孝感市高考数学备考资料研究专题 (选修)例题习题再利用点滴体会

高中数学教科书资源的开发与利用- -数学人教A 版选修2 -1课本例习题改编经过双曲线的右焦点2F ,m AB = ,1F 为另一焦点 ,那么1ABF ∆的周长为 ． 解析：设x AF =1 ,y AF =2 ,p BF =1 ,q BF =2 ,那么a y x 2=- ,a q p 2=- ,∴a q y p x 4)(=+-+ ,又m AB = ,∴m q y =+ ,故m a p x +=+4 ,)(q y p x +++m a 24+= .即1ABF ∆的周长为m a 24+.2、原题(人教A 版选修2－1第13页习题1.2 B 组第2题)证明:ABC ∆是等边三角形的充要条件是ca bc ab c b a ++=++222 ,这里ABC c b a ∆是,,的三边.改编题：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、 ,那么)(2c b b a +=是A =2B 的 ( )条件.A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要解析：C B B A C B B A c b b a sin sin sin sin )sin (sin sin sin )(2222=-⇔+=⇔+= C B B A sin sin 22cos 122cos 1=---⇔C B A B sin sin )2cos 2(cos 21=-⇔ ⇔=-+⇔C B B A B A sin sin )sin()(sin C B B A C sin sin )sin(sin =-B B A sin )sin(=-)(舍或B B A B B A -=-=-⇔πB A 2=⇔ ,应选A .3、原题 (人教版选修2 -1第55页练习第6题 )方程11222=+-+m y m x 表示双曲线 ,求m 的取值范围.改编题：假设椭圆的方程为15-722=-+m y m x ,那么m 的取值范围是 . 解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-570507m m m m ,解之675≠<<∴m m 且 ,即)7,6()6,5( ∈m .4、原题 (人教A 版选修2－1第67页 练习第3题 (2 ) )抛物线x y 122=上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .改编题：设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点 ,且椭圆上至|||少有21个不同的点(1,2,3),i P i =使123,,,FP FP FP ,组成公差为d 的等差数列 ,那么d 的取值范围为 ． 5、原题 (人教A 版选修2－1第41页例2 )在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作X 轴的垂线段PD ,D 为垂足．当点P 在圆上运动时 ,线段PD 的中点M 的轨迹是什么 ?改编题：P 是抛物线122+=x y 上的任意一点 ,定点)1,0(-A ,点M 在线段P A 上且PM =2MA ,那么点M 的轨迹方程是 .解析：设M 的坐标为）（y x , ,因为点M 在线段P A 上且PM =2MA ,又)1,0(点坐标为A ,）的坐标为（23,3+∴y x P ,代入抛物线122+=x y 得118232+=+x y ,即所求点M 的轨迹方程是3162-=x y . 6、原题 (人教版选修2 -1第94页练习第1题 )向量},,{c b a 是空间的一个基底 ,从c b a ,,中选哪一个向量 ,一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底 ?改编题：正方体D C B A ABCD ''''-,E 是底面D C B A ''''的中|心 ,,21A A a '= ,21AB b =,31AD c =那么=AE .(用基底c b a ,,表示) 解析：=AE E A A A '+' =A A 'C A ''+21 =A A ')(21AD AB ++ =c b a 232++. 7、原题 (人教版选修2 -1第49页习题2.2 A 组第7题 )如图 ,圆O 的半径为定长r ,A 是圆O 内一个定点 ,P 是圆上任意一点 .线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ,当点P 在圆上运动时 ,点Q 的轨迹是什么 ?为什么 ?改编题：如以下图 ,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点 ,M 是圆周上一动点 ,把纸片折叠使M 与F 重合 ,然后抹平纸片 ,折痕为CD ,设CD 与OM 交于P ,那么点P 的轨迹是 ( )解析：由条件知PF PM =.=+PF PO =+PM PO OF R OM >=,所以P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆.8、原题 (人教版选修2 -1第50页习题2.2 B 组第2题 )一动圆与圆05622=+++x y x外切 ,同时与圆091622=--+x y x 内切 ,求动圆圆心的轨迹方程 ,并说明它是什么曲线.改编题：动圆M 和定圆055622=--+x y x 内切且过点P ）（0,3- ,求动圆圆心M 的轨迹及其方程.解析：由题意知 ,定圆的圆心Q ）（0,3 ,r =8,故P 在定圆内. 设动圆圆心为M ）（y x , ,那么MP 为动圆半径 ,又圆M 与圆Q 内切 ,MP MQ -=∴8,PQ MP MQ >=+∴8, 故M 的轨迹是以P ,Q 为焦点的椭圆 ,且PQ 的中点为原点 ,7,3,822=∴==∴b c a .所以动圆圆心M 的轨迹方程为171622=+y x . 9、原题 (人教版选修2 -1第61页练习第3题 )求以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点 ,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程 .改编题：中|心在原点且对称轴为坐标轴的椭圆C ,其右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同 ,离心率为21 ,那么此椭圆的标准方程为 . 解析：设椭圆的标准方程为12222=+by a x , 抛物线x y 82=的焦点是）（0,2 ,所以椭圆的半焦距2=c ,即422=-b a ,又21222==-=a a b a e ,12,42==b a ,从而椭圆的方程为1121622=+y x . 10、原题 (人教A 版选修2－1第80页第12题 )如以下图米 ,行车道总宽度6=AB (m ) ,那么车辆通过隧道的限制高度是多少米 ? (精确到m )改编题：某圆拱桥的水面跨度是20m ,拱高为4m .现有一船宽9m ,在水面以上局部高3m m ,为此 ,必须加重船载 ,降低船身.当船身至|||少应降低 m m )解析： 建立直角坐标系 ,设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点 (10 ,0 ) , (0 ,4 ) ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb r b ,解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b . ∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ,得)(28.3m y ≈. m 后 ,船身至|||少应降低m 22.1)328.3(5.1=-- ,船才能通过桥洞.。

