2020高考理科数学必刷套题(含2019高考真题及模拟题)

2020高考模拟考试数学（理）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A. {}|12x x -<< B. {}|11x x -≤< C. {}|12x x ≤< D. {}|11x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)-- ，在第三象限. 故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）A. 1y x=B. ln ||y x =C. 2x y =D.1||y x =-【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数， 当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意； 对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αB. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C. 若//n α，m n ⊥，则m α⊥D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确； 对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A. 7 B. 9C. 10D. 13【答案】C 【解析】 【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B. 若2παβ+<，则cos cos αβ+<C. 若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D. 若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】 【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos 2αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，561162sin sin 212ππ-+=+<， 所以sin sin 1αβ+>不正确； 对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，13cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =32； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②③C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的； 由124O O =，可得12O O =，又由球的半径为3，即3R =， 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】 (1). 12 (2). 454【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去）， 又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <+所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4 【解析】 【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________． 【答案】2或10 【解析】 【分析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()2x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号） ①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空） 【答案】 (1). ② (2). > 【解析】 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-， 又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-， 当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C =. （1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π∠=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C = 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得2sin 1sin 2b C B c ===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得P D，即可得到结论.到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2， 记事件A “从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN u u u u r 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=u u u u r r，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥， 又1111A B B C B =I ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =-u u u r ，()10,2,2A B =--u u u r. 所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . 故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =r，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---u u u u r因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=u u u u r r，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【解析】 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-， 又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++u u u u r u u u u r()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-u u u u r u u u u r . 依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>u u u u r u u u u r ，即211271081k F M F N k -⋅=>-u u u u r u u u u r . 解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „.（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b L L ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++L L ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ， 由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈. 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++L L L 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有： (21)(21)(21)h k k k =++++++L()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++L L ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。

2020年高考必刷卷（新课标卷）01数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，若复数()13i z i -=-，则z =（ ）A ．1B ．1-C D ．2或1【答案】C 【解析】分析：根据表达式得31iz i-=-，化简可求得2z i =+，根据模的定义即可求得z 。

详解：()()()()313111i i i z i i i -+-==--+ 4222ii +==+所以z ==所以选C点睛：本题考查了复数的简单运算和模的定义，化简过程中注意共轭复数和符号的变化，是简单题。

2．若集合{}|11A x x =-<<，{}2|log 1B x x =<，则 A B =I （ ）A ．(11)-，B ．(01)，C ．(12)-，D ．(0)2，【答案】B 【解析】集合{}|11A x x =-<<，{}2|log 1B x x =<=()0,2故得到()01A B ⋂=，故答案为：B 。

3．若椭圆2231x ky += 的一个焦点的坐标是()0,1,则其离心率等于( )A ．2B ．.12C ．D 【答案】D 【解析】依题意可知，b=13 ，a=1k =1， ∴e=c a 故选B ．点睛：根据题意可知a 和b ，进而根据c ，进而根据e=ca求得e ． 4．2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有10位外国人，其中关注此次大阅兵的有8位，若从这10位外国人中任意选取3位做一次采访，则被采访者中至少有2位关注此次大阅兵的概率为（ ）A ．715B ．1315C ．1415D ．2930【答案】C 【解析】【分析】至少有2位关注此次大阅兵的对立事件为恰有2位不关注此次大阅兵，根据对立事件的概率公式计算概率. 【详解】解：从这10位外国人中任意选取3位做一次采访，其结果为310120C =个，恰有2位不关注此次大阅兵有21288C C =个，则至少有2位关注大阅兵的概率212831014115C C P C =-=. 故选：C 【点睛】本题考查排列组合的应用与古典概型，考查运算求解能力，属于基础题.5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上的动点，则直线A 1D 与直线C 1E 所成的角等于 ( ) A ．60° B ．90°C ．30°D ．随点E 的位置而变化【答案】B 【解析】∴A 1D ∴AB ，A 1D ∴AD 1，1AB AD A =I ， ∴A 1D ∴平面AD 1C 1B ， 又1C E ⊂平面AD 1C 1B ， ∴A 1D ∴C 1E ．∴直线A 1D 与直线C 1E 所成的角等于90°．选B ． 6．已知tanα=–2，则212sin sin cos 45ααα+的值为( ) A ．125B ．257C ．725D ．2517【答案】A 【解析】tan 2α=-Q ，所以原式222221212sin +sin cos tan +tan 4545==sin +cos tan +1αααααααα()124+2145==4+125⨯⨯- ，故选A. 7．在平行四边形ABCD 中，4AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=u u u r u u u r ，29AE DB ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．12B ．14C ．47D ．34【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的数量积计算可得. 【详解】解：4AB =Q ，1AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=u u u r u u u r，29AE DB ⋅=u u u r u u u rAE AD DE AD AB λ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r ()()AE DB AD DE AB AD ∴⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()AD AB AB AD λ=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r()221AD AB AB AD λλ=-++-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()9161114cos601412λλλ=-+-⨯⨯⨯︒=+=，所以14λ=.故选：B 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题.8．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：7.50.1305,150.2588sin sin ≈≈o o ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图运行程序，直到满足 3.10s ≥时输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入6n =则3sin 60s ==o 3.10s ≥，循环； 12n =，6sin 303s ==o ，不满足 3.10s ≥，循环；24n =，12sin15 3.1056s =≈o ，满足 3.10s ≥，输出结果：24n =本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础题.9．已知函数()2cos f x x =-，若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x …的解集是（ ）A ．()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则求得()g x 的解析式，再根据余弦函数的性质解不等式即可. 【详解】解：将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由()1g x „，得2cos 216x π⎛⎫-+⎪⎝⎭„，得1cos 262x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，则22222363k x k πππππ-++剟，()k Z ∈，得()5124k x k k ππππ-+∈Z 剟. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查推理论证能力与运算求解能力. 10．现有三条曲线：∴曲线22x y e =-；∴曲线2sin y x =；∴曲线32y x x =--.直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条【答案】D 【解析】 【分析】分别求出函数的导数，根据导数的几何意义一一判断. 【详解】解：若()2e 2x f x =-，则由()2e 2xf x '==，得0x =，点()0,0在直线2y x =上，则直线2y x=与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得()2x k k =π∈Z ，当0k =时0x =，点()0,0在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；若()32f x x x =--，则由()2312f x x '=-=，得1x =±，其中()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于基础题.11．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线l ：()ay x c b=-与双曲线C 在第一、三象限的渐近线的交点为P ，若12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD【答案】B 【解析】由题可知双曲线C 在第一、三象限的渐近线方程为,by x a=联立方程组 2222222222,,,(,()by xa c abc a c abc ax y P a a b a b a b a b y x c b⎧=⎪⎪∴=∴=∴⎨----⎪=-⎪⎩），设点O 为坐标原点，由12PF PF ⊥A 可知22222212222|,|.()(),a c abc OP OF c OP c c a b a b ==∴=∴+=-- 化简得4222222222222(3,3,4, 2.a a b a b a b a c a a c e +=-∴=∴=-∴=∴=），故选B. 12．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()242x x x xf x =-，则（ ）A ．()()()0.20.329.13f f f --->>B ．()()()0.30.239.12f f f -->>-C ．()()()0.30.2239.1f f f --->>D ．()()()0.20.39.132f f f -->>-【解析】 【分析】 令()()1022xx g x x =-…，则()()()214f xg x =-，对()g x 求导，分析其单调性， 再根据指数函数的性质比较0.29.1-，0.33-的大小关系，根据函数的单调性判断大小/. 【详解】解：()221142224x x x x x x f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令()()1022x x g x x =-…，()1ln 22xx g x -'=. 当20log e x <„时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当2log e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减. 因为()()120g g ==，所以当01x <„时，()0g x <，且()g x 单调递增. 又0.20.20.40.309.19331----<<-<<，所以()()()0.20.29.1310g g g --<<<，()()()214f x g x =-Q 在(),0-∞上单调递减，且()min 14f x =- ()()()21122244f f g -==-=-Q故()()()0.20.29.132f f f -->>-.故选：D 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。

1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。

C2020高考数学模拟试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i z i -=⋅+3)1(,则=|z | A. 5 B. 3 C. 5 D. 3 2. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤<x x B ．{}41<≤x x C ．{}40<<x x D ．{}41<<x x 3. 已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4. 函数cos sin 2xxy =的大致图象为契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｝｛n a 满足：121==a a ，12+++=n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是A.41B. 31C. 21D. 32 6．将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75°得到OB uuu r ，则OB uuu r ＝A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622,C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622, 7. 已知数列{}n a 满足2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则2019S =A ．20202019B ．20191C ．20201D ．201920188. 已知函数()f x 在R 上满足()()x x x f x f 52242+-=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-MDC 1BA B 119. 函数()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 在⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ,内单调递增，且图象关于直线π-=x 对称，则ω的值为 A.14B. 35C. 32D. 3110.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A ．2B ．4C ．6D ．811.已知函数3()ln 2f x x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()20e ,B ．()2e,∞-C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛210e ,D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21e 12.如图，1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为A. 5265C. 2623D. 263第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,ln 20,1212x x x x x f x则()()=-1f f .14. 已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-1040y y x y x ，则y x z +-=22的最大值为 .15. 函数112+-=x y 与函数)2(-=x k y 的图象有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.） 17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。

