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2023年第四届华数杯解题思路摘要：一、2023 年第四届华数杯全国大学生数学建模竞赛概述1.竞赛背景2.竞赛时间3.竞赛题目及参赛队伍选择4.竞赛奖励设置二、C 题解题思路概述1.C 题题目描述2.C 题分析3.C 题解题思路三、C 题详细解题过程1.问题一2.问题二3.问题三四、总结与展望1.本次比赛C 题的解题关键2.提高数学建模能力的建议正文：一、2023 年第四届华数杯全国大学生数学建模竞赛概述2023 年第四届华数杯全国大学生数学建模竞赛是一场面向全国大学生的数学建模竞赛。
竞赛由华数杯主办，旨在选拔优秀的数学建模人才，锻炼大学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
竞赛分为A、B、C 三部分，各参赛队伍可以任选一题作答。
比赛时间截止到8 月6 日20:00。
本次竞赛的奖励设置包括全国一等奖、全国二等奖、全国三等奖、优秀奖。
二、C 题解题思路概述1.C 题题目描述C 题题目描述：假设某工厂生产某种产品，每件产品生产成本为50 元，产品定价为100 元，工厂每月生产1000 件产品。
工厂采用边际成本法计算生产成本，产品的边际成本为40 元。
现有两个方案：方案一：将产品产量提高至1500 件，但需增加投资20000 元购买新设备。
方案二：将产品产量维持在1000 件，但需增加劳动力投入，使每月的人力成本增加3000 元。
要求比较两个方案的优劣，并给出决策建议。
2.C 题分析C 题主要考察了学生的数学建模能力和对边际成本法的理解。
在分析问题时，需要找到关键变量，建立数学模型，并求解最优解。
3.C 题解题思路首先，我们需要根据题目描述，找到关键变量。
在这个问题中，关键变量包括生产成本、产品定价、产量、边际成本和投资成本。
其次，我们需要建立数学模型。
天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进行设计，充分考虑最优化原则，在满足搭配方案具体要求同时兼顾效率的情况下，设计线性规划模型，并借助软件Lingo求解出最理想的捆数与搭配方案。
对于题目给出的五个具体要求，我们经过分析之后将其划分优先级，逐层递进地找出答案。
首先我们将条件（1）设为最优先条件即对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。
在此基础上，条件（2）的优先级次之。
对于条件（3）和（4），我们经过讨论后认为其意在于放宽较为苛刻的长度与每捆根数要求以符合实际生产。
因而理想情况应是所有捆的根数与长度都恰好满足规格。
当由于给定数据原因使得理想情况不能实现时，再考虑放宽剩余原料的组装长度与根数要求，条件（3）与（4）的优先级最次。
在建模过程中，我们先对各规格在不考虑（3）与（4）的情况下进行线性规划，求每种每捆可行搭配方案所能组装出的最大捆数，再将其加和得出各规格的最大捆数。
这种方法在数据量较大的情况下兼顾了精确度与效率。
对上述不能组合的剩余材料我们则放宽条件。
因条件（2）要求最短长度最长的成品数量尽可能多，再结合条件（4）中原料可以降级使用的规则，故我们采用先从规格三的剩余原料考虑，再依次降级并入次级的原料使用考虑搭配。
由于剩余材料数量较少，故可以不必考虑效率问题。
最后满足条件（5）将结果求解。
利用上述模型和Lingo软件最后求解出了最大捆数183。
并可以根据已知原料数量求出具体的搭配方案。
关键词：搭配方案线性规划 Lingo1.问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
高教社杯全国高校生数学建模竞赛题目（四套ABCD）当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个伴侣;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老伴侣重逢。
我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。
让我们一起到学习啦一起学习吧!2021年高教社杯全国高校生数学建模竞赛题目A题 CT系统参数标定及成像CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的状况下，利用样品对射线能量的吸取特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此猎取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的放射器和探测器相对位置固定不变，整个放射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸取衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品(称为模板)标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸取强度，这里称为“吸取率”。
对应于该模板的接收信息见附件2。
请依据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何样子和吸取率等信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸取率，相应的数据文件见附件4。
师大附中2021届高三第四次模拟本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
