等差数列专题训练
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(完整)小学五年级等差数列练习等差数列的练等差数列练1、6+7+8+9+……+74+75=2、2+6+10+14+……+122+126=3、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项?4、有一个数列:6、10、14、18、22......,这个数列前100项的和是多少?5、在等差数列1、5、9、13、17 (401)中,401是第几项?第50项是多少?6、1+2+3+4+……+2007+2008=7、(2+4+6+......+2000)-(1+3+5+ (1999)=8、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60=1等差数列的练9、有从小到大排列的一列数,共有100项,末项为2003,公差为3,求这个数列的和。
10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。
操演2:1、在等差数列1,5,9,13,17,…,401中401是第几项?2、100个小同伙排成一排报数,每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3,XXX站在第一个位置,XXX站在末了一个位置。
小宏报的数是300,小明报的数是几?3、有一堆粗细匀称的圆木,堆成梯形,最上面的一层有5根圆木,每向下一层增长一根,一共堆了28层。
最上面一层有几何根?4、1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=?2等差数列的练5、求100之内所有被5除余的天然数的和。
6、XXX和小胡两小我竞走,限制工夫为10秒,谁跑的距离长谁就得胜。
XXX第一秒跑1米,当前每秒都比以前一秒多跑0.1米,小胡自始至终每秒跑1.5米,谁能取胜?操演3:1.数列4,7,10,……295,298中298是第几项?2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米,第10小时蜗牛爬了1.9米,第一小时蜗牛爬多少米?3.求自然数中所有三位数的和。
4.求所有除以4余1的两位数的和。
3等差数列的练5.有12个数组成等差数列,第六项与第七项的和是12,求这12个数的和。
等差数列数列练习题(5篇)第一篇:等差数列数列练习题一、选择题35241.已知为等差数列,1A.-1B.1C.3D.7 a+a+a=105,a+a+a6=99,则a20等于()2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D. 633.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 =6,a1=4,则公差d等于5C.-2D 3 34.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1, a3=0,则公差d=A.1B11C.D.2 225.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.-2B.-A.12B.13C.14D.156.在等差数列{an}中,a2+a8=4,则其前9项的和S9等于()A.18B 27C36D 97.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于()A.64B.100C.110D.1208.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S4=20,则S6=()2A.16B.24C.36D.489.等差数列{an}的前n项和为Sx若a2=1,a3=3,则S4=()A.12B.10C.8D.610.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.2711.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15二、填空题 B.30 C.31 D.6412.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=21,则a2+a5+a8+a11=13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3则S9=S515.等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10 16.三、解答题17.在等差数列{an}中,a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52+Λ+a80.18、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,①求公差d的取值范围;②S1,S2,Λ,S12中哪一个值最大?并说明理由.19、设等差数列{an}的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求:(1){an}的通项公式a n 及前n项的和S n ;(2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.20.已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0求{an}前n项和sn.1第二篇:数列四等差数列1、(2009湖北卷文)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式:(Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an=={bn}的前n项和Sn2、(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=(1)求数列{an}的通项公式an;s11s22Snn+2(n-1),(n∈N).*b12+b22+b32+...bn2n(n为正整数),求数列snn(2)是否存在正整数n使得++....+求出n值;-(n-1)=2011?若存在,若不存在,说明理由.3、(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)在数列{an}中,a1=bn=1an(n∈N).*13,并且对任意n∈N*,n≥2都有an⋅an-1=an-1-an成立,令(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;ann(Ⅱ)求数列{}的前n项和Tn.4、(江苏泰兴市重点中学2011届)已知数列{an}是等差数列,cn=an-an+1(n∈N*)(1)判断数列{cn}是否是等差数列,并说明理由;(2)如果a1+a3+Λ+a25=130,a2+a4+Λ+a26=143-13k(k为常数数列{cn}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{cn}得前n项和为Sn,问是否存在这样的实数k,使Sn当且仅当n=12时取得最大值。
三年级数学思维专题训练—等差数列1、一辆公共汽车有78个座位,空车出发,第一站上一位乘客,第二站上两位,第三站上三位,依此下去,站以后,车上坐满乘客。
2、一个剧场设置了30排座位,第一排有28个座位,往后每一排都比前一排多2个座位,这个剧场一共有多少个座位?3、在6和26之间插入三个数,使它们每相邻两个数的差相同,这三个数的和是。
4、九个连续偶数,最大的一个是998,这九个连续偶数的平均数是。
5、下面这列数中,最大的三位数是。
1,8,15,22,29,36…6、计算:2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998+1997+1996-…-7-6+5+4-3-2+1= 。
7、思思每年的母亲节都会给妈妈折纸鹤,祝福妈妈健康快乐。
从第二年开始,每年都会比前一年多折七只,八年一共折了212只,那么,思思第一年折了只。
8、王芳大学毕业找工作,她找了两家公司,都要求签工作五年的合同,年薪开始都是一万元,但两个公司加薪的方式不同。
甲公司承诺每年加薪1000元,乙公司答应每半年加薪300元。
以五年计算,王芳应聘公司工作收入更高。
9、小青蛙沿着台阶往上跳,每跳一次都比上一次升高4厘米。
它从离地面10厘米处开始跳,这一处称为小青蛙的第一次的落脚点,那么它的第100个落脚点正好在台阶尽头的亭子内,这亭子高出地面厘米。
10、某校师生共为地震灾区捐款46200元,经统计发现,他们各自所捐的钱数,共有10种不同档次。
最低档次共有10人,而每上升一个档次,捐款人数就减少1人;且从第二档次开始,以后各档次的每人捐款钱数,分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍,那么捐款最多的人捐款元。
11、有37个人排成一行依次报数,第一个人报1,以后每人报的数都是把前一人报的数加3。
报数过程中有一个人报错了,把前一个人报的数减3报了出来,最后这37个人报的数加起来恰好等于2011。
那么是第个报数的人报错了。
等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,那么这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,那么S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,则这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,则S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.1.在等差数列{an}中,已知a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52的值。