教科书资源的开发与利用之选修2-2重视课本，着眼提高作者：吴志国单位：大悟一中课本是数学知识和数学思想方法的载体，又是教案的依据，理应成为高考数学试卷的源头，因此高考命题注重课本在命题中的作用，充分发挥课本作为试卷的根本来源的功能，通过对高考数学试卷命题的研究可以发现，每年均有一定数量的试卷是以课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考数学试卷，具体表现为三个层次：b5E2RGbCAP第一层次：选编原题，仿制题。

有的题目直接取自于教材，有的是课本概念、公式、例题、习题的改编。

第二层次：串联方式，综合习题。

即有的题目是教材中几个题目或几种方法的串联，综合拓展。

第三层次：增加层次，添加参数。

即通过增加题目的层次、设置隐含条件、引进讨论的的参数，改变提问的方向等，提高题目的灵活性和综合性。

p1EanqFDPw高考题来源于课本，所以我们平时就应重视课本例题习题以及其改编题，提高学生的能力，下面我就此谈一下我的看法。

一．学生对回归教材的一些误区历届的高三学生，对回归教材都有轻视之感。

老师要求班上的同学看教材，他们中的一部分就不以为然，认为不如把时间用来多做几个题有效。

DXDiTa9E3d有些同学也看了教材，觉得没什么收获，主要是方法不对。

老师必须讲清回归教材的重要性，同时要指导和督促学生做好这件事情。

RTCrpUDGiT二．教师如何提高课本例习题的复习价值教师要指导学生高三复习教案中对课本例、习题“四化”<一）将例习题“变化”，巩固“双基”1.原题<选修2-2第十九页习题1.2B组第一题）改编记，则A,B,C的大小关系是< ）A ．B ．C ．D.解：记根据导数的几何意义A 表示sinx 在点M 处的切线的斜率，B 表示像可知A>C>B 故选B5PCzVD7HxA 2.原题<选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数A.B.C.D.解：函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B 3.原题<选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题）改编用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________.jLBHrnAILg解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高.故长方体的体积为从而令，解得x=0<舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，＞0；当1＜x＜时，＜0，故在x=1处V<x）取得极大值，并且这个极大值就是V<x）的最大值. 从而最大体积V＝3<m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.4.原题<选修2-2第四十五页练习第二题）改编一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t>=-t2+4,<t）<t的单位：h, v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是______kmxHAQX74J0X解：当汽车行驶位移最大时，v(t>=0.又v(t>=-t2+4=0且,则t=2，故填5.原题<选修2-2第五十页习题1.5A组第四题）改编________解：，而表示单位圆x2+y2=1在第一象限内的部分面积,2(e-1->=故填.人教A版选修6. 6．原题<选修2-2第106页例1）改编：用数学归纳法证明．变式1：是否存在常数，使得对一切正整数都成立？并证明你的结论．解：假设存在常数使等式成立，令得：解之得，下面用数学归纳法证明：对一切正整数都成变式2：已知，是否存在的整式，使得等式对于大于1的一切正整数都成立？并证明你的结论．解：假设存在，令，求得，令，求得，令，求得，由此猜想：，下面用数学归纳法证明：对一切大于1的正整数都成立．<略）<二）将例习题“类化”，展现通性通法7.原题<选修2-2第七十八页练习3）改编设P是内一点，三边上的高分别为、、，P到三边的距离依次为、、，则有______________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、、、，P到这四个面的距离依次是、、、，则有_________________。

教科书资源的开发与利用之选修4-1孝感市英才外国语学校 彭巧林从近几年选考4-1的试卷来看，本节是重点，通常以圆为载体考查四点共圆、相交弦定理、切割线定理、与圆有关的比例线段以及相似三角形有关性质等，题型为填空题，难度为中低档题。

b5E2RGbCAP 一．“四定理”——相交弦定理、割线定理，切割线定理、切线 长定理的应用由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似知识来证明线段相等或等比例线段问题。

如本册课本第二讲第五节与圆有关的比例线段中的例5的问题1问题2问题3常在直线与圆的位置关系中借助相似三角形与“四定理”得到等比例线段及四点共圆。

