人教版九年级数学上册第二十四章 圆 综合压轴题练习(含详解)

专题24.5 圆（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）A．50°B．60°C．80°D．100°【思路点拨】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解题过程】解：在圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【思路点拨】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可。

【解题过程】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（）A．4B．2C D．1【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】4．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）A．B．cm C．或D．或【思路点拨】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解题过程】解：连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，5．（2022·江苏·九年级）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（）A B．C．1D．2【思路点拨】【解题过程】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1的值是（）S2A．5π2B．3πC．5πD．11π2【思路点拨】【解题过程】7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（）A B C D．【思路点拨】如图，作过A、B、F作⊙O，AFB为点F的轨迹，然后计算出AFB的长度即可．【解题过程】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB∵等边ΔABC∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°∵BD=CE∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O AB=4，则BC的长是（ ）A．B．C D【思路点拨】【解题过程】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB ＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（）A B C D【思路点拨】【解题过程】10．（2022·江苏无锡·九年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝12；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【思路点拨】【解题过程】解：设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，满足奇异三角形的定义，∴等边三角形一定是奇异三角形，故①正确；在RtΔABC中，a2+b2=c2，∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，∴2b2=a2+(a2+b2)，∴b2=2a2，得b=．∵c2=b2+a2=3a2，∴c，∴a：b：c=1故②错误；在RtΔABC中，a2+b2=c2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．∵D是半圆ADB的中点，∴AD=BD，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．∴ΔACE是奇异三角形，故③正确；由③可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．当ΔACE是直角三角形时，由②可得AC：AE：CE=1AC：AE：CE=1，（Ⅰ）当AC：AE：CE=1AC：CE=1AC：CB=1∵∠ACB=90∘，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．（Ⅱ）当AC：AE：CE=1时，AC：CE=1，即AC：CB=1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度数为60°或120°，故④错误；故选：B．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022·全国·九年级课时练习）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．【思路点拨】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．【解题过程】12．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为________cm．【思路点拨】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．【解题过程】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，13．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为___________．【思路点拨】【解题过程】14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．【思路点拨】连接BO并延长交AC于E，交AC于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【解题过程】15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为______．【思路点拨】⊙O与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边AD、BC 相切，此时BF=AE；第二种情况是圆与边AB相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长；第三种是圆与边CD相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF．【解题过程】解：①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示此时∠AEO=BFO=90°所以四边形AEFB为矩形即BF=AE=2；②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中，EM2+MF2=EF2∴BF=13．2评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（2022·全国·九年级课时练习）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．【思路点拨】【解题过程】解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD,CD；以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F，连接DF,BD,BF，如图示：（2）结论：BC=BF．理由如下：由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD=FD,∴∠DBC=∠DBF,∵四边形ABFD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.17．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【思路点拨】（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．【解题过程】解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．（1）求证：GP＝GD；（2）求证：P是线段AQ的中点；（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．【思路点拨】（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．【解题过程】（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，∴∠GPD=∠GDP；∴GP=GD；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB于E，∴∠CEB=90°，∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，∴PC=PA，∵∠ACB=90°，∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，∴∠PCQ=∠CQA，∴PC=PQ，∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；（3）连接CD，∵弧AC=弧CD，∴CD=AC，∵CD=2，∴AC=2，19．（2022·全国·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P 上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q 间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．【思路点拨】(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．(2)先理解当⊙O与线段有交点时，d(⊙O,AB)=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．(3)①先确定A′位于x轴上，再求出OA′的长即可求解；②先确定A′的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．【解题过程】∴∠A′NB=90°，由旋转知BA′=BA=2−(−2)=4，∵∠ABA′=30°，BA′=2,∴A′N=12∴A′位于x轴上，BN=42−22=23，∴A′M=23，∴A′O=23−2，∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O由B(2,2)，得OB=22+22=22,当⊙O与该半圆内切时，r=4−22，当⊙O经过A点时，r=22，∴4−22＜r＜22．