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格密码学课程六

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现代密码学杨波课后习题讲解

现代密码学杨波课后习题讲解

选择两个不同的大素数p和q， 计算n=p*q和φ(n)=(p-1)*(q-1)。 选择整数e，使得1<e<φ(n)且e 与φ(n)互质。计算d，使得 d*e≡1(mod φ(n))。公钥为 (n,e)，私钥为(n,d)。
将明文信息M（M<n）加密为 密文C，加密公式为 C=M^e(mod n)。
将密文C解密为明文信息M，解 密公式为M=C^d(mod n)。
课程特点
杨波教授的现代密码学课程系统介绍了密码学的基本原 理、核心算法和最新进展。课程注重理论与实践相结合， 通过大量的案例分析和编程实践，帮助学生深入理解和 掌握密码学的精髓。
课后习题的目的与意义
01 巩固课堂知识
课后习题是对课堂知识的有效补充和延伸，通过 解题可以帮助学生加深对课堂内容的理解和记忆。
不要重复使用密码
避免在多个账户或应用中使用相同的密码， 以减少被攻击的风险。
注意网络钓鱼和诈骗邮件
数字签名与认证技术习题讲
05
解
数字签名基本概念和原理
数字签名的定义
数字签名的应用场景
数字签名是一种用于验证数字文档或 电子交易真实性和完整性的加密技术。
电子商务、电子政务、电子合同、软 件分发等。
数字签名的基本原理
利用公钥密码学中的私钥对消息进行签 名，公钥用于验证签名的正确性。签名 过程具有不可抵赖性和不可伪造性。
Diffie-Hellman密钥交换协议分析
Diffie-Hellman密钥交换协议的原理
该协议利用数学上的离散对数问题，使得两个通信双方可以在不安全的通信通道上协商出一个共 享的密钥。
Diffie-Hellman密钥交换协议的安全性
该协议在理论上被证明是安全的，可以抵抗被动攻击和中间人攻击。