p1EanqFDPw 变式1：如图1,过点P 的直线与圆O 相交于A,B 两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O 的半径等于_______.DXDiTa9E3d 解: 设交圆O 于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知点评: 本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知,从而求得圆的半径.变式2：如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC.RTCrpUDGiT图1(1>求证：FB＝FC；(2>求证：FB2＝FA·FD；(3>若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．解(1>∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2>∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB.∴错误!＝错误!，∴FB2＝FA·FD.5PCzVD7HxA(3>∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝错误!∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.∴∠D＝30°.jLBHrnAILg∵BC＝ 6，∴AC＝2错误!.∴AD＝2AC＝4错误!cm.二．与圆有关的比例线段及相似三角形有关性质的应用有关相似三角形的判定与性质一般不单独考查。

2013湖北高考数学新课程高考命题对比研究(《选修1-1》)湖北航天中学黄琼王平侯正华一、总论部分Ⅰ．考试性质根据教育部考试中心《2013普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》, 结合我省高中基础教育的实际情况, 制定了《2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷考试说明》的数学科部分.1考核目标与要求一、知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次. 分别用A, B, C表示.（1）了解（A）要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识, 知道这一知识内容是什么, 按照一定的程序和步骤照样模仿, 并能解决相关的简单问题.（2）理解（B）要求对所列知识内容有较深刻的理性认识, 知道知识的逻辑关系, 能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达, 能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论, 并加以解决.（3）掌握（C）要求系统地掌握知识的内在联系, 能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论, 并加以解决.二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形, 根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力：能在对具体的实例抽象概括的过程中, 发现研究对象的本质；从足够的信息材料中, 概括出一些合理的结论.（3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理, 能根据问题的条件寻找和设计合理、简捷的运算途径, 能根据要求对数据进行估计和近似运算.（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据, 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息, 并作出判断. 数据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理、分析, 并解决给定的实际问题.（6）应用意识：能够运用所学的数学知识、思想和方法, 将一些简单的实际问题转化为数学问题, 并加以解决.（7）创新意识：能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法, 创造性地解决问题.三、考查要求（1）对数学基础知识的考查, 既全面又突出重点, 注重学科的内在联系和知识的综合.突出试题的基础性、综合性和层次性, 合理调控综合交汇程度, 坚持多角度、多层次考查.（2）对数学思想和方法的考查, 与数学知识融合, 从学科整体意义和价值上立意, 注重通性通法, 淡化特殊技巧.（3）对数学能力的考查, 以抽象概括能力和推理论证能力为核心, 全面考查各种能力. 注重问题的多样性, 体现思维的严谨性、抽象性和发散性.在考查要求中, 强调了“突出试题的基础性、综合性和层次性”, 对数学思想方法的考查中强调了“思维价值”。

