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y
y0
)
x 2 2 f
yx
2 f
xy
2 f
x y
x0 y0
y 2 ( , )
正定,
所 以 当( x x0 )2 ( y y0 )2 很 小 时
函 数 改 变 量f ( x, y) f ( x0, y0) 是 正 的.
f (x0,y0)为极小值
(2) A 0, AC B2 0
(2)H f (M0 )负 定 时 ，M0是f ( x, y)的 极 大 值 点
(3)H
f
(
M
0
)不
定
时
，M
不
0
是f
(
x,
y)的
极
值
点
其中，H f (M0 )是f在M0处的海森矩阵。
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f ( x, y)在M0 ( x, y)处 的 海 森 矩 阵H f (M0 )：
2 f
H
f
(
( , )
2 f
1 2
(x
x0 ,
y
y0
)
x 2 2 f
yx
2 f
xy
2 f
x y
x0 y0
y 2 ( , )
令
A
2f x 2
,
( x0, y0)
2020/5/1
2f
B
,
xy
( x0, y0)
2f C
y 2 ( x0, y0) 20
A B
H f (M0 ) B
C
(1)A 0, AC B2 0
二元可微函数求极值的步骤
(1) 令 f 0 , f 0 ,
x
y
求出所有驻点: ( xi , yi )
(2) 在每一个驻点处, 分别计算
A , B , C 和 AC B2
(3) 逐个判定每个驻点是不是极值点,
极 大 还 是 极 小.
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27
[例] 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x
f ( X ) f ( X0 ) (或f ( X ) f ( X0 )) 则 称f ( X 0 )是f ( X )的 一 个 极 大(小)值, 并 称X 0 Rn为f的 一 个 极 大(小)值 点.
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2. 极 值 的 必 要 条 件
定 理1 : (极 值 的 必 要 条 件)
[
x0 (x
(n 1)!
x
0
)]
)(
x
x
0
)n1
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4
二元函数的泰勒公式
假定 f (x, y) 在区域 D 中存在n 1阶连续偏导数
连线M0M 完全在D中,则有
M(x, y)
f
(
x,
y) f (
f ( x0 , x0 , y0 ) x
y0 ) (x
x0
)
f
(
x0 , y
y0
7
M0M : x0 t( x x0 ) , y0 t( y y0 )
公式 推导
记 : h ( x x0 ) , k ( y y0 ) M0M上的点 ( x, y) ( x0 th , y0 tk)
f ( x, y) f ( x0 th, y0 tk) (0 t 1)
x0 1 驻 y0 1 点
当 x0 1, y0 1 时, z1 6, z2 2 在 点(1, 1, 6)处, Fz 2 6 4 0
所以在(1, 1)的某个邻域U 中, 确定隐函数
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z f1( x, y)
f1(1,1) 6 24
计算二阶偏导数
A
2 f1 x 2
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H f (M0 )负定
22
二次型
2 f 2 f
(x
x0 ,
y
y0
)
x 2 2 f
yx
xy
2 f
x y
x0 y0
y 2 ( , )
负定, 当( x x0 )2 ( y y0 )2 很 小 时
函数改变量f (x, y) f (x0, y0) 符号为负
f (x0,y0)为极大值
g(t)
g(0) f ( x0 , y0 ) g(1) f ( x, y)
g(t ) g(0) g(0)t g(0) t 2 g(n) (0) t n g(n1)( ) t n1
2!
n!
(n 1)!
g(1) g(0) g(0) g(0) g(n) (0) g(n1)( )
函数z x2 y2 , 在(0, 0)点取得极值 但偏导数不存在
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3. 极 值 的 充 分 条 件
定 理2： （ 极 值 的 充 分 条 件 ）
设f ( x, y)在 点M0 ( x0 , y0 )的 某 邻 域 内 二 阶 偏 导 数 连 续, 且dragf (M0 ) 0,则 (1)H f (M0 )正 定 时 ，M0是f ( x, y)的 极 小 值 点
f ( x, y) f (x0, y0 )
f
(
x0 , x
y0
)
(
x
x0
)
f
(
x0 , y
y0
)
(
y
y0
)
1 [2 2!
f ( ,)
x 2
(x
x0
)2
2
2 f ( ,)
xy
(
x
x0
)(
y
y0
)
2
f ( ,
y2
)
(
y
y0 )2]
( , )在M0 ( x0 , y0 )与M ( x, y)的 连 线上
的 极 值.
[解] 令
fx( x, y) 3x2 6x 9 0
f y(
x,
y)
3
y2
6
y
0
得四个驻点：
P1(1,0), P2(1,2), P3(3,0), P4 (3,2)
求二阶偏导数
fxx ( x, y) 6x 6,
fyy( x, y) 6 y 6
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fxy( x, y) 0
)
(
y
y0
M
)
0(
x0,
y0)
D
1 2 [
2!
f
( x0 , x 2
y0
)
(
x
x0
)2
2
2
f (x0, xy
y0
)
(x
x0
)(
y
y0
)
2
f
( x0, y 2
y0
)
(
y
y0
)2
]
n
1k Cn n ! 2020/5/1k 0
n f ( x0 , y0 ) x kynk
(x
x0 )k ( y
y0 )nk
28
对 于 驻 点P1(1,0), 经 计 算 得
1 0 4
(1, 1, 6 )
B 2 f1
0
xy
(1, 1, 6 )
C
2 f1 y2
1 0 4
(1, 1, 6 )
因 为 A 0, AC B2 0
所 以, f1( x, y) 在 (1,1) 达 到 极 大 值: 6
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在 点(1,1,2), Fz 2 (2) 4 0 所以在(1,1) 的某个邻域W 中, 确定隐函数
2!
n! (n 1)!
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g(0) f ( x0 , y0 ) 根据复合函数微分法
g(0)
d dt
f ( x0 th, y0 tk)
t0
f h f k x y
(h
x
k
y
)
f
(
x0
,
y0
)
t 0
g(0)
d2 dt 2
f
( x0
th,
y0
tk)
t 0
d dt
( f x
h
H f ( M0 )正 定
因为f ( x, y)在点M0( x0 , y0 )的某邻域内二阶 偏导数连续, 当( x x0 )2 ( y y0 )2 很 小 时
矩阵
2 f
x 2
2 f
yx
2 f
xy
2 f
也是正定的。
y 2 ( , )
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二次型
2 f
(x
x0 ,
(3) AC B2 0
二次型不定
……... f ( x0, y0) 不 是 极 值
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[例1] 设方程x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0
确定隐函数z f ( x, y) ,求其极值.
[解] z x 1 0
x z 2 z y 1 0 y z 2
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设f ( x, y) 在区域 D 中二阶偏导数连续， 则f ( x, y) 的二阶泰勒公式（皮亚诺型余项）
f ( x, y) f (x0, y0 )
f
(
x0 , x
y0
)
(
x
x0
)
f
(
x0 , y
y0
)
(
y
y0
)
1 [2 2!
f
( x0, x 2
y0 )
(x
x0 )2
2
2
f ( x0, xy