数学〔文〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，根据交集的定义写出.【详解】集合，那么此题正确选项：【点睛】此题考察了集合的化简与运算问题，是根底题．2.命题，的否认是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否认为特称命题，即可得到答案【详解】全称命题的否认为特称命题，命题，的否认是，，应选：C．【点睛】此题考察了命题的否认，属于根底题．3.在中，O为AC的中点，假设，那么A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据为的中点，即可得出，根据平面向量根本定理即可得出，的值，从而求出.【详解】如图：为的中点又那么：此题正确选项：【点睛】考察向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量根本定理．4.在等差数列中，，那么数列的前11项和A. 8B. 16C. 22D. 44【答案】C【解析】【分析】根据题意，由等差数列的性质可得，进而结合等差数列的前项和公式计算可得答案．【详解】根据题意，在等差数列中，那么那么有此题正确选项：【点睛】此题考察等差数列的前项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于根底题．5.假设向量，满足，，，那么与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法那么整理计算即可求得最终结果.【详解】由向量垂直的充分必要条件有：，即，据此可得：，设与的夹角，那么：,故,即与的夹角为.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.6. 如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如下图，那么这个四棱锥的体积为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由三视图可知高为,应选B7.函数，那么A. B. 2 C. e D.【答案】D【解析】【分析】推导出，从而，由此能求出结果．【详解】函数此题正确选项：【点睛】此题考察函数值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．8.假设变量x，y满足约束条件，且的最大值为A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，即可求最大值．【详解】作出约束条件对应的平面区域如图中阴影局部所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大此时最大由，解得，，即代入目的函数得即目的函数的最大值为此题正确选项：【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法．9.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D．【详解】，函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故排除B，C，当时，，，单调性是增减交替出现的，故排除，D，应选：A．【点睛】此题考察了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于根底题．上一点到焦点的间隔与其到对称轴的间隔之比为5：4，且，那么点到原点的间隔为〔〕A. 3B.C. 4D.【答案】B【解析】试题分析：设，那么，所以，到原点的间隔为，选B．考点：抛物线定义【方法点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点间隔时，一般运用定义转化为到准线间隔处理．此题中充分运用抛物线定义施行转化，其关键在于求点的坐标．2．假设P〔x0，y0〕为抛物线y2＝2px〔p＞0〕上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；假设过焦点的弦AB的端点坐标为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；假设遇到其他HY方程，那么焦半径或者焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11.过双曲线的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，的面积为，那么双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，代入双曲线方程可得，由三角形的面积公式，可得的关系，由离心率公式计算可得所求值．【详解】右焦点设为，其坐标为令，代入双曲线方程可得的面积为可得此题正确选项：【点睛】此题考察双曲线的对称性、考察双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．12.三棱锥中，，，，，那么该三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用所给条件容易得到，为直角三角形，故中点为外接球球心，从而可求解出结果．【详解】如图：，，的中点为外接球球心故外接球半径为体积此题正确选项：【点睛】此题考察了三棱锥外接球问题，关键在于可以确定外接球球心的位置，要知道直角三角形外接圆圆心在斜边中点上．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.设是等比数列的前n项和，假设，那么______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列前n项和的性质可得，解可得，进而可得，相比即可得答案．【详解】根据题意，设等比数列的公比为q，假设，那么，解可得，那么，那么；故答案为：．【点睛】此题考察等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n项和公式，属于根底题．14.假设，，那么__________．【答案】【解析】将条件两边平方得，，两式相加化简得.15.圆与直线相交所得弦的长为，那么____________.【答案】【解析】【分析】圆化为HY式:,圆心为(1,2)半径为2,由弦的长为,可知直线过圆心即可得出a值.【详解】圆化为HY式:,圆心为(1,2)半径为2,由弦的长为,可知直线过圆心,所以解得.故答案为-1.【点睛】此题考察了直线与圆的相交弦问题，由圆的方程得知圆心与半径，结合弦长可知直线正好过圆心，这是此题特色所在.16.