素养提升练(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·宣城二调)若复数z 满足z (1＋2i)＝3＋i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数＝( )z A ．1 B ．1－i C ．2 D ．1＋i 答案　D解析　由z (1＋2i)＝3＋i ，z ＝＝＝＝1－i ，∴z 的共3＋i 1＋2i (3＋i )(1－2i )1－4i 25－5i5轭复数为1＋i ，故选D.z －2．(2019·清远联考)已知集合A ＝{x ∈R |log 2(x ＋1)≤2}，B ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}答案　B解析　由题可知A ＝(－1,3]，则A ∩B ＝{0,1,2,3}．故选B.3. (2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　C解析　根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是＝18.5，④错误，故选C.18＋1924．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里答案　C解析　记每天走的路程里数为{a n }，则{a n }为公比q ＝的等比数列，由S 6＝12378，得S 6＝＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×＝6，故选C.a 1(1－126)1－121255．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cos ＝，则sin2α＝(π2＋α)35( )A. B ．－ C. D ．－24252425725725答案　A解析　cos ＝⇒sin α＝－，∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第三象限角，∴cos α(π2＋α)3535＝－，1－sin 2α45∴sin2α＝2sin αcos α＝，故选A.24256．(2019·黄山质检)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝，且a ⊥(a ＋2b )，则b 2在a 方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C. D ．－22答案　B解析　由于a ⊥(a ＋2b )，故a ·(a ＋2b )＝0，即a 2＋2a ·b ＝4＋2a ·b ＝0，a ·b ＝－2.故b 在a 方向上的投影为＝＝－1.故选B.a ·b |a |－227．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝在[－π，π]的图象大致为( )sin x ＋xcos x ＋x2答案　D解析　∵f (－x )＝＝－f (x )，sin (－x )－xcos (－x )＋(－x )2∴f (x )为奇函数，排除A.又f ＝＝>1，f (π)＝>0，排除B ，C.故选D.(π2)1＋π2(π2)24＋2ππ2π－1＋π28．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝，2BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A. B. C. D.π2π3π4π6答案　B解析　取B 1C 1的中点D 1，连接A 1D 1，CD 1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点D 为BC 的中点，∴AA 1＝DD 1且AA 1∥DD 1，∴AD ∥A 1D 1且AD ＝A 1D 1，∴∠CA 1D 1就是异面直线AD 与A 1C 所成的角，AB ＝AC ＝，BC ＝2可以求出AD ＝A 1D 1＝1，2在Rt △CC 1D 1中，由勾股定理可求出CD 1＝，在Rt △AA 1C 中，由勾股定理可3求出A 1C ＝2，显然△A 1D 1C 是直角三角形，sin ∠CA 1D 1＝＝，∴∠CA 1D 1＝，故选B.CD 1A 1C 32π39．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝D ．a n ＝n (n －1)2n (n ＋1)2答案　D解析　令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝.故选D.n (n ＋1)210．(2019·山师附中模拟)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点且与对称轴x 2a 2y 2b 2垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，△OAB 的面积为，则双曲线的离心13bc 3率为( )A.B.C.D.132133222223答案　D解析　右焦点设为F ，其坐标为(c,0)，令x ＝c ，代入双曲线方程可得y ＝±b ＝±，△OAB 的面积为·c ·＝bc ⇒＝，可得e ＝＝＝c 2a 2－1b 2a 122b 2a 133b a 133c a 1＋b 2a 2＝，故选D.1＋13922311．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．8＋4B ．2＋2＋4223C ．2＋6D ．2＋4＋2323答案　D解析　由题意可知，该几何体的直观图如图：该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A －BCD ，三棱锥的表面积为×2×2＋2××2×＋×(2)2＝2＋4＋2.故选D.121223422312．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD 中，∠BCD ＝60°，曲线C 1是以A ，C 为焦点，通过B ，D 两点且与直线x ＋2y －4＝0相切的椭圆，则曲线C 1的方3程为( )A.＋＝1B.＋y 2＝1x 24y 23x 24C.＋＝1 D.＋＝1x 25y 24x 28y 22答案　B解析　如图，由题意可得a ＝2b (b >0)，则设椭圆方程为＋＝1.x 24b 2y 2b2联立Error!得4y 2－4y ＋4－b 2＝0.3由Δ＝48－16(4－b 2)＝0，解得b ＝1.所以曲线C 1的方程为＋y 2＝1.故选B.x24第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·东北三校模拟)已知x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案　3解析　根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z ＝3x ＋y ，可知直线y ＝－3x ＋z 过A (1,0)时，z 有最大值为3×1＋0＝3.14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值为________．答案　1712解析　运行程序，x ＝2，n ＝1，判断是，x ＝，n ＝2，判断是，x ＝，n ＝3，321712判断否，输出x ＝.171215．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．答案　(22,20)解析　由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4，第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6，……，第n 组各个数对和为n ＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42，则第40组第21个数对为(22,20)．16．(2019·哈三中模拟)函数f (x )＝x 2－6x ＋4ln x 的图象与直线y ＝m 有三个交点，则实数m 的取值范围为________．答案　(4ln 2－8，－5)解析　由题意得f ′(x )＝2x －6＋＝，令f ′(x )＝0，解得x ＝14x 2x 2－6x ＋4x 或x ＝2，易得当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1,2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (1)＝－5为极大值，f (2)＝4ln 2－8为极小值，∴4ln 2－8<m <－5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，其中b ＝2，sin(A －B )＝sin C －sin B .(1)求A ；(2)若D 是AC 边的中点，BD ＝，求a .7解　(1)∵sin(A －B )＝sin C －sin B ，∴sin B ＝sin C －sin(A －B )，即sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )，整理得sin B ＝2cos A sin B .又sin B ≠0，则cos A ＝，则A ＝.12π3(2)根据题意，设AB ＝t ，又由b ＝AC ＝2，则AD ＝1，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos A ＝t 2＋1－2×t ×1×＝7，12即t 2－t －6＝0，解得t ＝3或t ＝－2(舍去)．在△ABC 中，a 2＝BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝9＋4－2×3×2×＝127，∴a .718．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A ，B 两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80 cm 的为正品，小于80 cm 的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95]A 零件812403010B 零件91640287(1)试分别估计A ，B 两种零件为正品的概率；(2)生产1个零件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B ，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：①设X 为生产1个零件A 和一个零件B 所得的总利润，求X 的分布列和数学期望；②求生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率．解　(1)∵指标大于或等于80 cm 的为正品，且A ，B 两种零件为正品的频数分别为80和75，∴A ，B 两种零件为正品的概率估计值分别为P (A )＝＝，P (B )＝＝.80100457510034(2)①由题意知，X 的可能取值为－25,35,50,110，P (X ＝－25)＝×＝，1514120P (X ＝35)＝×＝，451415P (X ＝50)＝×＝，1534320P (X ＝110)＝×＝.453435∴X 的分布列为X－253550110P1201532035∴X 的数学期望为E (X )＝(－25)×＋35×＋50×＋110×＝79.25.1201532035②∵生产1个零件B 是正品的概率为P (B )＝，34生产5个零件B 所产生的正品数Y 服从二项分布，即Y ～B ，(5，34)生产5个零件B 所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，∴生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率为P ＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 41＋C 5＝.45(34)(14)5(34)8112819．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．解　(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE .(2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝.3以H 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐HC →标系Hxyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，)，3＝(1,0，)，＝(2，－1,0)．CG → 3AC → 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!所以可取n ＝(3,6，－)．3又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，m 〉＝＝.n ·m |n ||m |32因此二面角B －CG －A 的大小为30°.20．(本小题满分12分)(2019·漳州质检)已知动圆P 过点F 且与直线y ＝(0，18)－相切，圆心P 的轨迹为曲线C .18(1)求曲线C 的方程；(2)若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过△AOB 的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．解　(1)解法一：由题意可知|PF |等于点P 到直线y ＝－的距离，18∴曲线C 是以点F 为焦点，以直线y ＝－为准线的抛物线，∴曲线C(0，18)18的方程为x 2＝y .12解法二：设P (x ，y )，由题意可知|PF |等于点P 到直线y ＝－的距离，18∴＝，整理得曲线C 的方程为x 2＝y .x 2＋(y －18)2|y ＋18|12(2)设直线AB ：y ＝kx ＋m 代入x 2＝y ，12得2x 2－kx －m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝2x ，y 2＝2x ，Δ＝k 2＋8m >0，212x 1x 2＝－，y 1y 2＝(2x )(2x )＝4(x 1x 2)2＝m 2，m 2212∵直线AB 过△AOB 的外心，∴OA ⊥OB ，·＝0，OA → OB →∴－＋m 2＝0，∴m ＝0或m ＝，m 212∵直线AB 不过点O ，∴m ≠0，∴m ＝，12∴直线AB ：y ＝kx ＋，∴直线AB 过定点.12(0，12)21．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知函数f (x )＝ln x －ax －3(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －5，求实数a 的取值范围．解　(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知得f ′(x )＝－a ，1x当a <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增，无减区间；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝，1a∴当x ∈时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；(0，1a )当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(1a ，＋∞)(2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增，无最大值，当a >0时，函数f (x )在x ＝取得最大值，1a即f (x )max ＝f ＝ln －4＝－ln a －4，(1a )1a 因此有－ln a －4>a －5，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝＋1>0，1a∴g (a )在(0，＋∞)内单调递增，又g (1)＝0，∴g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·太原二模)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，点M 在曲线C 1上运动，动点P 满足＝2，其轨迹为曲线C 2.OP → OM →以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 2的普通方程；(2)若点A ，B 分别是射线l ：θ＝与曲线C 1，C 2的公共点，求|AB |的最大值．π4解　(1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵＝2，OP → OM →∴Error!∵点M 在曲线C 1上，∴Error!∴曲线C 1的普通方程为(x ′－2)2＋(y ′－1)2＝1，∴曲线C 2的普通方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4.(2)由Error!得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－2ρsin θ＋4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0，由Error!得Error!或Error!∴A 或A ，(π4，2)(π4，22)由Error!得Error!或Error!∴B 或B ，(π4，22)(π4，42)∴|AB |的最大值为3.223．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·太原二模)已知函数f (x )＝|2x －a |－|x ＋2a |(a >0)．(1)当a ＝时，求不等式f (x )≥1的解集；12(2)若∀k ∈R ，∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤|k ＋3|－|k －2|成立，求实数a 的取值范围．解　(1)当a ＝时，原不等式为－|x ＋1|≥1，12|2x －12|∴Error!或Error!或Error!∴x <－1或－1≤x ≤－或x ≥，1252∴原不等式的解集为∪.(－∞，－12][52，＋∞)(2)由题意得f (x )min ≤(|k ＋3|－|k －2|)min ，∵f (x )＝－Error!∴f (x )min ＝f ＝－a ，(a 2)52∵－5＝－|(k ＋3)－(k －2)|≤|k ＋3|－|k －2|，∴(|k ＋3|－|k －2|)min ＝－5，∴－a ≤－5，∴a ≥2，52∴a 的取值范围是[2，＋∞)．。

