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第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
数学建模常用的十大算法==转(2011-07-24 16:13:14)转载▼1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它广泛应用于工程、经济学、运筹学等领域。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划的定义线性规划是在一组线性约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的数学优化问题。
2. 基本术语- 决策变量：用来表示问题中需要决策的量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
- 目标函数：表示需要最大化或最小化的量，通常用z表示。
- 线性约束条件：表示问题中的限制条件，通常以不等式或等式的形式给出。
- 可行解：满足所有线性约束条件的决策变量取值。
- 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
三、线性规划模型的建立1. 确定决策变量根据问题的特点，确定需要决策的变量及其表示方式。
2. 建立目标函数根据问题的要求，构建目标函数，它通常是决策变量的线性组合。
3. 确定约束条件根据问题的限制条件，建立线性约束条件，通常以不等式或等式的形式给出。
4. 求解最优解利用线性规划的求解方法，求解出使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
四、线性规划的求解方法1. 图形法对于二维或三维问题，可以使用图形法来求解线性规划问题。
首先将约束条件绘制成图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，不断改进可行解，直到找到最优解。
3. 整数规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法来求解线性规划问题。
整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特定的求解算法。
五、线性规划的应用案例1. 生产计划问题假设一家工厂有多种产品需要生产，每种产品有不同的生产成本和利润。
通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
2. 运输问题假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间有不同的运输成本。
通过线性规划，可以确定各个供应地和需求地之间的运输量，使得总运输成本最小化。
运筹学课程教学大纲一、课程简介- 该课程旨在介绍运筹学的基本理论、方法和应用，培养学生的数学建模和问题求解能力。
- 课程内容包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、网络流、队列论、排队模型等。
二、教学目标- 了解运筹学的基本概念和理论。
- 学习运用数学方法解决实际问题。
- 培养学生的分析、抽象和推理能力。
- 提高学生的团队协作和沟通能力。
三、教学内容及安排3.1 线性规划- 线性规划的基本概念与性质。
- 单纯形法及其应用。
- 对偶理论与灵敏度分析。
- 运输问题与分配问题。
3.2 整数规划- 整数规划的基本概念与形式化表示。
- 割平面法与分支界定法。
- 0-1背包问题。
- 工程项目调度。
3.3 非线性规划- 非线性规划的基本概念与求解方法。
- 黄金分割法与牛顿法。
- 二次规划问题。
3.4 动态规划- 动态规划的基本原理与应用。
- 最优子结构性质与状态转移方程。
- 0-1背包问题的动态规划解法。
3.5 网络流- 网络流的基本概念与算法。
- 最大流问题与最小割问题。
- 匹配问题与指派问题。
3.6 队列论- 队列论的基本概念与性质。
- 随机到达与服务模型。
- M/M/1排队模型。
3.7 排队模型- 排队模型的基本概念与特性。
- 单队列系统与多队列系统。
- 排队系统的性能评估。
四、教学方法- 理论讲授与案例分析相结合，提高学生的实际运用能力。
- 鼓励学生课后查阅相关文献，拓宽知识面和视野。
- 培养学生的团队合作和解决问题的能力。
五、教学评估- 平时成绩评定包括课堂表现、作业和小组讨论。
- 期末成绩主要以学生的综合能力为依据，包括考试成绩和课程设计报告。
六、参考教材- 《运筹学导论》王晓东，高等教育出版社。
- 《运筹学》周汉生，中国人民大学出版社。
- 《运筹学》赵运刚，科学出版社。
七、教学资源- 电子课件及教学辅导材料将通过教学平台提供。
- 各类运筹学软件的操作指南和实例将提供给学生。
八、备注- 本教学大纲仅作为参考，请随时关注课程平台上的最新通知和更新内容。