一、等差数列选择题1.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .22.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .804.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .56.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个 8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .249.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S11.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .1913.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .914.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <16.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+D .1111p q m nS S S S +>+ 17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1018.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7219.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项B .133项C .134项D .135项20.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 二、多选题21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 22.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=,则下列说法正确的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1{}nS 为递增数列 23.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >24.已知数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .325.等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( ) A .0d <B .10a <C .当5n =时n S 最小D .0n S >时n 的最小值为826.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值27.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .67n S S S 与均为的最大值29.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列30.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得.【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=,故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 5.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 6.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 7.B 【分析】设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断D . 【详解】设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ⨯+≥⨯+,所以2d ≤-,A 正确;所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=,B 错误;1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得101n d≤-+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d≥-, 所以10101n d d-≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =⨯+⨯-=,当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =⨯+⨯-=,C 正确. 又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得.8.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n nx x +-=33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.C【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 13.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 14.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 15.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 16.D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 18.B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=,即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选:B 19.D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:213515n ≤, 所以该数列的项数共有135项. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列. 20.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅,又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力.二、多选题21.ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),114a =,可得:1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=,利用等差数列的通项公式可得1nS ,n S ,2n ≥时,()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---,进而求出n a . 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),114a =, ∴1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=, ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,公差为4, ∴()14414n n n S =+-=,可得14n S n=, ∴2n ≥时,()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---,∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,对选项逐一进行分析可得,A ,B ,C 三个选项错误,D 选项正确. 故选:ABC. 【点睛】本题考查数列递推式,解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=,进而求得其它性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题 22.AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件,再构造等差数列,利用等差数列定义与通项公式求S n ,最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项,4为公差的等差数列,也是递增数列,即D 正确; 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=,即A 正确; 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,即B ,C 不正确;故选:AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性,考查基本分析论证与求解能力,属中档题. 23.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可. 24.BD 【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD . 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题. 25.BD 【分析】由题意可知0d >,由已知条件753a a =可得出13a d =-,可判断出AB 选项的正误,求出n S 关于d 的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列,则0d >,A 选项错误;753a a =,则()11634a d a d +=+,可得130a d =-<,B 选项正确;()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当3n =或4时,n S 最小,C 选项错误; 令0n S >,可得270n n ->,解得0n <或7n >.n N *∈,所以,满足0n S >时n 的最小值为8,D 选项正确.