2020高考数学（理）必刷试题（解析版）（11）2020高考数学模拟考试（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i2020=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A. （1，4）B. （2，4）C. （1，2）D. （1，+∞）3.若a=ln2，，的大小关系为（）A. b＜c＜aB. b＜a＜cC. a＜b＜cD. c＜b＜a4.当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A. x3＜3x＜log3xB. 3x＜x3＜log3xC. log3x＜x3＜3xD. log3x＜3x＜x35.已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -16.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.7.设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 98.若数列{a n}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A. 10B. 20C. 30D. 409.设函数f（x）=x2+2cos x，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f （2x）的解集为（）A. （-1，）B. [0，）C. （]D. [0，]10.设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A. B. C. D.11.已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.12.已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A. eB.C.D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足a1=1，前n项和未s n，且s n=2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n=______．14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA 与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．16.如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．18.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：;（3）求P99，P100的值．19.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1-AE-O的余弦值．20.椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数f（x）=e x cos x-x sinx，g（x）=sin x-e x，其中e为自然对数的底数．（1）?x1∈[-，0]，?x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1．故选：A．直接利用虚数单位i的运算性质求解．本题考查虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．2.【答案】B【解析】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即1＜x＜4，∴A=（1，4），由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞），则A∩B=（2，4），故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】A【解析】解：a=ln2＞ln=，=＜，==∴a＞c＞b，故选：A．利用指数、对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小．本题考查求定积的值及指数函数的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x，∴log3x＜x3＜3x，故选：C．利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵已知cos（-α）=2cos（π+α），即sin α=-2cosα，即tan α=-2．又∵tan（α+β）===，则tanβ=7，故选：B．由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角和的正切公式，求得tanβ的值．本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：=sin（2x+），∴令：（k∈），解得：（k∈），当k=0时，，故选A．7.【答案】C【解析】解：=（a-1，1），=（-b-1，2），∵A，B，C三点共线，∴2（a-1）-（-b-1）=0，化为：2a+b=1．又a＞0，b＞0，则+=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴-=x n+1-x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．本题主要考查新数列定义，及等差数列的重要性质，属中档题型．9.【答案】B【解析】解：函数f（-x）=（-x）2+2cos（-x）=x2+2cos x=f （x），则函数f（x）是偶函数，函数的导数f′（x）=2x-2sin x=2（x-sin x），[f′（x）]′=2-2cos x≥0，即f′（x）在[-1，1]是为增函数，则当0≤x≤1时，f′（x）≥f′（0）=0，即f（x）在[0，1]上为增函数，则不等式f（x-1）＞f（2x）等价为f（|x-1|）＞f（|2x|），得得，得得，得0≤x＜，又即不等式的解集为[0，），根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用进行和单调性进行转化是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则==．故选：A．若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．11.【答案】A【解析】解：如图，=．由，，可得∴cos=，则，从而向量与向量的夹角为．故选：A．由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题．12.【答案】A【解析】解：对不等式两边同时取对数得ln x1＜ln x2，即x2ln x1＜x1ln x2，即＜恒成立，设f（x）=，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得1-ln x＞0得ln x＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故选：A．在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：当n≥2时，s n=2a n，……①令n=2，则s2=a1+a2=1+a2=2a2，故a2=1，令n≥3，则s n-1=2a n-1，……②①-②得：a n=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，即从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，故a n=，故答案为：．由已知可得数列{a n}满足a1=1，从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，进而得到答案．本题考查的知识点是数列的递推式，本题要注意数列并非等比，而是从第二项开始才是等比数列．14.【答案】16π【解析】解：边长为3的正△ABC的外接圆的半径为=，∵OA与平面ABC所成的角为30°，∴球O的半径为=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．求出边长为3的正△AB C的外接圆的半径，利用OA与平面ABC 所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键．15.【答案】【解析】解：∵a=2sin18°，若a2+b=4，∴b=4-a2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°，∴===，故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求b=4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得e==．故答案为：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1），由正弦定理可得：，∴，∴，且A∈（0，π），∴，（2），∴bc=12，又a2=b2+c2-2b cos A，∴9=（b+c）2-3bc，∴，即△ABC的周长为．【解析】（1）结合已知及正弦定理进行化简可求cos A，进而可求A，（2）结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，P(X=3)=()3=，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)=()3=．X3456P∴．（2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，∴，即，∴.．（3）解：由（2）知数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}(n≥1)，，公比为的等比数列．∴，由此得到，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题．（1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明.（3）数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}（n≥1），，公比为的等比数列，从而，由此能求出P99，P100的值．19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分）=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，∴⊥，∴B1O⊥EO，=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分）∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分）设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），，则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分）∴cos＜＞===，∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分）【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO．（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-F的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2=a2-c2=1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ=|x1|?|y1|=1，又，解得，||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4=2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22）===-3+8=5，综上可得||2+||2为定值5．【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx；∵；∴cos x≥0，sin x≤0，e x＞0；∴e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx＞0；即f′（x）＞0；∴f（x）在上单调递增；∴f（x）的最大值为f（0）=1；，设h（x）=g′（x），则：；∵；∴；∴h′（x）＜0；∴h（x）在[0，]上单调递减；∴h（x）的最大值为h（0）=；∴h（x）＜0，即g′（x）＜0；∴g（x）在[0，]上单调递减；∴g（x）的最大值为g（0）=；根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；∴；∴；∴实数m的取值范围为；（2）；设F（x）=e x-（x+1），则F′（x）=e x-1；∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0；∴F（x）≥0；∴e x≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立；；∴①，x=0时取“=”；∴；==；；∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到；∴；∴f（x）-g（x）＞0．【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）=g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）=，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围；（2）先求出f（x）-g（x）=，根据导数可以证明e x≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cos x+）-sin x（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）-g（x）＞0．考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），由得，∴l的普通方程为：，∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得：，∴，∴，∴t1，t2同号，∴．【解析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值．本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6，解得x≥-1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9，即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9；所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集；（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题．。

2020高考模拟考试数学（理）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】(1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。