教科书资源的开发与利用之选修2 -1安陆市第二高级|||中学 洪建英1.原题 (选修2 -1第四十七页例题7 )椭圆221259x y += ,直线l :4x －5y +40 =0.椭圆上是 否存在一点 ,它到直线l 的距离最|||小 ?最|||小距离是多少 ?改编：直线2ax +b y =2与圆221x y +=相切 ,那么|7b +-|的最|||大值是 .解：直线2ax +b y =2与圆221x y +=相切 ,那么圆心到直线的距离d=1,即2244a b += ,在平面直角坐标系aob 中 , p (a,b )满足在椭圆2244a b +=上 ,那么|7b +-|表示p (a,b )与直线l : 7b +- =0.设与直线l 平行的直线m: +b λ+ =0与椭圆2244a b +=相切 ,由22+044b a b λ⎧+=⎨+=⎩得22164a a λ++- =0 ,由△ =22644λ--（）（） =0得=4λ±.当=λ4时 ,直线m 与椭圆的交点离直线l 较远 ,此时m 的方程为：+4b + =0 ,l 与m 的距离,∴|4b +-|的最||| 另注：此题还可用导数求得切线m 的方程 ,或利用椭圆的参数方程设点P 的坐标再求最|||值.2.原题 (选修2 -1第四十九页习题2.2A 组第6题 )：点P 是椭圆22+154x y =上的一点 ,且以点P 及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1 ,求点P 的坐标改编：点P 为椭圆2222+1x y a b =上一点 ,1F ,2F 为椭圆焦点 ,假设满足△12PF F 的面积等于22b 的点P 恰有4个 ,那么椭圆的离心率的范围为 .∴2224a c c -<∴225c a >∴215e >,又∵0<e<1, 1e <<. 3. )矩形ABCD 中 ,|AB| =8 ,|BC| =6 ,E,F,G ,H 分别是矩形四条边的中点 ,R,S,T 是线段OF 的四等分点 ,R ,,S ,,T ,是线段CF 的四等分点.请证明直线ER 与GR ,,ES 与GS ,,ET 与GT ,的交点L ,M ,N 都在椭圆221169x y +=. 改编1：点A (0 ,－3 ) ,B (0,3 ) ,C (4,3 ) ,动点D 在x 轴上 ,动点E 在直线x =4上 ,DE OC λ=(R λ∈),直线AD 与BE 相交于点G ,求点G 的轨迹方程.解：D(0x ,0) ,E(4 ,0y ),DE =(4－0x ,0y ),OC =(4 ,3), DE OC λ= ,∴||DE OC . 当0x ≠0时 ,由3 (4－0x ) =40y ,∴0y =3－340x ,∴E(4 ,334-0x )∴直线BE 的方程为03316x y x =-+ ,直线AD 的方程为033y x x =-,两方程联立消去0x 并且化简得221169x y += (3y ≠± ). 当0x =0时 ,可求得此时G 的坐标为 (0,3 ) ,也在221169x y +=上.改编2：矩形ABCD 中 ,|AB| =10 ,|BC| =8 ,E,F,G ,H 分别是椭圆,2212516x y +=的四个顶点 ,点M 是椭圆上不同于点E 、G 、F 的一动点 ,直线EM 与x 轴交于点R ,直线MG 与BC交点为S ,求证:OC ‖RS .证：设M(0x ,0y ),E(0, -4),F(5,0),G(0,4),直线ME ： 0044y y x x +=-令y =0得004,04x y +R （） ,直线MG ：0044y y x x -=+令x =5得520400y +x -S （5，）,∴OC =(5 ,4), 0045204400x y RS +y x -=-+（5，） ,要证OC ‖RS ,即证||OC RS ,即证0052044=400y x +x y -⋅⋅-+5（）4（5）即证002510016=400y x x y --+即证22001625400x y += ,因为点M(0x ,0y )在椭圆2212516x y +=上 ,所以22001625400x y +=成立 ,所以OC ‖RS.4.原题 (选修2 -1第六十页例6的思考题 )如图 ,过双曲线22136x y -=的右焦点2F ,倾斜角为30的直线交双曲线与A,B 两点 ,求|AB|. 思考：你能求出△1AF B 的周长吗 ?