新人教A版选修4-4数学2.2.1《直线的参数方程》课件

曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3： （c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在 ，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

1

参数方程

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1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义

2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程

3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法

4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题

一.参数方程的定义

1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()xftygt；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()xftygt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()xftygt叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．

2．关于参数的说明．

参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．

3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()xftygt，就是参数方程．

2

二.圆的参数方程

点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：cossinxrtyrt(t为参数)．

我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．

圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：

cossinxartybrt（t为参数）.

三．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为cossinxayb(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程．

【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A版选修4-4

1．已知直线l的参数方程为 x＝2t＋2y＝－2t－1(t为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为(－2，π)，那么点P到直线l的距离为( )

C．1

答案：B

2．直线 x＝1＋12ty＝－33＋32t(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，那么AB的中点坐标为( )

A．(3，－3) B．(－3，3)

C．(3，－3) D．(3，－3)

答案：D

3．直线 x＝－2＋ty＝1－t(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为( )

B．4014

答案：C

4．直线 x＝2＋ty＝3t(t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( )

A．210 C．25

答案：A

5．在参数方程 x＝a＋tcos θy＝b＋tsin θ(t为参数)所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值别离为t一、t2，那么线段BC的中点M对应的参数值是( )

答案：B

6．已知曲线 x＝3cos θy＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为π4，那么P点坐标是( )

A．(3,4) B．(322，22)

C．(－3，－4) D．(125，125)

答案：D

7．直线l的方程是 x＝1＋2ty＝2－3t(t为参数)，那么l上任一点到定点(1,2)的距离是( )

A．t B．|t|

|t|

答案：C

8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线 x＝t2，y＝t3(t为参数)相交于A，B两点，那么|AB|＝________.

1 第2课时 参数方程和普通方程的互化

课标解读 1.了解参数方程化为普通方程的意义．

2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．

3．掌握参数方程化为普通方程的方法.

参数方程与普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么 x＝fty＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 2

普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？

【提示】 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.

参数方程化为普通方程 3 在方程 x＝a＋tcos θ，y＝b＋tsin θ，(a，b为正常数)中，

(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？

(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？

【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．

【自主解答】 方程 x＝a＋tcos θ， ①y＝b＋tsin θ， ②(a，b是正常数)，

(1)①×sin θ－②×cos θ得

xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.

∵cos θ、sin θ不同时为零，

∴方程表示一条直线．

(2)(ⅰ)当t为非零常数时，

原方程组为 x－at＝cos θ， ③y－bt＝sin θ. ④

③2＋④2得x－a2t2＋y－b2t2＝1，

即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．

(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．

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1．消去参数的常用方法