20．（2022·四川德阳·九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD=∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB=2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．【思路点拨】【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠EBC+∠ABC=180°，∴∠D=∠EBC，∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=90°，∴∠OCE+∠E=180°，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∴CF=3，21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，以AB为直径的⊙O上有一动点C，⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作BM∥OC交⊙O于点M，连接AM，OM，BC．(1)求证：AM∥CD(2)若OA=5，填空：①当AM＝时，四边形OCBM为菱形；②连接MD，过点O作ON⊥MD于点N，若BD=，则ON＝．【思路点拨】(1)首先根据圆周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°，由切线的性质可得∠DOC+∠CDO=90°，再根据平行线的性质即可证得∠MAB=∠CDO，据此即可证得结论；(2)①根据菱形性质可得OM= OA=MB= 5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC 是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．【解题过程】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠DOC+∠CDO=90°，又∵BM∥OC，∴∠ABM=∠DOC，∴∠MAB=∠CDO，∴AM∥CD；（2）解：①若四边形OCBM为菱形，则OM=OA=MB =5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∵BD=52−5，OB=5，∴OD=OB+BD=5+5∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，22．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．(1)求证：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝OG的长．【思路点拨】【解题过程】（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，则∠OMF=∠OND=90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM=ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，∵OF=OD OM=ON，∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM=DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，23．（2022·全国·九年级课时练习）问题提出：（1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC 的面积为______．问题探究：（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=△ABC的最大面积．问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F 于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．【解题过程】24．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是；(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．【思路点拨】【解题过程】即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD。

人教版九年级上册数学第二十四章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，己知等腰，以为直径的圆交于点，过点的⊙的切线交于点，若，则⊙的半径是（）A. B.5 C.6 D.2、如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心，若，则的大小等于（）A. B. C. D.3、如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则（）A.4B.3C.2D.54、如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC等于（）A.130°B.125°C.120°D.115°5、如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A.16﹣2πB.16﹣πC.8﹣2πD.8﹣π6、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（）A.∠ACB=90°B.OE=BEC.BD=BCD.△BDE∽△CAE7、已知点A在半径为3的⊙O内，OA等于1，点B是⊙O上一点，连接AB，当∠OBA取最大值时，AB长度为（）A. B.2 C.3 D.28、如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于（）A. B. C.2 D.9、下列说法中：1）圆心角相等，所对的弦相等2）过圆心的线段是直径3）长度相等的弧是等弧4）弧是半圆5）三点确定一个圆6）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧7）弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10、如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（）A.2B. ﹣πC.1D. + π11、平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A.⊙O内B.⊙O上C.⊙O外D.以上都有可能12、如图，在四边形中，，连接，以为直径的圆交于点.若，则的长为（）A. B. C. D.13、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（）A.45°B.90°C.135°D.150°14、如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：; C；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（）A. B. C. D.15、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C=38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（）A.19°B.38°C.52°D.76°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC＝________．17、如图，正五边形ABCDE的边长为1，对角线AC、BE相交于点O，则四边形OCDE的周长为________.18、如图，AB=BC=CD，∠BAD=80°，∠AED=________ ．19、如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD= ，则BC的长为________。

1第24章 圆一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等） 1. 如图,BD 为⊙O 的直径,AC 为弦,AB AC =,AD 交BC 于E ,2AE =,4ED =． （1）求证：ABE ADB △∽△,并求AB 的长；（2）延长DB 到F ,使BF BO =,连接FA ,判断直线FA 与⊙O 的位置关系,并说明理由.1．解：AB AC =,ABC C ∴=∠∠C D =∠∠,ABC D ∴=∠∠． 又BAE DAB =∠∠,ABE ADB ∴△∽△． AB AEAD AB∴=． ()()224212AB AD AE AE ED AE ∴==+=+⨯=．AB ∴=（舍负）．（2）直线FA 与O 相切．连接OA ．BD 为O 的直径,90BAD ∴=∠．在Rt ABD ∆中,由勾股定理,得BD ====1122BF BO BD ∴===⨯= 2AB =,BF BO AB ∴==．（或BF BO AB OA ∴===,AOB ∴∆是等边三角形,F BAF ∠=∠．60OBA OAB ∴∠=∠=︒,30F BAF ∠=∠=︒．） 90OAF ∴=∠．OA ∴⊥AF ．又点A 在圆上,∴直线FA 与O 相切．2. 已知：如图,以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ,过点D 作DF ⊥BC ,垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4,求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积．2．（1）证明：连接DO .∵ABC ∆是等边三角形 ,∴∠C =60°,∠A =60°, ∵OA =OD , ∴OAD ∆是等边三角形. ∴∠ADO =60°. ∵DF ⊥BC ,∴∠CDF =30°.∴∠FDO =180°-∠ADO -∠CDF = 90°.∴DF 为⊙O 的切线.（2）∵OAD ∆是等边三角形,∴CD =AD =AO =21AB =2. Rt CDF ∆中,∠CDF =30°,∴CF =21CD =1. ∴DF =322=-CF CD . （3）连接OE ,由（2）同理可知E 为CB 中点,∴2=CE .∵1=CF ,∴1=EF . ∴233)(21=⋅+=DF OD EF S FDOE直角梯形． ∴ππ323602602=⨯=DOES 扇形．∴π32233-=-DOE FDOE S S 扇形直角梯形．