改编1：过双曲线221916x y -=的右焦点2F 的直线交双曲线的两支分别为A,B 两点 ,|1AF | =6 ,那么△1AF B 的周长是 .解：由双曲线的定义得|2AF |－|1AF | =2a , |1BF |－|2BF | =2a ,两式相加得 (|2AF |－|2BF | ) + (|1BF |－|1AF | ) =4a ,∴|AB| + (|1BF |－|1AF | ) =4a ,∵a =3, |1AF | =6∴|AB| +|1BF |－6 =12, ∴|AB| +|1BF | =18, ∴△1AF B 的周长 =|AB| +|1BF | +|1AF | =24.改编2：过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 的直线交双曲线的两支分别为A,B 两点 ,|AB|=3 ,|1AF | =4 ,|1BF | =5 ,该双曲线的方程是 .解：同变式1得|AB| +|1BF |－|1AF | =4a ,∴3 +5－4 =4a ,∴a =1, ∵|2AF |－|1AF | =2a =2, ∴|2AF | =6,又由△1AF B 中2223+4=5满足勾股定理得1AF AB ⊥,即12AF AF ⊥,∴|12F F |= =2c, ∴c =∴212b =,∴双曲线的方程为22112y x -=. 5.原题 (选修2 -1第七十三页习题2.4A 组第5题 )M 是抛物线24y x =上一点 ,F 是抛物线的焦点 ,以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠= ,求|FM|.改编：抛物线22y px = (p >0 ) ,F 是其焦点 ,过点F 作射线FM 交抛物线于点M ,且以Fx 为始边、FM 为终边的角xFM θ∠=,2πθ∈（0，）,那么|MF|<2p 的概率是 .解：作抛物线的准线l :2p x =-,l 与x 轴交于点G ,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点M 作M N⊥l 于点N ,那么由抛物线的定义及平面几何知识有|MF| =|MN| =|GE| =|GF| +|FE| =p +|MF|cos θ⋅ ,那么|MF| =1cos p θ-,又∵2πθ∈（0，）,∴由21cos p p θ<-得10cos 2θ<<∴32ππθ<< ,∴|MF|<2p 的概率123=302πππ-- 6.题源 (选修2 -1第七十五页阅读与思考 "圆锥曲线的光学性质及其应用〞 )改编：双曲线22221x y a b -=与椭圆2212516x y +=共焦点 ,左焦点1F ,右焦点2F ,M 是双曲线右支和直线l ：x -y -1 =0的公共点 ,那么双曲线的实轴长最|||长时的双曲线的方程是 .+31022113x y y x ⎧--=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪-⎩得12x y =⎧⎨=⎩∴E(1 ,2) ,∴|M 1F |－|M 2F |=|M 1F |－|ME|≤|E 1F| =∴2a ≤,当 a =时,又∵c =3, ∴b =2, ∴实轴最|||长的双曲线的方程为22154x y -= .7：原题 (选修2 -1第八十一页复习参考题B 组第3题 )直线与抛物线22(0)y px p =>交于点A,B 两点 ,且O A ⊥OB,O D ⊥AB 交AB 于点D,点D 的坐标为 (2,1 ) ,求p 的值.改编：O 为原点 ,直线AB 与抛物线24y x =交于点A,B 两点(A ,B 不同于点O) ,以AB 为直径的圆过点O,那么直线AB 与圆2282+160x y x y +-+=的位置关系是 . 解：直线AB 不垂直于y 轴 ,设A(11,x y ) ,B(22,x y ),可设AB 的方程为：x =my +t (0t ≠ ), 联立24y x = ,得2440y my t --=,124y y t =- ,1x 2x =221216y y ⋅ =2t ,又∵以AB 为直径的圆过点O ∴OA ⊥OB 得12120x x y y += ,∴2t 4t - =0 ,解得t =0 (舍 )或t =4 ,直线AB 的方程为x =my +4 ,∴直线AB 过定点 (4 ,0 ),又点 (4 ,0 )在圆2282+160x y x y +-+=上 ,圆在点 (4 ,0 )处的切线斜率为0 ,而直线AB 斜率不可能等于0∴直线AB 与圆2282+160x y x y +-+=的位置关系是相交.8.