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平面向量知识点总结及训练题第五章平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小、双重性，不能比较大小。

2.向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB。

坐标表示法：a=xi+yj=(x,y)3.向量的模：向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。

4.特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作0，方向是任意的。

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。

5.相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作-a。

6.相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

向量a与b相等，记作a=b。

7.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a//b。

平行向量也称共线向量。

规定零向量与任意向量平行。

8.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(≤θ≤π)叫a与b的夹角。

说明：1）当θ=0时，a与b同向；2）当θ=π时，a与b反向；3）当θ=π/2时，a与b垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。

4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤θ≤180.9.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：Ⅰ）λa=λ|a|；Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的。

10.两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b=|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积）。

规定·a=bcosθ=|b|cosθ为向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b|；当θ=180°时投影为-|b|。

平面向量一.向量的基本概念与基本运算1①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x2121y y x x2求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x3及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影为射影3a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积42||a a a a r r r r52222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r7已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r. （5）若AB CD u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r共线. （8）若ma mb r r ，则a b r r.（9）若ma na r r，则m n .（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r，则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r ，AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a r，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和2.已知(3,4)a r ，能与a r构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA u u u r ，150xOA o，求OA u u u r 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA u u u r ，60xOA o，求OA u u u r 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）a b r r ，（2）()a a b r r r ， （3）1()2a b b r r r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b r r ，（3）(2)a a b rr r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b r r，12a b r r ，求a r 与b r 的夹角.2.已知(2)a b r r，求a r 与b r 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC . 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）||a b r r ，（2）|23|a b r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b r r ，（6）1||2a b rr .3.已知||1||2a b r r ，，|32|3a b r r ，求|3|a b r r .题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||ae a rr r 】1.与(12,5)a r平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2m r平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）//a b r r ？（2）a b r r ？2.已知(1,2)a r，(3,2)b r ，（1）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r平行？3.已知a r 是非零向量，a b a c r r r r ，且b c r r ，求证：()a b c r rr .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设5),28,3()2AB a b BC a b CD a bu u u r rr u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a 在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC u u u r u u u r u u u r成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e u u u r r ，5CD e u u u r r ，且||||AD BC u u u r u u u r,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r,求证：ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a r，(2,1)b r ，当k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 平行？2.已知a r，且a b r r ，||2b r ，求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向，(1,2)b r，则10a b r r ，求a r 的坐标.3.已知(1,2)a r ，(3,1)b r ，(5,4)c r，则c r a r b r .4.已知(5,10)a r ，(3,4)b r ，(5,0)c r，请将用向量,a b r r 表示向量c r .5.已知(,3)a m r，(2,1)b r ，（1）若a r 与b r 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a r 与b r的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）a r 与b r 的夹角为钝角？（2）a r 与br 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD ，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC u u u r u u u r，求c 的值；（2）若5c ，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ，求||a b r r 和向量,a b r r的夹角.2.已知x a b r r r ，2y a b u r r r ，且||||1a b r r ，a b r r ，求,x y r u r的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b r r ，则(32)(25)a b a b r r r r.4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r，求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r，a b r r 与的夹角 为锐角，求 的范围.11 变式：若(,2),(3,5)a b r r ，a b r r 与的夹角 为钝角，求 的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r ，则c r （ ） A.1322a b r r B.1322a b r r C.3122a b r r D.3122a b r r 2.排除法例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB u u u r 共线的是（ ）A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u rB.3AM AC u u u u r u u u rC.AB BC AC u u u r u u u r u u u rD.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r。

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作： AB 或a 。

42. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

4 ・3. 单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则|e|=1。

II444. 零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB =-BA 。

9. 平行四边形法则：以a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ，a - b 。

10. 共线定理：a - b 二 a / /b 。

当二0 时，a 与b 同向；当.0 时，a 与b 反向。

11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a = （x, y ），则 | a| = x 2 y 2， a =| aa b13. 数量积与夹角公式： a b =| a | | b | co^ ； COST|a||b|14. 平行与垂直： a//b= a = ■ b= %y 2 = x 2y 1 ； a _ a b = 0= %x 2 y )y 2 = 0 题型1.基本概念判断正误（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是（5）若AB =CD ，则A B 、C 、D 四点构成平行四边形。

