北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试(无答案)

2019年秋北师九上数学单元测试卷班级 姓名第四章 图形的相似 [时间：120分钟 分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．2018· 如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么xy＝( )A.32B.38C.23D.852．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′或BC B ′C ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCB ′C ′且∠B ＝∠B ′D.AB A ′B ′＝BCA′C′且∠B ＝∠A ′ 4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )A ．(5，1) ．(4，3) C ．(3，4)．(1，5)5．[2018·贵港]如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形BCFE＝16，则S △ABC ＝( )B.18D.246．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是点B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A.13B.23C.34D.459．[2018·厦门一模]我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ (如图)：(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；(3)设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式PQ ＝d la 2－a 1＋l.则上述公式中，d 表示的是( )A ．QA 的长 ．AC 的长C ．MN 的长D ．QC 的长10．[2018·包头]如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.435二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，d ＝6 cm ，则c ＝____ ____ cm.12．[2018·上海]如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__ __．,13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，且AD ＝2.5 cm ，DB ＝0.9 cm ，则CD ＝__ __cm ，S △ACD ∶S △CBD ＝__ __．14．[2018·包头]如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．15．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点．若∠APD ＝60°，则CD 的长为__ __.16．[2018秋·金牛区期末]如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 边上的一动点，连接OE ，将△BOC 分成了两个三角形，若BE ＝OB ，且OC 2＝CE ·BC ，则∠BOC 的度数为__ __．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(10分)若a b ＝c d ＝e f ＝25.求：(1)a －c b －d； (2)2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f； (3)比较(1)(2)的结论能发现什么规律？18．(10分)[2018秋·宜宾县期中]已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点F，E，试证明：(1)△BAF∽△BCE；(2)△BEF∽△BC A.19．(10分)[2018·青海]如图，在平行四边形ABCD中，E为AB 边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：AD＝BF；(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．20．(10分)将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位；(2)关于y轴对称；(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．21．(10分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EA D.22．(10分)如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．23．(12分)[2018·金华、丽水节选]在ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝12.点D 在直线CB 上，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为点F ，G .如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长． (2)若DG ＝GF ，求BC 的长．,24．(12分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点F ，求证：(1)△ABD ∽△CAD ； (2)AB AC ＝DF AF.25．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__ __ ；(2)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．参考答案一、1．A 【解析】 由xx ＋y ＝35得5x ＝3x ＋3y ，即x y ＝32.2．C 【解析】 ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2EF，得EF ＝6. 3．C 【解析】C 项满足三角形两边对应成比例且夹角相等，其他选项都不满足三角形相似的条件．4．C 【解析】 根据题意点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C (3，4)．5．B 【解析】 设△AEF 的面积为S ，则△ABC 的面积为16＋S ，由于在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，所以S 16＋S ＝(AE AB )2＝(13)2＝19，解得S ＝2，所以S △ABC ＝16＋2＝18，故选．6．B 【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF .∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△ECB ，因此与△DEF 相似的三角形有2个．7．C 【解析】 ∵∠BAC ＝∠PED ，而AB AC ＝32，∴EP ED ＝32时，△ABC ∽△EP D.∵DE ＝4，∴EP ＝6，∴点P 落在P 3处．8．C 【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴EC BE ＝DCAB ＝3，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋EC ＝14，∴EF ＝34.9．B 【解析】 ∵AB ∥PQ ，∴PQ AB ＝MQ AM ，∴PQ l ＝a 1＋AQ a 1，∴AQ ＝PQl ·a 1－a 1.