(完整版)(数学分析教案)第四章函数的连续性

课 题：2.5函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型：新授课 课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何： 图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义. 图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0lim x x →f(x)存在；(3)0lim x x →f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0lim x x →f(x)存在，且0lim x x →f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.由第三个条件，0lim x x →f(x)=f(x0)就可以知道0lim x x →f(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x)在点x0处连续的定义.如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且0lim x x →f(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续. 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b)内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数f(x)在(a ，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a ，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a ，b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在并且等于f(a)，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a ，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在b 点处左极限存在等于f(b).4.函数f(x)在［a ，b ］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x=a 处有+→a x lim f(x)=f(a)，在右端点x=b 处有-→b x lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续,或f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数.如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)≥f(x)，x ∈［a ，b ］，同理，设x2是最低点，f(x2)≤f(x)，x ∈［a ，b ］.5.最大值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).6.最小值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).由图我们可以知道，函数f(x)在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b)内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的三、讲解范例：例1 讨论下列函数在给定点处的连续性. (1)f(x)=x 1，点x=0. (2)g(x)=sinx ，点x=0.分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，函数f(x)=x 1在点x=0处不连续，因为函数f(x)=x 1在点x=0处没有定义.函数g(x)=sinx 在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx ，在x=0及附近都有定义，0lim →x sinx 存在且0lim→x sinx=0而sin0=0.解：(1)∵函数f(x)=x 1在点x=0处没有定义 ∴它在点x=0处不连续.解：(2)∵0lim →n sinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx 在点x=0处是连续的.点评：写g(x)=sinx 在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．四、课堂练习：2,1104P五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f(x)在点x=x0处有定义.②0lim x x →f(x)存在.③0lim x x →f(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理六、课后作业：4,3,2105P。

§1连续性概念【教学目的】使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

【教学重点】函数连续性概念，间断点分类。

【教学难点】函数连续性概念。

一 函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某 U(x 0)内有定义。

若lim x x → f (x ) = f (x 0) （1） 则称f 在点x 0 连续。

例如，函数f(x)=2x+1在点 x=2连续，因为2lim →x f ( x )= 2lim →x f ( 2x+1 ) = 5 = f (2). 又如，函数1sin ,0,0,0x x x x ≠=f(x)={在点x=0连续，因为 001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x →→=== 为引入函数y= f (x)在点0x 连续的另一种表述，记0x x x ∆=- ，称为自变量x(在点0x )的增量或改变量。

设00()y f x =，相应的函数y 的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-.注 自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可以是正数，也可以是0或负数。

引进了增量的概念之后，易见“函数y= f (x) 在点0x 连续”等价于0lim 0x y ∆→∆=由于函数在一点的连续性是通过极限定义的，因而也可直接退敌ε-δ方式来叙述，即：若对任给的ε>O ，存在δ>O ，使得当0x x -<δ 时有0()()f x f x ε-<, （2） 则称函数f 在点0x 连续由上述定义，我们可得出f 在点0x 处有极限与f 在0x 连续这两个概念之间 的联系。

首先，f 在点0x 有极限是f 在0x 连续的必要条件；进一步说，“f 在点0x 连续”不仅要求f 在点0x 有极限，而且其极限值应等于f 在0x 函数值0()f x 。

其次，在讨论极限时，我们假定f 在点0x 的某空心领域00()U x 内有定义（f 在点0x 可以没有定义），而“f 在点0x 连续”则要求f 在某 0()U x 内（包括点0x ）有定义，此时由于（2）式当0x x =时总是成立的，所以在极限定义中的“00x x δ<-<”换成了在连续定义中的“0x x δ-<”。