2020高考模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合1273xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}|5B y y =≥-，则()R A B =I ð（ ）A ．∅B ．[]5,3--C ．[)5,3--D ．[]5,3-【答案】B【解析】先求出集合A ，然后求出R A ð，再与集合B 取交集即可. 【详解】依题意，得{}3111273333x x A x x x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<=>-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，则{}R |3A x x =≤-ð，所以()[]R 5,3A B =--I ð.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算、不等式的解法考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.2．若复数1i()2im z m +=∈+R 为纯虚数，则m =（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案. 【详解】1i (1i)(2i)2i 2i 221i 2i (2i)(2i)555m m m m m m z ++--+++-====+++-. 复数z 为纯虚数,得20210m m +=⎧⎨-≠⎩解得2m =-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题..3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某校聚集400名学生站成一个方阵.方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“70”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选1名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为14，则任选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率为（ ） A ．100133B ．34C ．50133D ．316【答案】C【解析】分别求出身穿红色衣服和白色衣服的人数，然后求出选出1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的选法，及400名学生选出2名学生的选法，结合古典概形的概率公式可求出答案. 【详解】400名学生中，身穿红色衣服的有14001004⨯=人，身穿白色衣服的有300人，故任选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率111003002400C C 50C 133P ⋅==.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合，考查古典概型的概率，考查推理能力，属于基础题.4．记递增等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若28S =，480S =，则（ ） A ．14a = B ．12a =C ．2q =D ．4q =【答案】B【解析】结合3442a a S S +=-，及23412a a q a a +=+，可求出公比，进而求出1a .【详解】依题意，得128a a +=，344272a a S S +=-=，所以234129a a q a a +==+，解得3q =或者3q =-.又因为数列{}n a 是递增数列，所以3q =，所以12a =. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.5．运行如图所示的程序框图；若输入的x 的值为3，输出的x 的值为98，则判断框中可以填（ ）A ．5i >B ．4i >C ．3i >D ．2i >【答案】C【解析】运行该程序，可知3i =，不满足判断框，4i =，满足判断框，从而可选出答案. 【详解】由于输入的x 的值为3，输出的x 的值为98，可知： 运行该程序，第一次，1(31)22x =+=，1i =，不满足判断框； 第二次，13(21)22x =+=，2i =，不满足判断框； 第三次，1351224x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3i =，不满足判断框；第四次，1591248x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4i =，满足判断框，输出x 的值为98， 故判断框可以填3i >.故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题. 6．地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量E 与地震里氏震级M之间的关系为34.810ME =.已知A 地区最近两次地震的震级1M ，2M 的值分别为6，5，释放的能量分别为1E ，2E .记12E E λ=，则λ∈（ ） A ．()30,31 B ．()31,32C ．()32,33D ．()33,34【答案】B【解析】分别求出1E 和2E ，可得到91.517.52101010E E ==，然后比较 1.51031,32,的大小关系即可选出答案. 【详解】依题意， 4.8911010E =⋅， 4.87.521010E =⋅，故91.517.52101010E E ==，要比较 1.510与32的大小关系，可比较310与232的大小关系，易知3101000=，而2321024=，故 1.51032<.同理可得， 1.51031>，所以(31,32)λ∈. 故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题.7．已知三棱锥A BCD -满足AB CD ==10AC BD ==，AD BC ==则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．128πC ．132πD ．156π【答案】A【解析】可将三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，可得2222225210080x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，从而可求出222x y z ++及外接球半径，进而可求出该三棱锥外接球的表面积. 【详解】三棱锥A BCD -的对棱相等，可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，则2222225210080x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得，222116x y z ++=，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ,则()22222116R x y z =++=，即24116R =. 则所求外接球的表面积24π116πS R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题. 8．将曲线23e x y +=绕原点顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则tan θ=（ ） A ．22e B ．32e C ．23e D ．33e【答案】D【解析】易知直线tan y x θ=⋅是曲线23ex y +=过原点的切线，设切点坐标为()02,3e x x +，结合导数的几何意义，可求出0x ，从而可求出tan θ.【详解】依题意，tan y x θ=⋅是曲线23e x y +=过原点的切线.设切点坐标为()020,3e x x +，而23ex y +'=，所以02tan 3e x θ+=.把切点坐标()020,3ex x +代入tan y x θ=⋅，得002203e3e x x x ++⋅=，解得01x =，即3tan 3e θ=.故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于中档题.9．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的渐近线上，且在第二象限，2OM OF =（O 为坐标原点），线段2MF 的中点P 满足122PF PF a -=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1+B ．1+CD 【答案】A【解析】先求出M 的坐标，进而可得到P 的坐标，由P 满足122PF PF a -=，可知点P 在双曲线C 的右支上，将坐标代入方程，计算可求得离心率. 【详解】双曲线C 的渐近线为b y x a =±，设M 的坐标为(),0b m m m a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，由2||OM OF c ==，可得222222b c m m m c a a⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，即m a =-，(),M a b -，则,22c a b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭. 122PF PF a -=，则点P 在双曲线C 的右支上，所以2222()144c a b a b--=，整理得22215c ca a-+=，即()215e -=，解得1e =，因为1e >，所以只有1e =+. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于中档题.10．已知在体积为27的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11C D 的中点.若平面BEF I 平面11BCC B l =，则l 在正方形11BCC B 中的线段长度为（ ）A ．B ．2C ．2D 【答案】D【解析】延长EF ，11B C ，交于点G ，连接BG ，1BG CC H =I ，可知l 在正方形11BCC B 中的线段为线段BH ，由1D EF V 和1C GF V 全等，及11//C H BB ，可得111113C HC G BB B G ==，从而可求得1C H 进而可求得BH . 【详解】如图，延长EF ，11B C ，交于点G ，连接BG ，其中1BG CC H =I ，则l 在正方形11BCC B 中的线段即为线段BH .依题意，得327AB =，则3AB =.又易知1D EF V 和1C GF V 全等，所以111112C G D E A D ==，又11//C H BB ，则111113C H C G BB B G ==，11C H =. 所以2CH =，223213BH =+=. 故选：D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力以及数形结合思想,属于基础题. 11．已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象的一个最高点为()3,1P ，M ，N 是与P 相邻的两个最低点，且20tan 21MPN ∠=-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[]310,810()k k k ++∈Z B ．[]810,1310()k k k ++∈Z C ．[]35,85()k k k ++∈Z D ．[]85,135()k k k ++∈Z【答案】A【解析】由函数()f x 图象的一个最高点为()3,1P ，可知1A =，π32π()2k k ωϕ+=+∈Z ，由20tan 21MPN ∠=-，结合二倍角公式，可求得tan2MPN ∠，进而由图象可知4tan 2MPNMN T ∠==，从而可求得,ωϕ，即可求得()f x 的表达式及单调递减区间.【详解】依题意，得22tan202tan 211tan2MPNMPN MPN ∠∠==-∠-，解得5tan 22MPN ∠=或2tan25MPN ∠=-，因为π022MPN ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以只有5tan 22MPN ∠=符合题意， 函数()f x 图象的一个最高点为()3,1P ，得1A =，41tan102MPNMN T ∠==⨯⨯=，则2ππ105ω==， 又(3)1f =，得ππ32π()52k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π()10k k ϕ=-+∈Z . 因为||2ϕπ<，所以π10ϕ=-，则ππ()sin 510f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令πππ3π2π2π()25102k x k k +≤-≤+∈Z ，解得310810()k x k k +≤≤+∈Z . 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正切的二倍角公式的应用，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与x 轴交于P ，Q 两点，与y 轴交于M ，N两点，点R 在椭圆C 上，135PRQ ︒∠=，cos RPQ ∠=，且四边形MPNQ 的面积为C 的方程为（ ）A ．221244x y +=B ．221128x y +=C ．221166x y +=D ．22311816x y +=【答案】A【解析】由角的关系可求得tan RPQ ∠和tan RQP ∠的值，然后设(,)R s t (0,0)s t >>，可得||2tan tan t tPQ a RPQ RQP==+∠∠，tan tRPQ a s=∠+，联立可求得,,s t a 的关系，将点R 的坐标代入椭圆方程，可求得,a b的关系，结合四边形MPNQ 的面积为2ab =,a b 的值. 【详解】由cos RPQ ∠=，可得1tan 3RPQ ∠=.又135PRQ ︒∠=，所以()tan tan 1tan tan 1tan tan 2PRQ RPQ RQP PRQ RPQ PRQ RPQ ∠+∠∠=-∠+∠=-=-∠∠.不妨设(,)R s t (0,0)s t >>，则||25tan tan t t PQ a t RPQ RQP ==+=∠∠，即25at =，tan t RPQ a s =∠+，即23355a as t a a =-=⨯-=. 则将255,a a R ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得2222412525a a a b+=，即226a b =.又四边形MPNQ 的面积为2ab =联立222866ab a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2b =，26a =.故椭圆C 的方程为221244x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换、椭圆的方程和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.二、填空题13．对一批产品的内径进行测量，所得数据统计如下图所示，估计这批产品内径的中位数为___________.【答案】26【解析】由小矩形的面积之和等于1可求出a 的值，计算前3个小矩形的面积可知中位数在第四组中，列式子计算即可. 【详解】由题意，得(0.012520.0250.03750.05)51a ⨯++++⨯=，解得0.0625a =.前3个小矩形的面积(0.01250.0250.05)50.4375S =++⨯=，故所求中位数为0.50.437525260.0625-+=.故答案为：26. 【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知ABC V 中，D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点.若BE mAD nAE =+uur uuu r uu u r，则m n -=______________.【答案】72-【解析】结合平面向量的线性运算，用,AD AE u u u r u u u r 表示BE u u u r，进而可求出,m n 的值，即可求出答案. 【详解】 如图，3333()(2)22222BE BC CE DC AE AC AD AE AE AD AE AE AD=+=-=--=--=-uur uu u r uur uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ，所以32m =-，2n =，所以37222m n -=--=-.故答案为：72-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查推理论证能力，属于基础题.15．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，()121111n n n S a S +++=-.若4139k S <，则k 的最大值为____________.【答案】19【解析】利用11n n n a S S ++=-，将等式转化为只含1n n S S +,的关系式，进而可得到111111n n S S +-=---，即数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，从而可求出n S 的表达式，解不等式4139k S <，可求出答案. 【详解】依题意，得()21111n n n a S S +++⋅=-，则()()21111n n n n S S S S +++-⋅=-，即22111121n n n n n S S S S S ++++-=-+，所以1121n nn S S S ++=-，则()1111n n n S S S ++-=-，即11111111111111n n n n n n S S S S S S +++++-+===+----，所以111111n n S S +-=---. 故数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为111a =-32-，公差为1-的等差数列，则1112n n S =---，所以2121n n S n -=+. 故4139k S <可化为21413921k k -⋅<+，解得20k <，因为*k ∈N ，所以k 的最大值为19. 故答案为：19. 【点睛】n S 与n a 关系问题的求解思路：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.①利用()12n n n a S S n =-≥-，转化为只含n n S S -1,的关系式，再求解； ②利用()12n n n S S a n --=≥，转化为只含1,n n a a -的关系式，再求解.16．已知函数223,0()143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，函数()()()()2212g x f x m f x m =+-⎤⎦-⎡⎣，若函数()g x 有7个零点，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】{}3,102⎛⎤-- ⎥⎝⎦U 【解析】作出函数()f x 的图象，令()0g x =，解得()1f x =或()2f x m =-，结合图象易知()1f x =有4个解，从而只需()2f x m =-有三个解，结合图象讨论2m -的取值范围即可. 【详解】0x <时，235()211x f x x x +==+--，()f x 在3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且302f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当32x <-时，图象始终在2y =的下方； 当0x ≥时，2()43f x x x =-+，在[]0,2上单调递减，在()2,+?上单调递增，且(0)3f =.作出函数()f x 的图象如下图所示：令[]2()()(21)()20g x f x m f x m =+--=，解得()1f x =或()2f x m =-，而()y f x =和1y =的图象有4个交点，即()1f x =有4个实数根，所以只需()2f x m=-有3个实数根即可.观察可知，当223m ≤-<或20m -=时，符合题意， 解得312m -<≤-或0m =. 故答案为：{}3,102⎛⎤-- ⎥⎝⎦U .【点睛】本题考查函数的图象性质，考查函数的零点，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．如图所示，在平面四边形ABCD 中，4tan 3BCD ∠=-.（1）若ACB ACD ∠=∠，22AB BC ==，求AC 的长； （2）若45CBD ︒∠=，2BC =，求BCD V 的面积. 【答案】（1）5AC =2）8【解析】（1）由tan BCD ∠，可求出cos BCD ∠，结合ACB ACD ∠=∠，可求得cos ACB ∠，在ABC V 中，由余弦定理可求出AC 的长；（2）先求得sin cos BCD BCD ∠∠，，则()sin sin 45CDB BCD ︒∠=∠+，然后利用正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可求出CD ，进而可求出BCD V 的面积.【详解】（1）4tan 3BCD ∠=-,则BCD ∠是钝角，cos 0BCD ∠<，可求得3cos 5BCD ∠=-.因为ACB ACD ∠=∠，所以23cos 2cos 15BCD ACB ∠=-=∠-.因为cos 0ACB ∠>，所以5cos ACB ∠=. 在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC -=. 解得5AC =35AC =（舍去）. 所以5AC =（2）由（1）可知，24sin 1cos 5BCD BCD ∠=-∠=. 在BCD V 中，因为45CBD ∠=︒，所以()()22sin sin 18045sin 45cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠=.由正弦定理得sin sin BC CDCDB CBD =∠∠，所以sin 10sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠. 故BCD V 的面积14210825S =⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题.18．如图，三棱锥P ABC -中，ABC V 是等边三角形，M 是线段AC 的中点，N 是线段CB 上靠近C 的四等分点，平面PBC ⊥平面ABC .（1）求证：MN PB ⊥；（2）若4PB PC BC ===，求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接AO ，由ABC V 是等边三角形，可得AO BC ⊥，//MN AO ，结合平面PBC ⊥平面ABC ，易证MN ⊥平面PBC ，从而可证明结论；（2）连接PO ，易知OA ，OB ，OP 两两垂直，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，然后分别求出平面BPC 、APC 的法向量，设二面角A PC B --为θ，则cos m nm nθ⋅=u r ru r r ，可求出答案.【详解】（1）如图，取BC 的中点为O ，连接AO . 因为ABC V 是等边三角形，所以AO BC ⊥. 由题意知//MN AO ，从而MN BC ⊥.因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，MN BC ⊥， 所以MN ⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ，所以MN PB ⊥.（2）如图，连接PO .因为PB PC =，所以PO BC ⊥.又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，PO BC ⊥， 所以PO ⊥平面ABC .所以OA ，OB ，OP 两两垂直.分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为4PB PC BC ===，ABC V 为等边三角形，所以23PO AO ==，所以()23,0,0A ，()0,2,0C -，()0,0,23P ，从而()23,0,23PA =-uu r ，()0,2,23PC =--uu u r.设平面APC 的法向量(),,n x y z =r.由00n PA n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得232302230x z y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，即3x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩.可取()1,3,1n =-r . 取平面BPC 的一个法向量()1,0,0m =u r.设二面角A PC B --为θ，则()()2222221130105cos 5131100m nm nθ⨯+-⨯+⨯⋅===+-+⨯++u r r u r r . 由题意可知二面角A PC B --为锐角，故二面角A PC B --的余弦值为5.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.19．由于工作需要，某公司准备一次性购买两台具有智能打印、扫描、复印等多种功能的智能激光型打印机.针对购买后未来五年内的售后，厂家提供如下两种方案： 方案一：一次性缴纳10000元，在未来五年内，可免费上门维修5次，超过5次后每次收取费用3000元；方案二：一次性缴纳14000元，在未来五年内，可免费上门维修7次，超过7次后每次收取费用1000元.该公司搜集并整理了200台这款打印机使用五年的维修次数，所得数据如下表所示：以这200台打印机使用五年的维修次数的频率代替1台打印机使用五年的维修次数的概率，记X 表示这两台智能打印机五年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列及数学期望；（2）以两种方案产生的维修费用的期望值为决策依据，写出你的选择，并说明理由. 【答案】（1）详见解析（2）应使用方案一,详见解析【解析】（1）X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，分别求出对应概率，列出分布列并求出数学期望即可；（2）分别求出两种方案产生的修理费用的分布列，进而可求出对应的期望值，比较二者大小可得出答案. 【详解】（1）依题意，1台打印机使用五年维修1次的概率为20120010=，维修2次的概率为5012004=，维修3次的概率为8022005=，维修4次的概率为5012004=. X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，111(2)1010100P X ==⨯=，111(3)210420P X ==⨯⨯=， 11121257(4)2441051625400P X ==⨯+⨯⨯=+=，12111(5)22451044P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22114157(6)25544258200P X ==⨯+⨯⨯=+=，211(7)2545P X ==⨯⨯=，111(8)4416P X ==⨯=.故X 的分布列为故2432045751006114780825() 5.6400E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）设使用方案一，产生的费用为1Y 元，则1Y 的分布列为故()118157111000013000160001900012617.5400200516E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 设使用方案二，产生的费用为2Y 元，则2Y 的分布列为故()()21151140001500014062.51616E Y E Y =⨯+⨯=>. 故应使用方案一. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望在实际生活中的应用,考查学生的计算能力，属于基础题.20．已知抛物线：2:4y x Γ=，A ，B ，C ，D 四点都在抛物线Γ上. （1）若线段AC 的斜率为2，求线段AC 中点的纵坐标；（2）记()4,0R ，若直线AC ，BD 均过定点()2,0，且AC BD ⊥，P ，Q 分别为AC ，BD 的中点，证明：P ，Q ，R 三点共线.【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入抛物线方程并作差，结合线段AC 的斜率为2，可求出12y y +的值；（2）设出直线AC ，BD 的方程，分别与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得到P ，Q 坐标的表达式，进而求得直线PQ 方程的表达式，结合AC BD ⊥，证明R 在直线PQ上即可. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，由A ，C 在抛物线上，得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()()()1212124y y y y x x +-=-. 由题意知，12x x ≠，所以12121242y y x x y y -==-+，则122y y +=，则线段AC 中点的纵坐标为1.（2）因为AC BD ⊥，故直线AC ，BD 的斜率存在且不为零.设直线1:2AC x m y =+，直线2:2BD x m y =+.易知10m ≠，20m ≠，12m m ≠.由2142y x x m y ⎧=⎨=+⎩，得21480y m y --=，则1214y y m +=. 设(),P P P x y .则12122P y y y m +==，2122P x m =+，即()21122,2P m m +. 同理可得，()22222,2Q m m +. 所以()()212212212212222PQ m m k m m m m -==++-+，则直线()211121:222PQ y m x m m m -=--+. 因为AC BD ⊥，所以12111m m ⋅=-，即121m m =-. 所以直线121:(4)PQ y x m m =-+，故直线PQ 过点R ，即P ，Q ，R 三点共线.【点睛】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题.21．已知函数()(1)ln f x x x mx =++，()()e xf xg x x =. （1）若2m =-，求证：当1x >时，()2f x >-；（2）若函数()g x 在[]1,e 上单调递减，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[)1,12,e ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U 【解析】（1）2m =-时，求导并判断函数()f x 的单调性，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，即当1x >时，()()12f x f >=-； （2）构造函数()()f x h x x=，求导并判断单调性可得()h x '在[]1,e 上单调递增，可求出min ()h x 与max ()h x ，然后分min ()0h x ≥、max ()0h x ≤和min max 0()()h x h x <<三种情况讨论，使得()g x 在[]1,e 上单调递减所满足的条件，可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）依题意()(1)ln 2f x x x x =+-，定义域为()0,∞+，11()ln 2ln 1x f x x x x x +'=+-=+-. 令1()ln 1m x x x =+-，则22111()x m x x x x -'=-=.所以当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>. 所以()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.所以()(1)0m x m ≥=，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 所以当1x >时，()()12f x f >=-. （2）设()(1)ln 1()1ln f x x x mx h x x m x x x ++⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，则2ln 1()x x h x x -+'=. 易知当[]1,e x ∈时，1ln x x +>，即()0h x '>，故()h x 在[]1,e 上单调递增. 所以min ()(1)h x h m ==，max 1()(e)1eh x h m ==++.①若(1)0h m =≥，则在[]1,e 上，()0e x h x ≥，所以11ln ()e xx m x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=. 所以()2221ln 1()ex x x x mx x g x x -++-++'=. 令()22()1ln 1u x x x x mx x =-++-++.在[]1,e 上，要使()g x 单调递减，则()0g x '≤，从而()0u x ≤. 因为1()(12)ln (21)0u x x x m x x'=-+--+<，所以()u x 在[]1,e 上单调递减. 所以max ()(1)20u x u m ==-+≤，所以2m ≥.②若1(e)10e h m =++≤，即111e m ≤--<-，则在[]1,e 上，()0ex h x ≤， 所以11ln ()ex x m x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-，由①可知2()()e x u x g x x '=-. 所以当[]1,e x ∈时，()()()22222()1ln 11ln 11(1ln )0u x x x x mx x x x x x x x x x =-++-++>-+++++=++-≥，从而()0g x '<，所以()g x 在[]1,e 上单调递减.③若()()10e h h <<，则存在0(1,e)x ∈，使得()00h x =，从而()00g x =. 而(1)(1)0e h g =>，e (e)(e)0eh g =>，从而()g x 在区间[]1,e 上不单调递减. 综上所述，实数m 的取值范围为[)1,12,e ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题考查导数的计算，考查利用导数研究函数的性质，考查构造函数的数学思想，考查学生的推理论证能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 与C 交于A ，B 两点，已知点M 的极坐标为()2,3π.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程，并求MA MB ⋅的值；（2）若矩形DEFG 内接于曲线C 且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221124x y +=；直线的直角坐标方程为20x y -+=；4MA MB ⋅=（2）16【解析】（1）结合参数方程、极坐标方程及普通方程间的关系，转化即可求出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；求出直线l 的参数方程的标准形式，并代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程，结合12MA MB t t ⋅=可求出答案；（2）设点D在第一象限，且(),2sin D αα，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知矩形的周长为()42sin αα⋅+，利用三角函数的性质求最大值即可.【详解】 （1）依题意，得点M 的直角坐标为()2,0-，曲线C 的普通方程为221124x y +=.由直线:sin cos 22l ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭20x y -+=.所以直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221124x y +=中，可得240t -=，所以124MA MB t t ⋅==.（2）不妨设点D在第一象限，且(),2sin D αα，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由椭圆的对称性可知，矩形的周长为()1π42sin 16sin cos 16sin 23ααααα⎛⎛⎫⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 而π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当π6α=时，矩形DEFG 的周长取最大值，最大值为16. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程及普通方程间的转化，考查直线的参数方程的应用，考查三角恒大变换，考查运算求解能力，属于基础题.23．已知0a >，0b >.（1）若0c >，证明24a b c ++≥+；（2）若a b >，证明：22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由基本不等式可得：4a b +≥2a c +≥，24b c +≥，三个式子相加可得到结论；（2）经过变形，不等式左边2123()a ab =+--，故证明212()3()a b a b -+≥-即可，然后利用三个正数的基本不等式可证明结论.【详解】（1）依题意，4a b +≥，当且仅当4a b =时等号成立.2a c +≥，当且仅当2a c =时等号成立.24b c +≥，当且仅当24b c =时等号成立.三式相加可得，2282a b c ++≥+，即24a b c ++≥+，当且仅当24a b c ==时等号成立.（2）因为a b >，所以0a b ->. 而2222222163313()122232()()ab a b a b a a a a ab b a b a b +----+=+=+--+--. 要证21232()a b a b +-≥-，即证212()3()a b a b -+≥-， 即证21()()3()a b a b a b -+-+≥-，而21()()3()a b a b a b -+-+≥=-， 当且仅当21()a b a b =--，即1a b -=时等号成立， 所以22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.。