3、如图,已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ,连接CO 并延长交AD 于点F ,且CF AD ⊥．（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =,求CD 的长．3、（1）证明：连接AC ,如图CF AD ⊥,AE CD ⊥且CF AE ，过圆心OAC AD ∴=,AC CD =,ACD ∴△是等边三角形． 30FCD ∴∠=在Rt COE △中,12OE OC =,12OE OB ∴=∴点E 为OB 的中点（2）解：在OCE t ∆R 中8AB =,142OC AB ∴==又BE OE =,2OE ∴=3241622=-=-=∴OE OC CE 243CD CE ∴==4．如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠BAC = 60︒,P 是OB 上一点,过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ,连结OC ,过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ．FEDCBOA1CEF （1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ,求BP :PO 的值．4． （1）证明：由已知得∠ACB =90°,∠ABC =30°,∴∠Q =30°,∠BCO =∠ABC =30°. ∵CD ⊥OC ,∴∠DCQ =∠BCO =30°,∴∠DCQ =∠Q ,∴△CDQ 是等腰三角形. （2）解：设⊙O 的半径为1,则AB =2,OC =1,AC =121=AB ,BC =3. ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等,∴CQ =BC =3.∵AQ =AC +CQ =1+3,AP =23121+=AQ , ∴BP =AB －AP =2332312-=+- PO =AP －AO =2131231-=-+, ∴BP ∶PO =3.5． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点,BC ⊥AE ,交AE 的延长线于点C , 交半圆O 于点E,且E 为DF 的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）若662AD AE ==，,求BC 的长．5.解：（1）连接OE , ∵E 为DF 的中点,∴DE EF =． ∴ OBE CBE ∠=∠.∵OE OB =,∴OEB OBE ∠=∠.∴ OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC. ∵BC ⊥AC , ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO =∠C =90°. 即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径,∴ AC 是半圆O 的切线. （2）设O 的半径为x ,∵OE AC ⊥,∴222(6)(62)x x +-=. ∴3x =. ∴12AB AD OD OB =++=. ∵OE ∥BC,∴AOE ABC △∽△.∴AO OE AB BC =. 即9312BC= ∴4BC =.6.如图,ABC △内接于⊙O,过点A 的直线交⊙O 于点P ,交BC 的延长线于点D ,且AB 2=AP ·AD （1）求证：AB AC =；（2）如果60ABC ∠=,⊙O 的半径为1,且P 为弧AC 的中点,求AD 的长.OPDCB6.解：（1）证明：联结BP ．∵ AB 2=AP·AD ,∴ AB AP =ADAB．∵ ∠BAD=∠PAB ,∴ △ABD ∽△APB, ∴ ∠ABC =∠APB ,∵∠ACB =∠APB , ∴ ∠ABC =∠ACB．∴ AB=AC.（2）由（1）知AB=AC ． ∵∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形．∴∠BAC=60°, ∵P 为弧AC 的中点,∴∠AB P =∠PAC=12 ∠A BC=30°,∴∠BAP=90°, ∴ BP 是⊙O 的直径, ∴ BP=2, ∴ AP =12BP=1,在Rt △PAB 中,由勾股定理得 AB 2= BP 2－AP 2=3, ∴ AD =AB2AP=3．7．如图,在△ABC 中,∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线,O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过点D .（1）求证： BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长. 7.（1）证明: 如图1,连接OD .∵ OA =OD , AD 平分∠BAC , ∴ ∠ODA =∠OAD , ∠OAD =∠CAD .∴ ∠ODA =∠CAD . ∴ OD //AC . ∴ ∠ODB =∠C =90︒. ∴ BC 是⊙O 的切线. 图1（2）解法一: 如图2,过D 作DE ⊥AB 于E .∴ ∠AED =∠C =90︒. 又∵ AD =AD , ∠EAD =∠CAD ,∴ △AED ≌△ACD .∴ AE =AC , DE =DC =3.在Rt △BED 中,∠BED =90︒,由勾股定理,得 BE =422=-DE BD . 图2设AC =x （x >0）, 则AE =x .在Rt △ABC 中,∠C =90︒, BC =BD +DC =8, AB =x +4, 由勾股定理,得x 2 +82= (x +4) 2. 解得x =6. 即 AC =6. 解法二: 如图3,延长AC 到E ,使得AE =AB .∵ AD =AD , ∠EAD =∠BAD ,∴ △AED ≌△ABD .∴ ED =BD=5.在Rt △DCE 中,∠DCE =90︒, 由勾股定理,得 CE =422=-DC DE . ………… ……………5分D1在Rt △ABC 中,∠ACB =90︒, BC =BD +DC =8, 由勾股定理,得 AC 2 +BC 2= AB 2.即 AC 2 +82=(AC +4) 2.解得 AC =6.8．如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的一条弦,且CD⊥AB 于E,连结AC 、OC 、BC.（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若BE=2,CD=8,求AB 和AC 的长.8、证明：（1）连结BD,∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB ,∴． ∴∠A=∠2．又∵OA=OC ,∴∠1=∠A．∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD． 解：（2）由（1）问可知,∠A=∠2,∠AEC=∠CE B.∴△ACE∽△CBE．∴.CEAEBE CE =∴CE 2=BE·AE． 又CD=8,∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．∴AC=.548022==+CE AE9．如图,已知BC 为⊙O 的直径,点A 、F 在⊙O 上,BC AD ⊥,垂足为D ,BF 交AD 于E ,且BE AE =．（1）求证：AF AB =； （2）如果53sin =∠FBC ,54=AB ,求AD 的长．9．解：（1）延长AD 与⊙O 交于点G ．∵ 直径BC ⊥弦AG 于点D ,∴ ． ∴ ∠AFB =∠BAE ．∵ AE =BE ,∴ ∠ABE =∠BAE ．∴ ∠ABE =∠AFB ． ∴ AB =AF ． （2）在Rt △EDB 中,sin ∠FBC =53=BE ED ． 设ED =3x ,BE =5x ,则AE =5x ,AD =8x ,在Rt △EDB 中,由勾股定理得BD =4x ． 在Rt △ADB 中,由勾股定理得BD 2+AD 2=AB 2．∵ AB =45,∴ 222)54()8()4(=+x x ．AB=GBABCDEO GFOG FH A BC DECBA∴ x =1（负舍）．∴ AD =8x =8．10．如图,已知直径与等边ABC ∆的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E,边AC 过圆心O 与圆O 相交于点F 、G 。

第二十四章圆单元复习与检测题（含答案）一、选择题1、点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A．1cm B．2cm C． cm D． cm2、已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P 与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定3、下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等4、同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含5、在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°6、如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65C．72 D．757、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切8、如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24B．C．等于48 D．最大为489、已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R＝2，⊙O2的半径r＝1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有（）A、2个B、4个C、5个D、6个10、已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm二、填空题11、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．12、如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠OAC,OA=8㎝,则AC的长等于_______㎝。