故选:BD. 26.BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题. 27.BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误;对于B 选项,()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==,此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 28.ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥,判断6780,0,0a a a >=<,再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>,677670S S S S a =⇒-==,788780S S S S a >⇒-=<,所以数列{}n a 是递减数列,故0d <,AB 正确;()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确;由以上可知数列{}n a 是单调递减数列,因为6780,0,0a a a >=<可知,67n S S S 与均为的最大值,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值,重点考查等差数列的性质,属于基础题型. 29.AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确,1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题. 30.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.。
等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3,a_1 = 2,求数列{a_n}的通项公式。
- 解析:因为a_{n + 1}-a_n = d = 3(d为公差),a_1 = 2。
根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d,可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
2. 在等差数列{a_n}中,a_3 = 7,a_5 = 11,求a_{10}。
- 解析:首先求公差d,d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
由a_3=a_1+(3 - 1)d,即7=a_1 + 2×2,解得a_1 = 3。
那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。
3. 若数列{a_n}为等差数列,且a_2=5,a_6 = 17,求其公差d。
- 解析:根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d,则a_6=a_2+(6 - 2)d,即17 = 5+4d,解得d = 3。
4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1,公差d = 2,求该数列的前n项和S_n的公式。
- 解析:根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d,将a_1=-1,d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。
5. 在等差数列{a_n}中,a_1 = 1,a_{10}=19,求S_{10}。
- 解析:根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2),这里n = 10,a_1 = 1,a_{10}=19,则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。
二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中,若a_3+a_8+a_{13}=12,求a_8的值。
- 解析:因为在等差数列中,若m,n,p,q∈ N^+,m + n=p+q,则a_m + a_n=a_p + a_q。
等差数列练习题一、选择题1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为()A、89B、-101C、101D、-892、等差数列{a n}中,a15 = 33,a45 = 153,则217是这个数列的()A、第60项B、第61项C、第62项D、不在这个数列中3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为A、4B、5C、6D、不存在4、等差数列{a n}中,a1 + a7 = 42,a10 - a3 = 21,则前10项的S10等于()A、720B、257C、255D、不确定5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么a:b等于()A、14B、13C、13或1 D、126、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新数列{ C n },其通项公式为()A、C n= 4n - 3B、C n= 8n - 1C、C n= 4n - 5D、C n= 8n - 97、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第1项大10,则这个数列共有()A、6项B、8项C、10项D、12项8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1 = 25,b1 = 75,且a100 + b100 = 100,则数列{a n + b n}的前100项和为()A、0B、100C、10000D、505000二、填空题9、在等差数列{a n}中,a n = m,a n+m= 0,则a m= ______。
10、在等差数列{a n}中,a4 +a7 + a10 + a13 = 20,则S16 = ______ 。
11、在等差数列{a n}中,a1 + a2 + a3 +a4 = 68,a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30,则从a15到a30的和是______ 。
12、已知等差数列110,116,122,……,则大于450而不大于602的各项之和为______ 。
等差数列典型例题一、选择题。
1.等差数列a的前n项和为Sn,若a₂=1. a₃=3.1则Sₐ=( )A. 12B.10C.8D.52. 已知(a) 为等差数列。
a₂+a=12则 a₃等于( )A.4B.5C.6D.73.设S是等差数列a的前 n项和,若 S₁=35. 则a=( )A.8B.7C.6D.54.记等差数列a的前n项和为S,若,S₂=4, S₄=20,则该数列的公差d=( )A.7B.6C.3D.25.等差数列{a}中, 已知a1=13,a2+a5=4,a n=33,则n为( )A.48B.49C.50D.516.等差数列{aₙ}中, a₁=1,a₃+a₃=14,其前n项和S,=100,则n=( )A.9B.10C.11D.127.设S₀是等差数列aₙ的前m项和,若a5a3=59则S9S2=()A.1B.-1C.2D.128.已知等差数列{a,}满足a1+a2+a5+⋯+a111=0则有( )A.a₁+aₙₐₓ>0B.α2+α1DC<0C.a₇+a₉₉=0D.a₅₁=519.如果a1,a2,⋯,a n为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则( )A.a₁a₃>a₄a₃B.aₙa₁<a₄a₅C.a1⃗⃗⃗⃗ +a6⃗⃗⃗⃗ >a4⃗⃗⃗⃗ +a5D.a₁₂₄“a₄₃10.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项二、填空题。
11.设数列a的首项a₁ =-7. 且满足aₙ₊₁=aₙ+2(n∈N).则a1+a2+⋯+a p=.12.已知[a₃]为等差数列。
a₃+a₃=22, a₄=7. 则:11= .13.已知数列的通项a=−5n+2则其前n项和为S₁= .三、解答题。
14. 等差数列{aₙ}的前m项和记为 SB.已知aₙ₀=30,a₂₀=50(1)求通项a。
(2)若S=242,求n。
一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( )A .121B .161C .141D .1512.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .804.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .455.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .806.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列8.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2209.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或2011.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +13.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .214.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21SB .20SC .19SD .18S15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .616.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4217.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S > D .70S <,且80S <18.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202119.