AB BC =AC ； AB BC CD DE =AE ； AB - AC =CB （指向被减数）8.三角形法则:(7)若ma = mb，贝U a = b。

（6）若a与b共线，b与C共线，则a与C共线。

更多精品文档题型2.向量的加减运算 1.设a 表示"向东走8km" , b 表示"向北走 6km ” ,则| a ■ b |= 2•化简(AB MB) (BO BC) OM3.已知I OAI = 5 , |OB I = 3,则I AB I 的最大值和最小值分别为35.已知点C 在线段AB 上，且AC AB ,则AC 二—BC , AB =5—题型3.向量的数乘运算1.计算：2(2； 5【-3(?) 1斗2.已知 a = (1, -4), b 二(-3,8)，则 3a -一 b 二2题型4根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量忑兀表示AD 。

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。

它是由起点和终点确定的有向线段。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。

二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。

例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。

2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。

（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。

1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。

3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。

4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。

它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。

四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。

2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。

也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。

3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。

2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。

第二章 平面向量知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a；坐标表示法,(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a xi yj =+ ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积/wxc/" 两个向量的数量积：已知两个非零向量4 a 与4 b ，它们的夹角为θ，则4 a ·4 b =︱4 a︱·︱4 b︱cos θ叫做 4 a与 4 b 的数量积（或内积）/wxc/" 规定00a ⋅=/wxc/"/wxc/" 向量的投影：︱4 b ︱cos θ=4 ||a ba ⋅ ∈R ，称为向量 4b 在 4 a方向上的投影/wxc/" 投影的绝对值称为射影/wxc/"/wxc/" 数量积的几何意义： 4 a ·4 b 等于 4 a的长度与4b 在4 a方向上的投影的乘积/wxc/"/wxc/" 向量的模与平方的关系： 4 22||a a a a ⋅==/wxc/"/wxc/" 乘法公式成立： ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ；()2222a b a a b b±=±⋅+ 222a a b b =±⋅+/wxc/" 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能b c =⋅（3）a b ⋅=0不能4 a =0或4 b =0 /wxc/"/wxc/" 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 4 1122(,),(,)a x y b x y ==，则4 a·4 b =41212x x y y +/wxc/"/wxc/" 向量的夹角：已知两个非零向量4 a与4 b ，作OA =4a , OB =4b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量 4 a 与 4 b 的夹角/wxc/"cos θ=cos ,a ba b a b ∙<>=∙ =222221212121y x y x y y x x +⋅++/wxc/"当且仅当两个非零向量4 a 与4 b 同方向时，θ=00，当且仅当4 a 与4 b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题/wxc/"/wxc/" 垂直：如果4 a 与4 b 的夹角为900则称4 a 与4 b垂直，记作4 a⊥4 b /wxc/"/wxc/" 两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x巩固练习例1 给出下列命题：① 若|4 a |＝|4 b |，则4 a=4 b ；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则4 AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若4 a =4 b ，4 b =4 c ，则4 a =4 c，④4 a =4 b 的充要条件是|4 a |=|4 b |且4 a//4 b ； ⑤ 若4 a //4 b ，4 b //4 c ，则4 a //4 c， 其中正确的序号是 /wxc/" 例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD ++ ，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-例3设非零向量4 a 、4 b 不共线，4 c =k 4 a +4 b ，4 d =4 a+k 4 b (k ∈R)，若4 c∥4 d ，试求k /wxc/"例4 已知向量4 (1,2),(,1),2a b x u a b ===+，4 2v a b =- ，且4 //u v ，求实数4 x 的值/wxc/"例5已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （4 O 为坐标原点）交点P 的坐标/wxc/"例6已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a bd b a =-=- ，试求c 与d的夹角/wxc/"例7 已知()4,3a = ，()1,2b =- ，,m a b λ=-2n a b =+ ，按下列条件求实数λ的值/wxc/"（1）m n ⊥ ；（2）//m n；(3)m n =例8已知4||=，2||=，且与夹角为120°求ED Equation.3 )()2(+∙-； ED Equation.3 |2|-； ED Equation.3与+的夹角。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳单选题1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc = A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A分析：利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 详解：由已知及正弦定理可得a 2−b 2=4c 2，由余弦定理推论可得 −14=cosA =b 2+c 2−a 22bc , ∴c 2−4c 22bc=−14 , ∴3c 2b =14 , ∴b c =32×4=6，故选A ．小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．