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。

2020高考数学模拟试题（理科）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}(){}10,ln A x x x B x y x a =-≤==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ）A.(),0-∞ B (],0-∞ C.()1,+∞ D.[)1,+∞2.已知复数(3)13i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A.i z =|| B.i z = C.12=z D.z 的虚部为i - 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.己知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为A ．7-B ．7C ．1D ．1-5.已知定义在[]m m 21,5--上的奇函数)(x f ，满足0>x 时，12)(-=xx f ，则)(m f 的值为（ ） A. -15B. -7C. 3D. 156.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9167.已知23.035.02122log 5log ⎪⎭⎫ ⎝⎛====d c b a 、、、，从这四个数中任取一个数m ，使函数231)(23+++=x mx x x f 有极值点的概率为 ( ) A.41 B.21 C.43D.1 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( ) A.712612+ B. 926+ C. 910+D.832612+ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值。

2020高考数学模拟试题（理科）一、单选题1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】 解：Q3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )【答案】C【解析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题.3．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x=的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 【考点】正切函数的图象与性质.4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A. 【考点】1.不等式性质；2.充要条件.5．如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫-⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rr n rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =K , 令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6．在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A ．12B ．38C ．14D ．18【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ax by =+得21a b +=．则12a b =+… 则18ab …当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18，故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．152B ．314C ．334D ．172【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ）A ．288个B ．306个C ．324个D ．342个【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.【考点】1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9．已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A ．()()22(2)log af f f a <<B ．()()2log (2)2af a f f <<C ．()()2log 2(2)af a f f <<D ．()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D【解析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)a f a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<,所以2(log )(2)af a f <,故选:D 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[6,)+∞ B ．[4,6]-C ．(4,6)-D ．(,4]-∞-【答案】A【解析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关, 所以的取值与x ，y 无关,+的取值与x ，y 无关, 即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11．若a r ，b r ，c r 满足，||||2||2a b c ===r r r ，则()()a b c b -⋅-r rr r 的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．D ．【答案】B【解析】设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，表示出a b -r r，-r r c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则a b BA -=r r uu r ，c b BC -=r r u u u r()()cos a b c b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠r r r r u u u r u u u r u u u r u u u rg g||||2||2a b c ===r r rQ4BA ∴≤u u u r ，3BC ≤u u u r当且仅当BA u u u r ，BC uuur 同向时()()a b c b --r r r r g 取最大值12故()()max12a b c b--=r r r rg 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．5⎡⎢⎣C ．5⎡⎢⎣D ．5⎡⎢⎣【解析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】 如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =u u u r u u u u r ,所以1//B Q DF ;取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥, 所以22PC CD DP +,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以23110DN =+=,21310DQ +=所以点D 到QN 的距离为132310215102⨯⨯=, 所以DP 310,10, 所以PC 22310335()355+=,22(10)319+=所以PC 的取值范围是335195⎡⎢⎣. 故选:B本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题13．命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”． 14．在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】略15．设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为__________. 【答案】【解析】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，，则，令，则,,所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16．已知，，则的最小值为 ．【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式．三、解答题17．设的内角、、所对的边分别为、、,已知,且.（1）求角的大小;（2）若向量与共线, 求的值.【答案】(1);(2)。