∵CD ∥PQ ，∴PQ CD ＝NQ CN ，∴PQ l ＝a 2＋AC ＋AQ a 2，∴AQ ＝PQl ×a 2－a 2－A C.∴PQ ＝AC·la 2－a 1＋l ，∴d＝A C.10．D【解析】 连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝12BC ＝2，∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ∥DE ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝23，∴DF ＝25BD ＝25×23＝45 3.二、11．4. 12． 127．答图【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I .设正方形的边长是x ，∵△ABC 的面积是6，∴12×BC ×AH ＝6.又∵BC ＝4，∴AH＝3，AI ＝3－x .∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，3－x 3＝x4，解得x ＝127，∴正方形的边长是127.13． 1.5 25∶9．【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BC D.又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD DB，∴CD 2＝AD ·DB ＝2.5×0.9＝2.25， ∴CD ＝1.5 cm ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2.51.52＝259. 14．52 【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23.∵EF ∥BC 易证得△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝425，又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝254，∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝254，又∵AF FC ＝AE EB ＝23， ∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝52.15．23 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°. ∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DP C.又∵∠B ＝∠C ，∴△BAP ∽△CPD ，∴AB CP ＝BPCD.∵AB ＝BC ＝3，BP＝1，∴CP ＝BC －BP ＝2，即32＝1CD ，解得CD ＝23. 16．108°解：∵OC 2＝CE ·BC ，∴OC CE ＝BCOC，∵∠OCE ＝∠OCB ， ∴△OCE ∽△BCO ， ∴∠COE ＝∠CBO . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ，设∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ＝x ，∵BE ＝BO ，∴∠BOE ＝∠BEO ＝∠COE ＋∠ECO ＝2x ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°， ∴x ＋x ＋3x ＝180°， ∴x ＝36°， ∴∠BOC ＝3x ＝108°.三、17．解：(1)∵a b ＝c d ＝25，∴a ＝25b ，c ＝25d∴a －c b －d ＝25b －25d b －d ＝25（b －d ）b －d ＝25. (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝25，∴2a 2b ＝3c 3d ＝－4e －4f ＝25，同(1)可知， 2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝25（2b ＋3d －4f ）2b ＋3d －4f ＝25.(3)a －c b －d ＝2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝a b. 18．证明：(1)∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAF ∽△BCE . (2)∵△BAF ∽△BCE ，∴BF BE ＝BA BC，∴BFBA＝BEBC，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BC A.19．(1)证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE.1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥B C.又∵点F在CB，DE的延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF；(2)解：∵EB∥CD，∴△EFB∽△FD C.∵△AED≌△BFE，∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，∴EFDF＝12，∴S△BEFS△DCF＝14，设S△BFE为x，S四边形EBCD为3x，则4x＝32，x＝8，S四边形EBCD＝3×8＝24.20．解：图略．(1)△ABC沿y轴正方向平移2个单位后所得△A1B1C1的三个顶点坐标为A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3).(2)△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的三个顶点坐标分别为A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，1).(3)将△ABC以点C为位似中心，放大为原来的2倍后所得△A3B3C3的三个顶点坐标分别为A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，1).21．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BA D.又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠AED，∴△ABC∽△EA D.22．解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠DME＝∠A＝∠B，∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.又∵∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.23．答图解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5.∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF . ∴FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12. ∴FG ＝13AG ＝2 5.(2)如答图，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF . 设∠1＝∠2＝x .∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x . ∵GF ＝GD ， ∴∠3＝∠2＝x .