数理统计课后习题答案(科学出版社)(精编文档).doc

数理统计课后习题解答应用数理统计第一章1.1 解：已知总体2(,)X N μσ ，则2(,)X N nσμ ，2(0,)X N nσμ-{1}0.95P X P μ-<=<=(0,1)N ,从而上式P=()σΦ查标准正态分布表得(1.96)0.975Φ=， n 最小要取221.96σ1.2 解：(1) 单个元件寿命长于800小时的概率为{800}1{800}i i P X P X >=-≤=0.001580010.0015e -⨯-⨯=0.9995∴ 该事件的概率为60.9995(2) 单个元件寿命短于3000小时的概率为{3000}i P X ≤=0.001530000.0015e -⨯⨯=40.166610-⨯∴ 该事件的概率为100.166610-⨯1.3 解：(1) X 1,X 2,X 3的联合概率函数为123331231123(,,)()!!!x x xs i i p x x x p x e x x x λλ++-===∏(2) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为1233()1231(,,)()x x x s i i f x x x f x e λλ-++===∏(3) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为 当i a x b ≤≤时，3123311(,,)()()s i i f x x x f x b a ===-∏当i x 取其他值时，31231(,,)()0s ii f x x x f x ===∏(4) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为222123313[()()()]221231(,,)()(2)x x x s i i f x x x f x eμμμπ---+-+-===∏1.4 解：1,...,n X X 的联合概率密度为当0x <<∞时，2211(ln )2221111(,...,)()(2)ni i n nx s n ini ii f x x f x exμσπσ=---==∑==∏∏当x 为其他值时，1(,...,)0s n f x x =1.5 证明：原式＝21[()()]nii XX X a =-+-∑＝22111()2()()()nnnii i i i XX X a X X X a ===-+--+-∑∑∑∵1()nii XX =-∑＝0∴ 原式＝2211()()nnii i XX X a ==-+-∑∑＝221()ni nS X a =+-∑ ∴ 当a ＝X 时，21()nii Xa =-∑有最小值且其值等于2nS 。

第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

1第二章 随机变量2.1 P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4 解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= (3) 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)234314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。

第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

习题22.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/36解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:〔1〕P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：〔1〕P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-〔2〕P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，那么X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，那么Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 〔1〕X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - 〔2〕X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-解：设应配备m 名设备维修人员。