定义在R上的奇函数的导函数满足，且，假设，那么不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由题意知，，再令，从而求导，从而可判断单调递减，从而可得到不等式的解集.【详解】的周期为定义在上的奇函数①时，令，那么，即单调递减又不等式的解集为②时，时，不等式成立综上所述：此题正确结果：【点睛】此题考察了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的才能，属于中档题．易错点在于忽略的情况，导致解集不完好.三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕17.．求的解析式及单调递增区间；在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：〔1〕利用数量积的坐标运算可以得到，再逆用二倍角公式和两角和的正弦得到，最后令解出的范围即为的单调递增区间.〔2〕根据可以得到，再用余弦定理求出，故面积为.解析：〔1〕因为，令，解得，所以的单调递增区间为.〔2〕由可得，又，所以，，解得.由余弦定理可知，所以，故，所以.18.数列的前项和为，，成等比数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) 2n−1；〔2〕Tn=6+(2n−3)×．【解析】试题分析：〔1〕因为，变形后为也即是，所以是一个等差数列且公差为2，再利用成等比数列可以得到，所以的通项为.〔2〕计算可得，它是等差数列和等比数列的乘积，用错位相减法求其前项和.解析：〔1〕因为，所以，故数列是公差为的等差数列；又成等比数列，所以，解得，故.〔2〕由〔1〕可得：，故，又，由错位相减法得：，整理得：.19.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，是等腰三角形，，E是AB上一点，且三棱锥与四棱锥的体积之比为1：2，CE与DA的延长线交于点F，连接PF．1求证：平面平面PAD；2假设三棱锥的体积为，求线段AD的长．【答案】〔1〕见解析；〔2〕3【解析】【分析】〔1〕先证平面，再得面面垂直；〔2〕把体积比转化为线段比，求得，进而得，再利用所给体积求解即可．【详解】〔1〕证明：平面底面是矩形平面平面平面〔2〕三棱锥与四棱锥的体积之比为设，，那么得又得得，即【点睛】此题考察了立体几何中面面垂直的证明，棱锥体积求解问题，难度适中．20.函数．1求的单调递增区间；2假设，务实数x的取值范围．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕求导，根据导函数正负即可得到单调性；〔2〕将写成，再根据〔1〕，利用函数的单调性求得实数的取值范围．【详解】〔1〕由得的定义域为函数，当时，即在区间上单调递增〔2〕函数由〔1〕知在区间上单调递增，又，可得解得：或者故实数的取值范围为【点睛】此题考察利用求导的方法判断函数的单调性、利用单调性求解不等式问题，易错点在于求解不等式时，忽略了定义域的要求，导致求解的解集不准确.21.椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2．1求椭圆的方程；2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值．【答案】〔1〕椭圆的HY方程为〔2〕面积的最大值为【解析】试题分析：〔1〕由题意得，再由，HY方程为；〔2〕①当的斜率不存在时，不妨取；②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，又直线的间隔点到直线的间隔为面积的最大值为.试题解析：〔1〕由题意得，解得，∵，∴，，故椭圆的HY方程为〔2〕①当直线的斜率不存在时，不妨取，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，设点到直线的间隔因为是线段的中点，所以点到直线的间隔为，∴综上，面积的最大值为.【点睛】此题主要考察椭圆的HY方程及其性质、点到直线的间隔、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考察运算求解才能和逻辑推理才能，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得HY方程为；〔2〕利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得，再求得点到直线的间隔为面积的最大值为.22.曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为为参数写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设为上任意一点，求的最小值，并求相应的点M的坐标．【答案】〔1〕，；〔2〕当M为或者时原式获得最小值1.【解析】试题分析：〔1〕由直线的参数方程为，消去参数即可求得直线的方程；由即可求得圆的方程为；〔2〕先跟据伸缩变换得到曲线的方程，然后设点为带入，再根据三角函数的性质即可求得结果.试题解析：〔1〕，故圆的方程为直线的参数方程为，直线方程为〔2〕由和得设点为那么所以当或者时，原式的最小值为.考点：极坐标方程；参数方程的应用.23.实数，，函数的最大值为3．求的值；2设函数，假设对于均有，求a的取值范围．【答案】〔1〕3；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据绝对值的性质求出的最大值是，从而求出的值即可；〔2〕根据的范围，问题转化为在恒成立，结合函数的单调性求出的范围即可．【详解】〔1〕，〔2〕由〔1〕得，，，，此时：假设对于均有即在恒成立即在恒成立对称轴，故只需即可解得：，故【点睛】此题考察了绝对值的性质，考察绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考察二次函数的性质，是一道中档题．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
