式：（1）（（p－＞q）＜－＞（v否p并q））并（p交r交否p）（2）（p并q －＞q并r) ->(q->r)（3）p<->p交(q并否q并r)（4）(p->否q)交(r并q)（5）否p<->(p交(p并q))从下列备选答案中选择正确的答案:(1)A是重言式(2)否A是重言式(3)A和否A都不是重言式.5.(8分)求公式否((p->否q)->r)的主析取范式和主合取范式.6(12分)将命题"并非E1中的每个数都小于或等于E2中的每个数"按以下要求的形式表达出来:(1)出现全称量词,不出现存在量词;(2)出现存在量词,不出现全称量词.7.(14分)(1)写出下图的关联矩阵和邻接矩阵;(2)说明如何从关联矩阵中判断一结点为割点,一边为割边.8.(10分)若图G的着色数(或称做顶色数)x(G)=k,则G 中至少有k(k-1)/2 条边.9.(10分)证明:一连通图的任两条最长通路(也称轨)有公共交点.答案略.。