第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。

.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。

函数的连续性教案⽰例函数的连续性·教案⽰例⽬的要求了解函数在⼀点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在定义区间内每⼀点都连续，会从⼏何直观上理解闭区间上的连续函数有最⼤值和最⼩值．内容分析1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，⽽连续概念是建⽴在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0在且两者相等为定义⽅式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，⼜是顺理成章的．2．⼈们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅⼊深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进⾏了研究，本课再⽤学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进⼀步，更完善．3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思：(1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义；(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→存在；＝可结合图形说明，只要缺其中的任意⼀个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解．4．函数在区间连续是建⽴在函数在⼀点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每⼀点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x ax b +-层层推进的定义⽅式能很好地培养学⽣严谨的逻辑思维．5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在其定义区间⾥每⼀点都是连续的．6．从⼏何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当⾃变量x ⽆限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就⽆限地接近函数值f(x 0)．也可⽤“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设⾃变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0认识．教学过程1．实例引⼊概念，图形直观说明(1)⽔银柱⾼度随温度的改变⽽连续变化；(2)邮费随邮件重量的增加⽽作阶梯式的增加．函数值是否会因为⾃变量的细⼩变化⽽“⼤起⼤落”，这就是要研究的问题．引出课题：函数的连续性从下列图形中分析：问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→是否存在？是否与相等？答：图(1)满⾜3条；图(2)不满⾜(1)；图(3)不满⾜条件(2)；图(4)不满⾜条件(3)．由此概括出函数在⼀点处连续的定义．2．函数在⼀点处连续的定义：如果函数＝在点＝处及其附近有定义，⽽且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0f(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 000提问：连续函数在图形上有何特点？3．举例应⽤例讨论下列函数在给定点处的连续性：(1)f(x)x 0＝，点＝；1x(2)g(x)＝sinx ，点x ＝0．解：画图．(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因⽽它在点＝处不连续．1x(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0课堂练习：教科书第97页练习第1、2题(不连续的指出不满⾜定义中的哪⼀条)，第98页习题2．6第2、4题．4．函数在区间⾥连续(1)在开区间连续：如果函数在某⼀开区间(a ，b)内每⼀点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续，或说函数是开区间内的连续函数．(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b+- 区间[a ，b]上连续．5．闭区间上连续函数的性质性质(最⼤值最⼩值定理)：如果f(x)是闭区间[a ，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a ，b]上有最⼤值和最⼩值．6．归纳⼩结(1)函数在⼀点处连续的定义．(2)判定函数在⼀点处是否连续：⽅法1：由定义说明，⽅法2：由图象直观说明．(3)闭区间上连续函数的性质．想⼀想：函数在某⼀点的极限与连续有何关系？布置作业教科书第98页习题2．6第1、3题。

第四章函数的连续性1 连续性概念一、函数在一点的连续性定义1：设函数f在U(x0)内有定义. 若=f(x0)，则称f在点x0连续.如：∵==5=f(2)，∴f(x)=2x+1在点x=2连续.对函数f(x)=有==0=f(0)，∴f(x)在点x=0连续.记△x=x-x0，称为自变量x(在点x0)的增量或改变量.设y0=f(x0)，相应的函数y(在点x0)的增量记为：△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)=y-y0. 当=0时，函数y=f(x)在点x0连续。

若对任给的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有|f(x)-f(x0)|<ε，则称函数f在点x0连续。

f在x0连续时，=f(x)，即与f具有可交换性.例1：证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续，其中D(x)为狄利克雷函数.证：由f(0)=0，且|D(x)|≤1，对∀ε>0，要使|f(x)-f(0)|=|xD(x)|≤|x|<ε，只要取δ=ε，则当|x-0|<δ时，就有|f(x)-f(0)| <ε，∴f在点x=0连续.定义2：设函数f在U+(x0)(或U-(x0))内有定义. 若=f(x0)(或=f(x0))，则称f在点x0右(或左)连续.定理4.1：函数f在x0连续的充要条件是：f在点x0既是右连续，又是左连续.例2：讨论函数f(x)=在点x=0的连续性.解：∵==2=f(0)，== -2≠f(0)，即函数f(x)在点x=0是右连续，不是左连续，∴f(x)在点x=0不连续.二、间断点及其分类定义3：设函数f在某U⁰(x0)内有定义. 若f在点x0无定义，或f在点x0有定义不连续，则称点x0为函数f的间断点或不连续点。

即以下情形之一：(1)f在点x0无定义或极限不存在；(2)f在点x0有定义且极限存在，但≠f(x0).1、若=A，而f在点x0无定义，或有定义但f(x0)≠A，则称点x0为f的可去间断点.如：对于函数f(x)=|sgn x|，因f(0)=0，而=1≠f(0)，∴x=0为f(x)=|sgn x|的可去间断点.对于函数g(x)=，因=1，而g在x=0无定义，∴x=0为函数g的可去间断点.设x0为函数f的可去间断点，且=A. 可定义函数：当x≠x0时，(x)=f(x)；当x=x0时，(x0)=A. 则x0是的连续点.如，对g(x)=，可定义(x)=, 则在x=0连续.2、若函数f在点x0的左右极限存在，但≠，则称点x0为f 的跳跃间断点.如：对于函数f(x)=[x]，当x=n(n为整数)时，有=n-1≠=n，∴整数点都是函数f(x)=[x]的跳跃间断点.对于函数sgn x在点x=0处的左、右极限分别为-1和1，∴x=0是sgn x的跳跃间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 其特点是函数在该点处的左、右极限都存在.3、至少有一侧极限不存在的点，称为第二类间断点。

