(word完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版

二元一次方程的概念与解法二元一次方程是数学中常见的问题类型，它由两个未知数和一次项构成。

解决这类方程需要运用代数的基础知识和解方程的技巧。

本文将介绍二元一次方程的概念以及一些解法方法。

一、二元一次方程的概念二元一次方程又称为二元一次方程组，可用以下形式表示：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

二元一次方程是一类形式简单且较易解的方程，通常用代数的方法来解决。

解二元一次方程有两种方法：消元法和代入法。

二、消元法解二元一次方程消元法是常用的解二元一次方程的方法之一。

其基本思路是通过对方程组进行合理加减运算，将其中一个未知数消去，从而得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。

具体解法步骤如下：1. 根据方程组的特点，选择合适的乘法因子使得方程中的两个未知数的系数相等或互为相反数；2. 将两个方程的乘法因子应用到方程组的两个方程，并对两个方程进行相应的乘法运算；3. 将两个经过乘法运算的方程相加或相减，消去其中一个未知数；4. 解得消去后的一元一次方程，得到该未知数的值；5. 将求得的未知数的值代入方程组中的任意一个方程，求解另一个未知数。

消元法是一种简便且直观的解法，通过适当的运算可以得到方程组的解。

三、代入法解二元一次方程代入法是另一种解二元一次方程的常用方法。

它的基本思路是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的一元一次方程。

具体解法步骤如下：1. 选择一个已知数比较方便求解的方程，将该方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示；2. 将代入得到的新方程代入另一个方程，从而得到只含有一个未知数的一元一次方程；3. 解得一元一次方程，求得一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代入原来的方程，求解另一个未知数。

代入法在解一些特殊的二元一次方程时，往往能够更快地得到解。

四、总结二元一次方程是数学中常见的问题类型，解决这类方程需要运用代数的基础知识和解方程的技巧。

二元一次方程组
引言
二元一次方程组是高中数学中的重要内容，主要涉及到两个未知数的关系和方程组的解法。

本文将介绍二元一次方程组的基本概念、求解方法以及一些实际应用。

二元一次方程组的定义
二元一次方程组是由两个一次方程组成的方程组，它的一般形式可以表示为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f是已知系数，x、y是未知数。

求解二元一次方程组的方法
1. 消元法：通过适当的运算，将方程组中的一个未知数消去，从而得到只含有另一个未知数的方程，然后再进行求解。

2. 代入法：将其中一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，再进行求解。

3. 矩阵法：将方程组的系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，并
进行初等变换，最终将其化简为上三角形矩阵，从而求出未知数的值。