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

习题22.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--= 2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计习题1 ( P25 )1. 1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现.}),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =; }),(),,(),,({H T T H H H C =.2) 由题意,可只考虑组合,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω;{})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A .3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A .4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则{}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =.5) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)6,6(,),2,6(),1,6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω;{})1,6(),1,4(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1(=A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)6,6(),4,6(),2,6(),5,5(),3,5(),6,4(),4,4(),2,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B .注: 也可如下表示:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)6,6()6,2(,),2,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω;{})6,1(),4,1(),2,1(=A ;{})6,6(),5,5(),6,4(),4,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(=B .2. 1) ni i A 1=; 2) ni i A 1=; (亦即:全部为正品的对立事件)3))]([11 n i n ij j j i A A =≠=⋂; 4) )])(([)(111 n i nij j j i n i i A A A =≠==⋂⋃.3.解:1) A ; 2) C B A ; 3) C AB ; 4) ABC ; 5) C B A ⋃⋃; 6) BC A C B A C AB ABC ⋃⋃⋃(AC BC AB ⋃⋃= B A C A C B ⋃⋃=) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件); 7) C B A C B A C B A ⋃⋃; 8) BC A C B A C AB ⋃⋃; 9) C B A (=C B A ⋃⋃);10）ABC (=C B A ⋃⋃)(等价说法:至少有一个不发生.);11) C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃ (=B A C A C B ⋃⋃)(即:至少有两个不发生).4.答案: n n A A A A A A A A A 11321211-⋃⋃⋃⋃ . 5.解: 所有可能情况有2555=⨯种,所涉事件共有15种可能,则所求概率为 532515==p . 6.解: 所有可能情况有⎪⎭⎫ ⎝⎛540种 (注:组合数 540540C =⎪⎭⎫ ⎝⎛)!540(!5!40-⨯=,下同.),则所求概率为 1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=5405371p ; 2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=540233372p .7.解: 所有可能情况为79种,则所求概率为 7799A p =.8解: 利用对立事件求概率的公式,所求概率为 441091-=p .9.解: 所有可能情况有))((d c b a ++种,则所求概率为 ))((d c b a bcad p +++=.10.解: 所有可能情况为67种,则所求概率为 667)22(27-⨯⎪⎭⎫⎝⎛=p .11.解: 样本空间可考虑有⎪⎭⎫⎝⎛r n 22种可能结果,古典概型,则所求概率分别为 1) ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n p r 22]12[221⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n r 22222;2) ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r n r n n p r 22]12[221221222⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-r n n r n r 22222122;3) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n p r 22]22[3⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n 22.12.解: 所有可能情况为n N 种,则所求概率分别为1) n Nn p !1=; 2) n N n n N p !2⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=.13.解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球):W 甲, W B B 甲乙甲, W B B B B 甲乙甲乙甲, W B B B B B B 甲乙甲乙甲乙甲,① 当b 为偶数时,则所求概率为211-+⋅-+-⋅+++=b a a b a b b a b b a a p 甲 4332211-+⋅-+-⋅-+-⋅-+-⋅++b a ab a b b a b b a b b a b a aa ab a b b a b ⋅+⋅+-+-⋅+++112211)2()1()1(1[-+⋅-+-++=b a b a b b b a a ])1()2()1(!aa b a b a b ⋅+-+⋅-+++ . ② 当b 为奇数时,则所求概率为甲p )2()1()1(1[-+⋅-+-++=b a b a b b b a a ])1()2()1(!+-+⋅-+++a b a b a b .14.解: 记事件i B :表示第i 次摸到黑球; i W :表示第i 次摸到白球.则事件{偶数次摸到白球}⋃=21W B ⋃4321W B B B ⋃654321W B B B B B . 故所求概率为P {偶数次摸到白球}⋃=21(W B P ⋃4321W B B B )654321 ⋃W B B B B B+=)(21W B P +)(4321W B B B P +)(654321W B B B B B Pb a a b a b +⋅+=b a a b a b +⋅++3)( ++⋅++ba ab a b 5)( +⋅+⋅=1[)(2b a ba ])()(42 ++++b a b b a b ba b 2+=.15.