原题 (选修2 -1第八十一页复习参考题B 组第4题 )：某天文仪器厂设计制造的一种镜筒直径为0.6m 、长为2m 的反射式望远镜 ,其光学系统的原理如图 (中|心截口示意图 )所示.其中 ,一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线 ,另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线的一个分支 ,12F F 、为双曲线的两个焦点 ,同时2F 又是抛物线的焦点 ,是根据图示尺寸 ,分别求双曲线和抛物线的方程.改编：双曲线1C ：22221x y a b -= ,左右焦点分别为12F F 、 ,右顶点为A ,且1AF =3 ,抛物线2C 开口向右 ,以x 轴为对称轴 ,以2F 为焦点 ,但顶点不在原点.点M 是双曲线和抛物线在第|一象限的一个公共点 ,满足12OM OF ON +=的点N 恰在y 轴上 ,1MF =5求曲线1C 和2C 的方程. ∴由2121222|MF ||MF |=52||3b a a AF a c a b c ⎧--=⎪⎪⎨=+=⎪⎪+=⎩得 a =1,b=2, ∴双曲线1C 的方程为2213y x -= .∴点M 的坐标为 (2,3 ) 抛物线2C 中 ,由2MF 垂直于x 轴知2MF 为通径长的一半 ,∴2MF =p =3,可设抛物线的方程为：26()y x t =+ ,M (2,3 )在抛物线上 ,可求得12t =-,∴抛物线的方程为：216()2y x =-. 9.原题 (选修2 -1第八十一页复习参考题B 组第5题 )点A 、B 的坐标分别是 (－1,0 ) , (1,0 ) ,直线AM ,BM 相交于点M,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之和是2 ,求点M 的轨迹方程. 改编: 点A 、B 的坐标分别是 (－1,0 ) , (1,0 ) ,C 为动点 ,△ ABC 满足|AC| =2|BC|cosA,求动点C 的轨迹方程.解：由|AC| =2|BC|cosA 及三角形正弦定理得 ,sinB =2sin A ·cosA, ∴sinB =sin2A, ∵∠A, ∠B ∈(0,π) ,∴2∠A +∠B =π或∠B =2∠A ,又∵∠A +∠B +∠C =π,∴∠A =∠C 或∠B =2∠A .当∠A =∠C 时 ,|CB| =|AB| =2, 又因为点A 、B 、C 不共线 ,∴C 的轨迹是以B 为圆心以2为半径的圆 (去除 (－1,0 ) (3,0 )两点 ) ,∴此时C 的轨迹方程为2214x y -+=（） (y≠0 )；当∠B =2∠A 时 ,设点C(x,y )(y ≠0),假设x ≠±1时 ,由tanB =tan2A 得tanB =22tan 1tan A A-,即 -BC k =221()AC AC k k -∴ -1y x - =2211()1y x y x +-+ (x ≠±1 ,y ≠0 ) , 即223210y x x --+= (x ≠±1 ,y ≠0 ) .假设x = -1 ,此时符合∠B =2∠A 的点C 在x 轴上 ,不符合题意；假设x =1,此时y =2,即 C (1,2 ) ,此时也符合223210y x x --+=.∴符合∠B =2∠A 的点C 的轨迹方程为223210y x x --+= (y ≠0 ).综合以上 ,点C 的轨迹方程为2214x y -+=（） (y ≠0 )或223210y x x --+= (y ≠0 ).10. 原题 (选修2 -1第八十一页复习参考题B 组第6题 )：就m 的不同取值 ,指出方程221(3)1(3)m -x m y m -m +-=-（）（）所表示的曲线的形状 ,并用信息技术直观验证你的结论.条件解：221(5)1m -x m y +-=（）表示的曲线是双曲线得,1(5)0m-m ⋅-<（） ,即1<m<5；由方程2221(5)-65m -x m y m m +-=+-（）表示的曲线是椭圆 ,即221(5)1(5)m -x m y m -m +-=-（）（）表示的曲线是椭圆 ,可得 ,1<m<5且3m ≠ ,前者是后者的必要不充分条件 ,选B .。