密码破译教案设计——小学四年级数学课《推理格子密码》

密码破译教案设计——小学四年级数学课《推理格子密码》

密码破译教案设计——小学四年级数学课《推理格子密码》引言密码在我们日常生活中扮演着重要的角色，以确保我们的个人信息和财产的安全。

密码学是一个古老而优雅的学科，涉及加密和解密技术。

通过数学推理，我们可以破译复杂的密码。

在小学四年级数学课上，教学内容特别注重数学推理能力的培养。

为此，我们设计了一节推理格子密码的课程，以帮助学生更好的理解密码学。

一、课程目标本节课的主要目标是：让学生了解密码学的基本原理，了解密码的基本构成、特点和类型，掌握基本的密码破译技巧。

二、教学准备教学工具：黑板、彩色粉笔、白纸、彩笔。

教学材料：推理格子密码题目（见附录）。

三、教学内容1.密码学介绍教师引入密码学的基本概念，阐释密码学在我们日常生活中的重要性，介绍一些密码学的基本原理和术语。

2.密码的构成和特点教师介绍密码的基本构成，即明文、密文和密钥，以及密码的特点，包括保密性、不可逆性和鉴别性。

3.推理格子密码教师引入推理格子密码，让学生了解并尝试破译该密码。

（1）教师将推理格子密码题目投影到黑板上，并让学生观察和分析该密码。

（2）教师让学生通过简单的推理和计算方法，破解推理格子密码。

（3）教师引导学生思考推理格子密码的特点，同时加深他们对密码破译方法的理解。

4.小结教师总结本节课讲解的内容和重点，强调密码破译技巧的重要性，并鼓励学生在以后的学习和生活中灵活运用所学的密码破译技巧。

四、教学方式本课程采用讲解与实践相结合的方式，教师在授课的同时，也将学生引导到实际操作中，通过推理和计算来破译密码。

这样，既保障了教学效果的着重，也使得教学内容更加生动有趣。

五、教学评估学生在课堂上表现积极，能够积极地参与讨论和实践操作。

教师可以通过观察学生的课堂表现和完成的题目，来评估他们的掌握情况和理解程度。

同时，教师也应该重视学生对所学内容的反馈和意见。

六、拓展延伸教师可以鼓励学生自行寻找其他推理格子密码的题目，并在课堂上共同解析破译方法。

同时，教师也可以探讨其他类型的密码及其破译方法，进一步加深学生对密码学的理解。

lattice cryptography基础——格密码学前置知识

lattice cryptography基础——格密码学前置知识

lattice cryptography基础——格密码学前置知识
格密码学（Lattice Cryptography）是一种基于数学格的加密方法，其安全性依赖于数学格的困难问题。

在了解格密码学之前，需要掌握以下前置知识：
1.线性代数：格密码学的基础是数学格，而数学格是线性代数
中的一个重要概念。

因此，了解向量、矩阵、线性方程组等基本概念对于理解格密码学至关重要。

2.抽象代数：格密码学涉及到的加密算法通常基于抽象代数中
的群、环、域等概念。

掌握这些概念有助于理解格密码学的原理。

3.密码学基本概念：了解密码学的基本概念，如明文、密文、
加密算法、解密算法、密钥等，有助于理解格密码学的应用场景。

4.数值计算方法：在实际应用中，格密码学涉及到的计算问题
通常需要借助数值计算方法。

例如，求解格中最短向量等问题。

5.随机化算法：格密码学中的加密和解密算法通常涉及到随机
化过程。

了解随机化算法的基本原理有助于理解这些算法的性能。


当掌握了以上前置知识后，就可以进一步学习格密码学的具体算法和应用。

六位密码控制课程设计

六位密码控制课程设计

六位密码控制 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解六位密码的基本概念，掌握密码的组成元素和编码规则。

2. 学生能够运用六位密码进行信息的加密和解密，理解加密技术在日常生活中的应用。

3. 学生了解密码学的基本原理，认识到密码在信息安全中的重要性。

技能目标：1. 学生能够运用所学的六位密码知识，独立进行简单的信息加密和解密操作。

2. 学生能够通过小组合作，解决与密码相关的问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够运用密码学知识，设计出具有一定安全性的六位密码。

情感态度价值观目标：1. 学生对密码学产生兴趣，认识到学习密码学的实用价值，激发进一步学习的欲望。

2. 学生在小组合作中，学会尊重他人意见，培养团队协作精神和沟通能力。

3. 学生通过学习六位密码，增强信息安全意识，树立正确的网络道德观念。

课程性质：本课程为信息技术学科的一节实践性课程，旨在让学生通过实际操作，掌握六位密码的相关知识。

学生特点：六年级学生具有一定的信息技术基础，好奇心强，喜欢动手实践，善于合作。

教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，以任务驱动法引导学生自主探究，小组合作完成任务，培养学生的实践能力和团队协作精神。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际生活，提高信息安全意识。

二、教学内容1. 密码学基础知识介绍：密码的概念、组成元素、编码规则。

2. 六位密码的构成：数字、字母、特殊字符的组合方式及其在密码中的应用。

3. 加密与解密技术：介绍对称加密和非对称加密的基本原理，以六位密码为例进行讲解。

4. 密码破译与防护策略：分析常见的密码破译方法，提出六位密码的防护措施。

5. 实践操作：指导学生运用所学知识，设计并实现一个六位密码控制系统。

6. 信息安全意识培养：结合实例，让学生了解信息安全的重要性，树立正确的网络道德观念。

教材章节关联：1. 《信息技术》六年级上册：第三章“网络与信息安全”中的第三节“密码与信息安全”。

密码学专业主干课程

密码学专业主干课程

密码学专业主干课程摘要：一、引言二、密码学概述1.密码学定义2.密码学发展历程三、密码学专业主干课程1.密码学基础课程2.密码学进阶课程3.密码学应用课程四、课程举例与介绍1.密码学基础课程举例与介绍2.密码学进阶课程举例与介绍3.密码学应用课程举例与介绍五、结论正文：【引言】密码学是一门研究信息加密与解密、保证信息安全的学科，随着信息化时代的到来，密码学在信息安全、电子商务等领域具有重要的应用价值。

