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实验2 时域采样与频域采样知识要点：（1）时域采样定理和频域采样定理（2）信号的采样方法连续时间信号的采样方法为T ()()s t n f t f t ==，理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，即ˆ()()j aTX j X e ωω=ΩΩ=，用DFT 近似计算连续信号频谱的方法为()T DFT[()]a X k x n =⋅。
连续谱的离散化方法为在一个周期内对连续频谱进行N 点等间隔采样，即2k k Nπω=，用DFT 计算离散信号频谱的方法为()DFT[()]X k x n =。
（3）用FFT 计算有限长采样序列的傅立叶变换（DFT ）（4）连续时间信号的采样点数用公式p s N T F =⨯计算（5）频域采样时，频率分辨率为p F=1，各采样点上的频率为(1)k p f T k =。
（6）FFT 函数的基本用法FFT 函数格式为Xk= fft(xnt,M)，其中M 表示FFT 的点数。
实验内容1：时域采样理论的验证（非周期连续信号）给定模拟信号0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω式中444.128A =，α=，0rad s Ω=。
用DFT （FFT ）求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
选取三种采样频率，即1kHz,300Hz 200Hz s F =，。
观测时间选64p T ms =。
采样点数用公式p s N T F =⨯计算。
设计方法：（1）初始化设置（如观测时间、采样频率、采样间隔等）。
（2）计算时域采样点数。
（3）生成时域抽样信号。
（4）用fft 函数计算频谱。
（5）计算频域采样点上的频率，绘制频谱图。
程序运行结果：（1）采样频率1000Hz s F =nx a (n T )(a) F s =1000Hz,采样点数=645001000(b) DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)幅度5001000(c) T*DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)幅度图2-1 采样频率1kHz s F =（2）采样频率300Hz s F =nx a (n T )(a) F s =300Hz,采样点数=19100200300(b) DFT[x a (nT)],F s =300Hz f(Hz)幅度100200300(c) T*DFT[x a (nT)],F s =300Hzf(Hz)幅度图2-2 采样频率300Hz s F =（3）采样频率200Hz s F =nx a (n T )(a) F s =200Hz,采样点数=1350100150200(b) DFT[x a (nT)],F s =200Hzf(Hz)幅度5010015020000.20.40.60.8(c) T*DFT[x a (nT)],F s =200Hz f(Hz)幅度图2-3 采样频率200Hz s F =实验结果分析：时域采样理论的验证程序运行结果如图2-1至2-3所示。
秒杀排列组合（上）————排列篇首先为什么要写排列组合？因为排列组合在数学中占有重要的地位，其与概率论也有密切关系；并且排列组合问题在求职的笔试，面试出现的概率特别高，而我在网上又没有搜到比较全面题型的文章；同时，我觉得编写排列组合程序对学习递归也是很有帮助的；当然，最重要的原因是排列组合本身就很有趣！所以就总结下排列组合的各种问法，分两篇写：上篇写排列，下篇写组合。
首先从各【导师实操追-女孩教-学】大IT公司的题中总结出排列组合的对象都是整形数组或字符数组，排列问题可以按输入数据分为两大类：输入数据【扣扣】有重复和无重复，又可以按输出数据分为两大类：输出数据有【⒈】重复和无重复；而排列问题也偶尔会考非递归。
首先提一【０】下全排列的几种算法：1—【１】—字典序法2——递增进位数制法; 3——递减进位数制法【б】4——邻位交换法5——n进制数法6——递归生成法7——循【⒐】环移位法8——回溯法由于侧【５】重点在输入数据无重复，所以先看输入数据无重复类型：其中又【２】可以分为全排列和分组后排列：首先写基【６】本的全排列：1.输出数组a的全排列(不可重复取)如a={1,2,3}。