实际应用
二元一次方程组在实际生活中具有广泛的应用。

例如：
- 商业经济中，可以用方程组来描述成本、收入、利润等之间
的关系。

- 工程问题中，可以用方程组来描述物体的运动、力的平衡等
问题。

- 自然科学中，可以用方程组来描述物质的转化、反应速率等。

总结
二元一次方程组是数学中重要的内容，通过消元法、代入法和
矩阵法等方法，可以求解方程组的解。

同时，二元一次方程组在实
际生活中有广泛的应用，能够帮助我们解决各种问题。

第17课二元一次方程组的解法目标导航课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识精讲知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 注意： 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【分析】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x 用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得 ③ 将③代入② ，解得． 237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②732y x -=733382y y -⨯-=13y =能力拓展将代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为． 【点睛】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组：．【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x ﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【点睛】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．【即学即练】解方程组（1）（2）【答案】 13y =313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解： 将①代入②：， 得 y=4，将y=4代入①：2x －12=2得 x=7，∴原方程组的解是. （2） 解：由②，设x=4，y=3代入①：4－4·3=54－12=5－8=5∴，， ∴原方程组的解为. 考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组359x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，代入已知方程即可求出m 的值． 【答案】B ．【解析】解：， 由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2． 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②25297y ++=74x y =⎧⎨=⎩45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②k k k k k k k 58k =-542x k ==-1538y k ==-52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【分析】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以， 又联立方程组，则有， 解得． 所以(2a+b)2011＝-1．【点睛】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.【即学即练】小明和小文解一个二元一次组322cx y ax by -=-⎧⎨+=⎩小明正确解得11x y =⎧⎨=-⎩小文因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案】解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：， 2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④2011(2)a b +2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③22x y =⎧⎨=-⎩48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩13a b =⎧⎨=-⎩则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组3465923x y x y ++== 【分析】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】 解：此式可化为：349(1)2659(2)3x y x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)×2：6x+8y=36 (3)(3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23x y =⎧⎨=⎩【点睛】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c 的形式再消元.【即学即练】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为： . 【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩【典例6】若关于x 、y 的二元一次方程组1615ax my bx ny -=⎧⎨+=⎩的解为71x y =⎧⎨=-⎩，求关于x 、y 的方程组(2)()16(2)()15a x y m x yb x y n x y +--=⎧⎨++-=⎩的解． 【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x +y ，x -y 看作一个整体，则两个方程同解．【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x +y )与(x -y )分别看成一个整体当作未知数，可得27,1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩【点睛】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【即学即练】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ．【答案】解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩， 上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较， 可得：510x y =⎧⎨=⎩． 考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组36101610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩ 【分析】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】 解：设,610x y x y m n +-==，则 原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①② 解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.【即学即练】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②×3－①×2得，3535y =，即1y =，将1y =代入①得，99x =，即1x =，所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩.【典例8】试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解． 【答案与解析】 解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①② ①－②，整理得513y y -=- ③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =；当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解.将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【点睛】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.【即学即练】若二元一次方程组37231x y x y -=⎧⎨+=⎩和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．【答案】解：方程组，①×3+②得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7，解得：y=﹣1，∴方程组的解为， 将代入y=kx+9得：k=﹣5， 则当k=﹣5时，（k+1）2=16．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（ ） A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 【答案】D【解析】【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意． 故选D ． 分层提分2．用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3【答案】D【解析】【分析】根据各选项分别计算，即可解答．【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．3．解方程组231367x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2C．①×2+②D．①×3+②×2【答案】C【解析】【分析】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【详解】解：①×2得：4x+6y=2③，③+②得：7x=9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．4．用加减法将方程组2311255x yx y-=⎧⎨+=-⎩中的未知数x消去后，得到的方程是（）．A．26y= B．816y=C．26y-=D．816y-=【答案】D【解析】【分析】方程组两方程相减消去x即可得到结果．【详解】解：2311? 255?x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②②-①得：8y=-16，即-8y=16，故选D．【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．利用加减消元法解方程组2510{536x yx y+=-=，①②，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2【答案】D【解析】【详解】由已知可得，消元的方法有两种，分别为：（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．故选D6．用代入消元法解方程组3+4=225x yx y⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是()A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x－5【答案】D【解析】【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.【详解】解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.故应选D.【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.7．已知a，b满足方程组51234a ba b+=⎧⎨-=⎩则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】B【解析】【详解】试题解析：512{34a ba b+=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B．考点：解二元一次方程组．8．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2B2C．2D．4【解析】【详解】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，∴2+=8{2=1m n n m -，解得=3{=2m n ． 2=232=4=2m n -⨯-．即2m n -的算术平方根为2．故选C ．9．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（ ）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D【解析】【详解】 分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可． 详解：∵32120x y x y --+-=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝ 将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②， ①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩． 故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．10．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．11．若方程组31331x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定 【答案】A【解析】【详解】试题解析：方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ），由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选A ． 12．在解方程组2278ax by cx y +=⎧⎨+=⎩，时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=⎩，乙同学把c 看错了，而得到26x y =-⎧⎨=⎩，那么a ，b ，c 的值为（ ）A ．2a =-，4b =，5c =B ．4a =，5b =，2c =-C ．5a =，4b =，2c =D ．不能确定 【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得2,c =-且3222a b +=①，由于乙看错c ，所以2622a b -+=②，解由①②构成的方程组可得：4,5a b =⎧⎨=⎩故选B ．题组B 能力提升练13．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．【答案】y=3-2x【解析】【详解】23x y +=移项得：y=3-2x.故答案是：y=3-2x ．14．已知x 、y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -的值为___． 【答案】1【解析】【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x -y 或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴x -y=1；方法二：两个方程相减，得.x -y=1，【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．15．如果方程组45x by ax =⎧⎨+=⎩的解与方程组32y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a+b 的值为______． 【答案】1【解析】【分析】根据题意，把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得到一个关于a ，b 的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b 的值．【详解】解：根据题意把43x y =⎧⎨=⎩代入方程组52by ax bx ay +=⎧⎨+=⎩，得 345432b a b a +⎧⎨+⎩＝①＝②， ①+②，得：7（a+b ）=7，则a+b=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．16．若方程组x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩，则()()3x y 3x 5y +--的值是_____． 【答案】24．【解析】【分析】把x y 3x 5y +-、分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解：∵x y 73x 5y 3+=⎧⎨-=-⎩， ∴()()()3x y 3x 5y 37324+--=⨯--=．故答案为：24．17．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________． 【答案】5【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．18．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为 ． 【答案】2【解析】【详解】把x 2{y 1==代入方程组mx ny 7{nx my 1+=-=，得：2m n 7{2n m 1+=-=，解得13m 5{9n 5==， ∴139m 3n 3855+=+⨯=33m 3n 82+=， 故答案为2.19．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m -7n 的算术平方根是_________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：根据同类项定义由单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，可以得到关于m 、n 的二元一次方程4=m ﹣n ，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m ﹣7n=16，即m ﹣7n 的算术平方根==4，故答案为 4．考点：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组 20．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】方法一：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩，再利用加减消元法即可求出a,b ．【详解】详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩方法二：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩∴方程组3()()=52()()6a b m a ba b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是12a ba b+=⎧⎨-=⎩解12a ba b+=⎧⎨-=⎩得3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．21．若方程组2313{3530.9a ba b-=+=的解是8.3{1.2,ab==则方程组的解为________【答案】6.32.2 xy==⎧⎨⎩【解析】【详解】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为：6.3{2.2xy==.题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩， 整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ， 两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩． （2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩， 两式相减得：25y =， 将25y =代入5156x y +=中，得251565x +⨯=， 解得：0x =． 所以原方程组的解为025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．23．（1）用代入法解方程组：3759x y x y -=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【解析】【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.24．甲、乙两名同学在解方程组5{213mx yx ny+=-=时，甲解题时看错了m，解得7{22xy==-；乙解题时看错了n，解得3{7xy==-．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．【答案】n = 3, m = 4，2 {3 xy==-【解析】【详解】试题分析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，由此即可求得n的值；37xy=⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；试题解析：由题意可知722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程213x ny-=的解，∴72(2)132n⨯--=，解得n=3；37xy =⎧⎨=-⎩是方程5mx y+=的解，∴375m-=，解得m=4；∴原方程组为：452313x yx y+=⎧⎨-=⎩，解此方程组得23xy=⎧⎨=-⎩，∴m=4，n=3，原方程组的解为：23 xy=⎧⎨=-⎩.点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组5213mx yx ny+=⎧⎨-=⎩时，甲解题时看错了m，解得722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”这句话的含义是：“722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩”是关于x y、的二元一次方程“213x ny-=”的解.25．阅读探索解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得22xy=⎧⎨=⎩，即1222ab-=⎧⎨+=⎩，所以3ab=⎧⎨=⎩．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535a b a b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ （2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为_______．【答案】（1）95a b =⎧⎨=-⎩；（2）23m n =-⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）设13a -=x ，25b +=y ，可得出关于x 、y 的方程组，即可求出x 、y 的值，进而可求出a 、b 的值；（2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，根据已知方程组的解确定出m 、n 的值即可.【详解】（1）设13a -=x ，25b +=y ， 原方程组可变形为2425x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩，即123215a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：95a b =⎧⎨=-⎩. （2）设5（m+3）=x ，3（n -2）=y ，原方程组可变形为：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩， ∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩， ∴5(3)53(2)3m n +=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.故答案为23 mn=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.。