密码学专业因此应运而生，培养具备密码学理论基础和实践能力的高级人才。

本文将介绍密码学专业的主干课程，以帮助大家了解该专业的学习内容。

【密码学概述】密码学是研究加密与解密方法、破译与防护手段的一门学科。

其发展历程可追溯到古代的密码传递，如古希腊的斯巴达加密法。

随着科技的发展，现代密码学涉及到数字、编码、序列、图像等多个领域。

【密码学专业主干课程】密码学专业主干课程可以分为三类：密码学基础课程、密码学进阶课程和密码学应用课程。

【密码学基础课程】密码学基础课程主要包括：1.数学基础：高等数学、线性代数、概率论与数理统计等。

2.计算机科学基础：计算机原理、数据结构、算法分析等。

3.密码学基础：密码学原理、对称加密、非对称加密、哈希函数等。

【密码学进阶课程】密码学进阶课程主要包括：1.密码学分支：分组密码、序列密码、公钥密码、量子密码等。

2.安全协议：身份认证、加密协议、签名协议等。

3.密码学理论：信息论、复杂度理论、密码学数学基础等。

【密码学应用课程】密码学应用课程主要包括：1.网络安全：网络攻防、入侵检测、安全体系结构等。

2.应用密码学：数字签名、电子商务、移动通信安全等。

3.密码学实践：密码学实验、密码算法实现、安全系统设计等。

【课程举例与介绍】【密码学基础课程举例与介绍】1.高等数学：为密码学提供必要的数学基础，如代数、微积分等。

2.密码学原理：介绍密码学基本概念、加密解密方法等。

【密码学进阶课程举例与介绍】1.分组密码：研究将明文分成固定长度组进行加密的方法。

密码学课程设计信息安全

密码学课程设计信息安全

密码学课程设计信息安全一、教学目标本课程旨在通过学习密码学的基本原理和技术，使学生了解信息安全的重要性，掌握密码学的基本概念、加密算法、解密算法和密码协议，培养学生运用密码学知识分析和解决信息安全问题的能力。

1.了解密码学的基本概念和分类；2.掌握常见的加密算法（如DES、RSA等）和密码协议（如SSL/TLS等）；3.了解密码学在信息安全领域的应用。

4.能够使用密码学算法进行数据加密和解密；5.能够分析和评估密码协议的安全性；6.能够运用密码学知识解决实际的信息安全问题。

情感态度价值观目标：1.增强学生对信息安全的意识，认识到密码学在保护信息安全中的重要性；2.培养学生对密码学研究的兴趣，激发学生探索和创新的精神；3.培养学生遵守信息安全法律法规，具有良好的道德品质和职业操守。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括密码学的基本概念、加密算法、解密算法和密码协议。

具体安排如下：1.密码学的基本概念：密码学的发展历程、密码体制、加密与解密的基本原理；2.加密算法：对称加密算法（如DES、AES等）、非对称加密算法（如RSA、ECC等）；3.解密算法：解密算法的基本原理和实现方法；4.密码协议：SSL/TLS协议、Kerberos协议等；5.密码学在信息安全领域的应用：数字签名、身份认证、数据完整性保护等。

三、教学方法本课程采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性，提高学生的实践能力。

具体方法如下：1.讲授法：通过讲解密码学的基本概念、原理和算法，使学生掌握密码学的基本知识；2.案例分析法：分析实际的信息安全案例，使学生了解密码学在实际应用中的作用；3.实验法：通过实验操作，让学生亲自体验密码学算法的加密和解密过程，提高学生的实践能力；4.讨论法：学生进行分组讨论，促进学生之间的交流与合作，培养学生的创新思维。