在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴在ABC中，AB＝2AC＝24，BC＝AB2－AC2＝242－122＝12 3.24．证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠AC D.又∵∠ADB＝∠ADC，∴△ABD∽△CA D.(2)∵△ABD∽△CAD，∴ABCA＝BDAD.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，∴∠ACD＝∠ED C.∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF.又∵∠AFD＝∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴ADDB＝AFDF，∴ABAC＝DFAF.25．【解析】 (1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°， 又∵∠A ＝60°，∴2∠A ＋∠B ＝90°不成立，即代入2∠B ＋∠A ＝90°；可得∠B ＝15°. 解：(2)存在，BE ＝95.∵点E 在BC 边上， ∴∠AEB ＞90°，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∵点E (异于点D )，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立． 在ABC 中，可得∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，又由“准互余三角形”定义可知：2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∴∠B ＝∠EAC ， ∴△ABC ∽△EAC ，∴AC EC ＝BC AC， ∵AC ＝4，BC ＝5， ∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.。

第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

1北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试（含解析）一、选择题1.已知x∶y=5∶2,则下列各式中不正确的是( ) A.=B.- =C.=D.- =答案 D A.由合比性质,得=,故A 正确;B.由分比性质,得- =,故B 正确;C.由反比性质,得y∶x=2∶5,由合比性质,得 = ,再由反比性质,得 =,故C 正确;D.由反比性质,得y∶x=2∶5,由分比性质,得- =- ,再由反比性质,得 - =-,故D 错误.故选D.2.如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 分别交l 1,l 2,l 3于点A,B,C.直线DF 分别交l 1,l 2,l 3于点D,E,F,AC 与DF 相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.答案 D 由直线l 1∥l 2∥l 3,得 =.因为AH=2,HB=1,所以AB=3.因为BC=5,所以 =.所以 =. 3.如图,△ABC 中,点D 在线段BC 上,且△ABC ∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )A.AB 2=BC ·BD B.AB 2=AC ·BD2C.AB ·AD=BD ·BCD.AB ·AD=AD ·CD答案 A 因为△ABC ∽△DBA,所以 = =,所以AB 2=BC ·BD,AB ·AD=AC ·DB.4.在比例尺为1∶10 000的地图上,一块面积为2 cm 2的区域表示的实际面积是( ) A.2 000 000 cm 2B.20 000 m 2C.4 000 000 m 2D.40 000 m 2答案 B 设实际面积是x cm2,则 =,解得x=200 000 000,∵1 m 2=10 000 cm 2,∴200 000 000 cm 2=20 000 m 2.故选B.5.如图,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,DE ∥BC,BE 与CD 相交于点F,则下列结论一定正确的是( )A. =B. =C. =D. =答案 A ∵DE∥BC,∴△ADE ∽△ABC, ∴ = = ,故选项A 正确,故选A.6.如图,点P 是▱ABCD 边AB 上的一点,射线CP 交DA 的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对 答案 D ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,AD ∥BC,∴△EAP ∽△EDC,△EAP ∽△CBP,∴△EDC ∽△CBP,故有3对相似三角形.故选D.7.如图,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点O,连接DE,下列结论:① = ;② △ △= ;③ = ;④ △ △=.其中正确的个数是( )3A.1B.2C.3D.4答案 C 由中线BE 、CD 知,DE 为△ABC 的中位线,所以DE= BC,DE ∥BC,所以 =,①正确;由DE ∥BC 可得△DOE ∽△COB,则△ △= =,②错误;由DE ∥BC 易得 = , = ,所以 = ,③正确;④△ △= =,设△DOE 的高为h,则△BOC 的高为2h,△ABC 的高为6h,则△ △ = = , △ △ = ,所以 △ △ =,④正确.故选C.8.如图,点E,点F 分别在菱形ABCD 的边AB,AD 上,且AE=DF,BF 交DE 于点G,延长BF 交CD 的延长线于H,若=2,则的值为( )A.B.C.D.答案 B 设菱形ABCD 的边长为3a.因为四边形ABCD 是菱形,=2,AE=DF,所以AE=DF=a,AF=BE=2a,AB ∥CD,所以 = = =,所以HD= AB= a,HF=HB.因为AB ∥CD,所以 = ==,所以BG= HB.所以 == . 9.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CF=CD.下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B ∵在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且4CF=CD,∴∠B=∠C=90°,AB∶EC=BE∶CF=2∶1.∴△ABE ∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,∠AEB=∠EFC.∵BE=CE,∠FEC+∠EFC=90°,∴AB∶AE=BE∶EF,∠AEB+∠FEC=90°. ∴∠AEF=∠B=90°.∴△ABE ∽△AEF,AE ⊥EF.∴②③正确. 由已知条件推不出①④正确.故选B.10.如图,△ABC 中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG 的顶点E,F 在△ABC 内,顶点D,G 分别在AB,AC 上,AD=AG,DG=6,则点F 到BC 的距离为( )A.1B.2C.12 -6D.6 -6答案 D 如图,过点A 作AM ⊥BC 于点M,交DG 于点N,延长GF 交BC 于点H.∵AB=AC,AD=AG,∴AD∶AB=AG∶AC, ∵∠BAC=∠DAG,∴△ADG ∽△ABC, ∴∠ADG=∠B,∴DG∥BC,∴AN⊥DG.∵四边形DEFG 是正方形,∴FG⊥DG,∴FH⊥BC, ∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=BC=6, ∴AM= - =12 .∵△ADG ∽△ABC,∴ =,∴=,∴AN=6 ,∴MN=AM-AN=6,∴FH=MN-GF=6-6.即点F到BC的距离为6-6.故选D.二、填空题11.