三角形内心和外心练习题

第16讲 三角形的外心和内心

二、方法剖析与提炼

例题1．（2015湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）

A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°

【解析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．

【解答】如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，

∴∠A= ，∠A′= ，

故∠BAC的度数为：

【解释】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．

例题2．（2015金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）

A． B． C． D．2

【解析】设⊙O的半径是r，则OF=r，在Rt△OIF中，可以求出FI的值；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，利用相似三角形性质求出GH的值，最后就能求出的值。

【解答】如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF=r， 在Rt△OIF中, ∠OFA=∠OAF=30°, ∠COF=30°+30°=60°

所以FI=r•sin60°=，EF=，

因为AO=2OI， 所以OI=，CI=r﹣=，

所以，=，

即则的值是．

故选：C．

【解释】解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例题3．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．

（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

1．三角形的五心

三角形的五心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．

2．三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）

3．三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在模型介绍 三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

4．三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．

（3）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

考点一：三角形重心问题

1 aABCO aABCO

rABCID ABCDEFG

O1BACO3O2O 第一讲 圆 (3) 三角形的五种心

一. 三角形五种心的性质:

1. 外心(点O):

(1) OA=OB=OC=Aasin2

(2) ∠A为锐角，则∠BOC＝2∠A

∠A为钝角，则∠BOC＝360o-2∠A

2. 内心(点I):

(1) S⊿ABC=21(a+b+c)r [a、b、c为三边长, r为内切圆半径]

(2) ∠BIC=21∠A+90O

(3) DCACBDAB

3. 重心(点G):

(1) S⊿BDG= S⊿CDG =S⊿CEG= S⊿AEG= S⊿AFG= S⊿BFG

(2) FGCGGEBGGDAG=2

4. 垂心(点H):

(1) H为⊿EFG的内心

(2) ∠BHC＝180o-∠A

∠AHC＝180o-∠B

∠BHA＝180o-∠C

(3) ⊙⊿BHC=⊙⊿AHC=⊙⊿BHA=⊙⊿ABC

(各三角形外接圆半径相等)

5. 旁心(点O1、O2、O3):

⊿O1O2O3的垂心为⊿ABC的内心

注: (1) 试证明以上各条性质;

(2) 各结论可直接使用.

ABCGEFH 2 bcaABCH ABCMNHEKOGF 二. 重要结论和例题:

例1. (欧拉线) 任一个三角形中, 外心、垂心、重心共线, 且垂心到重心距离2倍于外心到重心距离.

证明：（如图）设⊿ABC垂心为H， 外心为O， E为BC中点，

M、N分别为高之垂足，连OE、AM、BN、OH、AE

设AE与OH交于点G，三边长分别为a、b、c

则OE⊥BC, ∴EO//AM ∴AHOEHGOG

RT⊿OEC中 ∠EOC＝21∠BOC＝∠BAC

∴OE=OC•cosA=RcosA

∵∠AHN=∠C

且 AH=CAcCANsincossin=2RcosA=2OE（正弦定理Ccsin=2R, R为相应三角形外接圆半径）

第三单元圆 我思我优

第5课时 三角形的外心和内心

【知识概述】

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等；

三角形内心是三角形三个内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,内心与各顶点的连线平分各个

内角,内心到三角形三边的距离相等.

【例题精选】

例1 如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆

盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是___________.

思路点拨：关键是确定△ABC的外接圆的圆心位置.

例2 如图，△ABC中，AB=7cm，AC=8cm，BC=6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、

BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为___________.

例3 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，AD与BC 相交于点F，连结BE，DC，已知EF=2，CD=5，求AD的长.

思路点拨：根据三角形的内心的定义可推得BD=CD，△BDF∽△ADB，根据相似三角形的性质列出

比例式，代入计算即可． (例3) (例1) (例2) 第三单元圆 我思我优

【配套练习】

1. 如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ ）

A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心

2. 九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）

A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE

3. 已知△ABC的边BC=cm，且△ABC内接于半径为2cm的⊙O，则∠A=___________. 4. 如图，点O和点I分别是△ABC的外心和内心，若∠BOC=130°，则∠BIC=________.

5. 如图，P是△ABC的内心，连结PA

、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．