函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。

2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。

3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。

4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。

二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。

函数连续性的性质及其应用。

2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。

运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。

今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。

2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。

用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。

左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。

数学分析第四章函数的连续性函数的连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。

在本章中，我们将讨论函数的连续性及其性质，并介绍一些与连续性相关的重要定理。

在数学分析中，函数的连续性可以用一种直观的方式来理解。

如果在一个区间内，函数的图像是连续的、没有断点的，那么我们就可以说这个函数在这个区间内是连续的。

如果函数在其中一点处发生突变或跳跃，那么我们就认为函数在该点处不连续。

首先，我们来定义函数在其中一点处的连续性。

设函数f(x)在点a 处有定义，则我们说f(x)在点a处连续，如果满足以下三个条件：1.f(a)存在，即函数在点a处有定义；2. lim(x→a) f(x)存在，即函数在点a处的极限存在；3. lim(x→a) f(x) = f(a)，即函数在点a处的极限等于函数在点a 处的取值。

根据这个定义，我们可以得出一些常见函数的连续性。

例如，多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是连续函数。

此外，利用连续函数的相加、相乘、相除和复合运算，我们可以得到更多的连续函数。

接下来，我们来讨论一些与连续性相关的重要定理。

首先是介值定理。

该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值有一正一负，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。

该定理的应用非常广泛，例如在实际问题中解方程、求极值等情况下都可以通过介值定理来找到解。

其次是零点定理。

该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值异号，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。

零点定理是介值定理的特殊情况，它对于函数的零点存在性给出了一个更加明确的条件。

另一个重要的定理是最值定理。

该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，那么在这个区间之内，函数必然存在最大值和最小值。

最值定理告诉我们，在一定范围内，连续函数的值是有上下界的。

最后，我们介绍一个重要的定理，即连续函数的保号性定理。

第四章函数的连续性第一节函数的连续性的概念及性质一、函数的极限1.函数的极限的定义2.函数极限存在的条件3.无穷大与无穷小的概念4.函数的极限存在性的判别法1.函数的连续性的定义2.连续函数的运算性质3.闭区间上连续函数的性质4.有界最值定理三、函数的间断点与间断性1.间断点的定义2.可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点的概念3.单侧连续函数4.有限个间断点的定理第二节连续函数的性质与运算一、连续函数的性质1.介值定理2.零点存在定理3.介值定理的推论4.单调函数的性质二、连续函数的运算1.连续函数的四则运算一、初等函数的概念1.多项式函数的定义2.有理函数的定义3.指数函数、对数函数的定义4.三角函数、反三角函数的定义第四节无穷小量与无穷大量的比较一、无穷小量的渐近性1.无穷小量的比较2.无穷小量的阶3.无穷大量的渐近性4.无穷大量与无穷小量的比较二、函数的无穷大与无穷小1.函数收敛于无穷大的定义2.函数收敛于无穷大的判定3.函数的无穷小4.函数的无穷小的比较性质第五节函数的连续性的应用一、数列极限的概念和性质1.数列极限的定义2.数列极限的性质3.数列极限存在的判别法4.数列极限的夹逼定理二、函数极限的计算1.函数极限的四则运算2.函数极限的夹逼定理3.康托罗尔定理4.函数极限存在的判别法三、连续函数的应用1.不动点定理2.闭区间上连续函数的最值存在性3.最值定理与勒贝格条件。