解: 在三个孩子的家庭中,样本点总数为823=种,记事件=A {三个孩子的家庭中有女孩}, =B {三个孩子的家庭中至少有一个男孩}.要求 =)|(A B P ? 由 )()()|(A P AB P A B P =, 又 87)(=A P , 86)(=AB P , 则 76)|(=A B P .16.解: A ∆{掷三颗骰子,点数都不一样}, ∆B {掷三颗骰子,有1点}. 要求 =)|(A B P ? 由 )()()|(A P AB P A B P =, 且 36456)(⨯⨯=A P , 36453)(⨯⨯=AB P .则 216/4566/453)|(33=⨯⨯⨯⨯=A B P .17.解: 记事件}{个球为同一种颜色所取n A =, }{个球全为黑球所取n B =, 要求 =)|(A B P ?则 )()()|(A P AB P A B P =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n n 14]212[142⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n 2122!!)!2()!1(!)!12(!!)!2(n n n n n n n n n ⨯+-⨯-⨯=32=.18.解: 1) 记事件},{有废品任取两件=A , },{均为废品任取两件=B ,则所求概率为)()()|(1A P AB P A B P p ==)()(A P B P =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=22122M m M M m ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=222m M M m 121---=m M m .2) 记事件},{有正品任取两件=C ,},{有一正品一件废品任取两件=D ,则所求概率为)()()|(2C P CD P C D P p ==)()(C P D P =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221211M m M m m M⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=22)(m M m M m 12-+=m M m . 19.解: 记事件i A :第i 次摸到白球, n i ,,2,1 =, 要求: =)(21n A A A P ? 由计算概率的乘法定理,则所求概率为=)(21n A A A P )(1A P )|(12A A P ⋅)|(213A A A P ⋅)|(11-n n A A A P1433221+⨯⨯⨯⨯=n n 11+=n .20.解: 记事件=k A {第k 个人摸到彩票}, n k ,,2,1 =, 1) 所求概率为 =-)|(11k k A A A P 11+-k n .2) 由k k k A A A A A 121-= ,则)()(121k k k A A A A P A P -= )(1A P =)|(12A A P ⋅)|(211--k k A A A P )|(121-⋅k k A A A A P1121121+-⨯+-+-⨯⨯--⨯-=k n k n k n n n n n n1=.21.解: 记事件=B {所选射手能进入比赛}, =i A {所选射手为第i 级}, 4,3,2,1=i . 已知 204)(1=A P , 208)(2=A P , 207)(3=A P , 201)(4=A P , 9.0)|(1=A B P , 7.0)|(2=A B P , 5.0)|(3=A B P , 2.0)|(4=A B P .用全概率公式,则所求概率为 ∑=⋅=41)|()()(i i i A B P A P B P 2.02015.02077.02089.0204⨯+⨯+⨯+⨯=645.0=.22.解: 记事件=i A {从第i 袋中取出白球}, N i ,,2,1 =. 1) nm nA P +=)(1,)|()()(1212A A P A P A P ⋅=)|()(121A A P A P ⋅+111++⋅+++++⋅+=n m n n m m n m n n m n nm n+=, 归纳假设: nm nA P k +=)(, 则 )|()()(11k k k k A A P A P A P ++⋅=)|()(1k k k A A P A P +⋅+111++⋅+++++⋅+=n m n n m m n m n n m n n m n +=. 所以 nm nA P N +=)(.2) 要求:=)|(1A A P N ?=)|(1A A P N )()(11A P A A P N )()()(11111A P A A A P A A A P N N N N --+= )|()|()|()|(11111111A A P A A A P A A P A A A P N N N N N N ----⋅+⋅= )|()|()|()|(111111A A P A A P A A P A A P N N N N N N ----⋅+⋅=)]|(1[1)|(111111A A P n m n A A P n m n N N ---⋅+++⋅+++= )|(11111A A P n m n m n N -⋅+++++=, ,3,2=N 记11++=n m t ,则)|(1A A P N )]|([11A A P n t N -+⋅=)]]|([[12A A P n t n t N -+⋅+⋅=)|(1222A A P t t n t n N -⋅+⋅+⋅=)|(11112A A P t t n t n t n N N ⋅+⋅++⋅+⋅=-- 112--+⋅++⋅+⋅=N N t t n t n t n]1[21--+++⋅+=N N t t t n t tt nt tN N --+=--1)1(11.23.解: 记事件321,,A A A 表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产; 事件=B {所取产品是废品}. 要求:=)|(B A P i ? (3,2,1=i ) 已知 25.0)(1=A P , 35.0)(2=A P , 40.0)(3=A P ,05.0)|(1=A B P , 04.0)|(2=A B P , 02.0)|(3=A B P .则 ∑=⋅=31)|()()(i i i A B P A P B P 02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯=0345.0=.由贝叶斯公式,则所求概率分别为)|(1B A P )()(1B P B A P =)()|()(11B P A B P A P ⋅=0345.005.025.0⨯=3623.06925≈=, )|(2B A P )()|()(22B P A B P A P ⋅=4058.06928≈=, )|(3B A P )()|()(33B P A B P A P ⋅=2319.06916≈=.24解: 记事件4321,,,A A A A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.事件=B {朋友迟到}. 要求:=)|(1B A P ?已知 3.0)(1=A P , 2.0)(2=A P , 1.0)(3=A P , 4.0)(4=A P ,41)|(1=A B P , 31)|(2=A B P , 121)|(3=A B P , 0)|(4=A B P .则 ∑=⋅=41)|()()(i i i A B P A P B P 04.01211.0312.0413.0⨯+⨯+⨯+⨯=15.0=. 