《解⼆元⼀次⽅程组》教案（例题+练习+答案）word版本⼆元⼀次⽅程组的解法1.⼆元⼀次⽅程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程。

例1.下列⽅程组中，哪些是⼆元⼀次⽅程组_______________判断⼀个⽅程是为⼆元⼀次⽅程的三个要素：①含有两个未知数②未知数的次数为1 ③整式⽅程想⼀想：⼆元⼀次⽅程的解与⼀元⼀次⽅程的解有什么区别？①⼆元⼀次⽅程的解是成对出现的；②⼆元⼀次⽅程的解有⽆数个；③⼀元⼀次⽅程的解只有⼀个。

例2 若⽅程是⼆元⼀次⽅程，求m 、n 的值．分析：变式：⽅程是⼆元⼀次⽅程，试求a 的值．注意：①含未知项的次数为1；②含有未知项的系数不能为02.⼆元⼀次⽅程组的解⼆元⼀次⽅程组的解法，即解⼆元⼀次⽅程的⽅法；今天我们就⼀起探究⼀下有什么⽅法能解⼆元⼀次⽅程组。

练⼀练：1、若 =-??=?x 1y 2是关于 x 、y 的⽅程 5x +ay = 1 的解，则a=（）.2、⽅程组 +=??-=?y z 180y z （）的解是 =??=y 100z （）.3、若关于x 、y 的⼆元⼀次⽅程组––=??+=?4x 3y 1kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（）.3、⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数想⼀想：(1)24x y +=，所以________x =；2(1)3x y y z +=??+=?，5(2)6x y xy +=??=?，7(3)6a b b -=??=?，2(4)13x y x y +=--=??，52(5)122y x x y=-??+=，25(6)312321m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=(2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) 2y x ,所以x =，________y =．总结出⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数的⽅法步骤：①被表⽰的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边．②把被表⽰的未知数的系数化为1．4.⼆元⼀次⽅程的解法（1）⽤代⼊法解⼆元⼀次⽅程组将⽅程组中的⼀个⽅程的某个未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰，并代⼊到另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解，这种解⽅程组的⽅法叫做代⼊消元法，简称代⼊法. 代⼊消元法解⽅程组的步骤是：①⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数；②把新的⽅程代⼊另⼀个⽅程，得到⼀元⼀次⽅程（代⼊消元）；③解⼀元⼀次⽅程，求出⼀个未知数的值；④把这个未知数的值代⼊⼀次式，求出另⼀个未知数的值；⑤检验，并写出⽅程组的解.例3：⽅程组92x y y x ……①………②ì+=?í= 解：把②代⼊①得，29x x +=3x 9= 3x =把x=3代⼊②，得6y =所以，原⽅程组的解是36x y ì=??í= 总结：解⽅程组的⽅法的图解：练⼀练：1、如果31014x y +=，那么x =________；2、解⽅程组35,23 1.x y x y ì-=??í?-=??3、解⽅程组31014101532x y x y ì+=??í?+=??3、以?-=-=5.05.1y x 为解的⽅程组是（）A.=-+=--0530=++=+-05301y x y x C. ??-=+=-y x y x 531D. ??=+=-531y x y x 4、⽤代⼊消元法解下列⼆元⼀次⽅程组：（1）23321y x x y =-??+=? （2）??-=-=+42357y x y x （3） 233418x yx y ?=?+=?（2）加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种⽅法叫做加减消元法，简称加减法。

一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少,逐一简化的思想方法,叫做消元思想。

即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数)的方程。

2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

(2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法,简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值;（5)把求出的未知数的值写成的形式。

6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1,a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解;（2）当时，这个方程组无解;（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解,二元一次方程组的解法,运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、(1）下列方程中是二元一次方程的有( ）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2)在方程(k2－4）x2＋(2－k)x＋（k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件:①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件,∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2)∵方程(k2－4）x2＋(2－k）x＋（k＋1)y＋3k=0是二元一次方程,∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中,如果是它的一个解,那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中,解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解,∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c 的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2,那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答:都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.(1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一，基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二，解的状况：二元一次方程组的解有三种状况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。

三，二元一次方程的解法：1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：1,代入消元法2,加减消元法3,教科书中没有的几种解法（一）加减•■代入混合运用的方法.例：i3x+14y=41（1）^14x+13y=40（2）解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3）把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元.（二）换元法例3：rx:y=1:4>5x+6y=29令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=2929t=29t=1所以x=1,y=4四，列方程（组）解应用题（一）,其详细步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

考点名称：二元一次方程组的定义•（一)二元一次方程组：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.一般形式为：（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）.••（二)二元一次方程组的特点：1.组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数，如也是二元一次方程组。

2。

在方程组的每个方程中,相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程合在一起。

3。

二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。

4。

二元一次方程组有时也由两个以上的方程组成。

••（三)二元一次方程与二元一次方程组的区别：•二元一次方程二元一次方程组条件①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都是1;③整式方程。

①含有两个未知数;②含未知数的项的次数都是1；③整式方程组（可任意话说你有两个以上的方程）一般形式ax+by=c（a、b、c都是常数，且a≠0，b≠0）（a1，a2，b1，b2不同时为零）.解的情况无数组解或无数组解或有唯一解或无解解的定义适合二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一组解二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解••（四）二元一次方程组的判定:①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量,否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.••（五）二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。

湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数〔即次数〕都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程〔或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个〕合在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等〔即等式成立〕的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组〔对〕数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解〔即无公共解〕。

二元一次方程组的解的讨论：二元一次方程组 a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2①、当a1/a2≠b1/b2时，有唯一解；②、当a1/a2=b1/b2≠c1/c2时，无解；③、当a1/a2=b1/b2=c1/c2时，有无数解。