2、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0， 解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.3、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑，CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C.4、在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =（ ） A ．1B ．√2C ．√5D ．3 答案：D分析：利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 设AB =c,AC =b,BC =a ，结合余弦定理：b 2=a 2+c 2−2accosB 可得：19=a 2+4−2×a ×c ×cos120∘， 即：a 2+2a −15=0，解得：a =3（a =−5舍去）， 故BC =3. 故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．5、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A．表高×表距表目距的差+表高B．表高×表距表目距的差−表高C．表高×表距表目距的差+表距D．表高×表距表目距的差−表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EHAH,FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DE AB =EHAH=CGAC=CG−EHAC−AH=CG−EHCH，而CH=CE−EH=CG−EH+EG，即AB=CG−EH+EGCG−EH ×DE=EG×DECG−EH+DE＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．6、已知向量a⃑=(−1,m)，b⃑⃑=(2,4)，若a⃑与b⃑⃑共线，则m=（）A．−1B．1C．−2D．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m=−4，即m=−2.故选：C7、在正方形ABCD 中，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑. 故选：C.8、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，则|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑， 所以a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，所以|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2 故选：B9、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ） （1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b ⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4） 答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果. 已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a⃗⋅c⃗=b⃑⃗⋅c⃗，则(a⃗−b⃑⃗)⋅c⃗=0，所以a⃗=b⃑⃗或(a⃗−b⃑⃗)⊥c⃗，即（1）错；（2）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗|+|b⃑⃗|，则a⃗与b⃑⃗同向，所以a⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗−b⃑⃗|，则|a⃗|2+|b⃑⃗|2+2a⃗⋅b⃑⃗=|a⃗|2+|b⃑⃗|2−2a⃗⋅b⃑⃗，所以2a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a⃗+b⃑⃗)⋅(a⃗−b⃑⃗)=0，则|a⃗|2−|b⃑⃗|2=0，所以|a⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.10、已知不共线的平面向量a⃗,b⃑⃗,c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1,|b⃑⃗|=4,|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，则|c⃗|=（）A．√2B．2C．3D．2或3答案：D分析：先求出θ=2π3，转化|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√(a⃗+b⃑⃗+c⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a⃗，b⃑⃑，c⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c⃑|=m.因为|a⃗|=1，|b⃑⃗|=4，|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，所以|a⃗+b⃑⃗+c⃗|2=7，即a⃗2+2a⃗⋅b⃑⃗+b⃑⃗2+2b⃑⃗⋅c⃗+2a⃗⋅c⃗+c⃗2=7，所以12+2×1×4cos2π3+42+2×4×mcos2π3+2×1×mcos2π3+m2=7即m2−5m+6=0，解得：m=2或3.所以|c⃑|=2或3故选：D填空题11、已知向量a⃑=(3,1),b⃑⃑=(1,0),c⃑=a⃑+kb⃑⃑．若a⃑⊥c⃑，则k=________．答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值∵a ⃗=(3,1),b ⃑⃗=(1,0),∴c ⃗=a ⃗+kb ⃑⃗=(3+k,1), ∵a ⃗⊥c ⃗,∴a ⃗⋅c ⃗=3(3+k )+1×1=0，解得k =−103, 所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p ⃗=(x 1,y 1),q ⃗=(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0.12、若向量a →=(1，1)与向量b →=(1，x )的夹角为锐角，则x 的取值范围是___________. 答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：设向量a →与向量b →的夹角为θ，由cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2,.设向量a →与向量b →的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2因为夹角为锐角， 所以0<cos θ<1，即 0<√2×√1+x 2<1，所以x >−1 且(1+x)2<2(1+x 2), 解得 −1<x <1 或 x >1， 所以答案是：(−1,1)∪(1,+∞)13、已知向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为120°，|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=1，若(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，可得(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案 解：因为向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为120°，|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=1，且(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)， 所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b ⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1， 所以答案是：−114、已知点A (3,−4)与B (−1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则点P 的坐标为________． 答案：(1,−1)分析：根据模长相等关系可确定P 为线段AB 中点，由中点坐标公式计算得到结果. ∵P 在直线AB 上，且|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，∴P 为线段AB 中点， 又A (3,−4)，B (−1,2)，∴P (1,−1). 