四、教学资源本课程的教学资源包括教材、参考书、多媒体资料和实验设备。

具体资源如下：1.教材：选用权威、实用的密码学教材，如《密码学导论》、《信息安全密码学》等；2.参考书：提供相关的密码学参考书籍，如《密码学手册》、《现代密码学》等；3.多媒体资料：制作精美的教学PPT，提供相关的视频教程、动画演示等；4.实验设备：配置相应的实验设备，如计算机、网络设备等，以支持实验教学的开展。

《密码学》教学大纲

《密码学》教学大纲一、课程概述《密码学》是计算机科学、信息安全、数学等领域的一门综合性学科，涵盖了密码编码学、密码分析学、密钥管理等方面的知识。

本课程旨在让学生全面了解密码学的基本原理、方法和技术，掌握密码学在信息安全中的应用，并提高学生的密码学实践能力和创新思维。

二、课程目标1、理解密码学的基本概念、原理和数学基础知识，掌握密码编码学和密码分析学的基本方法。

2、掌握对称密码、非对称密码、哈希函数等常见密码体制的特点和实现原理，了解数字签名、消息认证码等应用密码学技术。

3、熟悉密码学在网络安全、数据保护等领域的应用，了解密码学的发展趋势和前沿技术。

4、培养学生的创新思维和实践能力，让学生能够根据实际需求设计和实现简单的密码学方案。

三、课程内容第一章密码学概述1、密码学的定义和历史发展2、密码学的应用领域和重要性3、密码学的分类和基本概念第二章密码编码学基础1、对称密码体制和非对称密码体制的特点和原理2、哈希函数和数字签名的概念和应用3、加密算法的设计原则和评估指标第三章对称密码体制1、数据加密标准（DES）的原理和应用2、国际数据加密算法（IDEA）的原理和应用3、分组密码和流密码的特点和实现方法第四章非对称密码体制1、RSA算法的原理和应用2、ElGamal算法和Diffie-Hellman密钥交换的原理和应用3、椭圆曲线密码学的原理和应用第五章哈希函数和数字签名1、SHA-1、SHA-256等常见哈希函数的原理和应用2、RSA数字签名算法的原理和应用3、其他数字签名方案的原理和应用，如DSA、ECDSA等第六章应用密码学技术1、数字证书和PKI系统的原理和应用2、消息认证码（MACs）和完整性校验算法的原理和应用3、零知识证明和身份基加密方案的概念和应用第七章密码分析学基础1、密码分析学的定义和重要性2、密码分析的基本方法和技巧，如统计分析、频率分析、差分分析等3、对称密码分析和非对称密码分析的特点和难点第八章密码管理基础1、密钥管理的概念和原则，如密钥生成、分发、存储、使用和销毁等2、密钥管理技术在企业和个人中的应用，如公钥基础设施（PKI）、加密磁盘等3、密码政策和安全意识教育的重要性。

51电子密码锁课程设计

51电子密码锁课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解电子密码锁的基本原理，掌握相关电子元件的功能与连接方式；2. 学会编写简单的程序控制51单片机实现密码锁功能；3. 了解信息安全的基本概念，认识到密码学在电子密码锁中的应用。

技能目标：1. 能够独立设计并搭建一个51电子密码锁电路；2. 掌握51单片机的编程技巧，通过实践操作完成密码锁程序的编写；3. 学会运用所学知识解决实际问题，具备一定的创新能力和动手能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对于电子技术、编程技术和信息安全的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队协作意识，提高沟通与交流能力；3. 增强学生的信息安全意识，培养良好的信息安全素养。