一、选择题1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）A ．25B ．4C ．213D ．245C 解析：C【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．2．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104πB解析：B【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，∵OB=OC，∴OB2=OC2，∴22+(16-x) 2=62+x2，解得x=7，∴r2=OB2=22+92=85，∴圆的面积S=πr2=85π，故选：B．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．3．如图，分别以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是弧AEC中点，D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC长为（）A．2B．2C．2D．2D解析：D【分析】连接OE，交AC于点F，由勾股定理结合垂径定理求出AF的长，即可得到结论．【详解】解：连接OE ，交AC 于点F ，∵E 为AEC 的中点，∴OE AC ⊥，F 为AC 的中点，∵12AB =∴6OE AO ==设EF x =，则6OF x =-∵F 为AC 的中点，D 为半圆ADC 的中点，∴DF AC ⊥，DF AF =∵2DE =，∴2DF x AF =+=在Rt △AOF 中，222OA OF AF =+即2226(6)(2)x x =-++， ∴122x =+，222x =-∴2(2)822AC x =+=+或822-∵6AC >∴822AC =+故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出AF 是解题的关键． 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80πB解析：B【分析】 先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．【详解】解：∵2πr=8π，∴r=4，又∵母线l=5，∴圆锥的侧面积＝πrl ＝π×4×5＝20π．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．5．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．πA解析：A【分析】过A 作AD ⊥BC ，连接AF ，求出∠FAE ，再利用弧长计算公式计算EF 的长即可．【详解】解：过A 作AD 垂直BC ，连接AF ，如图，∵2,30,45AB B C =∠=︒∠=︒，可得2∴AC=2，∵AC=AF∴∠AFC=∠C=45°，∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°∴EF 的长为：152180π⨯=6π 故选：A【点睛】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式．6．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】 ①根据作图过程可得AC AD =，根据垂径定理可判断；②连接OC ，根据作图过程可证得△AOC 为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断； ③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点，∴AC AD =，根据垂径定理可知，AB ⊥CE ，CE=DE ，∴①正确；②连接OC ，∵AC=OA=OC ，∴△AOC 为直角三角形，∵AB ⊥CE ，∴AE=OE ，∴BE=BO+OE=3AE ，∴②正确；③∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE ，∴③正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．7．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．102解析：C【分析】 根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC ，∴∠D=∠B ，∵∠BAC=∠D ，∴∠B=∠BAC ，∴△ABC 是等腰三角形，∵AB 是直径，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．8．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2A解析：A【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，OD＝3，∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴2222=-=-=，BD OB OD.534∴AB＝2BD＝8．故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠=︒，则B的度数是（）A50A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150°C解析：C【分析】 延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，证明△△AOD BOD ≅，OD 是AOB ∠的角平分线，求得290345∠=︒-∠=︒，进行求解即可；【详解】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，45C ∠=︒，∴345∠=︒，∵DA DB =，OA OB =，∴△△AOD BOD ≅，∴OD 是AOB ∠的角平分线，又∵AO BO =，∴DH AB ⊥，∴290345∠=︒-∠=︒，又∵221∠=∠，∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可．二、填空题11．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解 解析：13,12⎛+ ⎝⎭332⎛ ⎝⎭【分析】先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M 的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH =、12CJ =，再根据勾股定理求得632JM =，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF =，即可得解．【详解】解：经历六次旋转后点M 落在点6M 处，过M 作MH x ⊥于点H ，过6M 作6M J x ⊥于点J ，连接6IM ，如图：∵在Rt AFH 中，1AF =，60AFH ∠=︒，30FAH ∠=︒∴1122FH AF == ∵已知点M 的纵坐标是312+，即312MH =+ ∴点M 的坐标是：13,12⎛ ⎝⎭； ∵在6Rt CJM 中，61CM =，660JCM ∠=︒，630CM J ∠=︒∴61122CJ CM ==，226632JM CM CJ =-= ∵点I 是正六边形的中心∴1IC IF ==∴32JF IF IC CJ =+-=∴点6M 的坐标是：33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案是：13,122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为_______________________． 【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（解析：()3,310【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．【详解】解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC 的垂直平分线为直线x=3，∵OA=OB ，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，∴M 点的坐标为（3，3），∵22(32)310MB =-+=∴⊙M 10．故答案为（3，3），10．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．13．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l经过点A，作CE⊥l 于点E，连接BE.则当直线l绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是________．【分析】以AC为直径作圆O连接BO并延长交圆O于点可得BO+O＞B从而可得BO+OE＞B即BE为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE⊥l于点E∴以AC为直径作圆O∵CE解析：225+【分析】以AC为直径作圆O，连接BO，并延长交圆O于点E'，可得BO+O E'＞B E'，从而可得BO+OE＞B E'，即BE为最大值，再由勾股定理求出BO的长即可解决问题．【详解】解：由题意知，CE⊥l于点E，∴以AC为直径作圆O，∵CE⊥AE,∴点E在圆O上运动，连接BO，并延长交圆O于点E'，如图，∴BO+O E'＞B E'，∵OE=O E'，∴BO+OE＞B E'，∴BE的长为最大值，∵AO=OC=OE，且AB=AC=4，∴122OE AC==又∵∠BAC=90°∴22222BO AO AB=+=+=4220∴25BO=∴BE=252+=+BO OE+故答案为：225【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE的外接贺是解答本题的关键．14．如图，点A，B，C在O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行∠=________︒．四边形，则AOC120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A，B，C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()3,0B ，以A 为圆心，2为半径作A ，点P 为A 上一动点，M 为OP 的中点，连接BM ，设BM 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为_________．