所以答案是：(1,−1).15、已知|b ⃑⃑|=3，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则a ⃑·b ⃑⃑＝____________. 答案：18解析：由题意向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，分析可得|a ⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|，代入公式，即可得答案. 因为向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则可得|a ⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|， 所以a ⃑·b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|·|b ⃑⃑|=2|b ⃑⃑|2=18， 所以答案是：18.小提示：本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题. 解答题16、已知函数f (x )=2cosxsin (x +π6).（1）求f (x )的最小正周期及f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值（2）在锐角△ABC 中，f （A 2）=32，且a =√3，求b +c 取值范围.答案：（1）最小正周期为π，最大值32；（2）(3,2√3].分析：（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案； （2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.（1）f(x)=2cosx ⋅(sinx ⋅√32+cosx ⋅12) =√32sin2x +1+cos2x2=sin(2x +π6)+12，所以f (x )的最小正周期为π.因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3于是，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值32（2）在△ABC 中，A +B +C =πf(A2)=sin(A +π6)+12=32，∴sin(A +π6)=1，A ∈(0,π2),∴A +π6∈(π6,23π)，∴A +π6=π2,∴A =π3.由正弦定理asinA=b sinB=c sinC=2，∴b =2sinB,c =2sinC ，∴b +c =2sinB +2sinC =2sinB +2sin (A +B )=2sinB +2sin (π3+B)=2sinB +√3cosB +sinB =3sinB +√3cosB =2√3sin(B +π6)，∵{0<B <π20<C <π2⇒{0<B <π20<23π−B <π2⇒π6<B <π2，∴B +π6∈(π3,2π3)，∴sin(B +π6)∈(√32,1]， ∴b +c =2√3sin(B +π6)∈(3,2√3].17、平面内给定三个向量a ⃗=(3,2)，b ⃑⃗=(−1,2)，c ⃗=(4,1). （1）求满足a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗的实数m ，n ； （2）若(a ⃗+kc ⃗)//(2b ⃑⃗−a ⃗)，求实数k 的值. 答案：（1）m =59，n =−89；（2）k =−1613.分析：（1）依题意求出mb ⃑⃗−nc ⃗的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可； （2）首先求出a ⃗+kc ⃗与2b ⃑⃗−a ⃗的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； 解：（1）因为a ⃗=(3,2)，b ⃑⃗=(−1,2)，c ⃗=(4,1)，且a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗ (3，2)=a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗=m(−1，2)−n(4，1)=(−m −4n ，2m −n).∴ {−m −4n =32m −n =2，解得m =59，n =−89.（2）a ⃗+kc ⃗=(3，2)+k(4，1)=(3+4k ，2+k). 2b ⃑⃗−a ⃗=2(−1，2)−(3，2)=(−5，2). ∴−5(2+k)−2(3+4k)=0，解得k =−1613.18、如图，已知ΔABC 中，D 为BC 的中点，AE =12EC ，AD ，BE 交于点F ，设AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑．（1）用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑； （2）若AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，求实数t 的值． 答案：（1）AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2b ⃑⃑−a ⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−43a ⃑+2b⃑⃑；（2）t =12． 解析：（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑； （2）用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值. （1）由题意，D 为BC 的中点，AE =12EC ，可得AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑． ∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2b ⃑⃑−a ⃑， ∴EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑–AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2b ⃑⃑−a ⃑−13a ⃑=−43a ⃑+2b⃑⃑ （2）∵AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tb ⃑⃑， ∴FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑–AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a ⃑+(2−t )b⃑⃑∵EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−43a ⃑+2b ⃑⃑，FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线， 由平面向量共线基本定理可知满足−1−43=2−t 2，解得t =12．小提示：本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =√6,b =2c,cosA =−14. (1)求c 的值； (2)求sinB 的值； (3)求sin(2A −B)的值. 答案：(1)c =1(2)sinB =√104(3)sin(2A −B)=√108分析：（1）根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 以及b =2c 解方程组即可求出； （2）由（1）可求出b =2，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．（1）因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即6=b 2+c 2+12bc ，而b =2c ，代入得6=4c 2+c 2+c 2，解得：c =1． （2）由（1）可求出b =2，而0<A <π，所以sinA =√1−cos 2A =√154，又a sinA=b sinB ，所以sinB =bsinA a=2×√154√6=√104． （3）因为cosA =−14，所以π2<A <π，故0<B <π2，又sinA =√1−cos 2A =√154， 所以sin2A =2sinAcosA =2×(−14)×√154=−√158，cos2A =2cos 2A −1=2×116−1=−78，而sinB =√104，所以cosB =√1−sin 2B =√64， 故sin(2A −B)=sin2AcosB −cos2AsinB =(−√158)×√64+78×√104=√108．。