浅 谈 "即 时 定 义 题〞作为选拔性的 (高|考 ) ,不仅是知识性的考查 ,更侧重能力的考查 ,即从知识立意到能力立意 .不但要考学生学过的、见过的知识的综合与运用 ,还要考查课本上没有见过的知识 ,需要挖掘自己潜能力才能解决的问题 .所以 , 在 (高|考 )和平时训练中就出现了许多这样的试题 - -即时定义题：在试题现场给出与教材上某个概念、定义相关的概念、定义 ,现学现用来解决问题 .例如孝感市2021 -2021学年度高中三年级|||第二次统一考试中 ,理科数学试卷的第10题和第13题:10. 定义域为],[b a 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ,),(y x M 是()f x 图象上任意一点 ,其中b a x )1(λλ-+= ,x ],[b a ∈ ,向量OB OA ON )1(λλ-+= (O 为坐标原点 ).假设不等式k ≤恒成立 ,那么称函数()f x 在],[b a 上 "k 阶线性近似〞 .函数1y x x=-在]2,1[上 "k 阶线性近似〞 ,那么实数k 的取值范围为 ( ) A.[0,)+∞ B.1[,)12+∞ C.3[)2++∞ D.3[)2-+∞ 13. 二维空间中圆的一维测度 (周长 )r l π2= ,二维测度 (面积 )2r S π=；三M 维空间中球的二维测度 (外表积 )24r S π= ,三维测度 (体积 )334r V π=．那么由四维空间中 "超球〞的三维测度38r V π= , 推测其四维测度W = ．这类题目它要求考生通过阅读、观察、类比、探索、归纳 ,然后进一步结合自己的数学素养来解决问题 .这类题目比拟全面考查学生的能力 ,考生比拟陌生 ,不知道如何动笔 ,但作为试题不乏新意 .其实 , (高|考 )数学命题原那么之一是源于教材高于教材 .源于教材就是取材于教材 ,课本是试题的主要依据 ,有的以课本例题、习题为题材 ,有的是以课本中阅读材料的内容和研究性学习课题作为选材的切入点 ,经过组合、加工和拓展而成 .如 "二统〞试卷第10题源于人教A 版必修4第100页的探究：当12PP PP λ= ,点P 的坐标是什么 ?这实际上就是定比分点坐标公式 ,对于这题的处理：方法1：直接利用题目中的信息 ,现学现用 ,将a =1 ,b =2代入可得, 因此 321222λλ-⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭当且仅当λ =22 " =〞成立 ,故 322K ≥-方法2：假设理解了课本的探究：定比分点坐标公式 ,那么可以知道：M 分a 、b 在x 轴上所对应点构成的向量比与N 分向量AB 的比相等 ,因此 ,MN 连线垂直于X 轴 ,故M N MN y y =-,又因为A(1 ,0) , B(2 ,32 ) ,所以AB 所在直线方程为3322y χ=- , M N MN y y =- =方法3：结合以上分析 ,M 在曲线1y x x =-上 ,N 在直线3322y χ=-上 ,13(2,2),(2,)22M N λλλλλ------11222MN λλ=---322≤-联系直线与圆锥曲线的位置关系可以在曲线1y x x =-上找一点P(x,y) ,使过P 的切线L 与AB 平行 ,然后找L 与AB 之间的距离 ,,211y x =+32=,解出x =, ([]1,2x ∈ ) ,此时M ,31))2N, 32K ≥- .由以上分析可见 ,对于 "即时定义题〞的处理 ,首|||先可以现学现用 ,照着定义直译出数学逻辑关系 ,结合自己的数学素养解决问题 ,其次 ,要熟透教材 ,关注课本中的例题、习题、探究和研究性学习等 ,做到胸有成竹 ,做题不慌张,不丢分 . ∴32MN =。