2【分析】方法一：在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可；方法二：连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解：方解析：2【分析】方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，可求3OB BE ==，22345AE +=，由OM PM =，OB BE =，可得12BM PE =，由点P 在A 上运动，可知P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，由最大值与最小值求出72m =，32n =即可；方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+，可得m BN MN =+，n BN MN =-，作差计算22m n MN PA -===即可．【详解】解：方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，∵()3,0B ，()3,4A ，∴3OB BE ==，22345AE =+=，∵OM PM =，OB BE =，∴12BM PE =， ∵点P 在A 上运动， ∴P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，∴72m =，32n =， ∴2m n -=， 故答案为2．方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，BN MN BM BN MN -≤≤+，m BN MN =+，n BN MN =-，22m n MN PA -===．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，掌握三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，引辅助线构造准确图形是解题关键． 16．如图，已知点C 是半圆О上一点，将弧BC 沿弦BC 折叠后恰好经过点,O 若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E 交半圆O 于D 点连接CD如图根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE 再根据折叠的性质得到ED ＝EO 则OE ＝OB 则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°即∠AB 解析：23π 【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE ，再根据折叠的性质得到ED ＝EO ，则OE ＝12OB ，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°则∠AOC=60°，由于OC ＝OB ，则弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，然后根据扇形的面积公式及S 阴影部分＝S 扇形OAC 即可得到阴影部分的面积．【详解】如图：过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，∵OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∵半圆O 沿BC 所在的直线折叠，圆弧BC 恰好过圆心O ，∴ED ＝EO ，∴OE ＝12OB ， ∴∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°，∴∠AOC=60°；∵OC ＝OB ，∴弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝260223603ππ⋅= ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．17．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【详解】连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝40°，∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．BC=，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得18．在矩形ABCD中，43AB=6∠=︒，则AP的长为__________．或4或8【分析】取CD中点P1连接60APBAP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A点P1点B作圆与ADBC各有一个交点即这样的P点一共3个再运用勾解析：434或8．【分析】取CD中点P1，连接AP1，BP1，由勾股定理可求AP1＝BP1＝3△AP1B是等边三角形，可得∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°∵点P 1是CD 中点∴CP ＝DP 1＝23∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =；当点P 3在BC 上时，如图3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述，AP 的长为：43或4或8．故答案为：43或4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．10π【分析】连接OC 易得△ODE ≌△ECO 所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC 的面积即可【详解】解：如下图连接OC ∵∠AOB=90°CD ⊥OACE ⊥OB ∴四边形ODCE 为矩解析：10π【分析】连接OC ，易得△ODE ≌△ECO ，所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得扇形OBC 的面积即可．【详解】解：如下图连接OC ，∵∠AOB=90°、CD ⊥OA 、CE ⊥OB∴四边形ODCE 为矩形∴OD=CE ，OE 为公共边∴△ODE ≌△ECO∴△ODE 的面积=△ECO 的面积∴图中阴影部分的面积=2236361010360360O BC SOB πππ-==⨯=． 故答案为：10π．【点睛】本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE 的面积=△ECO 的面积．20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米． 65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析：6.5【分析】根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，根据垂径定理，得AD=6 m ，利用勾股定理可得：()22264AO AO =--，解得：AO =6.5m ．即圆弧半径为6.5米，故答案为：6.5．【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．解析：（1）见解析；（2）245 【分析】（1）连接OD ，由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠，再由OB=OD ，利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠，从而得出ODB CBD ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行，由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ，即可得证；（2）过D 作DH AB ⊥于H ，根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ，得出AH CE =，再根据勾股定理得出22221068BD AB AD -=-=，再利用等积法即可得出DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠．∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BE ．∴180BED ODE ∠+∠=︒．∵BE DE ⊥，∴90BED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 与O 相切；（2）过D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，∴DH DE =．∵AD CD =，∴AD CD =．∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△，∴AH CE =．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵10AB =，6AD =， ∴22221068BD AB AD =-=-=． ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅，∴245DH =． ∴245DE =． 【点睛】 此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．22．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．解析：证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 23．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．（1）求证：PT 是⊙O 的切线；（2）若3PT BT ==解析：（1）证明见解析；（2）364π- 【分析】 （1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．【详解】（1）证明：连接OT ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠2，∵∠PTA=∠B ，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT 与⊙O 相切；（2）∵3PT BT ==∴∠P=∠B=∠PTA ，∵∠TAB=∠P+∠PTA ，∴∠TAB=2∠B ，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，∴a 232＝(2a)2，解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 为等边三角形， 13312AOT S ∴=⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOTS S ππ⨯=-=-=-扇形． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．24．如图，已知AB 是O 的直径，四边形AODE 是平行四边形，请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）如图1，当点D 在圆上时，作BAC ∠的平分线；（2）如图2，当点D 不在圆上时，作BAC ∠的平分线．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形AODE 是平行四边形，结合圆的 半径相等，可知四边形AODE 是菱形，利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线；（2）延长OD 交于圆一点，连接该点与点A ，由此即可作出C BA ∠的平分线．【详解】解：（1）如图①：AD 即为所求．∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠；（2）如图②：延长OD 交于圆一点P ，连接AP ，同理可证AP 即为所求．【点睛】此题考查尺规作图，关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法．25．如图1是某人荡秋千的情形，简化成图2所示，起始状态下秋千顶端O 与座板A 的距离为2m （此时OA 垂直于地面），现一人荡秋千时，座板到达点B （OA 不弯曲）．（1）当BOA 30∠=时，求AB 弧的长度（保留π）；（2）当从点C 荡至点B ，且BC 与地面平行，3m BC =时，若点A 离地面0.4m ，求点B 到地面的距离（保号根号）．解析：（1）3m π；（2）127()52m -． 【分析】（1）利用弧长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出OD ，结合图形计算即可．【详解】解：（1）AB 弧线的长度=302()1803m ππ⨯=； （2）如图，∵OB=OC ，OD ⊥BC ，∴1322BD BC ==， 在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， ∴2222372()2OD OB BD =-=-=， ∴点B 到地面的距离=712720.4252-+=-， 答：点B 到地面的距离为127(5m -． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、弧长的计算、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键．26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 解析：（1）见解析；（2）433π- 【分析】（1）根据AB 是直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠BAE =90°，即可得到结果； （2）作OM ⊥AC ，垂足为M ，求得AM=3，根据扇形的面积计算公式计算即可；【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=∠CAE ，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，∴ BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：作OM ⊥AC ，垂足为M ．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∴∠AOM=∠COM=60°， ∴OM=12AO=1， ∴3 ∴AC=2AM=23∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =120414-231336023ππ． 【点睛】本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算，准确分析计算是解题的关键． 27．如图，ABC 内接于O ，60BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 相交于点H ．试证明：（1）FAH CAO ∠=∠；（2）四边形AHDO 是菱形．解析：（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．【详解】证明：（1）连接AD ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，∵AE ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠DAE=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，∴∠FAH=∠CAO ；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AC=2AM ，∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，∴AC=2AF ，∴AF=AM ，∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM ，∴△AFH ≌△AMO （ASA ），∴AH=AO ，∵OA=OD ，∴AH //CD ，∴四边形AHDO 是平行四边形，∵OA=OD ，∴四边形AHDO 是菱形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．28．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点． （1）如图，求ACB ∠的大小； （2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．解析：（1）52︒；（2）19︒【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，再根据圆周角定理得到ACB ∠的度数；（2）连接CE ，根据（1）的结论，先求出BCE ∠的度数，再由圆周角定理得到BAE BCE ∠=∠，再等腰三角形ABD 中求出底角ADB ∠的度数，再由外角和定理就可以求出EAC ∠的度数．【详解】解：（1）如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴360909076104AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，根据圆周角定理，1522ACB AOB ∠=∠=︒；（2）如图，连接CE ， ∵AE 是O 的直径， ∴90ACE ∠=︒， ∵52ACB ∠=︒， ∴905238BCE ∠=︒-︒=︒， ∴38BAE BCE ∠=∠=︒， ∵AB AD =， ∴71ABD ADB ∠=∠=︒， ∴19EAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查圆周角定理和切线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．。

《圆》压轴题综合培优训练1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC 交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB 于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．6．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．7．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．9．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长10．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．12．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC 延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．13．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．14．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，C是圆上的一点，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若AB＝6，AE＝4.8，求BD和BC的长．15．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．参考答案一．解答题1．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O 的面积：12π＝（AB ）2π，则AB ＝4，∠CAB ＝30°，∴BD ＝2，BC ＝4，AC ＝8，而OE ＝AC ＝4，四边形OBED 的外接圆面积S 2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC 边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC 的内切圆面积S 1和四边形OBED 的外接圆面积S 2的比为：． 2．（1）证明：△BDE 是等腰直角三角形．∵AE 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝∠ADE ＝90°，∴∠BDE ＝180°﹣90°＝90°．∵CA ＝CB ，∴∠B ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形．（2）过点F 作FG ⊥AC 于点G ，则△AFG 是等腰直角三角形，且AG ＝FG ．∵OA ＝OC ，∴∠EAC ＝∠FCG ．∵BE ＝CE ＝3，∴AC ＝BC ＝2CE ＝6，∴tan ∠FCG ＝tan ∠EAC ＝．∴CG ＝2FG ＝2AG ．∴FG ＝AG ＝2，∴AF ＝2． 3．【解答】（1）证明：∵⊙O 切BC 于D ，∴OD ⊥BC ，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．4．