第8课时 一元二次方程及应用

b2－4ac≥0
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课前学习(xuéxí)任务单
2. 不解方程，求下列(xiàliè)方程的两根之和与两根之积： （1）x2-6x-15=0； （2）3x2+7x-9=0； （3）5x-1=4x2.
解：（1）x1+x2=6，x1·x2=-15.
（2）x1+x2=
，x1·x2=-3.
∴
＝（x1＋x2）2－2x1·x2＝（－6）2－2×3
＝3612/－7/20261 ＝30.
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内容(nèiróng)总结
第二十一章 一元二次方程。*第8课时 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。1. （1） 一元二次方程的一般(yībān)形式为：____________________。2x2-3x-2=0。2. 不解方程，求下列方程
解：依题意,得Δ=（－2m）2－4m（m－2）≥0且 m≠0. 解得m＞0.
∴m的取值范围为m＞0.
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课堂(kètáng)小测
当堂高效(ɡāo 测 xiào)
1. （10分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则
另一个根为（
）
C
A. 2 C. 4
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=（x1+x2）2－2x1·x2=32－2×（－
=
=－3.
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课前学习(xuéxí)任务单
2. 已知方程(fāngchéng)2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一个根 及k的值.
解：设另一个根为x0，根据根与系数的关系，得
-3·x0=__________，-3+x0=__________.

第8讲 一元二次方程求根公式及解法综合知识框架一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．8.1 一元二次方程求根公式1. 公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b aca -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2. 求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3. 用公式法解一元二次方程一般步骤①一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【例2】 用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【例3】 当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【例4】 用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【例5】 用公式法解方程：21)30x x ++-．【例6】 用公式法解关于x 的方程：20x px q ++=．【例7】 用公式法解关于x 的方程：222240x mx n m --+=．【例8】 观察求根公式x =，求出12x x +的值，并用得到的结果求解：设a 、b 是方程220130x x +-=的两个实数根，求22a a b ++的值．8.2 一元二次方程解法综合一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b acax bx c a x x a a a a--++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【例9】 用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【例10】 用因式分解法解下列方程：（1）212193x x +=-；（2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【例11】 用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【例12】 用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【例13】 用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【例14】 用配方法解下列关于x 的方程： （1）230x x t +-=； （2）220ax x ++=（0a ≠）．【例15】 用公式法解下列方程： （1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【例16】 用公式法解下列方程：（120x -=； （2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【例17】 用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【例18】 用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【例19】 用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【例20】 如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b *=+试解方程：2(2)210x x *+*=．【例21】 已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【例22】 如果x 满足2710x x -+=，求1x x-的值．【例23】 用因式分解法和公式法2种方法解关于x 的方程：2222222()2()()0p q x p q x p q -+++-=，（其中p 、q 为常数，且00p q p q +≠-≠，）．【例24】 已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【例25】 阅读材料，回答问题材料：为解方程4260x x --=，可将方程变形为222()60x x --=，然后设2x y =，则222()x y =，原方程化为260y y --=①解得12y =-、23y =当2y =-时，22x =-无意义，舍去；当3y =时，23x =，x =∴原方程的解为1x =2x =问题：（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用 法达到了降次的目的，将关于x 的一元高次方程转化为关于y 的一元二次方程．（2）解方程：①222()4()120x x x x ----=；②422(1)9x x -+=．【例26】 已知a 是实数，方程230x x a -+=的一个解的相反数是方程230x x a +-=的一个解，求方程230x x a -+=的解．【例27】 对任意实数k ，方程2(1)3()40k x k m x kn +-++=，总有一根为1，求m 、n 的值，并解此方程．【例28】 关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数，求整数m 的值．8.3 课堂检测1. 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）（A ）22()24b b x +=；（B ）224()24b b cx -+=；（C ）224()24b b cx +-=；（D ）224()24b b cx --=．2. 用适当方法解下列方程：（1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=；（3）2(4)5(4)x x +=+； （4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(210x x +=．3. 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？4. 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．5. 已知k 是方程210x x --=的一个根，求代数式3220162k k -+的值．6. 解关于x 的方程：22222()4m n x mnx m n --=-（0mn ≠）．7. 解下列方程：（1）42163290x x --=； （2）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=．8. 已知关于x 的方程：22112()1x x x x +++=，求11x x++的值．8.4 课后作业1. 按照要求解下列关于x 的一元二次方程：（1）2650x x +-=（用配方法）； （2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）； （4）20-=（用公式法）．2. 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．3. 用适当方法解下列关于x 的方程：（1）23)12-=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=； （6）2(21)10x -+=；（7）2(1)1)10x x -+--=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．4. 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值．5. 解关于x 的方程：222()0 (0,0)abx a b x ab a b -++=≠≠．6. 已知202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．。