本课程针对中学生设计，结合学生特点，注重实践操作和创新能力培养。

课程内容与教材紧密关联，旨在帮助学生掌握电子密码锁相关知识，提高实际操作能力，同时培养情感态度价值观，为学生的全面发展奠定基础。

后续教学设计和评估将围绕课程目标进行，确保教学效果。

二、教学内容1. 电子密码锁基本原理：介绍电子密码锁的工作原理，分析锁体结构、密码输入与处理过程；- 教材章节：第二章 电子技术与传感器2. 51单片机及其外围电路：学习51单片机的结构、功能及应用，掌握相关外围电路的连接方法；- 教材章节：第三章 单片机原理与应用3. 编程控制51单片机：学习51单片机的编程语言和编程技巧，编写实现密码锁功能的程序；- 教材章节：第四章 单片机编程与控制4. 电子密码锁电路设计与搭建：根据原理图，设计并搭建51电子密码锁电路；- 教材章节：第五章 电子电路设计与实践5. 信息安全与密码学：介绍信息安全的基本概念，学习密码学在电子密码锁中的应用；- 教材章节：第六章 信息安全与密码学6. 实践操作与创新能力培养：通过实践操作，巩固所学知识，培养学生的创新能力和动手能力；- 教材章节：实践活动教学内容安排和进度：第1周：电子密码锁基本原理学习；第2周：51单片机及其外围电路学习；第3周：编程控制51单片机；第4周：电子密码锁电路设计与搭建；第5周：信息安全与密码学；第6周：实践操作与创新能力培养。

6位密码锁课程设计

6位密码锁课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解密码锁的基本原理，掌握6位密码锁的构造和功能。

2. 学生能够运用数学逻辑思维，分析密码的组合方式和可能性。

3. 学生能够运用所学知识，解释日常生活中类似密码锁的加密技术应用。

技能目标：1. 学生能够运用逻辑推理和数学方法，设计出具有较高安全性的6位密码锁。

2. 学生能够运用所学知识，解决与密码锁相关的实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够通过小组合作，进行有效沟通与协作，共同完成密码锁的设计与验证。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对密码学及信息安全领域的兴趣，激发学生的求知欲和探索精神。

2. 培养学生严谨、细心的学习态度，提高学生对安全意识的认识。

3. 培养学生团队协作精神，学会尊重他人意见，共同为达成目标而努力。

本课程针对六年级学生的认知特点，以实际生活中的密码锁为载体，结合数学和逻辑思维，引导学生掌握密码锁的基本原理和设计方法。

课程注重培养学生的实践能力和创新意识，同时强化学生的安全意识，提升综合素质。

通过本课程的学习，学生能够将所学知识应用于实际生活，为未来的学习和发展奠定基础。

二、教学内容1. 密码锁原理介绍：讲解密码锁的基本工作原理，包括密码的设置、存储和比对过程。

- 教材章节：第三章《数据的表示与加密》- 内容列举：数字编码、加密算法初步介绍2. 6位密码锁设计：分析6位密码的组合方式和可能性，探讨如何设计出安全性高的密码。

- 教材章节：第四章《简单的加密技术》- 内容列举：排列组合、概率统计在密码设计中的应用3. 实践操作：分组进行密码锁设计实践，让学生亲身体验设计过程，提高实际操作能力。

- 教材章节：第五章《实践活动》- 内容列举：动手制作简易密码锁、分析密码锁的破解方法4. 密码锁应用与拓展：介绍密码锁在现实生活中的应用，激发学生学习兴趣，拓展知识面。

- 教材章节：第六章《密码学在日常生活中的应用》- 内容列举：密码锁在银行、手机等领域的应用案例教学内容按照上述安排，注重理论与实践相结合，逐步引导学生掌握密码锁相关知识。

密码学专业主干课程

密码学专业主干课程一、主干课程该专业的专业主干课程，以西安电子科技大学为例，主要课程有计算机导论与程序设计、密码工程与应用导论、数据结构与算法分析、数字电路与逻辑设计、密码学数学基础、信号与系统、计算机网络、现代密码学、对称密码理论、公钥密码理论、信息论基础、密码协议、密码分析、密码测评与管理、密码研究（应用）新进展等。