题目欧阳歌谷（2021.02.01）摘要1问题的重述基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。
对于整个过程当中，任务的定价问题成为了核心关键。
当定价过高时，商家所付出的代价太大；当定价过低时，会员拒接此类任务，最终导致商品检查（任务）失败。
请讨论以下问题:问题一根据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项目任务的定价规律，同时分析部分任务未完成的原因。
问题二根据问题一的情况为附件一中的项目设计一个新的任务定价方案，并且与原方案进行比较。
问题三考虑到实际情况中，绝大多数用户会争相竞争选择位置比较集中的多个任务，因此，商家（平台）考虑将这些任务联合在一起打包发布。
基于这种条件，对问题二的定价模型进行相应的修改并且分析此类情形对最终任务的完成情况有什么影响。
问题四根据前三问分析所建立出来的定价模型给出附件三中新项目的任务定价方案，并且评价该方案的实施效果。
2问题分析“拍照赚钱”的任务实际上就是通过劳务众包的方式进行工作，所谓众包就是将原本由企业内部员工完成的任务，以开放的形式外包给未知的且数量庞大的群体来完成。
在本题所涉及到的自助式劳务众包平台，企业将所需搜集的信息通过APP这个平台，展现在大众面前，大众根据自身情况来对一系列任务进行选择性的完成，最终得到相应的奖金。
问题一中对于任务悬赏金额量的确定是由一系列因素决定的，包括任务发布者所期望得到的作品数量、同期不同发布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任务的期限等，对于问题一我们可以将这些因素都考虑进去，挖掘出各因素对于定价的影响规律，最终确定项目任务的定价规律，在综合分析实际情况和用户的信誉程度影响，来归纳出任务未完成的原因。
问题二中对于任务未完成情况的再分析，在问题一建立的模型的基础上，再考虑任务量，交通便利性等因素，将这些因素考虑进去之后，充分考虑任务点周围会员的信誉值情况，讨论任务未完成跟低信誉会员之间有什么关系，建立新的任务定价模型再给出新的任务定价方案，最后结合计算机对任务进行模拟仿真，得到在新任务定价条件下的各区域任务完成率和总完成率，将这个指标与之前的指标进行比较，可判断新任务定价方案是否优于模型一。
2020年江西省南昌市高考第四次模拟测试理科数学试题本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N =∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 7．函数ln ()xx xf x e=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．229．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．6-B ．3C ．2-D ．6 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 56 C ．1022+．52212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面PAC 垂直的平面α，平面α与截面PAC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ②22； ③3； ④23．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学建模模拟试题及答案一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；(3)冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。
为尽量图一多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。
2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .三、计算题(每题 20 分，共 40 分)1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .(2) 原材料的利用情况 .2. 两个水厂A1 , A2将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？四、 综合应用题(本题 20 分)某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .小区 单价/元水厂A1A供应量 / t170B34B11 07 1B26数学建模 06 春试题模拟试题参考解答一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1. 奇数顶点个数是 0 或 2；2. 约 40.1876 ；3. N = Kn(T10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。
江西省南昌市十四校2022年中考第四次联合模拟数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项1．（3分）（2022•南昌模拟）下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．考点：实数大小比较．分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数，绝对值大的反而小即可解答．解答：解：∵在这一组数中﹣2，﹣1为负数，0，为正数；又∵|﹣2|＞|﹣1|，∴﹣2＜﹣1．即四个数中﹣2最小．故选A．点评：此题主要考查了实数的大小的比较，要求学生掌握比较数的大小的方法：（1）正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．（3分）（2022•南昌模拟）去括号：﹣（a﹣b）等于（）A．a﹣b B．a b C．﹣a﹣b D．b﹣a考点：去括号与添括号．