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴EC2＝DE•AE，∴（2）2＝2（2+AD），∴AD＝4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD•tan A＝4×＝，∴△OBD是等边三角形，则OD＝BD＝，则弧BD的长是＝．5．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝＝2．6．证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．7．解：（1）如图1，连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF＝180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）设AB＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，∴CE＝BC﹣BE＝3，∵AE是∠BAF的角平分线，BE⊥AB，EF⊥AF，∴EF＝BE＝5，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CF＝4，∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB＝x，在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，∴x＝10，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，∴OB＝10﹣r，在Rt△BOE中，r2﹣（10﹣r）2＝25，∴r＝，∴⊙O的直径为．8．（1）证明：连接OD，∵CD垂直平分OA，∴OM＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°，∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝45°，∴∠ODN＝45°﹣30°＝15°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠ODC＝30°，∴∠FGD＝45°+30°＝75°，∵FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝75°，∴∠ODF＝∠ODN+∠FDG＝15°+75°＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠EDB＝30°，∴∠EOB＝60°，Rt△CDE中，∠DEC＝60°，∴∠DEC＝∠EOB＝60°，∴DE∥AB，∴S△DOE ＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形ODE＝＝；答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，9．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴＝，即＝，∴AD＝9．10．解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∵OA⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，∴∠BGF＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣65°﹣50°＝65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，∵∠AOB＝∠OHA+∠OAH，∴∠OAH＝144°﹣90°＝54°，∴∠BAC＝∠OAH+∠OAB＝54°+18°＝72°，∴∠BDG＝∠BAC＝72°．11．（1）证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC．（2）解：连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°．（3）解：延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴＝，∴AE•AB＝AD•AH＝×6＝9．12．（1）证明：连结OD，∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGD＝∠EGC，∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∵OD为半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OF，∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，∴CF：CE＝4：3，又∵EF＝5，∴CF＝4，CE＝3，设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r﹣3．在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECF＝∠ODB＝90°，∴△CEF∽△DBO，∴＝，∴＝，∴BD＝．13．证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E点是BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE＝∠OBE，∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°；（Ⅱ）∵CF＝OF，CE＝EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD＝∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝．14．解：（1）如图，连接OC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BA C；又在圆中OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，由AE⊥DC知OC⊥DC，∴DE是⊙O的切线．（2）∵∠D＝∠D，∠E＝∠OCD＝90°，∴△DCO∽△DEA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝2；∵Rt△EAC∽Rt△CAB，∴＝，∴＝∴AC2＝，由勾股定理得：BC＝＝．15．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°，在Rt△AMB中，AB＝，∴AB＝10．∴OB＝5，∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形，∴NB＝OB＝5．（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．理由：方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ，即C是MQ的中点，又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线，∴CP∥QN，∴∠MCP＝∠MQN，∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN，∴∠MCP＝∠MBN，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．∵P是MN中点，又∵OM＝ON，∴OP⊥MN，且∠MOP＝∠MON，∵MC⊥AB，∴∠MCO＝∠MPO＝90°，∴设OM的中点为Q，则QM＝QO＝QC＝QP，∴点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，又∵∠MOP＝∠MON，∴∠MCP＝∠MON，在半圆O中，∠NBM＝∠MON，∴∠MCP＝∠NBM，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．。

第 24 章《圆》压轴题过关测试1.如图直角坐标系中，以 M（3，0）为圆心的⊙M交 x 轴负半轴于 A，交 x 轴正半轴于 B，交 y 轴于 C、D．（1）若 C 点坐标为（0，4），求点 A 坐标．（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点 P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点 P．（3）过 C 作⊙M的切线 CE，过 A 作AN⊥CE于 F，交⊙M于 N，当⊙M 的半径大小发生变化时．AN 的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．2.如图，AB 是圆 O 的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠ PBD．延长PD 交圆的切线 BE 于点 E（1）判断直线 PD 是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BED=60°，，求 PA 的长．（3）将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF，点 F 正好在圆 O 上，如图 2，求证：四边形 DFBE 为菱形．3.如图所示，CD 为⊙O的直径，AD、AB、BC 分别与⊙O 相切于点 D、E、C（AD＜BC）．连接 DE 并延长与直线 BC 相交于点 P，连接 OB．（1）求证：BC=BP；（2）若DE•OB=40，求AD•BC的值；（3）在（2）条件下，若 S△ADE：S△PBE=16：25，求四边形 ABCD 的面积．4.如图，在△ABC中，已知 AB=BC=CA=4cm，A D⊥BC于 D，点 P、Q 分别从 B、C 两点同时出发，其中点 P 沿 BC 向终点 C 运动，速度为 1cm/s；点 Q 沿 CA、AB 向终点 B 运动，速度为 2cm/s，设它们运动的时间为 x（s）．（1）求 x 为何值时，PQ⊥AC；（2）设△PQD 的面积为 y（cm2），当 0＜x＜2 时，求 y 与 x 的函数关系式；（3）当 0＜x＜2 时，求证：AD 平分△PQD 的面积；（4）探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系，请写出相应位置关系的 x 的取值范围（不要求写出过程）．5.已知：如图，在半径为 2 的半圆 O 中，半径 OA 垂直于直径 BC，点 E 与点F 分别在弦AB、AC 上滑动并保持 AE=CF，但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 A、B 重合．（1）求四边形 AEOF 的面积．