2010-2016考研数二真题

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2016年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当0x时，若)(lnx21，11)cos(x均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）

（A）),(2 （B）),(21 （C）),(121 （D）),(210

2．下列曲线有渐近线的是

（A）xxysin （B）xxysin2（C）xxy1sin （D）xxy12sin

3．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（ ）

（A）当0)('xf时，)()(xgxf （B）当0)('xf时，)()(xgxf

（C）当0)(xf时，)()(xgxf （D）当0)(xf时，)()(xgxf

4．曲线14722ttytx, 上对应于1t的点处的曲率半径是（ ）

（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105

5．设函数xxfarctan)(，若)(')(xfxf，则220xxlim（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31

6．设),(yxu在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及02222yuxu，则（ ）．

（A）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）),(yxu的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； 实用文档

（D）),(yxu的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

7．行列式dcdcbaba00000000等于

（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda （D）2222cbda

8．设321,, 是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,,线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．12521dxxx ．

10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f ．

11．设),(yxzz是由方程4722zyxeyz确定的函数，则2121,|dz ．

12．曲线L的极坐标方程为r，则L在点22,),(r处的切线方程为 ．

13．一根长为1的细棒位于x轴的区间10,上，若其线密度122xxx)(，则该细棒的质心坐标x ．

14．设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),,(的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限)ln())((limxxdttetxtx1112112．

16．（本题满分10分） 实用文档

已知函数)(xyy满足微分方程''yyyx122，且02)(y，求)(xy的极大值和极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域004122yxyxyxD.,|),(．计算Ddxdyyxyxx)sin(22

18．（本题满分10分）

设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz222224)cos(．若0000)(',)(ff，求)(uf的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，10)(xg，证明：

（1） baxaxdttgxa,,)(0；

（2） badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(．

20．（本题满分11分）

设函数101,,)(xxxxf，定义函数列

)()(xfxf1，))(()(xffxf12，)),(()(,xffxfnn1

设nS是曲线)(xfyn，直线01yx,所围图形的面积．求极限nnnSlim．

21．（本题满分11分）

已知函数),(yxf满足)(12yyf，且yyyyyfln)()(),(212，求曲线0),(yxf所成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积．

22．（本题满分11分）

设302111104321A，E为三阶单位矩阵．

（1） 求方程组0AX的一个基础解系；

（2） 求满足EAB的所有矩阵．

23．（本题满分11分） 实用文档

证明n阶矩阵111111111与n00200100相似．

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

1、下列反常积分中收敛的是（）

（A）21dxx （B）2lnxdxx (C)21lndxxx (D)2xxdxe

2、函数20sin()lim(1)xtttfxx在(,)内（）

（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

3、设函数1cos,0()0,0xxfxxx(0,0)，若()fx在0x处连续，则（）

（A）1 (B)01 (C)2 (D)02

4、设函数()fx在(,)连续，其二阶导函数()fx的图形如右图所示，则曲线()yfx的拐点个数为（）

（A）0 (B)1 (C)2 (D)3

5、设函数(uv)f，满足22(,)yfxyxyx，则11uvfu与11uvfv依次是（）

（A）12,0 (B)0，12（C）-12,0 (D)0 ,-12

6、设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy=（） 实用文档

（A）12sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr（B）1sin22142sin2(cos,sin)dfrrdr

（C）13sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr（D）1sin23142sin2(cos,sin)dfrrdr

7、设矩阵A=211112a14a，b=21dd,若集合Ω=1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（）

（A）,ad (B),ad (C),ad (D) ,ad

8、设二次型123(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232,yyy其中123P=(e,e,e)，若132(,,)Qeee，则123(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为（ ）

(A)2221232yyy (B) 2221232yyy (C) 2221232yyy (D) 2221232yyy

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

9、设2231arctan,3txtdydxytt则

10、函数2()2xfxx在0x处的n 阶导数()(0)nf

11、设函数()fx连续，20()(),xxxftdt若(1)1，'(1)5，则(1)f

12、设函数()yyx是微分方程'''20yyy的解，且在0x处()yx取值3，则()yx=

13、若函数(,)zzxy由方程231xyzexyz确定，则(0,0)dz=

14、设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，2BAAE，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

设函数()ln(1)sinfxxxbxx，2()gxkx，若()fx与()gx在0x是等价无穷小，求,,abk的值。

16、（本题满分10分） 实用文档

设0A，D是由曲线段sin(0)2yAxx及直线,2yox所形成的平面区域， 1V，2V分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若12VV，求A的值。

得：8A

17、（本题满分10分）

已知函数(,)fxy满足"(,)2(1)xxyfxyye，'(,0)(1)xxfxxe，2(0,)2fyyy，求(,)fxy的极值。

18、（本题满分10分）

计算二重积分()Dxxydxdy，其中222(,)2,Dxyxyyx

19、（本题满分10分）

已知函数2121()11xxfxtdttdt，求()fx零点的个数。

20、（本题满分11分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C，若要将该物体的温度继续降至21C，还需冷却多长时间？

21、（本题满分11分）

已知函数fx在区间+a，上具有2阶导数，0fa，0fx，''0fx，设ba，曲线yfx在点,bfb处的切线与x轴的交点是00x，，证明0axb

22、（本题满分11分）

设矩阵101101aAaa且3AO.

(1) 求a的值；

(2) 若矩阵X满足22XXAAXAXAE，E为3阶单位阵，求X.