例如：对应方程组：①、x+y=4②、x+y=3③、x+y=43x-5y=92x+2y=52x+2y=8例：判断以下方程组是否为二元一次方程组：①、a+b=2 ②、x=4 ③、3t+2s=5 ④、x=11b+c=3 y=5 ts+6=0 2x+3y=03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含X的代数式表示Y，就是先把 X看成数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，那么相当于把Y看成数，把X看成未知数。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x 为:____________。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：1/22要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为 0例：方程(a-2)x^(/a/-1) –(b+5)y^(b^2-24)=3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b 的值。

数学学科集体备课教案 总第 个教案主备人 朱诗彬 参与人 执教人 班 级 1901日 期审核人 课 题二元一次方程组概念以及解法课 时重难点突破二次备课知识梳理以小组为单位讨论二元一次方程组已经学了哪些知识？ 1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？ 2、什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？ 3、解二元一次方程组的基本思想是什么？消元的方法有哪些？ 设计意图：知识回顾，掌握知识要点，为顺利完成练习打下基础。

基础训练说到不如做到1、 -1=3y 是不是二元一次方程？答：2、方程3x – y =1有 个解，用含x 的式子表示y =3、方程3x + 2y =1中，当x =1时，y = 。

4、若 是方程3x + y – k =1的一个解，则k = 。

5、已知方程①2x + y =0，②x + 2y =3，那么 能满足的方程是 （用数字①、②填空）6 下列是二元一次方程组的是 （ ）2xx1+y=3 {{x+y=7{{3x-1 =03y+z=4BDCA5x 2-y=-2 3y+x=4⎩⎨⎧-==32y x ⎩⎨⎧=-=21y x7、用适当的方法解方程组设计意图：熟练掌握解二元一次方程组的解法，规范步骤。

能力提升典型例题1、已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数 求：m+n 的值2、已知方程组 ax+5y=15 ①4x-by=-2 ②由于甲看错了字母a 得到方程组的解为 x=-3 y=-1;乙看错了字母b 得到方程组的为 x=5 y=4,若按正确的a 、b 计算，求原方程组的正确解。

3、已知方程组 和有相同的解，求a ，b 的值。

教学手段与方法：毎小组选代表讲解为小组加分，充分调动学生的积极性。

学生讲解不到位的老师补充。

3x-y=-1x+2y=9{x+y=4{3x-y =-8（2）2x-y=7 {{ax+y=b x+by =a3x+y=8{设计意图：对二元一次方程组解法的灵活应用。

二元一次方程组的概念与解法二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它由两个未知数和两个方程组成。

本文将介绍二元一次方程组的概念以及解法，帮助读者更深入地理解和掌握这一知识点。

一、概念二元一次方程组由两个未知数和两个一次方程组成。

通常的一种表示形式为：```{ax + by = c (式1){dx + ey = f (式2)```其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数系数，x和y是未知数。

二、解法解二元一次方程组有多种方法，下面将分别介绍三种常用的解法。

1. 代入法代入法是一种较为直观且易于理解的解法。

我们可以将其中一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示，然后代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。

以下是具体步骤：Step 1：选择一个方程，将其中一个未知数，如x，用另一个方程中的未知数y表示。

Step 2：将代入得到的式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

Step 3：求解该方程，得到一个未知数的值。

Step 4：将求得的未知数的值代入任意一个原方程，求解另一个未知数。

Step 5：得到方程组的解。

2. 消元法消元法是一种常用的解法，它通过逐步消去一个未知数，从而实现解方程组的目的。

以下是具体步骤：Step 1：通过变换，使得两个方程的系数相等。

Step 2：将两个方程相减（或相加），得到一个只含有一个未知数的方程。

Step 3：求解该方程，得到一个未知数的值。

Step 4：将求得的未知数的值代入任意一个原方程，求解另一个未知数。

Step 5：得到方程组的解。

3. 矩阵法矩阵法是一种更为高级的解法，它将二元一次方程组表示为一个矩阵方程，并通过矩阵的性质进行求解。

以下是具体步骤：Step 1：将方程组的系数和常数构成一个矩阵。

Step 2：求解矩阵的逆矩阵。

Step 3：将逆矩阵与常数向量相乘，得到未知数向量。

Step 4：得到方程组的解。

通过以上三种方法，我们可以解决二元一次方程组的问题。

可编辑修改精选全文完整版第八讲 二元一次方程组的解法一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。

4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法： 1．代入法 2．加减法二、典例剖析专题一：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例3、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=+15251102y x y x ⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝专题二：有关二元一次方程组的解：例4、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．（2）二元一次方程3a +b =9在正整数范围内的解的个数是_________.（3）已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________（4）若方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。