2019-2020年高考数学模拟试卷1—5套（理科）高考理科数学模拟试卷（一）时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ）． A. iB. 1C. i -D. 1-2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）． A. 1 B. 5C. 6D. 无数个3.“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若非零向量,a b rr 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=rr rrr，则,a b rr 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 5.己知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则()35tan a a +的值为（ ）．A. 3B. C.3D. 33-6.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A.1415B.115C.29D.7.设log a =，2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. c b a >> B. a c b >> C. b a c >>D. c b a >>8.已知函数||()sin()(0,0,0)x f x A x e A ωϕωϕπ-=+⋅>><<的图象如图所示，则A ω的可能取值（ ）．A. 2πB. πC.23π D. 2π9.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）． A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 511.已如F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）．B.14+12.已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A. (0,)e B. (,)e +∞ C. (0,2)eD. ),2(+∞e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为cos2α=__________． 14.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22y x +的最大值是____________.15.若)22nx-展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________．16.函数()cos 2(sin cos )f x x x x α=+-在区间[0,]2π上单调递增，则实数α的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

2020高考数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)3z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．3-D ．3i -2 . 已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2|20,M x x x x N =--<∈，则U C M =（ ）A ．{}2,1,2-B ．{}2,1,2--C ．{}2-D ．{}2 3．直线A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70],得到如图所示的频率分布直方图.，现发现有22%的学生体重超标，根据直方图估计体重大于等于多少千克为超标体重（ ）.A . 61 B. 62 C. 63 D. 645. ()()2611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．2或36．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则x 的可能值的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、已知抛物线21:2(0)C x py y =>焦点为1F ，圆的圆心为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-8．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分.记ABC ∆三边所围成的区域（灰色部分）为M ，右侧月牙形区域（黑色部分）为N.在整个图形中随机取一点，记此点取自M ，N 的概率分别为1P ，2P ，则（ ） A ．12P P = B ．12P P > C ．1241P P π+=+ D ．2111P P π-=+ 9. 曲线214y x =+-与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．35412k -≤<- C ．512k >D ．53124k <≤ 10. 在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足，则的取值范围是A. [22,0]-B. [0,22]C. [-2,2]D.[22,22]-11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则（ ）A ．4B ．8C ．23D ．4312．已知函数()ln (0,1)xxf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考模拟考试数学（理）试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C）2-（D2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是 （A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（A ）610倍 （B ）810倍 （C ）1010倍 （D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2020高考数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则M N =I （ ） A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．已知命题:p 若||a b >，则22a b >；命题:q m 、n 是直线，α为平面，若m //α,n α⊂，则m //n .下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3132B ．312C ．132D ．31165．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是（ ） A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立投资额y 与时间t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.≠6．已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π(||)2ϕ<图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平行移动π6个单位长度 B ．向右平行移动π6个单位长度C ．向左平行移动π12个单位长度 D ．向右平行移动π12个单位长度 7．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为（ ）8．若2.0log 5.0=a ，2log 5=b ，2.05.0=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>9．若点(2,2)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则FA FB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．10-B 23C ．3-D ．92-10．已知在区间[0,]π上，函数3sin 2xy =与函数1sin y x =+P ，设点P 在x 轴上的射影为'P ，'P 的横坐标为0x ，则0tan x 的值为（ ） A ．12B ．43C ．45D ．81511．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．2C ．33D ．212．已知函数()()()12x f x m x x e e =----(e 为自然对数底数)，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e -B ．22e e -C ．32e e +D ．22e e +第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知,a b rr 为互相垂直的单位向量，若c a b =-r r r ，则cos ,b c =r r ．14．已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是． 15．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为．16．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =，将ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13；②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c C a b 21cos +=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3=•，求a 的最小值． 18．（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。

2020高考模拟考试数学（理）试题、单选题1,设集合A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3，则AI B （）A. {-1,0,1,2} B, 0,1,2C. 0,1D. x 1 x 2,或x 3【答案】B【解析】直接根据交集的概念进行运算即可.【详解】因为A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ,所以AI B {0,1,2}.故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.若向量a 4,2 , b 6,k ,则a//b的充要条件是（）A. k 12B. k 12C. k 3D. k 3【答案】D【解析】直接根据向量共线的坐标表示即可得到.【详解】因为向量a 4,2 , b 6,k ,所以a//b 4k 2 6 0 k 3.故选:D,【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，充要条件，属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟练掌握.3.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n （）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】先求得抽样比，再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得.【详解】依题意可得抽样比为-------- --- ,30 6 36所以有6 — 1,解得n 6.36故选：B【点睛】本题考查了分层抽样，利用抽样比解决是解题关键，属于基础题.4.己知直线a , b , l ,平面，，下列结论中正确的是（）A.若a,b ,l a,l b,则lB.若a ,b//a,则b//C.若，a ，则aD.若// ,l ，则l【答案】D【解析】根据直线与平面垂直，直线与平面平行，平面与平面平行和垂直的的判定，性质逐个分析可得答案.【详解】对于A,根据直线与平面垂直的判定定理，还差直线a与直线b相交这个条件，故A不正确；对于B，直线b也有可能在平面内，故B不正确；对于C ,直线a可能在平面内，可能与平面平行，可能与平面相交但不垂直；故C不正确；对于D在平面内取两条相交直线m,n ,则l m,l n ,过m, n分别作平面与平面相交于m',n',则m'//m,n'//n，且m',n'必相交，所以l m',l n',所以l ，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了直线与平面平行，垂直，平面与平面平行，垂直的判定，性质，熟练掌握线面，面面平行与垂直的判定与性质是解题关键，属于基础题.5.若a 0.30.2, b log 0.1 2 , c 0.3 0.1,则a , b, c的大小关系为（）A. cabB. bacC. acbD. bca【答案】A【解析】根据对数的性质可得b 0,根据指数函数y 0.3x的单调性可得c a 0,由此可得答案.【详解】因为0 0.1 1,2>1,所以b log o.i2 0 ,因为0 0.3 1,所以指数函数y 0.3x为递减函数又-0.1<0.2，所以0.3 0.10.30.20,即c a 0,综上所述，c a b.故选:A【点睛】本题考查了利用对数的性质指数函数的单调性比较大小属于基础题61 ... ......... .6.二项式x 1的展开式中，常数项是( )xA. 20B. 120C. 15D. 30【答案】A【解析】写出二项展开式的通项公式后，令x=0，解得r 3,再根据通项公式可求得常数项. 【详解】6因为二项式X - 的展开式的通项公式为T r1 C6x6 r (1)r C6x6 2r x x(r 0,123,4,5,6)令6 2r 0,解得r 3,1 6......... o 6 5 4所以二项式x - 的展开式中的常数项为C；-------------------- 20.x 3 2 1故选:A【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项，利用通项公式是解题关键，属于基础题.7 .已知直线y x 3与圆x2y22x 2y 0相交于A, B两点，则AB ()A . B. 33 C. 6B D . 2【答案】C【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离根据勾股定理可求得答案.【详解】由x 2 y 2 2x 2y 0得（x 1）2 （y 1）2 2 ,所以圆心为（1,1）,半径为J2, 由 y x3 得 x y 3 0,由圆心到直线的距离公式得|11 3|二.1 12 '由勾股定理可得 §（2）2（22）2 /，所以| AB | 6 .故选:C. 【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径 ，点到直线的距离公式，圆中的勾股定理 利用圆中的勾股定理是解题关键.8 .斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实 物图，图三是斗拱构件之一的 斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体） 组成.若棱台两底面面积分别是 400cm2, 900cm 2,高为9cm, 长方体形凹槽的体积为 4300cm 3,斗的密度是0.70g/cm 3 .那么这个斗的质量是 （） 注：台体体积公式是 V 1 S SS S h .3S-图二图三A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C【解析】根据台体的体积公式求得台体体积，再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积，然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量 【详解】1C-(400400 900 900) 9 5700 cm 33所以这个斗的质量为 5700 4300 10000 cm 3, 所以这个斗的质量为10000 0.70 7000 g . 故选:C.本题考查了棱台的体积公式，属于基础题x 0,9,若实数x, y 满足y 1, ，则2x y 的最大值为（）x 5y 1 0.【解析】作出可行域，根据斜率关系找到最优解，代入最优解的坐标可得答案 【详解】所以 M(4, 1),故选:D根据棱台的体积公式可得棱台的体积为A . 2B. 0C. 7D. 9将目标函数化为斜截式为y 2x z ,由图可知最优解为M ，联立 x 5y 1 y 1，得 x 4, y 1 ,将 x 4, y1代入z 2x y ,得4所2 4 ( 1) 9.作出可行域如图所示1 210 .已知函数f x —ax 2ax In x 在区间0,上为增函数，则实数 a 的取值2范围是（ ）A. 0,1B.0,C.1,D. 1,1【答案】B1【解析】将问题转化为f'（x ） 0,即a ----------- ------ 在区间（0,）上恒成立，再根据x 2 2x二 ---- 0可得答案.x 2 2x【详解】1 2 _ 因为 f x ax 2ax In x , 2“一 1 所以 f '(x) ax 2a —, x1 2因为函数f x -ax 2ax In x 在区间 0, 上为增函数 2所以a 0. 故选:B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性 ，考查了不等式恒成立问题，考查了转化划归思想属于中档题211 .已知A 是双曲线D ： x 2— 1右支上一点，B 、C 分别是双曲线 D 的左、右焦 35 ...... 一 一 sin 2B点。