实验课程有密码学与数学基础综合实验、密码工程与应用专业综合实验、密码测评与管理综合实验、密码学专业综合实验等。

二、专业介绍密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。

研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。

密码学是信息安全的关键技术。

确保信息安全的技术措施包括信息系统的硬件结构安全、操作系统安全、数据库安全、网络安全、密码技术、病毒防治技术、信息隐藏技术、数字权益保护技术等。

在这些众多的技术措施中，信息系统的硬件结构安全和操作系统安全是确保信息安全的基础，其他都是关键技术。

密码科学与技术专业属于工学门类、计算机类学科下的一个专业，修业年限为4年，毕业后可获得工学学士学位。

密码学是一门交叉性学科，与数学、物理学、系统科学、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、网络空间安全、软件工程、军队指挥学管理科学等一级学科均有交叉。

致力于密码算法设计、密码算法分析、密码工程、密码应用、密码管理与安全防护等。

培养具有密码研究能力、开发能力、应用能力、管理能力等人才。

不同的高校，可能根据自身的实际情况，会侧重于密码科学、密码工程、密码应用或密码管理等专业方向。

该专业主要是培养能够解决密码设计、分析、工程实现、应用管理过程等方面的人才。

三、密码学的发展历程密码学的发展大致可以分为三个阶段：古典密码学——现代密码学——公钥密码学。

1.古典密码学：这阶段的核心密码学思想主要为代替和置换。

代替就是将明文每个字符替换成另外一种字符产生密文，接收者根据对应的字符替换密文就得到明文了。

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2
The Micciancio-Voulgaris Algorithm for CVP
The MV algorithm solves CVP on any n-dimensional lattice in 2O(n) time (for simplicity, we ignore polynomial factors in the input length). It is based around the (closed) Voronoi cell of the lattice, which, to recall, is the set of all points in Rn that are as close or closer to the origin than to any other lattice point: ¯ (L) = {x ∈ Rn : x ≤ x − v ∀ v ∈ L \ {0}}. V We often omit the argument L when it is clear from context. From the definition it can be seen that for any ¯ consists of all the shortest elements of t + L. For any lattice point v, define coset t + L, the set (t + L) ∩ V the halfspace Hv = {x : x ≤ x − v } = {x : 2 x, v ≤ v, v }. ¯ is the intersection of Hv over all v ∈ L \ {0}. The minimal set V of lattice vectors It is easy to see that V ¯ such that V = v∈V Hv is called the set of Voronoi-relevant vectors; we often call them relevant vectors for short. The following characterizes the relevant vectors of a lattice: Fact 2.1 (Voronoi). A nonzero lattice vector v ∈ L \ {0} is relevant if and only if ±v are the only shortest vectors in the coset v + 2L. Corollary 2.2. An n-dimensional lattice has at most 2(2n − 1) ≤ 2n+1 relevant vectors. Proof. Every relevant vector belongs to some nonzero coset of L/2L, of which there exactly 2n − 1. By the above, there are at most two relevant vectors in each such coset. 2
1
1.1
Algorithms for SVP and CVP
The following are some historical milestones in algorithms for SVP and CVP (for simplicity, we ignore polynomial factors in the dimension n and bit length of the input basis): • Using the LLL algorithm and brute-force search over coefficient vectors, one can get an algorithm that 2 solves SVP and CVP in 2O(n ) time and poly(n) space. • In 1983, Kannan gave deterministic algorithms that solve SVP and CVP in nO(n) = 2O(n log n) time and poly(n) space. • In 2001, Ajtai, Kumar, and Sivakumar (AKS) gave randomized “sieve” algorithms that solve SVP and CVP1+ε (for any constant ε > 0) in singly exponential 2O(n) time and space. (For CVP1+ε , the exponent in the running time depends inversely on ε.) • In 2010, Micciancio and Voulgaris (MV) gave a deterministic algorithm that solves CVP (and hence SVP and other problems) in 22n time and 2n space. • In 2015, Aggarwal, Dadush, Regev, and Stephens-Davidowitz gave a randomized algorithm that solves SVP in 2n time and space (note that the exponent here is exactly one). A follow-up work by Aggarwal, Dadush, and Stephens-Davidowitz obtained a similar result for CVP. It is an important open question whether there exists a singly exponential-time (or better) algorithm that uses only polynomial space, or even subexponential space.