二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1,像这样的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程满足的三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数 .(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式^练习1:已知下列方程，其中是二元一次方程的有 .(1)2x-5=y; (2)x-1 = 4; (3)xy = 3;(4)x+y = 6; (5)2x-4y=7;一 1- 2 1 _ 2__ x4y -(6) x - 0； (7)5x — 1; (8)x - y 3; (9) x 8y 0; (10) ---------------- 6.2 y 2 2【变式1 ］下列方程中，属于二元一次方程的有()2A. xy 7 1B. 2x 1 3y 1C. 4x 5y 3x 5yD. 3x — 1 y二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的一组解.注意：如：x y 10的解可以是练习2:二元一次方程 x-2y= 1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是x 1 x 1C. D.y 0 y 1.............................. x 2【变式2】若方程ax 2y 4的一个解是 ，则a= .y 1三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如3x 1 0也是二元一次方x 2y 5(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值, 般用大括号联立起来, 如:x 2, y 5.(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解, 即有无数多对数适合这个二元一次方程.x 1 B.y 1程组.练习3:下列方程组中，是二元一次方程组的是( )四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解^注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对， 它必须同时满足方程组中的每一个方程， 一般x a , 写成的形式.y b〃， ，、…，…一“ ,一，/ , 2x y 5T （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个， 但也有特殊情况，如方程组无2x y 6一 一、… x y 1 ，…,解，而方程组 "的解有无数个.2x 2y 2【巩固练习】 一、选择题1 .下列方程中，属于二元一次方程的是（A. xy-7=1B. 2x-1 = 3y+12 .下列方程组是二元一次方程组的是（）x 3 _3 .以为解建立一个二兀一次万程，不正确的是()y 11 x 25 A. 3x- 4y= 5 B. —xy 0 C. x +2y = - 3 D.— — y —3 2 362x y 3 34 .方程组的解是()x y 3C.2x 2 3y 7 5(x 9) 1 y B.3- y 2 8 x 2x 3 7yx 13z 5(x y) 2x 3z 7yD.5(x y) (x y) 8 2x 3y 1) 7C. 4x-5y=3x-5y0 2D. 3x 一y x y 5A.z x 3x y xy 4 C.3x y 41-x 2y 13D.2-x - y 2(x 3 22y)x 1 x 2A. B.y 2 y 1C.y 1D.「 ，、… 6x 5y 11, ①……5 .已知二元一次方程组 7,下列说法正确的是()3y 2x 7,②A.适合②的x, y 的值 是方程组的解①②B.适合①的x, y 的值 是方程组的解C.同时适合①和②的x, y 的值 不一定是方程组的解D.同时适合①和②的 x, y 的值 是方程组的解 6 .关于m, n 的两个方程2m n 3与3m 2n二、填空题7 .由x+2y =4,得到用y 表示x 的式子为x= x y 4 ,, …8 .在二元一次方程组中，有x 6 ,则y _______ , m ______2x m 3y9 .若 |x 2 (3y 2x)2 0 ,则二的值是次方程"工+如二一2的一个解，则2a-b-6的值是11 .已知以一 1|+[2>+1)，=0 ,且2工一仙=4 ,则太=一一 .一 x 2 ........... .12 .右方程ax-2y = 4的一个解是 ，则a 的值是 ___________ .y 1三、解答题x 213,已知是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.y 314.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.(1)甲数的1比乙数的2倍少7;33 .、1的公共解是(A.m 0B .n 3m 1 C.n 1m 0 1 D.n -21m - 2 n 2;得到用x 表示y 的式子为 y=x = 210.若"是二兀〔A —(2)摩托车的时速是货车的一倍，它们的速度之和是200km/h;2(3)某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知 数表示出来；(2)代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值； (3)代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程(这一点要特别注意)，求出另一个未知数的值；(4)写出方程组的解.一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是 1或常数项为0时，用代入法简便.3x 2y 7, ① x 2y 5. ② x 5 2y.③ 3(5 2y) 2y 7,15 6y 2y 7, 8y 8, y 1.把y 1代入③，得 x 3.点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1,因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组， 需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单 .代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误 .x 3y 4, ①变式2:用代入法解方程组：1 1-x -y 0.② 4 2方法2.加减消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；(2)加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两 方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；(3)代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； (4)写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：(1)当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：a1x b 1yc 1’的形a 2xb 2yc 2式，若此时两未知数的绝对值都不相等， 则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值 (系数的最小公倍数的绝对值)相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式例2解方程组 解析：由②，得 将③代入①，得所以原方程组的解是x 3,y 1.(2)两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出^(3)当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简 便.③-④，得 29m=-29 , m=-1. 将 m=-1 代入①，得-5+2 n=1, n=3.③ +④，得 29n=87, n=3.把 n=3 代入①，得 5m+6=1 , m=-1. 点评：此题方程组中的两方程， 两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等.因此先将两方程分别变形， 使某个未知数的系数的绝对值相等 .比较题中的两种方法， 先消去系数比较简单的未知数 n,解法较为简捷.另外用加减消元法解二元一次方程组，需 注意两方程相减时，符号的正确处理 . 练习f9x+2y=20 l3x+4y=10例3解方程组:5m 2n 1, ①7m 3n 16.②解析：法①②X2,得15m 6n 3, ③14m 6n 32.④所以原方程组的解为m 1, n3.法二：①X 7,②X 5,得35m 14n 35m 15n7, 80.④所以原方程组的解为m 1, n 3.(1)j 2戈-3产- 5[3x+2y=12"2y=3⑸" x 一第F ；J- -2=10附加题C3 (s- t) - 2 ts+t) =10 13 fs-t) +2 (s+t) =26x 2 y 1--- --- - 2(8) 3 2x 2 1 y d1。

二元一次方程组的解法一、阶段知识点梳理一、基本定义：1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.例题：例1、若方程213257m n xy --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.解：∵方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程∴211321m n -=⎧⎨-=⎩解得11m n =⎧⎨=⎩例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .解:去括号得，106263y x-+=-移项得，261063y x =-+-合并同类项得，223y x =-系数化为1得，232xy -=例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？解：有三组解，分别是147,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩例4、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值.解：∵23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解∴431235m n m -=⎧⎨-=-⎩解得11m n =⎧⎨=-⎩例5、已知(1)(1)1n m m x n y++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.解：∵(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程∴101101m m n n +≠⎧⎪=⎪⎨-≠⎪⎪=⎩解得11m n =⎧⎨=-⎩∴1(1)1m n =-=-二、二元一次方程的解法：1、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。

二元一次方程组的概念及解法知识点梳理知识点一二元一次方程组的概念含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

典例分析例1、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有个；例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝．变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________.变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那么a的值为⎩⎨⎧==13 yx例3 方程组⎩⎨⎧=+=-521y x y x 的解是（ ）A 、 ⎩⎨⎧=-=21y xB 、⎩⎨⎧-==12y x C 、⎩⎨⎧==21y x D 、⎩⎨⎧==12y x例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组。

例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。

问鸡兔各几何。

”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。

知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程⎧⎨⎩代入消元法加减消元法典例分析例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ．化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．例2、用代入消元法解下列方程 （1）、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例3、用加减消元法解下列方程 （1）、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩ （4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例4、解下列方程（1）⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=184332y x yx（3）⎩⎨⎧=--=--023256017154y x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+234321332yx y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y （6）⎩⎨⎧=+=+24121232432321y x y x例5 、若，则＝ ，＝ 。

