2011年 湖南省高考数学试卷(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线221(0)x y a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 6. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12 B ．1 C．2D7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．12 CD二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 6. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A ．12B ．1 CD7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A．(1,1+ B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C．2 D．2二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

２011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类）参考公式：（1)()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >, (2)柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积,h 为高。

(３）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题,每小题5分,共4０分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。

１.若,a b R ∈,i 为虚数单位,且()a i i b i +=+，则（ ）Ａ.1,1a b == B ．1,1a b =-= Ｃ.1,1a b =-=- D.1,1a b ==- 答案：D2.设{1,2}M =,2{}N a =,则“1a =”是“N M ⊆”则（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 Ｄ.既不充分又不必要条件答案：A解析:因“1a =”,即{1}N =,满足“N M ⊆”,反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.9122π+ Ｂ.9182π+ C.942π+ D ．3618π+ 答案：Ｂ解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

:由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” Ｃ.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案：C解析:由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=,故由独立性检验的意义可知选C. 5．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为( ） A ．４ B.3 Ｃ.2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a =±,故可知2a =。

2011年湖南高考理科数学试题详细解析理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii +-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为i -，故选C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=【解析】由偶函数排除A,由在+∞（0，）单调递增，排除C ，D,故选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040【解析】由程序框图知，k=1,p=1；k=2,p=2；k=3,p=6；k=4,p=24；k=5,p=120；k=6,p=720.故选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=，故选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45【解析】由已知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为【解析】由题设知该几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+ B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：正视图侧视图俯视图 图1由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++算得22110(40302020)7.860506050K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案：C解析：由27.8 6.635K≈>，而2( 6.635)0.010P K≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x yaa-=>的渐近线方程为320x y±=，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y xa=±，故可知2a=。

2011年湖南高考数学（理工农医类）试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中A ,B 为两个事件，且P (A )>0.（2）柱体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a ,b ∈R ，i 为虚数单位，且(a +i )i=b+i ，则( )A ．a =1,b =1B ．a =-1,b =1C ．a =-1,b =-1D ．a =1,b =-1 2．设M ={1,2}，N ={a 2}，则“a =1”是“N ⊆M ”则( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9122π+B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为3x ±2y =0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．16．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1CD 正视图 侧视图7．设m>1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,+∞) 8．设直线x=t 与函数f (x )=x 2, g (x )=ln x 的图像分别交于点M ,N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12 C．2 D．2二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：正视图侧视图俯视图 图1由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a的值为（ ） A ．4 B ．3 C．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