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24B .39C .104D .5220.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .162二、多选题21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( )A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =23.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列24.题目文件丢失!25.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 26.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值28.公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =,n S 为{}n a 前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .110S =B .10n n S S -=(110n ≤≤)C .当110S >时,5n S S ≥D .当110S <时,5n S S ≥ 29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( )A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C .0n S <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22B .d =-2C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值D .当S n >0时,n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B 2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =,即项数是8, 故选:A. 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 5.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 6.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩, 所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=,故选:B. 7.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 8.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x+-=33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444log log log log n n nnx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 13.C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得. 【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=, 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 14.B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392a d =-. 又10a >,所以0d <,因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭, 所以20S 最大. 故选:B. 15.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 16.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 18.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列,所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 19.D 【分析】根据等差数列的性质计算求解. 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==,74a =,∴11313713()13134522a a S a +===⨯=. 故选:D . 20.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.二、多选题21.ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换. 22.BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 23.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.24.无25.ABD 【分析】根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,累加可知D 正确. 【详解】依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,故C 不正确;2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =,所以22212201920202019a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题. 26.AC 【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222n n n na dS d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断. 27.ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 28.BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =,解得192a d =-,然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =,所以1127a d a d +=+, 即1127a d a d +=--, 解得192a d =-,11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭,故A 错误;()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-,故B 正确; 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭,解得0d >,()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥,故C 正确;D 错误; 故选:BC 29.ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n nN ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6nn N上单调递增,1na 在7nn N ,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确;由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 30.BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化简得110a d =-,②由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.。
等差数列练习题等差数列练习题(一):一、选择题1.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14=()A.45 B.41C.39 D.372.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差d=()A。
12 B。
13C.-12 D.-13解析:选C。
∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18,∴d=-12。
解析:选B。
a6=a2+(6-2)d=5+4d=17,解得d=3。
所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41。
3.已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y =2x+1上,则{an}为()A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列解析:选A。
an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A。
4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4 B.5C.6 D.7解析:选B。
an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn得3n-1=4n-6,∴n=5。
5.下方数列中,是等差数列的有()①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析:选C。
利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列.6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m 和n的等差中项是()A.2 B.3C.6 D.9解析:选B。
由题意得m+2n=82m+n=10,∴m+n=6, ∴m、n的等差中项为3。