常见的二元一次方程组（原创版）目录1.二元一次方程组的定义与概念2.二元一次方程组的解法：代入法和消元法3.二元一次方程组的实际应用正文一、二元一次方程组的定义与概念二元一次方程组是指由两个含有两个未知数的一次方程所组成的方程组。

其中，每个方程中的未知数的次数都是一次，且方程的形式为 ax + by = c。

例如，下面这个方程组就是一个二元一次方程组：2x + 3y = 75x - 4y = 11二、二元一次方程组的解法解二元一次方程组有多种方法，其中最常见的是代入法和消元法。

1.代入法代入法是一种比较直观的方法。

首先，我们可以解出一个未知数，然后将其表示为另一个未知数的表达式，最后将其代入另一个方程，从而将二元一次方程组转化为一个一元一次方程。

例如：2x + 3y = 7解得 y = (7 - 2x) / 3将 y 的表达式代入另一个方程：5x - 4y = 11得到：5x - 4((7 - 2x) / 3) = 11解得 x = 1将 x 的值代入 y 的表达式，得到 y = 1因此，方程组的解为 x = 1, y = 1。

2.消元法消元法的基本思想是通过加减消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一个一元一次方程。

例如：2x + 3y = 75x - 4y = 11我们可以将第一个方程乘以 4，然后将第二个方程与它相加，从而消去 y：8x + 12y = 285x - 4y = 11-------------13x = 39解得 x = 39 / 13 = 3将 x 的值代入任意一个原方程，例如第一个方程：2 *3 + 3y = 7解得 y = 1因此，方程组的解为 x = 3, y = 1。

三、二元一次方程组的实际应用二元一次方程组在实际生活中有很多应用，例如购物问题、行程问题、配料问题等。

以购物问题为例，假设小明想买一本书和一支笔，书的价格是 30 元，笔的价格是 5 元。

如果书店对一次性购买满 50 元的顾客提供 10% 的优惠，那么小明需要支付多少钱？设小明购买了书和笔，可以得到以下二元一次方程组：30x + 5y = 500.1 * (30x + 5y) = 50 * 0.1其中，x 表示购买的书的数量，y 表示购买的笔的数量。

二元一次方程组的概念及解法二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是1的方程。

当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个二元一次方程组。

方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。

公共解是指两个方程的解都相同的值。

例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。

另外，已知二元一次方程2x－y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3.消元解法是解二元一次方程组的一种方法。

代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。

加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。

例如，方程2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用加减消元法解出x=11，y=6.举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63，那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。

x+y=11)。

解方程组可以得到x=8，y=3，因此原数为83.鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。

题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。

解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔的数量为9.综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。

解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。

实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。

1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4.2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2.3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2.4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则m=-4，n=3.5.已知|a-b+2|+(b-3)^2=1，那么ab=-1.6.对于方程组(1){xy= -10.x+y=-2}，是二次方程组；(2){x-y=1.x/y=3/4}，是一次方程组；(3){x+y=5.xy=3}，是二次方程组；(4){x+y=3.x=2y}，是一次方程组。