分析：根据去括号的法则去括号时，不要漏乘括号里的每一项．解答：解：原式=﹣a﹣（﹣b）=﹣ab=b﹣a．故选D．点评：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．3．（3分）（2022•南昌模拟）下列计算正确的是（）A．24=6 B．=4 C．÷=3D．=﹣3考点：实数的运算．分析：A、根据合并二次根式的法则即可判定；B、根据二次根式的乘法法则即可判定；C、根据二次根式的除法法则即可判定；D、根据二次根式的性质即可判定．解答：解：A、24不是同类项不能合并，故选项错误；B、=2，故选项错误；C、÷=3，故选项正确；D、=3，故选项错误．故选C．点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．4．（3分）（2022•南昌模拟）若规定符号“⊕”的意义是a⊕b=ab﹣b2，则2⊕（﹣3）的值等于（）A．0B．﹣15 C．﹣3 D．3考点：有理数的混合运算．专题：新定义．分析：根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．解答：解：根据题意得：2⊕（﹣3）=2×（﹣3）﹣（﹣3）2=﹣6﹣9=﹣15．故选B点评：此题考查了有理数混合运算的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（3分）（2022•南昌模拟）已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：分类讨论．分析：因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．解答：解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°，故选C．点评：根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．6．（3分）（2022•南昌模拟）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），则这个容器的形状为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．解答：解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为A．故选B．点评：此题考查了函数的图象；用到的知识点是函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．7．（3分）（2022•南昌模拟）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第20个图形需棋子（）枚．A．60 B．61 C．62 D．63考点：规律型：图形的变化类．分析：根据已知图形得出在4的基础上，依次多3个，得到第n个图中共有的棋子数．解答：解：观察图形，发现：在4的基础上，依次多3个．即第n个图中有43（n﹣1）=3n1．当n=20时，即原式=601=61．故第20个图形需棋子61枚．故选：B．点评：此题考查了规律型中的图形变化问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．8．（3分）（2022•南昌模拟）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．（a﹣3）2=a26a9 C．a2•a3=a6D．（a2）•（a2﹣2a）=a3﹣4a考点：多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．分析：根据合并同类项的法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据同底数幂的乘法运算性质判断C；根据多项式乘多项式的法则判断D．解答：解：A、3a﹣2a=a，故本选项错误；B、（a﹣3）2=a2﹣6a9，故本选项错误；C、a2•a3=a5，故本选项错误；D、（a2）•（a2﹣2a）=a3﹣2a22a2﹣4a=a3﹣4a，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法，多项式乘多项式，是基础题，比较简单．9．（3分）（2022•南昌模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC 延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°考点：圆内接四边形的性质．分析：由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE=∠BAD=108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小．解答：解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．故选B．点评：本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．10．（3分）（2022•南昌模拟）一元二次方程22﹣3=0的根的情况是（）A．由的符号决定B．没有实数根．C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根考点：根的判别式．分析：先计算出判别式△=2﹣4×2×（﹣3）=224，根据非负数的性质易得224＞0，即△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．解答：解：△=2﹣4×2×（﹣3）=224，∵2≥0，∴224＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．点评：本题考查了一元二次方程a2bc=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（3分）（2022•南昌模拟）李明为好友制作了一个正方体礼品盒，六面上各有一字，其中“善”的对面是“良”，“真”的对面是“诚”，“忍”的对面是“让”，则它的平面展开图可能是（）A ．