Kalman03(很有用)

（3）当观测数据和状态联合服从高斯分布时用卡尔曼递归公式计算得到的是高斯随机变量的条件均值和条件 方差，从而卡尔曼滤波公式给出了计算状态的条件概率密度的更新过程线性最小方差估计，也就是最小方差估计。
比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪 声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是 对当前目标位置的估计(滤波)，也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑)。
贡献
卡尔曼提出了一种现称为卡尔曼滤波的新的滤波方法和能控性、能观性的概念，为20世纪50年代末至60年代 初发展起来的现代控制理论作出了杰出贡献。他的工作直接针对着科学地理解现代工程中的创新过程(如已经知道 的控制、计算机和信息等组织)。他的方法着重于数学概念，这种抽象方法对工程的实用价值，已为1963年美国 宇宙飞船在卡尔曼滤波器导引下登上月球所证实。现在卡尔曼滤波器已被广泛地应用到时间序列分析、动态系统 辨识、水文学及流体动力学，甚至经济领域。在卡尔曼之前，已有柯尔莫哥洛夫和维纳的统计滤波，目的是要根 据过去的信息或事件预报未来。他们是从计算线性滤波器的随机输入输出函数协方差来达到这一目标的。维纳用 到了维纳-霍普夫方程，而柯尔莫哥洛夫使用了比希尔伯特空间更抽象的东西。因理论和计算都很困难，没能产生 重要的实际应用。1959年，卡尔曼重新表述了这一问题，引入了两个新的原理：只有在未来依赖于动态系统内对 过去的贮存的情况下，预报才是可能的;预报器必须模拟它所预报的过程，所以预报器本身必须是一个动态系统。 利用微分方程领域的新知识，他假定了要预报的动态过程已知但由于噪声的作用而模糊不清，并由此计算得到了 最优滤波器的显式描述。因此卡尔曼滤波器不仅是在输入-输出意义上，而且是按运动方程的意义上给出的。稍后， 布西利用和卡尔曼类似的假设得到了维纳-霍普夫方程的一个解，因此对线性系统的滤波方程又称为卡尔曼-布西 滤波器。卡尔曼在对数学系统理论的研究中，提出了能控性的概念。在一个常系数线性常微分方程x=Ax+Bu(其中 x为状态变量，u为控制向量)中完全能控当且仅当rank(B，AB，…)=dimx。他在1957年提出的这一简单的判别准 则，解释了构造控制系统的所有直觉工程方法成功的原因。这一概念大大简化了控制系统的研究，并提供了有效 手段;它在最优控制中起着重要作用。

● UT变换的特点是对非线性函数的概率密度分布进行近似，而不是对非线性函数进行近似，即使系统模 型复杂，也不增加算法实现的难度；而且所得到的非线性函数的统计量的准确性可以达到三阶；除此 之外，它不需要计算雅可比矩阵，可以处理不可导非线性函数。
UKF计算步骤：
PF
PF
● 粒子滤波(PF: Particle Filter)的思想基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo methods)，它是 利用粒子集来表示概率，可以用在任何形式的状态空间模型上。其核心思想是通过从后 验概率中抽取的随机状态粒子来表达其分布，是一种顺序重要性采样法(Sequential Importance Sampling)。简单来说，粒子滤波法是指通过寻找一组在状态空间传播的随 机样本对概率密度函数进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差分 布的过程。这里的样本即指粒子,当样本数量N→∝时可以逼近任何形式的概率密度分布。
EKF
首先围绕滤波值 xˆk 将非线性函数 f , g 展开Taylor级数并
略去二阶及以上项，得到一个近似的线性化模型，然后应用 Kalman滤波完成对其目标的滤波估计等处理。
1.对状态模型的一阶Taylor展示：
xk f
xˆk 1
f xˆk 1
xk 1 xˆk 1 k
令
f
F
xˆk 1
f1 f1
xˆ1
xˆ2
f xˆk 1
F
f2 xˆ1
f2 xˆ2
fn fn
xˆ1 xˆ2
f1
xˆn
f2 xˆn
fn
xˆn
g1 g1
xˆ1
xˆ2
g xˆk
H
g2 xˆ1
g2 xˆ2