二元一次方程组的概念及解法二元一次方程一、二元一次方程组由几个一次方程组成并且一共．．含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，134x y x +=⎧⎨-=⎩和31x y =⎧⎨=-⎩也是二元一次方程组．二、二元一次方程组的解二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解．．．叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组2397x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是61x y =⎧⎨=⎩．（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：因为12x y =⎧⎨=⎩能同时满足方程3x y +=、1y x -=，所以12x y =⎧⎨=⎩是方程组31x y y x +=⎧⎨-=⎩的解．易错点1：代入法解二元一次方程组时，循环代入导致错误．辨析：在利用代入法解二元一次方程组时，需要将方程组中某一个方程进行变形，然后将变形后的方程代入到另一个方程中（注意不是变形前的方程）． 易错点2：方程变形时，忽略常数项而出现错误．辨析：在用加减法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一个未知数的系数化成相等或者互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，此时不要忘记常数项，造成漏乘导致出现错解．二元一次方程组的解法一、消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 二、代入消元法1、代入消元法的概念将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ），用另一个未知数（如x ）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b =+的形式；②代入消元：将y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解；⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式．三、加减消元法1、加减消元法的概念当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．例题讲解二元一次方程1．下列各方程是二元一次方程的是 ( ) A ．2x+xy=3 B ．m －n 2+2=0 C ．302y x x y -= D ．12S t = 2．已知方程：①3x －4y=10；②3y+2x=－1；③6y=4－5x ；④2y －7=4x+1，则21x y =⎧⎨=-⎩所满足的方程是 ( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②④3．关系式132x y-=，用 x 的代数式表示y 得 ( )A ．223x y -=B ．2133x y =-C ．223x y =-D ．223xy =-4．下列说法中正确的是 ( )A ．32x y =⎧⎨=⎩是方程3x －4y=1的一组解B ．方程3x －4y=1有无数组解，即x 、y 可以取任何数值C ．方程3x －4y=1只有两组解，两组解分别是：11112x x y y =⎧=-⎧⎪⎨⎨=-=⎩⎪⎩、 D ．方程3x －4y=1可能无解5. 把二元一次方程3x －2y+5=0化为y=kx+m 的形式，写出k 、m 的值．6. 如果4x －5y=0，且x ≠0，那么125125x yx y-+的值是__________．7. 把二元一次方程3x －2y+5=0化为y=kx+m 的形式，写出k 、m 的值 二元一次方程组1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ( )A ．320,41x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．5,3x y y z +=⎧⎨+=⎩C ．222,20x x y x y ⎧-=+⎨-=⎩D ．21,0x y y =+⎧⎨=⎩2．下列方程组：①4,3;x y xy -=⎧⎨=⎩②25,41;x y y x -=⎧⎨=+⎩③3,48;y x x z =⎧⎨+=⎩④53,1;324x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩⑤53,3 1.x y y x-=⎧⎪⎨+=⎪⎩其中，二元一次方程组的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，点O 在直线AB 上，OC 为射线，∠1比∠2的3倍少10°，如果设∠1、∠2的度数分别为x 、y ，那么下列方程组正确的是 ( ) A ．180,10x y x y +=⎧⎨=-⎩ B ．180,310x y x y +=⎧⎨=-⎩C ．180,10x y x y +=⎧⎨=+⎩D ．3180,310y x y =⎧⎨=-⎩4.（2009．青海）如果代数式－3x m-1 y 3与52x n y m+n 是同类项，那么m 、n 的值分别是 ( ) A ．2,1m n =⎧⎨=-⎩ B ．2,1m n =-⎧⎨=-⎩ C ．2,1m n =⎧⎨=⎩ D ．2,1m n =-⎧⎨=⎩5．根据下面的条件列出二元一次方程组：(1)已知3223357m n m n x y +---=是关于x 、y 的二元一次方程，列出关于m 和n 的二元一次方程组．(2)已知522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，列出关于m 和n 的二元一次方程组． 解二元一次方程组 代入消元法1．方程组25328y x x y =-⎧⎨-=⎩，消去y 后所得的方程是 ( )A ．3x －4x －10=8B ．3x －4x+5=8C ．3x －4x －5=8D ．3x －4x+10=82．四名学生解二元一次方程组345(1)23(2)x y x y -=⎧⎨-=⎩提出四种不同的解法，其中解法不正确的是( )A ．由①得543y x +=，代入② B ．由①得354x y -=，代入② C ．由②得32x y -=，代入① D ．由②得x=3+2y ，代入①3．二元一次方程组32725x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 ( )A ．32x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．42x y =⎧⎨=⎩ D ．31x y =⎧⎨=⎩4．方程组 379475x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ( )A ．21x y =-⎧⎨=⎩B ．237x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩C ．237x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．237x y =⎧⎪⎨=⎪⎩5．用代入法解方程组(a)23(1)328(2)y x x y =-⎧⎨+=⎩ (b)23(1)325(2)s t s t =⎧⎨-=⎩ (c)37(1)8361(2)x x x y -=-⎧⎨-=⎩(d)23(1)431(2)y x x y =-⎧⎨-=⎩将各方程组中的方程①代入方程②中，所得的方程正确的是 ( ) A ．(a)3x+4x －3=8 B ．(b)3t －2t=5 C ．(c)40－3y=61 D ．(d)4x －6x －9=16． 已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a ，b 的值分别是 ( )A ．21a b =⎧⎨=-⎩B ．21a b =⎧⎨=⎩C ．21a b =-⎧⎨=-⎩D ．21a b =-⎧⎨=⎩7．解二元一次方程组35821x y x y +=⎧⎨-=⎩8．解方程2215y x x y =+⎧⎨-=⎩9．已知方程组35223x y a x y a+=+⎧⎨+=⎩的解适合x+y=8，求a 的值．10．小明和小华同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩，小明看错了m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，小华看错了n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，你能知道原方程组正确的解吗?解二元一次方程组 加减消元法1．用加减消元法解方程231328x y x y +=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x y x y +=⎧⎨-=⎩ ②461968x y x y +=⎧⎨-=⎩ ③6936416x y x y +=⎧⎨-+=-⎩ ④4629624x y x y +=⎧⎨-=⎩其中变形正确的是 ( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2．已知二元一次方程组0.80.73(1)827(2)x y x y +=⎧⎨--=⎩，用加减消元法解该方程组时，将方程①两边同时乘以_________，再将得到的方程与方程②两边相_________，即可消去________． 3．李老师用36元买了两种笔记本共40本，其中两种笔记本的价格分别为1元和0．8元，则李老师买了价格为1元的笔记本_________本，0．8元的笔记本________本．4．解方程组：2353212x y x y -=-⎧⎨+=⎩5．解方程组：123x y x y +=⎧⎨+=⎩6．已知关x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和3211233x y ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值．练习1．下列各式：①12x ＋2x ＝3；②3x ＋2y ；③4x ＝3y ；④x 2－y 2；⑤1132x y=+；⑥x 2－2x ＝3；⑦4(x ＋y )＝5(x －y )＋1；⑧xy ＝x －y ．其中，是二元一次方程的是 ( ) A ．①⑤ B ．③⑦ C ．⑥⑧ D ．②④ 2．方程m x －2y ＝x ＋5是二元一次方程时，m 的取值为 ( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠－1D ．m ≠2 3．方程2x ＋3y ＝6与3x ＋2y ＝－1的公共解是 ( ) A ．3,2x y =⎧⎨=-⎩ B ．3,4x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,2x y =⎧⎨=⎩D ．3,2x y =-⎧⎨=⎩ 4．(1)二元一次方程2x ＋y ＝5中，当x ＝2时，y ＝________．(2)把二元一次方程2x －3y ＝5写成用含x 的代数式表示y 的形式是________． (3)已知方程3241252m n x y +--=是二元一次方程，则m ＝________，n ＝________． (4)方程x ＋2y ＝－7的非正整数解有________组，解为________________________． (5)写出一个二元一次方程，使其满足x 的系数是大于2的自然数，y 的系数是小于－3的整数，且x ＝2，y ＝3是它的一个解，该方程为________________________． 5．已知132x y x y-+-=． (1)用含x 的代数式表示y ．(2)用含y 的代数式表示x ． 6．用代入法解下列方程组：(1)（2010．广州）21,3211x y x y +=⎧⎨-=⎩ (2) (2010．青岛) 3419,4x y x y +=⎧⎨-=⎩(3) (2010．南京) 24,25x y x y +=⎧⎨+=⎩(4) (2010．吴洲)4310,321x y x y +=⎧⎨-=-⎩7．用加减法解下列方程组： (1) 26,22x y x y -=⎧⎨+=-⎩ (2) 352,9223x y x y -=⎧⎨+=⎩(3) 237,328x y x y +=⎧⎨+=⎩ (4) 12,34231y x x y ++⎧=⎪⎨⎪-=⎩8．若2m n -+＋(2m ＋n ＋4)2＝0，则m n 的值是 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2 9．(1)已知方程组5,28x y x y +=⎧⎨+=⎩的解也是方程4x ＋y ＋k ＝0的解，求k 的值．(2)已知方程4x －y ＝10中，x 与y 互为相反数，求x 、y 的值． 10．如果5312b a x y +和2243a b x y --是同类项，那么a 、b 的值是 ( )A ．1,2a b =-⎧⎨=⎩B ．7,0a b =⎧⎨=⎩C ．0,35a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．2,1a b =⎧⎨=-⎩ 11．若关于x 、y 的方程组323,221x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解互为相反数，则m 的值为 ( )A ．－7B ．10C ．－10D ．－12检测题1．下列各对数值：①3,2x y =⎧⎨=⎩ ②1,1x y =⎧⎨=⎩ ③1,36x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩④0,12x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩⑤2,52x y =⎧⎪⎨=⎪⎩其中，满足方程3x －2y ＝1的有 ( )A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组 2．下列方程：①327y x+=；②x ＝y ；③110x y-=-；④xy －3y ＝1；⑤x －π＝1；⑥4x ＋3y ．其中，二元一次方程有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．若214237m n x y --+=-是关于x 、y 的二元一次方程，则m ·n 的值为 ( ) A ．2 B ．32- C ．32D ．524．二元一次方程2x ＋y ＝6的自然数解有 ( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 5．先阅读材料，再解方程组． 解方程组()10,45x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 时，可由①得x －y ＝1 ③，然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而可得0,1x y =⎧⎨=-⎩这种方法称为“整体代入”法． 请用上面的方法解方程组2320,235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩1．(1)方程x ＋y ＝5有________组解，有________组正整数解．(2)当方程m x －2y ＝x ＋5是二元一次方程时，m 满足的条件为________． (3)已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程2x －13y ＝5k 的一个解，则k ＝________．(4)一个两位数，十位数字x 比个位数字y 的一半还少1，则可列出方程________，这样的两位数有________． 2．解方程组：①21,758y x x y =-⎧⎨+=⎩②8625,17648s t s t +=⎧⎨-=⎩ 较为简便的是 ( )A ．①②均用代入法B ．①②均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法 3．用加减消元法解方程组321,354x y x y +=⎧⎨-=-⎩由①－②得 ( )A ．2y ＝1B ．5y ＝4C ．7y ＝5D ．－3y ＝－34．用加减消元法解方程组 正确的方法是 ( ) A ．①＋②得2x ＝5 B ．①＋②得3x ＝12C ．①＋②得3x ＋7＝5D ．先将②变为x －3y ＝7③，再①－③得x ＝－2 ①5．(1)在方程组341,236x y x y +=⎧⎨-=⎩中，若要消去未知数x ，则①式可乘______得______③；②式可乘 得 ④；然后再将③、④两式 即可．(2)在341,236x y x y +=⎧⎨-=⎩ 中，①×3得________③；②×4得________④，这种变形的目的是要消去未知数________． (3)已知二元一次方程组200920102008,201020092011x y x y +=⎧⎨+=⎩则x －y ＝______，x ＋y ＝______．①② ①② ①②①②。