平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线（平行）的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、（1）判断下列命题是否正确：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。

平面向量的概念、线性运算及坐标运算【知识网络】【考点梳理】 考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB u u u r表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB u u u r的长度|AB |uuu r 又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a r 长度相等，方向相反的向量叫做a r的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB u u u r 与BA u u u r表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |uuu r 表示，|AB ||BA |=u u u r u u u r.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），向量AD u u u r 与AB u u u r的和为AC uuu r ,记作:AD AB AC +=u u u r u u u r u u u r .（起点相同）平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =u u u r u u u r ，即在ΔADC 中，AD DC AC +=u u u r u u u r u u u r.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量AB u u u r 的和等于AB u u u r.3. 向量的减法向量AB u u u r 与向量BA u u u r 叫做相反向量.记作:AB BA =-u u u r u u u r . 则AB CD AB DC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r .要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量r a 的积是一个向量,记作λra ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ⋅r ra a ；（2）当λ>0时，λr a 的方向与r a 的方向相同；当λ<0时，λr a 的方向与r a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=r r a ；2．运算律设λ，μ为实数，则（1）()()λμ=λμr ra a ； （2）()λ+μ=λ+μr r ra a a ； （3）()λ+=λ+λr r r ra b a b3．向量共线的充要条件已知向量r a 、r b 是两个非零共线向量，即//r r a b ，则r a 与rb 的方向相同或相反. 向量(0)≠r r ra a 与rb 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λr r b a .要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=r r a ；当0=r r a 时，也有0λ=r ra ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i r ，j r为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量r a 表示成x y =+r r ra i j 的形式，由于r a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量r a 的坐标表示.2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=rb ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±r ra b （2）11(x ,y )λ=λλra3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，则1221//x y x y 0⇔-=r r a b （0→≠r b ）要点诠释：①若11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，则//r r a b 的充要条件不能表示成1122x yx y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//r ra b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=rb ，则//r r a b 的充要条件是=λr r b a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量r a 与非零向量r b 共线，向量r b 与非零向量r c 共线，则向量r a 与向量rc 共线；② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③ 向量r a 与r b 不共线，则r a 与rb 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB u u u r 与CD uuur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。