由贝叶斯公式,则所求概率为)|(1B A P )()|()(11B P A B P A P ⋅=5.015.0413.0=⨯=. 25.由 )|()()|()()|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ⋅+⋅⋅==,已知n m m A P +=)(, n m nA P +=)(,)|(A B P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121n m m )2)(1()2)(1(-+-+--=n m n m m m ,)|(A B P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=212n m m )2)(1()1(-+-+-=n m n m m m .则所求概率为=)|(B A P )2)(1()1()2)(1()2)(1()2)(1()2)(1(-+-+-⨯++-+-+--⨯+-+-+--⨯+n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m 22-+-=n m m .26解:1) )(21n A A A P ∏==ni i A P 1)(])(1[1∏=-=ni i A P ∏=-=ni i p 1)1(;2) )(1 n i i A P =)(11 ni i A P =-=)(121n A A A P -=∏=--=ni i p 1)1(1;3) )}({11n kj j j nk k A A P ≠==∑=≠==n k n kj j j k A A P 11)( ])(1()([11∑∏=≠=-⋅=n k n kj j j k A P A P ])1([11∑∏=≠=-⋅=n k nkj j j k p p .27.解: 记事件=i A {击中i 号目标}, 2,1=i .要求:=⋃)(21A A P ?方法一: =⋃)(21A A P )()()(2121A A P A P A P -+)()()()(2121A P A P A P A P ⋅-+= 90.05.08.05.08.0=⨯-+=.方法二: =⋃)(21A A P )(121A A P ⋃-)(121A A P -=)()(121A P A P ⋅-=90.0)5.01()8.01(1=-⨯--=.28.解: 分别以i i i D C B A ,,,表示对应元件能正常工作.则所求概率分别为1) )(332211B A B A B A P ⋃⋃)(1332211B A B A B A P ⋃⋃-=)(131=-=i i i B A P )(131∏=-=i i i B A P)](1[131∏=--=i i i B A P )]()(1[131∏=⋅--=i i i B P A P311)]()(1[1B P A P ⋅--=3)1(1B A p p ⋅--=.2) ))((21D C B A D P ⋃⋃)()()(21C B A P D P D P ⋃⋃⋅⋅=)](1[2C B A P p D ⋃⋃-⋅=)](1[2C B A P p D -⋅= )]()()(1[2C P B P A P p D ⋅⋅-⋅=)]1()1()1(1[2C B A D p p p p -⋅-⋅--⋅=.3) 方法一: )})(()({21212211B B A A C B A B A C P ⋃⋃⋃⋃)})(({)}({21212211B B A A C P B A B A C P ⋃⋃+⋃=)()()()()(21212211B B P A A P C P B A B A P C P ⋃⋅⋃⋅+⋃⋅=)2()2()2()1(2222B B A A C B AB AC p p p p p p p p p p -⋅-⋅+⋅-⋅⋅-=. 方法二: )(12212211CB A CB A B A B A P ⋃⋃⋃))((12212211B A B A C B A B A P ⋃⋃⋃=))(()()(12212211B A B A C P B A P B A P ⋃++=))(())(()(1221221221112211B A B A C B A P B A B A C B A P B A B A P ⋃-⋃-- ))((12212211B A B A C B A B A P ⋃+)()()()()()(12212211B A B A P C P B P A P B P A P ⋃⋅+⋅+⋅=)()()()()()(1212112211B A A B B A P C P B P A P B P A P ⋃⋅-⋅⋅⋅- )()(212221B B A B A A P C P ⋃⋅-)()(2121B B A A P C P ⋅+]2[222B A B A C B A p p p p p p p -+=22B A p p -][22222B A B A BA C p p p p p p p -+-22B A C p p p + )22222(C B A C B C A B A C B A p p p p p p p p p p p p +---+=.29.解: 记事件=i A {第i 轮甲命中目标}, =i B {第i 轮乙命中目标}, ,2,1=i . 则 {甲获胜} ⋃⋃⋃=322112111A B A B A A B A A , 所以 =}{甲获胜P )(322112111 ⋃⋃⋃A B A B A A B A A P+++=)()()(322112111A B A B A P A B A P A P+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=)()()()()()()()()(322112111A P B P A P B P A P A P B P A P A P +⋅-⋅-+⋅-⋅-+=12211211)]1()1[()1()1(p p p p p p p)1()1(1211p p p -⋅--=21211p p p p p ⋅-+=.由于 {乙获胜} ⋃⋃⋃=332211221111B A B A B A B A B A B A , 所以 =}{乙获胜P )(332211221111 ⋃⋃⋃B A B A B A B A B A B A P+++=)()()(332211221111B A B A B A P B A B A P B A P+⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-=22231222121)1()1()1()1()1(p p p p p p p p)1()1(1)1(2121p p p p -⋅--⋅-=212121)1(p p p p p p ⋅-+⋅-=.或: =}{乙获胜P }{1甲获胜P -212111p p p p p ⋅-+-=212121)1(p p p p p p ⋅-+⋅-=.30解: 一名患者痊愈的概率记为p , 10名患者痊愈的个数记为X ,则),10(~p b X .1) 由题意知,35.0=p ,所求概率为 =}{通过试验被否定P }3{≤X P i i i i -=⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛=∑103065.035.0105138.0≈. 2) 由题意知,25.0=p ,所求概率为=}{通过试验被认定有效P }4{≥X P }3{1≤-=X Pi i i i -=⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=∑103075.025.01012241.0≈.习题2（p53）1. 设随机变量X 的分布律为：2(), 1,2,33xP X x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭求c 的值。