输出123，132，213，231，312，321这个是最基本，也是最经典的排列算法思想：可以输出1加上23的全排列，2加13的全排列，3加上12的全排列，运用递归求比如23的全排列.依次递归下去；比如现在要2开头求全排，首先要交换1，2的位置，让a[0]变为2，在用递归求13的所有全排列，前面加个2就是2开头的所有全排列了，最后运用回溯再把1，2调换回来。
代码清单：public class PaiLie {public void runPermutation(int[] a){getAllPermutation(a, 0);-*index用于控制如上述分析中2加上13的所有全列的*-public void getAllPermutation(int[] a,int index){-*与a的元素个数相同则输出*-if(index == a.length-1){for(int i = 0; i a.length; i++){System.out.print(a[i] + " ");System.out.println();return;for(int i = index; i a.length; i++){swap(a ,index, i);getAllPermutation(a, index+1);swap(a ,index, i);public void swap(int[] a, int i, int j) {int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;public static void main(String[] args) {PaiLie robot = new PaiLie();int[] a = {1,2,3};robot.runPermutation(a);2.输出数组a的全排列(可重复取)如a={1,2}。
第二章有理数的运算一、有理数加法→知识点回顾：→要点点拨：有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号；有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条。
法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。
有理数加法的运算律①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便。
二、有理数减法→知识点回顾：三、有理数乘法→知识点回顾：→要点点拨：有理数的乘法满足的运算律： ①乘法交换律：ab ba =； ②乘法结合律：()()ab c a bc =； ③乘法分配律：()a b c ab ac +=+有理数乘法运算步骤：先确定积的符号，再求出各因数的绝对值的积。
四、有理数除法→知识点回顾：有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
减法是加法的逆运算。
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 设，则，．因此，．有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，都得零。
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数的个数为奇数个，积为负；当负因数的个数为偶数个，积为正；几个数相乘，如果有一个因数为零，积为零。
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，都得零。
五、倒数→知识点回顾：→要点点拨： ①零没有倒数②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
六、有理数的乘方→知识点回顾：→要点点拨：特别地，11n=，00n=（n 为正整数）正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数和，负数的偶数次幂是正数七、科学记数法→知识点回顾：八、近似数用和实际情况完全相符合的数来表示某一个量，这样的数叫做准确数。
苏教版（2024）小学数学一年级上册《0~5的认识和加减法》教案及反思一、教材分析：《0~5的认识和加减法》是苏教版（2024）小学数学一年级上册的重要组成部分，旨在帮助学生认识数字0至5，这六个数字的认识、数的顺序、比较大小以及加减法运算，并掌握这些数字的基本加减法运算。
通过生动的情境图和直观的实物演示，引导学生认识数字，理解数字的含义，为后续的数学学习奠定基础，注重培养学生的数感和运算能力，再通过多种形式的练习，让学生在实践中掌握数字的读写和加减法运算，将能够理解数字的顺序、大小关系，以及初步的数学运算概念。