2011年全国高考理科数学试题-湖南卷1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A. 1,1a b ==B. 1,1a b =-=C. 1,1a b =-=-D. 1,1a b ==- 答案：D分析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-．2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 答案：A分析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”．3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.9122π+ B. 9182π+C. 942π+D. 3618π+ 答案：B分析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439()33218322V ππ=+⨯⨯=+．4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：C分析：由3K 7.8 6.635≈>，而3(6.35)0.10P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C ．5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：C分析：依题意知，双曲线的渐近线为，3y x a=±，故可知2a =．6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.12B. 1C.D. 答案：D分析：由定积分知识可得3333cos sin |(22S xdx x ππππ--===--=⎰D ．7.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A. (1,1B. (1)+∞C. (1,3)D. (3,)+∞ 答案：A分析：画出可行域如图所示，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值，由21211m m m+<++，解得11m <<．8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A. 1B. 12C.D. 2答案：D分析：由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x'=-，令()0h x '=解得2x =，因(0,)2x ∈时，()0h x '<，当(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当x =时，||MN 达到最小，即t =9.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为_____． 答案：2分析：曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2．10.设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为_____． 答案：9分析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．11.如图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为_____．分析：由题可知，60AOB EOC ︒∠=∠=，2OA OB ==，得1OD B D ==，DF =，又23AD BD CD =⋅=，所以AF AD DF =-=12.设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则9S =_____． 答案：25分析：∵数列{}n a 为等差数列， ∴1(1)n a a n d =+-，1(1)2n n n S na d -=+， ∵141,7a a ==，∴41(41)7a d =+-=，∴2d =，99(91)912812S ⨯-∴=⨯+⨯=． 故答案为：81 ．13.若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，则输出的数等于_____．答案：23分析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==．14.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=_______ ． 答案：14-分析：由题12AD CD CA CB CA =-=-，13BE CE CB CA CB =-=-， 所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA ⋅=-⋅-=--+⋅=-．15.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则(1) ()P A =_____；(2) (|)=P B A _____．答案：见解析分析：(1)由几何概型概率计算公式可得；(2)由条件概率的计算公式可得21()14(|)===2()4P AB P B A P A ππ⨯．16.对于*n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1，记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则 (1)(12)I =_____ ；(2)127()12I n n ==∑_____．答案：(1)2 ；(2)1093分析：(1)因32101212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；(2)在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11k C -个，有2个0的有21k C -个，……有m 个0的有1mk C -个，……有1k -个0的有111k k C --=个． 故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：01122111111122223k k k k k k C C C ------⋅+⋅+⋅++⋅=． 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则 （ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】利用复数相等的条件直接求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因(i)i 1i i a a b +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-. 2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】集合间的关系,充分必要条件. 【考查方式】给出两个集合直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”.3.如图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）第3题图A ．9π122+ B ．9π182+ C ．9π42+ D ．36π18+【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，通过判断直接求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积3439π()332π+18322V =+⨯⨯=. 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：2()P K k … 0.0500.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 （ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【测量目标】独立性检验.【考查方式】给出统计图表直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由27.8 6.635,K ≈>而2( 6.635)0.010P K =…，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线方程直接求出渐近线方程，再结合给出的渐近线方程比较求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =. 6. 由直线ππ,,033x x y =-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12 B ．1 C．2D【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】直接给出曲线和直线方程求面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由定积分知识可得ππ33ππ33cosd sin |(22S x x --===-=⎰7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为 （ ） A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【测量目标】线性规划求最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数的范围求目标函数y 轴系数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】可知z x my =+在点1(,)11m m m++取最大值，由 21211m m m+<++解得11m <<. 8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为 （ ）A ．1B ．12C ．2D ．2【测量目标】利用导数判断单调性求最值.【考查方式】利用直线与曲线相交，求相交直线方程再运用导数性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x'=-，令()0h x '=解得2x =，因(0,)2x ∈时，()0h x '<，当()2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当2x =时，||MN 达到最小，即2t =.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 . 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程，将其转化为普通方程后解不等式求解. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y ∈R ,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 【测量目标】不等式选讲.【考查方式】给出两个乘式直接考查. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x+++=…. 11.如图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D , BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 .第11题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】通过线段和圆的位置关系考查. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题可知，60AOB EOC ∠=∠=，2OA OB ==,得1OD BD ==,3DF =，又23AD BD CD ==，所以3AF AD DF =-=. 二、必做题（12~16题）12．设n S 是等差数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】给出等差数列某两项的值求出通项再求和. 【难易程度】容易 【参考答案】25【试题解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==. 13．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====， 则输出的数等于 .第13 题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】直接给出程序框图考查. 【难易程度】中等 【参考答案】23【试题解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==. 14．