2020高考数学模拟试题（理科）第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}，则A U B ＝ ． 答案：{1，2，3，4} 考点：集合的并集解析：∵集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}， ∴A U B ＝{1，2，3，4}．2．若(3i)2i z +=-(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ． 答案：11i 22-+ 考点：复数解析：∵(3i)2i z +=-∴222i (2i)(3i)i 5i 65i 511i 3i (3i)(3i)9i 1022z --⋅--+-+=====-+++⋅--． 3．函数3x my -=(m ∈R)是偶函数，则m ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性 解析：∵函数3x my -=关于直线x ＝m 对称，且是偶函数∴直线x ＝m 与y 轴重合，即m ＝0．4．双曲线1422=-x y 的渐近线方程为 ． 答案：2y x =± 考点：双曲线的渐近线解析：根据双曲线22221y x a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为a y x b=±，得双曲线1422=-x y 的渐近线方程为2y x =±． 5．抛物线x y 42=上横坐标为4的点到焦点的距离为 ．答案：5考点：抛物线的定义解析：抛物线x y 42=的焦点坐标为(1，0)，准线为x ＝﹣1， 则抛物线上横坐标为4的点到准线的距离为5，根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为5．6．设函数2ln , 0()1, 02xx x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩，则2(())f f e -＝ ．答案：16考点：分段函数 解析：∵20e->∴22()2ln 40f e e--==-<，则241(())(4)162f f e f --=-==． 7．直线062=++y ax 与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为 ．答案：5考点：平行直线及其距离解析：∵直线062=++y ax 与直线2(1)10x a y a +-+-=平行， ∴(1)20a a --=，22(1)6(1)0a a ---≠，解得a ＝﹣1， 此时两直线方程为：260x y --=与20x y -=，． 8．函数1()xxf x e +=的极大值是 ． 答案：1考点：利用导数研究函数的极值解析：∵1()x xf x e +=∴()x xf x e'=-当x ＜0时，()f x '＞0，()f x 在(-∞，0)单调递增， 当x ＞0时，()f x '＜0，()f x 在(0，+∞)单调递减，∴当x ＝0时，()f x 有极大值010(0)1f e +==． 9．将函数x y cos =的图象向右平移2π个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()f x 的图象，则()6f π＝ ．考点：三角函数的图像变换解析：函数x y cos =的图象向右平移2π个单位后，的函数cos()sin 2y x x π=-=， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得()sin 2f x x =，故()sin632f ππ==． 10．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝AB ＝3DC ＝3，若M 为线段BC 的中点，则AM BD ⋅u u u u r u u u r的值是 ．答案：﹣32考点：平面向量数量积解析：以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 得A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D(0，3)，M(2，32) 则AM u u u u r ＝(2，32)，BD uuu r ＝(﹣3，3)，∴AM BD ⋅u u u u r u u u r ＝(2，32)·(﹣3，3)＝2×(﹣3)＋32×3＝﹣32．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，sin 2A ﹣sin 2B ＝3sin 2C ，cosA ＝13-，则△ABC 的面积是 ． 2考点：正弦定理，余弦定理解析：由正弦定理可将sin 2A ﹣sin 2B ＝3sin 2C 转化为2223a b c -=， 由余弦定理得：2222cos A a b c bc =+-， 将b ＝3，cosA ＝13-，代入上面两个式子，并化简可得： 22223929a c a c c ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，解得：1c =， ∵cosA ＝13-，∴sinA ＝223，∴S ＝1sin A 2bc ＝1223123⨯⨯⨯2．12．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得PA 2＋2PB 2＝9成立，则实数k 的取值范围是 ． 答案：[1515] 考点：直线与圆的位置关系解析：设P(x ，y )，根据PA 2＋2PB 2＝9得： 2222(1)2[(2)]9x y x y +++-+=， 化简得：22(1)1x y -+=，故点P 在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，又点P 在直线l ：50kx y k --=上，1≤，化简得：2151k ≤，则k ≤≤， 综上所述，实数k 的取值范围是[15-，15]． 13．已知实数x ，y 满足23>y 且04296=-+-y x xy ，则y x +3的最小值是 ．12考点：基本不等式解析：∵04296=-+-y x xy ，∴31(31)()22x y +-=，∴3(31)()2x y ++-≥2632x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取“＝”，故132x y +≥，综上所述，y x +312． 14．已知关于x 的不等式2(1)0xx k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是 ． 答案：(e ，213e +] 考点：利用导数研究函数存在性问题（不等式整数解）解析：令2()(1)x f x x k e e =--+，则()()xf x e x k '=-当x ＜k 时，()0f x '<，此时()f x 在(-∞，k )单调递减； 当x ＞k 时，()0f x '>，此时()f x 在(k ，+∞)单调递增． ∴当x ＝k 时，()f x 有最小值为2k e e -+，显然2(1)0xx k e e --+<有解，则2k e e -+＜0，则k ＞2，此时2(2)(2)0f k e =-<，故x ＝2是原不等式的整数解， ①当(1)0f ≥时，即20ke e -+≥时，2＜k ≤e ，此时4242(4)(3)(3)0f k e e e e e =-+≥-+>，故此时最多有两个整数解； ②当(1)0f <时，即20ke e -+<时，k ＞e ，此时323222(3)(2)(2)(21)0f k e e e e e e e e =-+<-+=---<， 故x ＝1，2，3是原不等式的整数解，则242(0)10(4)(3)0f k e f k e e ⎧=--+≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得22113k e k e ⎧≤-⎪⎨≤+⎪⎩，故e ＜k ≤213e +， 综上所述，实数k 的取值范围是(e ，213e+]． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知关于x 的不等式031<-+x x 的解集为A，函数()f x =域为集合B （其中R m ∈）．（1）若0=m ，求B A I ；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知α∈(0，2π)，3cos 5α=． （1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(2)6πα+的值．17．（本题满分15分）已知圆C ：22(2)4x y +-=，直线l 过点A(﹣3，0)． （1）若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；（2）当l 的倾斜角为4π时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB uuu r BD λ=u u u r，求实数λ的值.18．（本题满分15分）为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若2EF 3=米，∠AOB ＝2θ，5412ππθ≤≤． （1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值．19．（本题满分16分）如图，已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P(355，455)．（1）求椭圆的方程；（2）过y轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k＞0)的直线l．①若l与圆和椭圆都相切，求实数t的值；②直线l在y轴左侧交圆于B、D两点，与椭圆交于点C、E（从上到下依次为B、C、D、E），且AB＝DE，求实数t的最大值．20．（本题满分16分）已知函数2()ln 22f x x ax ax a =--++-(a ∈R)．（1）当1=a 时，求函数()f x 在1=x 处的切线方程；（2）是否存在非负整数a ，使得函数()f x 是单调函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知()()3g x f x x =+-，若存在b ∈(1，e )，使得当x ∈(0，b ]时，()g x 的最小值是()g b ，求实数a 的取值范围．（注：自然对数的底数 2.71828e =L ）第II卷（附加题，共40分）21．（10分）已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r是矩阵⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1A03a的属于特征值λ的一个特征向量．（1）求实数λ,a的值；（2）求2A．22．（10分）一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中． （1）求两次取得的球颜色相同的概率；（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望()X E ．23．（10分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，点E 、F 分别在棱AA 1、BB 1上移动，且1AE AA λ=u u u r u u u r ，()11BF BBλ=-u u u r u u u r ． （1）若21=λ，求异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值；（2）若二面角A—EF—C的大小为θ，且552sin=θ，求λ的值．24．（10分）设()1111nkk n nk S kC +==-∑，*n k N ∈，． （1）求21S S -，32S S -； （2）猜想∑=-nk n k S 11的值，并加以证明．。

2020高考数学模拟试题（理科）一、单选题1．已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-<，则（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．{}1A B x x ⋂=<D ．{}0A B x x ⋃=>【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B ，之后根据子集的定义可以判断出B A ⊆，根据交集中元素的特征求得{}|01A B x x ⋂=<<，根据并集中元素的特征，可以求得{}=|1A B x x ⋃<，从而求得结果. 详解：由20x x -<可以求得01x <<，从而求得{}|01B x x =<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，{}=|1A B x x ⋃<，故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目. 2．已知a R ∈，i 为虚数单位，若ai i+为实数，则a 的值为 （） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】 解：()21a aii i a i i i+=+=-Q为实数， 10a ∴-=，即1a =．故选:A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A ．15 B ．16C ．18D ．21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果. 详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ， 由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-⨯=+=，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可. 4．函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e Q -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =Q 在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x x ee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果． 【详解】5(2x +二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的框图，分析可知其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而很容易发现其前4项和等于15，而对于k 的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果. 详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7．已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A ．10 B ．9C ．8D ．5【答案】D【解析】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-125(舍去),故选D.8．曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为（）A．152B．154C．154ln24-D．158ln22-【答案】D【解析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形如下：由45yxy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x=或4x=，所以曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为()421441115S5542084458ln21222x dx x x lnx lnx⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9．已知函数()lnf x x x=，若直线l过点()0,e-，且与曲线()y f x=相切，则直线l 的斜率为()A．2-B．2 C．e-D．e【答案】B【解析】求得()f x的导数，设出切点(),m n，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，从而可得结果．【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.10．巳知将函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个単位长度后.得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数.则3f π⎛⎫⎪⎝⎭=( )A ．12B．2CD ．1【答案】A【解析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型. 11．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.12．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，则下列说法不正确的是 （）A ．()0f x ≥恒成立B ．()()8f x f x =+C ．()243(23)f x x x x =-+-<≤D ．()20190f =【答案】C【解析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：Q 正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f =当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =，当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，则()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4， 由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选:C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，且48a =，则数列{}n a 的前7项和7S =______ 【答案】56【解析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若x，y满足约束条件202020 x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则22x y+的最小值为______．【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y+的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得O到直线20x y++=的距离最小，此时最小值22d==，则22x y+的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15．已知向量ABu u u r与ACu u u r的夹角为120︒，且32AB AC==u u u r u u u r，，若AP AB ACλ=+u u u r u u u r u u u r，且AP BC⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________．【答案】712【解析】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16．若过抛物线24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若它们的斜率之和为0，则直线AB 斜率为______．【答案】12-【解析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-.【详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==, 所以1222124404444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-,所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了计算能力．属于基础题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na -=，求证：数列{}nb 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n=+（2）证明见解析【解析】()1直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d =． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122n n n T +⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18．如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.若将,AED CFD ∆∆ 分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2.图1 图2(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5. 【解析】（1）设正方形ABCD 的边长为4，由222DE EF DF +=，可得EF ED ⊥，结合MD EF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EF ⊥平面MED . （2）建立空间直角坐标系，过点M 作MN ED ⊥，垂足为N ，求出向量212sin()cos 22C C π+=∴=和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即 由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,. 又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为， 在中，, ,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则， 令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为..【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅==== ()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PF r =，22PF r =则1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a =在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- =2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯ 35=，解得2a =，1c =Q ，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=（2）联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=，则12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，则1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k=+=+， AQ BQ =Q ,AB QM ∴⊥,即，QMk k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k+=-…② 把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430kk -+> 解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21．已知函数()xf x xe =，()232g x x x =+-． ()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立；()2若()()()(0)32f x F x x gx x =>-+，若120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，则当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．（2）先对整理后的()F x 进行一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >则 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，Q 当0x >时，()10x h x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x-=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<Q ，122x x +≤， ∴根据对数平均不等式，有12121212x x x xlnx lnx -+<≤-，()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--．120x x -<Q ，()()120lnF x lnF x ∴->． ()()12.F x F x ∴>故得证． 【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 3cos 33ρθθ+=.（1）求C 的极坐标方程； （2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【解析】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程． （2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围． 试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. （2）设()11,P ρθ，则有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.。