二、教学目标：【知识与技能目标】：1.认识 0~5 这六个数字，会读、会写这些数字。
2.掌握数的顺序，能够比较数字的大小。
3.学会 0~5 的加减法运算，能够正确计算。
4.能够认、读、写 0~5 各数，会用这些数表示物体的个数。
【过程与方法目标】：1.学生掌握 5 以内数的顺序，会比较它们的大小。
2.通过观察、操作、比较等活动，培养学生的观察能力、动手能力和思维能力。
3.在加减法运算的学习中，培养学生的计算能力和解决问题的能力。
【情感态度与价值观目标】：1.学生初步认识加减法的含义，会正确计算 5 以内的加减法。
2.激发学生对数学的兴趣，培养学生的学习积极性和主动性。
3.培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重难点：【教学重点】：1.学会 0~5 的加减法运算。
2.认识数字0至5，掌握0至5的加减法运算。
【教学难点】：理解数字的含义，建立数感，正确进行加减法运算。
3.理解加法和减法的概念，以及0在加减法中的特殊性。
四、学情分析：一年级的学生刚进入小学，对数学学习充满好奇和兴趣，但他们的认知水平和思维能力还比较有限，学生在生活中已经接触过一些数字，但对数字的认识还比较模糊，需要通过系统的学习来加深理解。
他们对数字的认识还处于初级阶段，需要通过具体、生动的教学方法来帮助他们理解和记忆。
五、教学方法与策略：1.直观教学法：通过实物、图片、计数器等直观教具，帮助学生认识数字，理解数字的含义。
人教版数学三年级上册一个因数中间有０的乘法教案与反思（推荐３篇）〖人教版数学三年级上册一个因数中间有0的乘法教案与反思第【1】篇〗一个因数中间有0的乘法教学目标1.理解0和任何数相乘都得0的结论，掌握一个因数中间有0的乘法的计算方法。
2.理解一个因数中间有0的乘法的算理，能正确地进行计算。
3.培养类推迁移的数学思想和分析、比较及概括的能力，提高计算能力。
重点：理解0和任何数相乘都得0。
难点：学会计算因数中间有0的乘法。
教具准备：PPT课件教学过程一、情景启发，明确目标幻灯片演示：小猴星星的生日，每只小猴都吃光了桃子。
一个桃子也没有了用什么表示？你能根据情景提一个数学问题吗？二、合作探究，达成目标(一)探究一：0乘任何数都得01．阅读教材主题图，理解图意，看图列出不同的式子。
2．体会几个相同加数加法和乘法的转换思想3．完成教材第66页想一想，0×3＝3×0＝9×0＝0×9＝0×0＝小结：大家看这些算式(指着上面的算式)，0乘一个数和一个数乘0都得0，0乘0也得0，所以0和任何数相乘都得0.教师把写好“0和任何数相乘都得0”(二)探究二：一个因数中有0的乘法你能算出运动场看台上一共有多少个座位吗？1．估算604×8(已经完成的同学，请你在小组内互相说说。
)2．列式计算604×8，说说你是怎样计算的？(出示学生错误做法加以分析)3．用竖式计算下面各题，说说你有什么发现？4．一个因数中间有0的乘法计算方法：小结：第一个因数中间有0，乘的时候要用第二个因数去乘第一个因数的每一位数．第一个因数十位上的0也要乘，乘得的积是0，要在积的十位上写0.三、拓展练习。
计算1005×4。
（1）独立计算，然后小组内交流。
（2）讨论：这题与例5有什么相同点和不同点？5.练习十四第1题，板演齐练。
6.练习十四第3题。
（先填，后说为什么这么填？）四、课堂小结今天你学会了什么？和同桌说说。
哈希算法乱谈（摘自知乎）最近【现场实战追-女孩教-学】初步了解了Hash算法的相关知识，一些人的见解让我能够迅速的了解相对不熟悉的知识，故想摘录下来，【QQ】供以后温故而知新。
HASH【⒈】算法是密码学的基础，比较常用的有MD5和SHA，最重要的两【О】条性质，就是不可逆和无冲突。
所谓不【１】可逆，就是当你知道x的HASH值，无法求出x；所谓无【б】冲突，就是当你知道x，无法求出一个y，使x与y的HA【９】SH值相同。
这两条性【⒌】质在数学上都是不成立的。
因为一个函数必然可逆，且【２】由于HASH函数的值域有限，理论上会有无穷多个不同的原始值【６】，它们的hash值都相同。
MD5和SHA做到的，是求逆和求冲突在计算上不可能，也就是正向计算很容易，而反向计算即使穷尽人类所有的计算资-源都做不到。
顺便说一下，王小云教授曾经成功制造出MD5的碰撞，即md5(a) = md5(b)。
这样的碰撞只能随机生成，并不能根据一个已知的a求出b（即并没有破坏MD5的无冲突特性）。
但这已经让他声名大噪了。