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从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

二元一次方程组的解法解二元一次方程组的核心是通过消元二元一次方程组化归到一元一次方程.一、 代入消元法：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.例题1⎩⎨⎧=+=+②y x ①y x 3435,8 解：由①得：8y x =-. ③ 将③代入②得：()53834x x +-=.解得：5x =.把5x =代入③得：3y =.所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==.3,5y x注：用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.练习、(1)24,2 3.x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)3419,2 3.x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶327,30.2x yxy-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩（4）753,25 4.x yx y+=⎧⎨-=-⎩（5）25,28.x yx y+=⎧⎨-=⎩（6）56,36 4.x yx y+=⎧⎨-=⎩（7）37, 528. x yx y+=⎧⎨-=⎩二、加减消元法第一步：变形，找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．第二步：加减消元，得到一个一元一次方程． 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的解．第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值．第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 例题2解：②-①，得：, 解得：,把代入①，得：,解得：,所以方程组的解为.例题3解：①×3，得：， ③②×2,得：， ④③－④，得：.⎩⎨⎧-=+=-②y x ①y x ⑴13275288-=y 1-=y 1-=y 752=+x 1=x ⎩⎨⎧-==11y x ⎩⎨⎧=+=+②y x ①y x ⑵174312326936x y +=3486=+y x 2=y将代入①，得：.所以原方程组的解是.练习、 （1）3,1.x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）3415,2410.x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）435,4614.x y x y -=⎧⎨-=⎩（4）45,32 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩（5）546,23 1.x y x y +=⎧⎨+=⎩（6）327,2317.x y x y -=⎧⎨+=⎩（7）731,32 2.x y x y -=⎧⎨+=-⎩2=y 3=x ⎩⎨⎧==23y x特别篇之整体代入例题3(2)2,2 1.x x y x y -+=⎧⎨+=⎩ 解：把21x y +=整体代入第一个方程中312x -⨯= 解得5x =代入第二个方程521y +=解得2y =-故得解为52x y =⎧⎨=-⎩练习、 （1）2(4)3,4 3.x y y x y --=⎧⎨-=⎩（2）23(2)3,2 1.x x y x y --=⎧⎨-=⎩综合练习、（用合适的方法解下列二元一次方程组） (1)3,72 2.y x x y =⎧⎨-=⎩ (2)234,567.x y x y +=-⎧⎨+=-⎩( 3)31,54 2.x y x y -=⎧⎨+=⎩ (4)3519,43 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩[教学反思]教师充分发挥其主导作用，激发了学生智慧的火花，用自己的激情和精心创设的情景为学生合作探究蓄势；又以清晰的头脑理清讨论的主线，呵护学生富有个性的创新，使学生享受了成功的快乐，体验了学习的乐趣. 这是本节课的成功所在.这节课不足之处:学生在将几何体进行分类时，语言表达不够准确.“冰冻三尺，非一日之寒”，学生的数学语言表达能力需要在今后的教学实践中努力培养.本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。