B．C．D．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A、“善”的对面是“良”，“真”的对面是“诚”，“忍”的对面是“让”，故本选项正确；B、“善”的对面是“让”，“真”的对面是“诚”，“忍”的对面是“良”，故本选项错误；C、不是正方体的展开图，故本选项错误；D、“善”的对面是“让”，“真”的对面是“诚”，“忍”的对面是“良”，故本选项错误．故选A．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．12．（3分）（2022•南昌模拟）将一块直径是10cm的量角器如图放置，点A与180°刻度重合，点B与0°刻度重合，角的另一边与40°刻度重合（点C），则AC等于（）cm．（参考数据：in40°≈，co40°≈，in70°≈，co70°≈ ）．A．B．C．D．考点：圆周角定理；解直角三角形的应用．专题：探究型．分析：连接BC，OC，因为点A与180°刻度重合，点B与0°刻度重合，角的另一边与40°刻度重合（点C），所以∠BOC=40°，由圆周角定理可知∠A=20°，由于AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°，根据直角三角形的性质可求出∠ABC的度数，再根据AC=AB•in∠ABC即可得出结论．解答：解：连接BC，OC，∵点A与180°刻度重合，点B与0°刻度重合，角的另一边与40°刻度重合（点C），∴∠BOC=40°，∴∠A=∠BOC=20°，∵AB是⊙O的直径，AB=10cm，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°，∴AC=AB•in∠ABC=10×=（cm）．故选C．点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2022•南昌模拟）如果﹣2△=﹣8，则“△”表示的数应是﹣6 ．考点：有理数的加法．分析：根据第二个加数=和﹣第一个加数，列式计算即可得到“△”表示的数．解答：解：“△”表示的数应是﹣8﹣（﹣2）=﹣6．故答案为：﹣6．点评：考查了有理数的加法和减法之间的关系，是基础题型．14．（3分）（2022•南昌模拟）因式分解：3a2﹣3= 3（a1）（a﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：3a2﹣3，=3（a2﹣1），=3（a1）（a﹣1）．故答案为：3（a1）（a﹣1）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．（3分）（2022•南昌模拟）如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=20 度．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由折叠及矩形的性质得到∠AFE为直角，利用平角的定义得到一对角互余，再由AB 与DC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，求出∠AFC的度数，即可确定出α的度数．解答：解：由折叠的性质得：∠AFE=90°，∴α∠AFC=90°，∵AB∥CD，∴∠β∠AFC=180°，∵∠β=110°，∴∠AFC=70°，则α=20°．故答案为：20点评：此题考查了平行线的性质，以及翻折变换，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．16．（3分）（2022•南昌模拟）如图，一次函数=2交轴于A点，交轴于B点，直线AB绕A 点旋转，交轴于B′点；在旋转的过程中，当△AOB′的面积恰好等于△AOB面积的一半；求此时直线AB′的解析式或．考点：一次函数图象与几何变换．分析：此题，分两种情况：直线AB绕点A顺时针旋转和逆时针旋转．根据三角形的面积公式知OB′=OB，所以利用待定系数法来求求旋转后的直线方程即可．解答：解：∵一次函数=2交轴于A点，交轴于B点，∴A（﹣2，2），B（0，2）．∵△AOB′的面积恰好等于△AOB面积的一半，∴OA•OB=OA•OB′，则OB′=OB，∴B′（0，1）或B′（0，﹣1）．设直线AB′的解析式为=b（≠0）．当B′的坐标是（0，1）时，，解得，，∴直线AB′的解析式为：=1．同理，当B′的坐标是（0，﹣1）时，直线AB′的解析式为：=﹣﹣1．综上所述，直线AB′的解析式为：或．故答案是：或．点评：本题考查了一次函数图象与几何变换．解题时，要分类讨论，以防漏掉另一个答案．三、（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）17．（6分）（2022•南昌模拟）解不等式组：，并判断=2是否是该不等式组的一个解．考点：解一元一次不等式组；估算无理数的大小．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后判断=2是否是该不等式组的一个解．解答：解：，解不等式（1）得：＞3，解不等式（2）得：≤8，故不等式组的解集是3＜≤8，是该不等式组的一个解．点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（6分）（2022•南昌模拟）从两副完全相同的扑克中，抽出两张黑桃5和两张梅花8，现将这四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌子上．（1）问从中随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率是多少（2）利用树状图或列表法表示从中随机抽取两张扑克牌成为一对的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）直接根据概率的定义可求出随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率；（2）先列表展示所有6种等可能的结果，其中抽取两张扑克牌成为一对的占2种，然后利用概率定义求解．