第8课时列方程解应用题【教学重点、难点】重点是掌握列方程（组）解应用题的一般步骤和各类方程（组）基本应用。

难点是对实际问题中数量关系的分析。

【教学过程】1．一元二次方程应用。

例1（上海03年）某公司今年5月份的纯利润是a万元，如果每个月份纯利润的增长率都是x，那么预计7月份的纯利润将达到万元（用代数式表示）。

答案：a（1+x）2说明：①如果某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2,……增长n次后的值是a(1+x)n,这就是重要的增长率公式；②同样,若原来的量的值是a,每次降低的百分率是x,则n次降低后的值是a(1-x)n,这就是降低率公式.同源题选：1．（上海01年）某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％．该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元? （答案：1800万元）2．一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？（答案：长40米；宽30米）3．某小队的队员在新年时互送贺卡，若每个人都要送给其他队员一张自制卡片，最后共准备了的90张卡片，求小组共有几个人？（答案：10人）2．分式方程（组）应用．例2 （考纲P57）小宇与小华同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的公园。

已知小宇比小华平均每小时多骑2千米，但由于小宇在路上修自行车而耽误了半个小时，结果两人同时到达公园，求小宇与小华平均每小时各骑多少千米？答案：64米说明：列方程解应用题可以直接设元，也可以间接设元。

若所设的未知量就是题目所求的量，则为直接设元；若所设未知量不是题目所求的量，则为间接设元。

至于采用何种设元方式可在选定用于列方程得相等关系后，将该等式由文字语言转换为符号语言时，针对转换过程中的未知量设元。

10
8
某校七年级（1）（2）两班计划去游览该景点，其中（1）
班人数少于 50 人，（2）班人数多于 50 人且少于 100
人.如果两班都以班为单位单独购票，那么一共支付
1118 元；如果两班联合起来作为一个团体购票，那么
只需花费 816 元.
（1）两个班各有多少名学生？
（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多
1．列方程（组）解应用题的一般步骤： (1)审题；(2)设元；(3)找出能够包含未知数的等量关系； (4)列出方程（组）；(5)求出方程（组）的解；(6)验根 并作答.
2．各类应用题的等量关系： (1)行程问题： 路程＝速度×时间. ①相遇问题：路程和＝速度和×相遇时间. ②追及问题：追及距离＝速度差×追及时间. (2)工程问题： 工作量＝工作效率×工作时间.
题型一 一元一次方程的应用
解决一元一次方程应用题的关键是找等量关系，所谓 等量关系，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出 来.
【典例 1】 （2016·杭州）已知甲煤场有煤 518 t，乙煤场 有煤 106 t.为了使甲煤场存煤数是乙煤场的 2 倍，需要 从甲煤场运煤到乙煤场.设从甲煤场运 x（t）煤到乙煤
【解析】 （1）设通道的宽是 x（m），AM＝8y（m）. ∵AM∶AN＝8∶9，∴AN＝9y（m）. ∴x2＋x＋182y4＝y＝131，8，解得xy＝＝231.， ∴通道的宽是 1 m.
（2）∵四块相同草坪中的每一块都有一条边的长为 8 m， ∴若 RP＝8，则 AB>13，不合题意，∴RQ＝8. ∴纵向通道的宽为 2 m，横向通道的宽为 1 m，∴RP＝6. ∵RE⊥PQ，四边形 RPCQ 是矩形，∴PQ＝10. ∴RE·PQ＝RP·RQ＝6×8，∴RE＝4.8. ∵RP2＝RE2＋PE2，即 62＝4.82＋PE2，∴PE＝3.6. 同理可得 QF＝3.6，∴EF＝2.8. ∴S 四边形 RECF＝4.8×2.8＝13.44， 即花坛 RECF 的面积为 13.44 m2.