二次函数 单元复习

二次函数全章知识点复习总结及强化练习二次函数的基本形式:形如（a,b,c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

(注意a ≠0)c bx ax y ++=2顶点坐标，对称轴：；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22a b x 2-=如何把一般式化定点式？kh x a y +-=2)(题型一：对二次函数的系数的理解特点①：a 影响开口方向和大小程度；②b 和a 一起影响图像顶点和对称轴的位置；③c 为图像与y 轴的交点（0,c ）;1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则点在 象限。

),(ac b M 2、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示， 则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第一题 第二题3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象为（ ）A．B ．C D．4．二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平22212--=x x y 移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为_______．题型二：画图法解题二次函数草图需要画得东西：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 1、二次函数上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是( )c bx x y ++=2A ．4x = B. x ＝3　C. 5x =-D. 1x =-2、已知：抛物线的最小值为1，那么c 的值是（）y x x c =-+26A. 103.（A.1 4解；12 Array 3A(2 1 2、34（1（2 P5(1)求(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且，求抛物线25=⋅BD AD 的解析式．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+ax+b 交x 轴于A （1，0），B （3，0）两点，点P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线y=﹣x 2+ax+b 的解析式；（2）当点P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin ∠OCB 的值．题型五:二次函数与实际问题A 类题，思路：在实际图中找到与二次函数对应的点，并写出该点的坐标。

二次函数 单元知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

《二次函数》【巩固练习】一、选择题1.已知抛物线。

：丁=/+31-10,将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、C关于直线x=l对称.则下列平移方法中，正确的是（）.A.将抛物线C向右平移2个单位B.将抛物线C向右平移3个单位2C.将抛的线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位2.已知二次函数y=4X2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中，其值大于0的个数为（）.A.2B.3C.4D.53.二次函数）=以2+区+。

的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）.C.a+b+c>0D. b1 -4ac > 0第2题4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180。

，所得抛物线的解析式是（）A.j=-(x+l)2+2B.y=-(x-l)2+4C.y=-(x-l)2+2D.y=-(x+l)2+45.二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A.函数有最小值B.对称轴是直线x二-2 C.当xV,，y随x的增大而减小2D.当-1V X V2时，y>06.如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3,0)；小彬说：过点(4,3)和(0,3)；小明说：a=l,c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个已知抛物线产Q Y+B X+C与x轴交于(1,0),试添加一个条件，使它的对称轴为直线x=2.7.己知一次函数y= +的图象过点(-2,1),则关于抛物线y=一版+3的三条叙述:①过定点(2,1)；②对称轴可以是直线x=L③当aVO时，其顶点的纵坐标的最小值为3・其中所有正确叙述的有().A.0个B.1个C.2个D.3个8.已知二次函数)=/—4冗+。

，下列说法错误的是().A.当xVI时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则aW4C.当a=3时，不等式冗2一4了+々>0的解集是1V X V3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a=-3二、填空题9.由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为r4 、10.已知一元二次方程笈一3=0的一根为-3.在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点一一，州、i5 j,yi、y?、丫3、的大小关系是11.如图，一段抛物线y=-x(x-1)(OWxWl)记为1山，它与x轴交点为0、Ai,顶点为1\；,顶点为P2；将叱绕点A2旋转180°得m3,交将n绕点A1旋转180°得叱，交x轴于点A2x轴于点A：,,顶点为P3,…，如此进行下去，直至得m>,顶点为Pm则Pi。

九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 1页（共 6页） 第 2页 （共 6页）《二次函数》单元知识点复习注：请同学们先复习后填空、填表 赵化中学 郑宗平第一部分 二次函数的图象及其性质知识点：1.二次函数的定义：形如 （a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.各项名称. 2.二次函数的图象：二次函数的图象是一条 ；是 对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 .②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 . ③.抛物线()()2y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .⑵.配方形式（也称顶点式）：()()2y a x h k a 0=-+≠抛物线()()2y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移： ①.向 平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠；②.向 平移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h a 0=-≠；③.向 平移()h h 0>个单位，再 移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h k a 0=-+≠.⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠第二部分 求二次函数的解析式问题知识点：1.待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2.常见的求二次函数解析式的方法和途径：⑴.一般式（常用） ①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠；②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式（常用）①.设出二次函数的顶点式为：()()2y a x m n a 0=++≠；九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 3页（共 6页） 第 4页 （共 6页）②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式（一般掌握）①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式（常用）①.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()()2y a x h a 0=+≠的形式；②.代入条件构成方程或方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式（常用）平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2y a x m n a 0=++≠；②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.对于配方书写式的口诀是：自变量“左加右减”，函数值“上加下减”； 顶点坐标的变化规律是：横坐标“右加左减”，纵坐标是“上加下减”. ⑹.对称式（了解）①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.第三部分 二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1..二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点. ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系（本部分是拓展，作为一般掌握.） 已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.⑴.当a 0>时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.第四部分 利用二次函数的解决实际问题利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.主要有：1.利用二次函数解决面积问题；2.利用二次函数解决利润等代数问题；题目三：利用二次函数解决抛物线形问题.关于二次函数求“最值”的应用题基本环节：找出相关的数量关系 → 构建二次函数 → 利用二次函数的最值解决实际问题.主要题型：1.求最大面积⑴.相关几何图形的面积公式，几何图形之间面积的和差关系； ⑵.注意用同一个未知数（自变量）表示相关线段的长； ⑶.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度. 2.求高度、长度的“最值”⑴.直接建立函数关系解决高度、长度的“最值”； ⑵.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度 3.求最大利润⑴.总利润=单件利润× 实际件数；⑵.注意因“涨价”、“降价”等引起的单件利润和实际件数的变化2018.10.21整理九数上期《二次函数》单元知识复习提纲第 5页（共 6页）第 6页（共 6页）。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元复习】第二十二章二次函数（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第二十二章二次函数一、二次函数的定义：1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.二、二次函数的解析式①一般式：(a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a=++≠中，,,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________．【答案】21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．【点评]此题容易出错漏解的错误．举一反三：【高清课程名称：二次函数复习【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4∴M(1，-4)∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．（2020•盘锦）如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（）A ．①③④B ．②④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤【答案】B；【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0，∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x＞3或x＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y＞0时，x 的取值范围．当x＞3或x＜-1时，y＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x＞3或x＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．（2019•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【答案】D ．【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ，∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ），∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是()A．B．C．D．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是()A．1B．2C．0D．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac＝0求出a．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b，所以b＝2a．(2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a＝0或a＝2．当a＝0时，y＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2020•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元（x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x，销售量=500+100x，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）•（500+100x）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x2+500x+5000=5000，解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。