解答：解：（1）随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率==；（2）列表如下：共有6种等可能的结果，其中抽取两张扑克牌成为一对的占2种，所以随机抽取两张扑克牌成为一对的概率==．点评：本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展示一个实验发生的所有等可能的结果，再从中找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义求这个事件的概率．19．（6分）（2022•南昌模拟）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C是方格纸的格点，请仅用无刻度的直尺，准确作出∠ABC的平分线，并计算tan= ．勾股定理；等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．考点：专网格型．题：分取格点D，连接BD则BD为∠ABC的平分线，再利用正切的定义即可求出tan的析：值．解：如图所示：解答：则tan=．故答案为．点本题考查了角平分线的作法以及正切的定义，属于基础性题目．评：20．（6分）（2022•南昌模拟）如图：等腰直角△ABC放置在直角坐标系中，∠BAC=90°，AB=AC，点A在轴上，点B的坐标是（0，3），点C在第一象限内，作CD⊥轴．（1）求证：△AOB≌△CDA；（2）若点C恰好在曲线=上，求点C的坐标．考点：反比例函数综合题．分析：（1）先根据直角三角形的性质得出∠1=∠4，∠2=∠3，再由ASA定理即可得出结论；（2）由△AOB≌△ACD可知OA=CD，AD=OB=3，设OA=m，则C（m3，m），再根据点C 在反比例函数=的图象上可知m（m3）=10，由此可得出m的值，进而得出点C的坐标．解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠1∠2=90°，∵CD⊥轴，∴∠2∠4=90°，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）；（2）解：∵△AOB≌△ACD，∴OA=CD，AD=OB=3，设OA=m，∴C（m3，m），∵点C在反比例函数=的图象上，∴m（m3）=10，解得m1=2，m2=﹣5（舍去），∴点C的坐标为（5，2）．点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到全等三角形的判定于性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）（2022•南昌模拟）琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．考点：二元一次方程组的应用．分析：设笔记本每本的价格是元，水笔每支元，练习本或作文本每本的价格为元，根据条件可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可．解答：解：设笔记本每本的价格是元，水笔每支元，练习本或作文本每本的价格为元，由题意，得，解得：．答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支元，练习本元．点评：本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．22．（8分）（2022•南昌模拟）如图，▱ABCD的顶点A，B，C都在⊙O上，AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为4，设∠D=α，∠OBC=β（1）若β=50°，则α=70 度．（2）猜想α与β之间的关系，并说明理由．（3）若α=60°，请直接写出▱ABCD的面积．考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：（1）设∠ABO=°，则∠BAO=∠ABO=°，根据∠BAD∠ABC=180°即可列方程求得的值，从而得到α的值；（2）解法与（1）相同；（3）根据（2）的结果求得β=30°，易证四边形ABCD是菱形，作OE⊥AB于点E，利用三角函数以及垂径定理即可求得四边形的边长，则面积可以求得．解答：解：（1）设∠ABO=°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=°，∠ABC=β=50°．∵AD是圆的切线，∴∠OAD=90°，则∠BAD=90°，∵AD∥BC，∴∠BAD∠ABC=180°，即50（90）=180，解得：=20，故∠ABC=5020=70°，又∵▱ABCD中，α=∠ABC，∴α=70°．（2）同（1）设∠ABO=°，则∠ABC=β°，∠BAD=90°，则β（90）=180，即β2=90…①，又∵α=∠ABC=β…②，由①②可得：2α﹣β=90°；（3）α=60°，则根据（2）得：β=30°，∠ABO=30°，则△ABO≌△CBO，∴AB=BC，则四边形ABCD是菱形．作OE⊥AB于点E．在直角△OBE中，BE=OB•co∠ABO=4×=2，则AB=2BE=4，∴BC=AB=4，则S▱ABCD=AB•BC•in∠ABC=4×4×=24．点评：本题是平行四边形的性质、三角函数以及垂径定理的综合应用，正确求得∠ABO的度数是关键．23．（8分）（2022•南昌模拟）某校为了解八年级400名学生的自然科学素质，随机抽查了50名学生进行自然科学测试，所得成绩整理分成五组，并制成如下频数分布表和扇形统计图，请根据频数分布表和扇形统计图所提供的信息解答下列问题：最终成绩（分）5分制原成绩（分）百分制频数1 （分）＜60 32 （分）60≤＜70 m3 （分）70≤＜80 104 （分）80≤＜90 n5 （分）90≤≤10011（1）频数分布表中的m= 6 ，n= 20 ；（2）样本的中位数是 4 分（5分制），扇形统计图中，得4分这组所对应的扇形圆心角是144 度；（3）请估计该校八年级学生自然科学测试的平均最终成绩．