线性状态模型、高斯噪声 v1 (n), v 2 (n)
Kalman 滤波问题 (一步预报 ： 一步预报)： 一步预报
无噪声的估计值: 已知含噪数据 y (1),L , y (n) ，求 y (i ) 无噪声的估计值
ˆ ⑴ i = n (滤波 )：已知 y (1),L , y ( n )，求 y ( n ) ˆ ⑵ i < n (平滑 )：已知 y (1),L , y ( n )，求 y (i )， i < n ˆ ⑶ i > n (预测)：已知 y (1), L , y ( n )，求 y (i )， i > n ˆ 一步预测：已知 y (1),L , y ( n )，求 y ( n＋1) ˆ 数学符号： y 1 ( n + 1) = y ( n + 1 | y (1),L , y ( n ) )
要求不同时间的输入信号向量 u ( n ) 线性 独立 [因为瞬时梯度向量为 e* ( n )u ( n )]。
LMS 算法的均值收敛 µ ( n )的选择 LMS 算法的均方收敛
E {e( n )} = 0
均值收敛： 均值收敛：
E {w ( n )} = w opt = R −1r
均方收敛： 均方收敛： E w ( n ) − w opt
k (1, 0) = E { x 2 ( n )} = E { x 2 (1)} = P0
依次可以递推出 g (1), k (2,1); g (2), k (3, 2);L
4.4 LMS自适应算法 LMS自适应算法
LMS: Least Mean Squares
随机优化问题 Wiener 滤波器 滤波器: 最陡下降法
新息方法： 新息方法： 新息 (innovation)

基于自适应Kalman滤波的改进PSO算法戴邵武;王克红;戴洪德【摘要】针对基于Kalman滤波的PSO算法在设计与应用过程中存在的不足,提出了基于自适应Kalman滤波的改进PSO算法.利用粒子群状态空间Markov链模型,建立粒子群系统状态方程;采用粒子的速度和位置作为观测量,构建观测方程;引入记忆衰减因子动态调整Kalman滤波模型参数及噪声方差阵,降低模型误差,提高粒子的位置估计精度.仿真实验表明:改进的PSO算法无论在优化精度、收敛速度,还是在稳定性方面都有很大的改进和提高,这就有效避免了粒子的“早熟”收敛问题;尤其在处理复杂多峰问题上,改进算法表现出很明显的优越性.【期刊名称】《海军航空工程学院学报》【年(卷),期】2015(030)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】粒子群优化;马尔科夫链;自适应卡尔曼滤波;基准函数【作者】戴邵武;王克红;戴洪德【作者单位】海军航空工程学院控制工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院研究生管理大队,山东烟台264001;海军航空工程学院控制工程系,山东烟台264001【正文语种】中文【中图分类】TP18基于自适应Kalman滤波的改进PSO算法戴邵武a，王克红b，戴洪德a（海军航空工程学院a.控制工程系；b.研究生管理大队，山东烟台264001）摘要：针对基于Kalman滤波的PSO算法在设计与应用过程中存在的不足，提出了基于自适应Kalman滤波的改进PSO算法。

利用粒子群状态空间Markov链模型，建立粒子群系统状态方程；采用粒子的速度和位置作为观测量，构建观测方程；引入记忆衰减因子动态调整Kalman滤波模型参数及噪声方差阵，降低模型误差，提高粒子的位置估计精度。

仿真实验表明：改进的PSO算法无论在优化精度、收敛速度，还是在稳定性方面都有很大的改进和提高，这就有效避免了粒子的“早熟”收敛问题；尤其在处理复杂多峰问题上，改进算法表现出很明显的优越性。