2020⾼考数学（理）必刷试题（解析版）（45）2020⾼考模拟考试数学（理）试题⼀、单选题1．已知集合12M x R x ??=∈<，集合{}4N x R x =∈≥-，则M N =I （） A ．12x x ??≤B ．142x x ??-≤<C ．RD ．?【答案】B【解析】由题意结合交集的定义可得：142M N x x ?=-≤. 本题选择B 选项.2．在复平⾯内，复数z 所对应的点A 的坐标为（3，4），则z z=（）A ．4255i - B ．4355i + C ．3455-i D ．3455i + 【答案】C【解析】先写出复数z 代数形式，再根据复数的模以及除法运算法则求结果. 【详解】34z i =+，所以5z ==，所以()()()53453434343455i i z i i i z -===-++-. 故选：C 【点睛】本题考查复数⼏何意义、复数的模以及复数除法运算，考查基本分析求解能⼒，属基础题.3．等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1234563,6a a a a a a ++=++=，则12S =（） A ．15 B ．30C ．45D ．60【答案】C【解析】根据题设条件，得到4561232a a a a a a ++=++，进⽽得到78910111212,24a a a a a a ++=++=，即可求解12S 的值，得到答案.【详解】由题意，等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，满⾜1234563,6a a a a a a ++=++=，则456123623a a a a a a ++==++，所以78910111212,24a a a a a a ++=++=，则1212310111245S a a a a a a =++++++=L ，故选C. 【点睛】本题主要考查了等⽐数列的通项公式，及其前n 项和的计算，其中解答中熟记等⽐数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能⼒，属于基础题.4．有⼀批种⼦，对于⼀颗种⼦来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，如表是不同发芽天数的种⼦数的记录：统计每颗种⼦发芽天数得到⼀组数据，则这组数据的中位数是（） A ．2 B ．3C ．3.5D ．4【答案】B【解析】根据数据以及中位数定义求结果. 【详解】因为这批种⼦共有8262224124298++++++=个，82649,8262249+<++>，所以这组数据的中位数是3，故选：B 【点睛】本题考查中位数定义，考查基本分析求解能⼒，属基础题.5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）⼈，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，⾄今仍是⽐较先进的算法.如图的程序框图给出了利⽤秦九韶算法求某多项式值的⼀个实例，若输⼊的2,2x n ==，则输出的S =（）A ．8B ．10C ．12D ．22【答案】D【解析】根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择. 【详解】模拟程序的运⾏，可得2,2,0,0,2x n k S a =====，2,1S k ==，不满⾜条件2k >，执⾏循环体，4,8,2a S k ===，不满⾜条件2k >，执⾏循环体，6,22,3a S k ===，此时，满⾜条件2k >，退出循环，输出S 的值为22. 故选：D 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能⼒，属基础题.6．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ?是q ?的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．13a ≤≤C ．1a ≤D ．3a ≥【答案】C【解析】先解不等式得p ，q ，再根据p 是q 的必要不充分条件得集合包含关系，列出不等式，解得结果. 【详解】:121p x x +>?>或3x <-，:q 当0a ≥时，x a x a >?>或x a <-，当0a <时，x ∈R ，因为p ?是q ?的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p q ü.从⽽0a <或0,1,013a a a a ≥??≤?≤≤??-≥-?，即1a ≤.故选：C 【点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数，考查基本分析求解能⼒，属中档题.7．将函数2sin 24y x π?=+的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（） A ．52sin 212y x π?=- ??B ．52sin 212y x π?=+ ??C ．2sin 212y x π?=- ??D ．2sin 212y x π?=+ ??【答案】D【解析】先将函数2sin 24y x π??=+ ??中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2sin 2()124y x ππ??=-+ 化解为2sin 212y x π?=+故选D 【点睛】本题考查三⾓函数平移问题,属于基础题⽬,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 8．某⼏何体的三视图如图所⽰，其侧视图为等边三⾓形，则该⼏何体的体积为（）正视图侧视图俯视图 A ．336π+B ．43π+C ．32312π+ D ．243π+ 【答案】A【解析】先根据三视图还原⼏何体，再根据圆锥与棱柱体积公式求解. 【详解】由已知中的三视图可得，该⼏何体由⼀个半圆锥和⼀个三棱柱组合⽽成，如图，其中半圆锥的底⾯半径为1，三棱柱的底⾯是⼀个边长为2的正⽅形，它们的⾼分别为：3与2，则该⼏何体的体积21133322233246V ππ=+=+. 故选：A 【点睛】本题考查三视图以及圆锥、棱柱体积公式，考查空间想象能⼒以及基本分析求解能⼒，属中档题. 9．已知实数a ，b 满⾜不等式()2211a b +-≤，则点()1,1A -与点()1,1B --在直线10ax by ++=的两侧的概率为（）A ．24B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】根据条件列不等式，结合图象确定可⾏域，再根据⼏何概型概率求结果. 【详解】若点A （1，-1）与点B （-1，-1）在直线10ax by ++=的两侧，则()()110a b a b -+--+<，即()()110a b a b -++->，⼜实数a ，b 满⾜不等式()2211a b +-≤，作出图象如图：由图可知，点A （1，-1）与点B （-1，-1）在直线10ax by ++=的两侧的概率为12. 故选：C 【点睛】本题考查⼏何概型概率，考查基本分析求解能⼒，属中档题. 10．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )2*2n n n S a a n N=+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（） A ．20192020-B ．2020-C ．20202021-D ．20212020-【答案】C【解析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代⼊化简n c ，最后利⽤分组求和法求结果. 【详解】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，⾸项为1，所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()()2121111112(1)1nn n n n n a n c s n n n n ++??=-=-=-+ ?++??，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021=-+++-++++=-+=- ? ? ? ?L . 故选：C 【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能⼒，属中档11．设函数()f x 满⾜()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A ．有极⼤值，⽆极⼩值B ．有极⼩值，⽆极⼤值C ．既有极⼤值⼜有极⼩值D ．既⽆极⼤值也⽆极⼩值【答案】D 【解析】【详解】Q 函数()f x 满⾜2'()2()xe xf x xf x x+=， ()2'x e x f x x∴=??，令()()2F x x f x =，则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ?=-，则()()()2'2',x x e x x e F x x-=-=()x ?∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ?∴的最⼩值为()()()22220,0e F x ??=-=∴≥.⼜()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既⽆极⼤值也⽆极⼩值，故选D.【考点】1、利⽤导数研究函数的单调性；2、利⽤导数研究函数的极值及函数的求导法则.【⽅法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题⼀定要耐⼼读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进⾏类⽐、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两⽅⾯着⼿：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进⽽得出正确结论.12．已知函数()ln ,0(2),2x x e<≤=-<()xf x b b R -=+∈的四个实根从⼩到⼤依次为1234,,,x x x x ，对于满⾜条件的任意⼀组实根，下列判断中⼀定成⽴的是（）A ．122x x +=B ．()22432e 1e x x <<-C ．()()340221e x e x <--<D ．2121x x e <<【答案】B【解析】先作图确定四个根的范围，再举反例说明A 不成⽴，根据不等式性质否定C,D,最后根据放缩法证B 成⽴. 【详解】⽅程()()2xf x b b R -=+∈的根可化为函数()y f x =与2x y b -=+图象的交点的横坐标，作图如下：由图象可得，123401212x x e x e x e <<<<<<-<<，故2423(2)e x x e <<；因为121212ln ln ln()001x x x x x x ->?若122x x +=，则可取1213,22x x ==，但132213ln 2ln 222----≠-，所以A 错误，因为()()34ln 2ln 2e x e x ->-，所以()()34ln 2ln 2e x e x ->--，即()()34ln 2ln 20e x e x -+->，()()34221e x e x ∴-->，C 错；()()34221e x e x -->Q ()23434421e e x x x x ∴-++>，即()2223434343434(14244)2e e x x x x e e x x x x x e x <-++<-=，∴()23421x x e <-，∴()2234e 2e 1x x <<-. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数零点情况判断不等式，考查综合分析求解判断能⼒，属中档题.⼆、填空题 13．已知，则.【解析】试题分析：由得，所以.【考点】两⾓和的正切公式、⼆倍公式.14．向量,a b r r 满⾜2,1a b ==r r ，且(22,23a b -∈r r ，则,a b r r的夹⾓θ的取值范围是________.【答案】2,33ππθ??∈【解析】根据向量数量积化简模，再解三⾓不等式得结果. 【详解】因为2(2,23]a b -∈r r ，所以()(]224,12a b -∈r r ，即(]2244448cos 4,12a b a b θ+-?=+-∈r r rr ，所以11cos ,22θ??∈-，故2,33ππθ??∈故答案为：2,33ππθ??∈【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量夹⾓，考查基本分析求解能⼒，属基础题. 15．在()4 212x x +-展开式中，7x的系数是________.【答案】-8【解析】根据分步计数原理求7x 的系数. 【详解】因为()()()()()4222221212121212x xx x x x x x x x +-+-+-+-+-=因此7x 只可由222x x x x 得到，从⽽7x 项系数为()3431C 218-=- 故答案为：-8【点睛】本题考查根据分步计数原理求展开式项的系数，考查基本分析求解能⼒，属中档题. 16．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，过点（0，1）的直线l 与双曲线2231x y -=交于两点A ，B ，若OAB ?是直⾓三⾓形，则直线l 的斜率为____. 【答案】1k =±【解析】先设直线⽅程与双曲线⽅程联⽴⽅程组，根据垂直条件，结合韦达定理求直线l 的斜率. 【详解】直线l 的斜率显然存在，设直线为1y kx =+，联⽴双曲线：2231x y -=，消去y 得：()223220k xkx ---=.①若90AOB ∠=?，则()()0110A B A B OA OB x x kx kx ?=∴+++=u u u r u u u r，()222222(1)10(1)1033A B A B kk x x k x x k k k k -∴++++=∴+?+?+=-- 解得1k =±.②若90OAB ∠=?（A 在左⽀）设A 点坐标（m ，n ）（0m <），则22900OAB m n n ?∠=?+-=，联⽴双曲线⽆解，故不可能出现90OAB ∠=?。