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE =.【测量目标】平面向量在平面几何中的运用. 【考查方式】给出向量间的关系求解. 【难易程度】容易 【参考答案】14-【试题解析】由题12AD CD CA CB CA =-=- ，13BE CE CB CA CB =-=-，所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA =--=--+=-. 15．如图， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）=______P A （）；（2）=______P B A （|）第15题图【测量目标】几何概型.【考查方式】利用两个图形面积的比值求解. 【难易程度】容易 【参考答案】（1）2π；（2）1=4PB A （|） 【试题解析】（1）由几何概型概率计算公式可得2==πS P A S 正圆（）； （2）由条件概率的计算公式可得21×1π4===24πP AB P B A P A （）（|）（）.16.对于*n ∈N ，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，当0i =时，1i a =，当1i k 剟时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则（1）(12)_____I = （2）127()12______I n n ==∑【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用特定的条件求解. 【难易程度】较难 【参考答案】（1）2；（2）1093【试题解析】（1）因3211212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k …位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，……有m 个0的有1C m k -个，……有1k -个0的有11C 1k k --=个.故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112C 2C 2C 23k k k k k k ------⨯++++=. 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =.（I ）求角C 的大小；（II πcos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 【测量目标】正弦定理，三角函数的最值. 【考查方式】给出边角之间的关系求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >πsin cos .cos 0,tan 1,4C C C C C =≠==从而又所以则.(步骤1) （II ）由（I ）知3π.4B A =-于是 πcos()cos(π)4A B A A -+=--πcos 2sin().6A A A =+=+3πππ11ππππ0,<+<,=,,46612623A A A A <<∴+= 从而当即时π2sin()6A +取最大值2．（步骤2）πcos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==（步骤3） 18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率.(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】对立事件的概率，离散型随机变量的期望. 【考查方式】运用实际生活背景考查.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=153202010+=.（步骤1） （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.51(2)()204P X P ====“当天商品销售量为1件”； (3)()+()+(1953)++32020204P X P P P ====“当天商品销售量为0件”“当天商品销售量为2件”“当天商品销售量为3件”（步骤）故X 的分布列为X2 3 P 14 34 X 的数学期望为13112+3=444EX =⨯⨯.（步骤4）19.（本题满分12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO O = 的直径2,,A B C A B D A C=是的中点,为的中点． （I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面 （II ）求二面角B PA C --的余弦值．第18题图【测量目标】面面垂直，二面角.【考查方式】在圆锥中考查. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）连接OC ， 因为OA OC =,D 为AC 中点，所以AC OD ⊥. 又,,.PO O AC O AC PO ⊥⊂⊥ 底面底面所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面而AC PAC ⊂平面，所以POD PAC ⊥平面平面.（步骤1）（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,OH PAC ⊥平面又,PA PAC ⊂平面所以PA OH ⊥.在平面PAO 中，过O 作OG PA G ⊥于,连接HG ,则有PA OGH ⊥平面， 从而PA HG ⊥，所以OGH ∠是二面角B PA C --的平面角．（步骤2）在Rt ,sin 452ODA OD OA ==△中在Rt ,POD OH ===△中在Rt ,POA OG ===△中在Rt ,sin OH OHG OGH OG ∠===△中所以cos 5OGH ∠=. 故二面角B PA C --的余弦值为5.（步骤3）第19题图20. 如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c ∈R .E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =32时. （Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v …10,0＜c …5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.第19题图【测量目标】分段函数模型，利用函数单调性及最值. 【考查方式】利用将立体几何与函数综合考查. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+.（步骤1） （II ）由(I)知，当0v c <…时，55(310)(3310)15c y c v v v+=-+=-； 当10c v <…时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c vy c c v v +⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩…….（步骤2）(1)当1003c <…时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202cy =-.（步骤3） (2) 当1053c <…时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c=.（步骤4） 21.(本小题满分13分） 如图，椭圆221221(0)x y C a b a b +=>>：，x轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长.（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交于D ,E .（i ）证明：MD ME ⊥；(ii)记△MAB ,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.第21题图【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用直线与椭圆相交的位置关系和条件考查. 【难易程度】较难【试题解析】（I）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==.故1C ，2C 的方程分别为2221,14x y y x +==-. （步骤1） （II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，（步骤2） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-. 又点M 的坐标为(0,1)-，所以2221212121212121211(1)(1)()1111MA MBy y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++=====--故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.（步骤3）（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y kx y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为211(,1)k k -（步骤4） 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --.于是211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +==-= （步骤5）由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2211(14)80k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++；（步骤6） 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +==++ 因此21122111(417)64S k S k =++（步骤7） 由题意知，21211117(417)6432k k ++=,解得214k = 或2114k =. 又由点,A B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-.（步骤8） 22.（本小题满分13分）已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()n a n ∈N 满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ,使得对于任意的*n ∈N ，都有n a …M . 【测量目标】利用导数求单调性，不等式恒成立问题.【考查方式】给出两个函数式，利用导数及不等式求解.【难易程度】较难【试题解析】（I）由3()h x x x =-知，[0,)x ∈+∞，而(0)0h =，且(1)10,(2)60h h =-<=，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点（步骤1） 122()(1)h x x x x -=--，记122()1x x x ϕ-=--，则321()22x x x ϕ-'=+. 当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点，综上所述，()h x 有且只有两个零点.（步骤2） （II ）记()h x 的正零点为0x，即300x x =（1）当0a x <时，由1a a =，即10a x <.而332100a a x x ==，因此20a x <，由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，10a x <显然成立；（步骤3） ②假设当(1)n k k =…时，有0k a x <成立，则当1n k =+时，由13300k k a a x x +=+<知，10k a x +<，因此，当1n k =+时，10k a x +<成立. 故对任意的*n ∈N ，0n a x <成立.（步骤4）（2）当0a x …时，由（1）知，()h x 在0(,)x +∞上单调递增.则0()()0h a h x =…，即3a a +….从而2331a a a a ==，即2a a …，由此猜测：n a a ….下面用数学归纳法证明：①当1n =时，1a a …显然成立；（步骤5） ②假设当(1)n k k =…时，有k a a …成立，则当1n k =+时，由133k k a a a a +=+知，1k a a +…，因此，当1n k =+时，1k a a +…成立.故对任意的*n ∈N ，n a a …成立. 综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*n ∈N ，都有n a M ….（步骤6）。