教科书资源的开发与利用之选修2－1安陆一中 邓保定1. 集合}1|{},0lg |{2<=>=x x N x x M p ：M x ∈ q ：N x ∈那么p 是非q 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件(教材13页第1题改编 )2. 在正三棱柱111C B A ABC -中,11BC AB ⊥,那么=1BB AB( ) A.1 B.2 C.22D . 2 (教材92页练习第1题改编 )4. 平面内动点M 到点A(1,0)的距离比到y 轴的距离大1 ,那么点M 的轨迹方程是________ (教材65页抛物线的定义改编 )5.椭圆1422=+y x ,那么椭圆上斜率为82-的弦的中点的轨迹方程为________切点为)322,32(的切线方程为__________ (教材49页第8题改编 )6.一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内 ,它与其中一个半平面所成的角为︒30 ,与二面角的棱所成的角为︒60 ,那么它与另一个半平面所成的角为 (教材113页第12题改编 )7.三角形ABC 中 ,点C(5,0),A,B 关于原点对称 ,且AC 与BC 的斜率之积为常数m ()0≠m ),试探求点A 的轨迹 (教材80页第10 题改编 ) 8.抛物线x y 42=上有不同两点A,B 且满足OB OA ⊥,AB OD ⊥于D ,AB 交x 轴于C,求OCD ∆面积的最|大值 (源自教材81页第3 题改编 )9.如图 ,线段AB ⊂α ,AC ⊥α ,BD ⊥AB ,如果AB =7 ,AC =BD=24 ,CD =25,求平面ABD 与平面α所成的二面角 . (教材113页第10 题改编 )10.如图正方形ABCD,ADEF 的边长都是1 ,且平面ABCD 与平面ADEF 垂直,M,N 在正方形的对角线BD,AE 上移动 ,且EN 与DM 的长度保持相等 ,MP 垂直于AD 于P,记EN =DM =)2(<a a (1) 求三棱锥MNP A -的体积的最|大值 (教材113页第2题改编 )答案： 1. A2. 52+_3. x y 42=或)0(0≤=x y4. 3232(2≤≤-=x x y ,13226=+y x 5. ︒456. 设点A(x,y),那么B( -x, -y) ,由m K K BC AC =⋅得m x y x y =---⋅-55即12522=-my x ()0≠y , 当0>m 时表示双曲线 当25-=m 时表示圆 当250-≠<m m 且时表示椭圆7. 设OA 的斜率是K,那么OB 的斜率是 -1/K.OA 方程:y =kx24247αDCBA25OB 方程:y = -1/kx代入y 2 =4x 得:A(4/k 2,4/k),B(4k 2, -4k)AB 的斜率是K =(4/k +4k)/(4/k 2 -4k 2) =k/(1 -k 2) ∴AB 方程是y +4k =k/(1 -k 2)×(x -4k 2) 令y =0∴0 +4k =k/(1 -k 2)*(x -4k 2) 4(1 -k 2) =x -4k 2 x =4.∴AB 与X 轴交于点(4,0)∴直线AB 经过一个定点C(4,0)那么点D 的轨迹为以AB 为直径的圆OCD S ∆∴的最|大值为4 9.平面ABD 与平面α所成的二面角与直线所成的角互余︒︒>=∴<>=∴<->=<∴=><⋅+++=⋅+⋅+⋅+++=++=60,120,21,25,24224724222)(2222222222BD AC BD CA BD CA COS BD CA COS BD CA BD AB AB CA BD AB CA BD AB CA CD故平面ABD 与平面α所成的二面角为︒30 108122)2(41)2(222221)2(22,22的面积有最大值时，MNP a a a a a S a NP a MP NMP ∆=∴-=-⋅⋅=∴-==∆812)3222(482)2(242)2(22)2(41313132≤∴-+-+≤-=--⋅=⋅=-∆-MNPA MNP MNP A V a a a a a a a a AP S V。