（4）若这次测试最终成绩得4分与5分者为优秀，请你估计该校八年级的学生中，自然科学测试成绩为优秀的大约有多少人考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据4分的占40%，共有50名学生，求出n的值，再用总人数减去1分、3分、4分、5分的频数，即可求出m的值；（2）根据共有50名学生和中位数是第25和26的平均数，即可求出中位数，再用得4分所占的百分比乘以360°，即可求出得4分这组所对应的扇形圆心角的度数；（3）把所有人数得分加起来，再除以总人数，即可得出八年级学生自然科学测试的平均最终成绩；（4）求出4分与5分所占的百分比，再乘以总人数，即可得出答案．解答：解：（1）∵4分的占40%，共有50名学生，∴n=50×40%=20（名），m=50﹣3﹣10﹣20﹣11=6（名）；（2）共有50名学生，中位数是第25和26的平均数，则中位数是（44）÷2=4（分），得4分这组所对应的扇形圆心角是40%×360=144（度）；（3）根据题意得：（1×32×63×104×205×11）÷50=（分）．答：该校八年级学生自然科学测试的平均最终成绩是分；（4）根据题意得：（2022）÷50×400=248（人）．答：自然科学测试成绩为优秀的大约有248人．故答案为：6，20；4，144．点评：此题考查了频率分布表、扇形统计图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图、掌握好中位数的定义以及用样本估计总体的计算公式，解答此题要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．（12分）（2022•南昌模拟）矩形ABCD中AB=8，BC=6，∠ACB=53°；将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AD延长线上（图1）．（1）求∠B′AC的度数与C′D的长度；（2）如图2 将△AB′C′向右平移得△A′B′C′，两直角边与矩形相交于点E、F；在平移的过程中出现了△AA′E≌△DFC′；求此时平移的距离AA′．（设AA′=）（3）当平移的距离是多少时，能使△B′EF与原△ABC相似．考点：相似形综合题．分析：（1）根据矩形的性质得出BC=AD=6，BC∥AD，∠B=90°，求出∠BCA=∠CAD=53°，∠BAC=∠B′AC′=37°，即可求出答案；勾股定理求出AC=10=AC′，求出C′D即可；（2）证△A′AE∽△A′B′C′求出AE=，根据△AA′E≌△DFC′，得出AE=C′D，得出方程10﹣6﹣=，求出方程的解即可；（3）根据△A′AE∽△A′B′C′求出A′E=，B′E=8﹣，根据△C′DF∽△A′B′C′求出C′F=（4﹣），B′F=6﹣（4﹣），当满足B′E：B′F=6：8或B′E：B′F=8：6，两三角形相似，代入求出即可．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC∥AD，∠B=90°，∴∠BCA=∠CAD=53°，∠BAC=∠B′AC′=90°﹣53°=37°，∴∠B′AC=53°﹣37°=16°，在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：AC=10=AC′，∴C′D=10﹣6=4；（2）∵∠A′=∠A′，∠C′B′A′=∠EAA′=90°，∴△A′AE∽△A′B′C′，∴=，∴=，∴AE=，∵△AA′E≌△DFC′，∴AE=C′D，∴10﹣6﹣=，=，即此时平移的距离AA′是；（3）∵△A′AE∽△A′B′C′，∴=，∴=，∴A′E=，∴B′E=8﹣，同理由△C′DF∽△A′B′C′求出C′F=（4﹣），∴B′F=6﹣（4﹣），当满足B′E：B′F=6：8或B′E：B′F=8：6时，能使△B′EF与原△ABC相似即（8﹣）：[6﹣（4﹣）]=6：8或（8﹣）：[（6﹣（4﹣）]=8：6，解得：=或=，∴当平移的距离是或=时，能使△B′EF与原△ABC相似．点本题考查了矩形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生评：综合运用性质进行推理和计算的能力．25．（12分）（2022•南昌模拟）已知抛物线m：=a2﹣2aa﹣1，顶点为A，将抛物线m绕着点（﹣1，0）旋转180°后得到抛物线n，顶点为C．（1）当a=1时．试求抛物线n的顶点C的坐标，再求它的解析式；（2）在（1）中，请你分别在抛物线m、n上各取一点B、D（除点A、C外），使得四边形ABCD成为平行四边形（直接写出所取点的坐标）；（3）抛物线n与抛物线m的对称轴的交点为与抛物线n的对称轴的交点为Q，若四边形A的解析式为=2﹣2，运用配方法得到其顶点A的坐标为（1，﹣1），根据中心对称的性质得出点A绕着点（﹣1，0）旋转180°后的对应点C的坐标为（﹣3，1），由此得出抛物线n的解析式为=﹣（3）21，或=﹣2﹣6﹣8；（2）设B点坐标为（的解析式为=a（﹣1）2﹣1，将=﹣3代入，得到=16a﹣1，即点Q 的坐标为（﹣3，16a﹣1）．由A、的解析式为=2﹣2=（﹣1）2﹣1，顶点A（1，﹣1），点A绕着点（﹣1，0）旋转180°后得到顶点C的坐标为（﹣3，1），根据题意，可得抛物线n的解析式为=﹣（3）21，或=﹣2﹣6﹣8；（2）如图，设B点坐标为（的对称轴为直线=1，∴当=1时，=﹣16a1，∴点的解析式为=a（﹣1）2﹣1，∵抛物线n的对称轴为直线=﹣3，∴当=﹣3时，=16a﹣1，∴点Q的坐标为（﹣3，16a﹣1）．又∵A（1，﹣1），C（﹣3，1），P（1，﹣16a1），∴AP∥CQ∥轴，AP=CQ=﹣16a2，∴四边形APCQ是平行四边形．若四边形APCQ能成为菱形，则AP=CP，即（﹣16a2）2=（13）2（﹣16a1﹣1）2，整理，得16a=﹣3，解得a=﹣，∴当a=﹣时，四边形APCQ能成为菱形，∵AP=﹣16a2=5，∴菱形的周长为：4AP=20．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数的性质，中心对称的性质，平行四边形的判定与性质，中点坐标公式，两点间的距离公式，菱形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．。