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16,则△ABC与△DEF的周长之比为.答案5∶4解析相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长比等于相似比.因为△ABC与△DEF相似且面积比为25∶16,所以△ABC与△DEF的周长比为5∶4.12.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为.答案(,)解析∵点A的坐标为(1,0),∴点B的坐标为(1,1).又∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴点E的坐标为(,).13.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,=,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则的值等于.答案解析∵BF⊥AC,∴∠CFB+∠FCE=90°,又∠CFB+∠CBF=90°,∴∠FCE=∠CBF.5∵AB∥CD,∴∠FCE=∠BAE.∴∠EAB=∠CBF.∵∠BCF=∠ABC,∴△FCB∽△CBA.∴CF∶CB=CB∶AB=1∶2.∴FC∶AB=1∶4.∵FC∥AB,∴△FCE∽△BAE.∴==.14.如图,小明把手臂水平向前伸直,手持小尺竖直,瞄准小尺的两端E、F,不断调整站立的位置,使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A,设小明的手臂长l=45cm,小尺长a=15cm,点D到铁塔底部的距离AD=42m,则铁塔的高度是m.答案14解析作CH⊥AB于H,交EF于P,如图,则CH=DA=42m,由题意知,CP=45cm=0.45m,EF=15cm=0.15m.∵EF∥AB,∴△CEF∽△CBA,∴=,即=,∴AB=14m,即铁塔的高度为14m.15.如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.答案56解析∵直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,∴=,∵BC∥EF,∴△ABC∽△AEF,∴==,又∵BC=2,∴EF=5.16.如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,若四边形AEFB与四边形ABCD相似,AB=4,则AD 的长度为.答案4解析设AE=x(x>0),则AD=2x,∵四边形ABCD与四边形ABFE相似,∴=,∴AB2=2x2,∴AB=x=4,∴x=2,∴AD=4.17.如图,平面内有16个格点,每个格点小正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为.答案解析如图,∵GF∥HC,∴△AGF∽△AHC,∴==,∴GF=HC=,7∴OF=OG-GF=2-=.同理,MN=,∴ON=,∴S阴影=1-××=.18.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,点D在边AB上,点G在边AC上,△ADG的面积是40,△ABC 的面积是90,AM⊥BC于M交DG于N,则AN∶AM=.答案2∶3解析∵四边形DEFG是矩形,∴DG∥BC,∴△ADG∽△ABC.∵△ADG的面积是40,△ABC的面积是90,==,∴△△∴=,∵AM⊥BC于M交DG于N,DG∥BC,∴AN⊥DG,∴==.三、解答题19.如图,在平面直角坐标系内有两点A(-2,0),B,CB所在直线的方程为y=2x+b,连接AC,求证:△AOC∽△COB.8证明∵C、B在直线y=2x+b上,∴把点B的坐标代入,求得直线方程为y=2x-1,∴C(0,-1),易证OC∶OB=OA∶OC=2∶1,又∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB.20.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4)、B(-3,1)、C(-1,1),以坐标原点O为位似中心,2为相似比,在第二象限内将△ABC放大,放大后得到△A'B'C'.(1)画出放大后的△A'B'C',并写出点A'、B'、C'的坐标;(点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C')(2)求△A'B'C'的面积.答案(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.910A'(-4,8),B'(-6,2),C'(-2,2). (2)∵S △ABC =×2×3=3,又∵△A'B'C'与△ABC 的相似比为2∶1,∴△ △=4,∴S △A'B'C'=4S △ABC =12.21.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线MN 对折,使A 、C 重合,直线MN 交AC 于O. (1)求证:△COM ∽△CBA; (2)求线段OM 的长度.答案 (1)证明:由题意知A 与C 关于直线MN 对称, ∴AC⊥MN,∴∠COM=90°.在矩形ABCD 中,∠B=90°, ∴∠COM=∠B,又∵∠ACB=∠MCO,∴△COM ∽△CBA. (2)∵在Rt △CBA 中,AB=6,BC=8, ∴AC=10,∴OC=5,∵△COM ∽△CBA,∴ =, ∴OM=.22.如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB边以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA边以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,说明理由.答案(1)由题意得AP=4x cm,CQ=3x cm,AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5.当PQ∥BC时,有=,即=-,解得x=,∴当x=时,PQ∥BC.(2)能.∵AB=CB,∴∠A=∠C,分两种情况讨论.①若△APQ∽△CBQ,则=,即=-,解得x=5或x=-10(舍去),此时AP=20cm.②若△APQ∽△CQB,则=,即=-.解得x=,此时AP=cm.综上,当AP=20cm或AP=cm时,△APQ与△CQB相似.23.请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.(1)如图,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:EF=EG;(2)如图,移动角尺,使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:EF EG(用“=”或“≠”填空);11(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图,将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G、A重合),其余条件不变,若AB=4,AD=3,求的值.答案(1)证明:∵∠AEF+∠AEG=90°,∠AEF+∠CEF=90°,∴∠AEG=∠CEF,又∵EA=EC,∠GAE=∠C=90°,∴△EAG≌△ECF(ASA),∴EG=EF.(2)=.(3)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,则∠MEN=90°,EM∥BC,EN∥AB,∴==,∴==,∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,∴∠FEN=∠GEM,又∠FNE=∠GME=90°,12∴Rt△FNE∽Rt△GME,∴==.13。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。