HASH算法的另外一个很广泛的用途，就是很多程序员都会使用的在数据库中保存用户密码的算法，通常不会直接保存用户密码（这样DBA就能看到用户密码啦，好危险啊），而是保存密码的HASH值，验证的时候，用相同的HASH函数计算用户输入的密码得到计算HASH值然后比对数据库中存储的HASH值是否一致，从而完成验证。
由于用户的密码的一样的可能性是很高的，防止DBA猜测用户密码，我们还会用一种俗称“撒盐”的过程，就是计算密码的HASH值之前，把密码和另外一个会比较发散的数据拼接，通常我们会用用户创建时间的毫秒部分。
这样计算的HASH值不大会都是一样的，会很发散。
最后，作为一个老程序员，我会把用户的HASH值保存好，然后把我自己密码的HASH值保存到数据库里面，然后用我自己的密码和其他用户的用户名去登录，然后再改回来解决我看不到用户密码而又要“偷窥”用户的需要。
最大的好处是，数据库泄露后，得到用户数据库的黑客看着一大堆HASH值会翻白眼。
哈希算法又称为摘要算法，它可以将任意数据通过一个函数转换成长度固定的数据串（通常用16进制的字符串表示），函数与数据串之间形成一一映射的关系。
举个粒子，我写了一篇小说，摘要是一个string:'关于甲状腺精灵的奇妙冒险'，并附上这篇文章的摘要是'2d73d4f15c0db7f5ecb321b6a65e5d6d'。
如果有人篡改了我的文章，并发表为'关于JOJO的奇妙冒险'，我可以立即发现我的文章被篡改过，因为根据'关于JOJO的奇妙冒险'计算出的摘要不同于原始文章的摘要。
可见，摘要算法就是通过摘要函数f()对任意长度的数据data计算出固定长度的摘要digest，目的是为了发现原始数据是否被人篡改过。
摘要算法之所以能指出数据是否被篡改过，就是因为摘要函数是一个单向函数，计算f(data)很容易，但通过digest反推data却非常困难。
而且，对原始数据做一个bit的修改，都会导致计算出的摘要完全不同。
那~~有没有可能两个不同的数据通过某个摘要算法得到了相同的摘要呢？完全有可能！因为任何摘要算法都是把无限多的数据集合映射到一个有限的集合中。
这种情况称为碰撞。
一个好的哈希算法中，应该存在大量不同的数据串，因此碰撞这种情况极其罕见。
哈希音译自“Hash”，又名为“散列”。
本质上是一种计算机程序，可接收任意长度的信息输入，然后通过哈希算法，创建小的数字“指纹”的方式。
例如数字与字母的结合，输出的就为“哈希值”。
从数学术语上说，就是这个哈希函数，是将任意长度的数据，映射在有限长度的域上。
总体而言，哈希函数用于，将消息或数据压缩，生成数据摘要，最终使数据量变小，并拥有固定格式。
那么哈希算法的作用又是什么呢？（1）在庞大的数据库中，由于哈希值更为短小，被找到更为容易，因此，哈希使数据的存储与查询速度更快；（2）哈希能对信息进行加密处理，使得数据传播更为安全。
哈希算法解决了什么生活问题？看似深奥的数学函数，又或是计算机程序的哈希算法，其实跟我们的生活息息相关。
就拿每年双十一的快递来说，实际上，哈希算法原理提高了快递入库出库的速度。
为什么呢？双十一一过，大家剁手后，一定收快递收到手软，手机短信抖个不停。
这个时间段，双十一快递员可能没时间挨家挨户送上门，而是选择往驿站一扔。
当驿站将快递入库后，你的手机会收到这样一条信息——大家重点看看这个取货码：A10-8-9856。
这可不是一堆乱码，这串数值，就是驿站员能快速找到你快递的关键。
A10指的是货架编码，8指的是第8层，9856指的是订单后四位。
因此每个驿站小哥只需要瞄一眼，就能瞬间知道快递所在位置了。
因此，哈希算法最核心的用处，就是高速存取。
在区块链技术中，它才能真正大展身手。
以下是哈希算法在区块中的具体作用：（1）快速验证。
只需要验证摘要，就能比较两个数据是否相等；（2）防止篡改。
只需要传递数据的摘要即可传递该数据，并防止在传递过程中被篡改；（3）用于POW共识算法工作量证明。
目前比特币和以太坊都使用POW共识机制。
哈希算法有千千万万种，其中，“安全哈希算法”（SHA 256）是保护数字信息最安全的方式之一。
它是由美国国安局设计、美国国家标准与技术研究院发布的一套哈希算法。
其摘要长度是256bits，因此被称为“SHA256”。
它们都在网络数据和区块链技术应用中有着重大作用，也是理解区块链的重要一环。
用动画的形式写了一篇科普性的介绍哈希表的文章。
散列表（Hash table，也叫哈希表），是根据键（Key）而直接访问在内存存储位置的数据结构。
也就是说，它通过计算一个关于键值的函数，将所需查询的数据映射到表中一个位置来访问记录，这加快了查找速度。
这个映射函数称做散列函数，存放记录的数组称做散列表。
散列函数散列函数，顾名思义，它是一个函数。