Lattices in Cryptography University of Michigan, Fall 2015
Lecture 6 Algorithms for SVP, CVP
Instructor: Chris Peikert Scribe: Sam Kim
1
The Shortest and Closestall the definition of the approximate Shortest Vector Problem. (The exact version is obtained by taking γ = 1, which is implicit when γ is omitted.) Definition 1.1. For γ = γ (n) ≥ 1, the γ -approximate Shortest Vector Problem SVPγ is: given a basis B of a lattice L = L(B) ⊂ Rn , find some nonzero v ∈ L such that v ≤ γ (n) · λ1 (L). A closely related inhomogeneous variant is the approximate Closest Vector Problem. Definition 1.2. For γ = γ (n) ≥ 1, the γ -approximate Closest Vector Problem CVPγ is: given a basis B of a lattice L = L(B) ⊂ Rn and a point t ∈ Rn , find some v ∈ L such that t − v ≤ γ (n) · dist(t, L). Equivalently, find an element of the lattice coset t + L having norm at most γ (n) · λ(t + L), where λ(t + L) := minx∈t+L x = dist(t, L). Above we have used the fact that dist(t, L) = minv∈L t − v = minx∈t+L x , because L = −L. The two versions of CVP are equivalent by associating each v ∈ L with t − v ∈ t + L, and vice versa. Although the former version of the problem is the more “obvious” formulation, the latter version is often more convenient in algorithmic settings, so we will use it throughout these notes. We first show that SVPγ is no harder than CVPγ ; more specifically, given an oracle for CVPγ we can solve SVPγ efficiently. Theorem 1.3. For any γ ≥ 1, we have SVPγ ≤ CVPγ via a Cook reduction. Proof. Consider the following algorithm that, given a lattice basis B = (b1 , . . . , bn ), and CVP oracle O, outputs some v ∈ L = L(B): • For each i = 1, . . . , n, compute basis Bi = (b1 , . . . , bi−1 , 2bi , bi+1 , . . . , bn ) and let vi = O(Bi , bi ). • Output one of the vi that has minimal length vi . We claim that this algorithm solves SVPγ , i.e., it returns some nonzero lattice vector of length at most γ · λ1 (L). First observe that for each i, the lattice Li = L(Bi ) ⊂ L consists of all those vectors in L whose bi -coordinate is even, whereas the coset bi + Li ⊂ L consists of all those whose bi -coordinate is odd. Therefore, 0 ∈ bi + Li for all i, so λ(bi + Li ) ≥ λ1 (L). Moreover, if v ∈ L is any shortest nonzero lattice vector, then at least one of its coefficients with respect to B must be odd, otherwise v/2 ∈ L would be a shorter nonzero lattice vector. Therefore, v ∈ bi + Li for at least one i, and so λ(bi + Li ) = λ1 (L) for all such i. Now by hypothesis on O, for every i we have vi ∈ bi + Li ⊂ L \ {0} and vi ≤ γ · λ(bi + Li ). Since λ(bi + Li ) = λ1 (L) for at least one i, some vi ≤ γ · λ1 (L), and correctness follows. We note that essentially the same reduction works for the decisional variants GapSVPγ and GapCVPγ of the problems, where instead of returning vectors vi , the oracle O returns yes/no answers, and the reduction outputs the logical OR of all the answers.