函数的连续性教案教案标题：函数的连续性教案教案目标：1. 了解函数的连续性的概念和意义。

2. 掌握判断函数在给定区间上的连续性的方法。

3. 能够应用函数的连续性性质解决实际问题。

教案步骤：引入：1. 向学生介绍函数的连续性的概念，即函数在某一区间内的图像是连续的。

2. 解释连续性的意义，即函数在某一点上的值与该点附近的值之间没有突变或间断。

探究：1. 提供一个简单的例子，如f(x) = x^2，让学生观察函数图像并讨论函数在整个定义域上的连续性。

2. 引导学生思考如何判断函数在给定区间上的连续性。

提醒学生关注函数在区间端点和内部点上的性质。

3. 引导学生思考连续性的三个基本性质：函数在闭区间上连续的充要条件、函数在开区间上连续的充要条件以及函数在无穷区间上连续的充要条件。

实践：1. 给出一些具体的函数，例如f(x) = sin(x)和g(x) = 1/x，在给定区间上判断它们的连续性。

2. 引导学生使用连续性的性质，结合函数的定义和性质进行判断。

3. 给学生一些实际问题，例如求一个函数在某一点处的极限值，要求学生利用函数的连续性性质进行求解。

总结：1. 总结函数连续性的概念和意义。

2. 强调函数连续性的判断方法和应用。

3. 鼓励学生在实际问题中运用函数连续性的性质解决问题。

教案评估：1. 给学生一些练习题，要求判断给定函数在给定区间上的连续性。

2. 给学生一些应用题，要求利用函数的连续性性质解决实际问题。

3. 收集学生的答案并进行评估，及时纠正他们的错误并给予指导。

教案扩展：1. 引导学生进一步研究函数的间断点和可导性的关系。

2. 探究函数连续性的中值定理及其应用。

3. 引导学生研究其他函数性质与连续性的关系，如函数的单调性和极值点等。

教案资源：1. 函数图像展示工具，如数学软件或在线绘图工具。

2. 练习题和应用题的题目和答案。

3. 相关教材和参考书籍的章节和页码。

《数学分析》第四章函数的连续性《数学分析》第四章主要讨论函数的连续性。

连续性是一个基本概念，它是描述函数在其中一点附近的性质的重要工具。

本章内容将从函数的连续性定义开始，通过研究连续函数的运算性质，以及间断点的分类和性质，深入探讨函数的连续性的各种特点和性质。

首先，我们来回顾函数的定义。

设有函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε，那么我们称函数f在点x0处连续。

这个定义非常重要，它不仅是刻画函数连续性的数学工具，也是我们研究函数性质的基础。

其次，我们探讨连续函数的运算性质。

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等一些基本函数都是连续函数。

利用这些基本函数的连续性，可以通过运算和复合等方法构造出更多的连续函数。

比如，两个连续函数之和、差、积和商仍然是连续函数，连续函数的复合函数也是连续函数。

这些运算性质是我们运用函数的连续性进行问题求解的重要工具。

然后，我们研究连续函数的间断点。

函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。

对于可去间断点，函数在该点的极限存在且有限，可以通过改变函数在该点的定义来使函数在该点连续。

跳跃间断点指的是函数在该点的左右极限存在但不相等，这种间断可以看作是函数的一个突变点。

无穷间断点则是函数在该点的极限为正无穷大或负无穷大，函数在该点附近发散。

研究间断点有助于我们了解函数的局部性质，并在问题求解中进行函数的优化和极限的计算。

最后，我们来讨论函数连续性的性质。

将函数的定义和运算性质与间断点的分类和性质综合起来，我们可以得到一些重要的性质。

首先是介值性定理，它指出连续函数在区间上将取到任意两个值之间的所有值。

然后是最值定理，它指出连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，并且能够取到这些值。

最后是连续函数的保号性质，它指出如果连续函数在其中一点取正（或负）值，那么在该点附近的函数值也将一直保持正（或负）值。

高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版第一节：引言函数的连续性是高中数学中的重要概念之一，它在解决实际问题、分析函数性质以及计算积分等方面起到了重要作用。

通过本教案，我们将全面介绍函数的连续性的概念、性质和计算方法，帮助学生建立正确的观念，培养逻辑思维和数学分析能力，并且通过例题演练加深他们对该知识点的理解。

第二节：函数的连续性概念1. 连续性的定义：介绍什么是函数的连续性，以及连续函数和间断函数的区别。

2. 连续性的三个条件：详解连续函数的三个条件：函数在定义域内有定义、极限存在和函数值等于极限值。

3. 连续性与可导性的关系：介绍可导函数与连续函数之间的关系，以及可导函数在一点的连续性。

第三节：函数的连续性性质1. 连续函数运算性质：介绍连续函数加减乘除的性质，以及连续函数的复合函数是否连续的判定。

2. 闭区间上连续函数性质：讲解闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性质，以及零点定理的应用。

3. 介值定理：详细解释介值定理的概念和证明方法，以及介值定理在实际问题中的应用。

第四节：函数连续性的计算方法1. 分段函数的连续性：介绍分段函数在分段点是否连续的判定方法，以及常见的分段函数例题。

2. 反函数的连续性：讲解反函数连续性的判定条件和例题展示。

3. 参数方程的连续性：详解参数方程连续性的考察方法，以及参数方程在连续性问题中的应用。

第五节：例题演练通过一些经典的例题演练，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

第六节：拓展应用通过一些实际问题的拓展应用，引导学生将所学的函数连续性理论应用到实际问题中，培养解决问题的能力和实际思维能力。

第七节：总结与作业布置对本节课所学内容进行总结，并布置相应的作业，巩固学生对函数连续性的理解。

本教案旨在通过全面系统地介绍高中数学中函数的连续性概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解该知识点，并能够运用到实际问题中。

在教学过程中，教师应该注重理论与实践相结合，多设立例题和练习题，培养学生分析和解决问题的能力。