如果把它定义成 hash(key) ，其中 key 表示元素的键值，则 hash(key) 的值表示经过散列函数计算得到的散列值。
散列函数的特点：1.确定性如果两个散列值是不相同的（根据同一函数），那么这两个散列值的原始输入也是不相同的。
2.散列碰撞（collision）散列函数的输入和输出不是唯一对应关系的，如果两个散列值相同，两个输入值很可能是相同的，但也可能不同。
3.不可逆性一个哈希值对应无数个明文，理论上你并不知道哪个是。
“船长，如果一样东西你知道在哪里，还算不算丢了。
”“不算。
”“好的，那您的酒壶没有丢。
”4.混淆特性输入一些数据计算出散列值，然后部分改变输入值，一个具有强混淆特性的散列函数会产生一个完全不同的散列值。
常见的散列函数MD5 即 Message-Digest Algorithm 5（信息-摘要算法5），用于确保信息传输完整一致。
是计算机广泛使用的杂凑算法之一，主流编程语言普遍已有 MD5 实现。
将数据（如汉字）运算为另一固定长度值，是杂凑算法的基础原理，MD5 的前身有 MD2 、MD3 和 MD4 。
MD5 是输入不定长度信息，输出固定长度 128-bits 的算法。
经过程序流程，生成四个32位数据，最后联合起来成为一个 128-bits 散列。
MD5 计算广泛应用于错误检查。
在一些 BitTorrent 下载中，软件通过计算 MD5 来检验下载到的碎片的完整性。
SHA-1（英语：Secure Hash Algorithm 1，中文名：安全散列算法1）是一种密码散列函数，SHA-1可以生成一个被称为消息摘要的160位（20字节）散列值，散列值通常的呈现形式为40个十六进制数。
SHA-1 曾经在许多安全协议中广为使用，包括TLS和SSL、PGP、SSH、S-MIME和IPsec，曾被视为是MD5的后继者。
散列冲突理想中的一个散列函数，希望达到如果key1 ≠ key2，那hash(key1) ≠ hash(key2)这种效果，然而在真实的情况下，要想找到一个不同的 key 对应的散列值都不一样的散列函数，几乎是不可能的，即使是 MD5 或者由美国国家安全局设计的 SHA-1 算法也无法实现。
事实上，再好的散列函数都无法避免散列冲突。
为什么呢？这涉及到数学中比较好理解的一个原理：抽屉原理。
抽屉原理：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
对于散列表而言，无论设置的存储区域（n）有多大，当需要存储的数据大于 n 时，那么必然会存在哈希值相同的情况。
这就是所谓的散列冲突。
那应该如何解决散列冲突问题呢？常用的散列冲突解决方法有两类，开放寻址法（open addressing）和链表法（chaining）。
开放寻址法定义：将散列函数扩展定义成探查序列，即每个关键字有一个探查序列h(k,0)、h(k,1)、…、h(k,m-1)，这个探查序列一定是0….m-1的一个排列（一定要包含散列表全部的下标，不然可能会发生虽然散列表没满，但是元素不能插入的情况），如果给定一个关键字k，首先会看h(k,0)是否为空，如果为空，则插入；如果不为空，则看h(k,1)是否为空，以此类推。
开放寻址法是一种解决碰撞的方法，对于开放寻址冲突解决方法，比较经典的有线性探测方法（Linear Probing）、二次探测（Quadratic probing）和双重散列（Double hashing）等方法。
线性探测方法当我们往散列表中插入数据时，如果某个数据经过散列函数散列之后，存储位置已经被占用了，我们就从当前位置开始，依次往后查找，看是否有空闲位置，直到找到为止。
以上图为例，散列表的大小为 8 ，黄色区域表示空闲位置，橙色区域表示已经存储了数据。
目前散列表中已经存储了 4 个元素。
此时元素 7777777 经过 Hash 算法之后，被散列到位置下标为 7 的位置，但是这个位置已经有数据了，所以就产生了冲突。
于是按顺序地往后一个一个找，看有没有空闲的位置，此时，运气很好正巧在下一个位置就有空闲位置，将其插入，完成了数据存储。
线性探测法一个很大的弊端就是当散列表中插入的数据越来越多时，散列冲突发生的可能性就会越来越大，空闲位置会越来越少，线性探测的时间就会越来越久。
极端情况下，需要从头到尾探测整个散列表，所以最坏情况下的时间复杂度为 O(n)。
二次探测方法二次探测是二次方探测法的简称。
顾名思义，使用二次探测进行探测的步长变成了原来的“二次方”，也就是说，它探测的下标序列为 hash(key)+0，hash(key)+1^2或[hash(key)-1^2]，hash(key)+2^2或[hash(key)-2^2]。