（2）设 AE=x，S△OEF=y，写出 y 与 x 之间的函数关系式，求 x 取值范围．6.如图，已知 BC 是⊙O的弦，A 是⊙O外一点，△ABC 为正三角形，D 为 BC 的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB 是⊙O的切线；（2）若E，F 分别是边AB，AC 上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD 为⊙O 的弦，且AB∥CD，过点 A 作⊙O的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F．（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；（2）若 AE=6，CD=5，求 OF 的长．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线 AD 交 BC 边于 D．以 AB 上某一点 O 为圆心作⊙O，使⊙O经过点 A 和点 D．（1）判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）9.如图，CE 是⊙O的直径，BD 切⊙O于点 D，DE∥BO，CE 的延长线交 BD 于点 A．（1）求证：直线 BC 是⊙O的切线；（2）若 AE=2，tan∠DEO=，求 AO 的长．10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点D，与AC、BC 边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径 OD；（2）求证：AE 是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．11.如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作OD⊥AB于点 D，延长 DO 交⊙O于点 P，过点 P 作PE⊥AC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧 PC 的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF 是⊙O的切线．12.如图 1 在平面直角坐标系中，⊙O1 与 x 轴切于 A（﹣3，0）与 y 轴交于 B、C 两点，BC=8，连 AB．（1）求证：∠ABO1=∠ABO；（2）求 AB 的长；（3）如图2，过A、B 两点作⊙O2 与y 轴的正半轴交于M，与O1B 的延长线交于N，当⊙O2 的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN 的值不变；② BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．13.已知如图，D 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点，DC 切⊙O 于 C，过 D 作ED⊥AD与AC 的延长线相交于 E．（1）求证：CD=DE；（2）若tan∠BAC=，求的值；（3）设 AB=2R，当 BC=CE 时，求 BD 的长．14.如图，已知：在△ABC中，AB=BC=CA=2，D 为 BC 延长线上一点，CD=1， P 为 AB 上一动点（不运动至点A，B），以 PC 为直径作⊙O 交 BC 于 M，连接 PD，交⊙O于 H，交AC 于 E，连接 PM．（1）设 AP=t，S△PCD=S，求 S 关于 t 的函数解析式和 t 的取值范围；（2）过 D 作⊙O的切线 DT，T 为切点，试用含 t 的代数式表示 DT 的长；（3）当点 P 运动到 AB 中点时，求证：．15.已知：如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，=，以 AD 为直径作⊙ O交 BA 的延长线于 E，交 AC 于 F．（1）求证：AE=AF；（2）设 AB=2，AC=7，求 AE 的长．16.如图，已知 AB 是⊙O的直径，PC 切⊙O于 C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为 D，M．（1）求证：CB 平分∠PCM；（2）若∠CBA=60°，求证：△ADM为等边三角形；（3）若 PO=5，PC=a，⊙O的半径为 r，且 a，r 是关于 x 的方程 x2﹣（2m+1） x+4m=0 的两根，求 m 的值．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）根据题意，连接 CM，又 M（3，0），C（0，4）；故 CM=5，即⊙M的半径为 5；所以 MA=5，且 M（3，0）；即得 A（﹣2，0）；（2）假设存在这样的点 P（x，y），结合题意，可得△CMP为等腰直角三角形，且 CM=PM=5，故 CP=5；结合题意有，；解之得：、⊙即存在两个这样的点 P； P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；（3）AN 的长不变为 6．证明：连接 CM，作MH⊥AN 于 H，易证△AMH≌△MCO，故 AH=MO=3．即 AN=HN+AH=3+3=6．2.【解答】（1）解：直线 PD 为⊙O的切线证明：如图 1，连接 OD，∵AB 是圆 O 的直径，∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD∵点 D 在⊙O 上，∴直线 PD 为⊙O 的切线．（2）解：∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA=90°∵∠BED=60°，∴∠P=30°∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90° 在Rt△PDO中，∠P=30°，∴，解得 OD=1∴∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1（3）（方法一）证明：如图 2，依题意得：∠ADF=∠PD A，∠PAD=∠DAF∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF∵AB 是圆 O 的直径∴∠ADB=90°设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°∵四边形 AFBD 内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180° 即90°+x+2x=180°，解得x=30°∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°∵BE、ED 是⊙O 的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°∴∠DBE=60°，∴△BDE 是等边三角形．∴BD=DE=BE又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°∴△BDF 是等边三角形．∴BD=DF=BF∴DE=BE=DF=BF，∴四边形 DFBE 为菱形（方法二）证明：如图 3，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠PAD=∠DAF，∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF∴AD=AF，BF∥PD∴DF⊥PB∵BE 为切线∴BE⊥PB∴DF∥BE∴四边形 DFBE 为平行四边形∵PE、BE 为切线∴BE=DE∴四边形 DFBE 为菱形3.【解答】解：（1）证明：连接 OE，如下图①，∵BC、AB 分别与⊙O 相切于点 C、E，∴∠OCB=∠OEB=90°，在Rt△OCB 与Rt△OEB 中，Rt△OCB≌Rt△OEB（HL）∴∠COB=∠EOB∵同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，∴∠COB= ∠COE=∠CDP，∴DP∥OB，又点 O 是 CD 的中点，∴OB 是△CDP 的中位线，∴BC=BP图①（2）连接 OA、OE、CE，如下图②所示图②∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC=90°，又 BC 与⊙O 相切于点 C，∴∠DEC=∠OCB=90°，又∠4=∠6∴△DEC∽△OCB，∴∴DE•OB=OC•DC=40∴DC=2OC OC2=20，OC=2 ，∵又∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=90°，又∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5∴△ADO∽△OCB∴∴AD•BC=OC•OD=OC2=20 即：AD•BC=20（3）∵AD、BC 分别与⊙O相切于点 D、C，如图②所示，∴CD⊥AD，CD⊥PC，∴AD∥PB∴△ADE∽△BPE∴==，∴，即：AD= BC= BP 又∵AD•BC=20∴BC2=25即：BC=5∴S 四边形 ABCD= （AD+BC）•2OC=OC（AD+BP）=2 •BC=2 ××5=18即：四边形 ABCD 的面积为 184.【解答】解：（1）当 Q 在 AB 上时，显然 PQ 不垂直于 AC，当 Q 在 AC 上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4﹣x=2×2x，∴x=；（2）y=﹣x2+ x，如图，当 0＜x＜2 时，P 在 BD 上，Q 在 AC 上，过点 Q 作QN⊥BC 于 N；∵∠C=60°，QC=2x，∴QN=QC×sin60°=x；∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=2，∴DP=2﹣x，∴y=PD•QN=（2﹣x）•x=﹣x2+ x；（3）当 0＜x＜2 时，在Rt△QNC 中，QC=2x，∠C =60°；∴NC=x，∴BP=NC，∵BD=CD，∴DP=DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴AD∥QN，∴OP=OQ，∴S △PDO=S△DQO，∴AD 平分△PQD 的面积；（4）显然，不存在 x 的值，使得以 PQ 为直径的圆与 AC 相离，由（1）可知，当 x=时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相切；当点 Q 在 AB 上时，8﹣2x=，解得 x=，故当 x=或时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相交．5.【解答】解：（1）∵BC 为半圆 O 的直径，OA 为半径，且 O A⊥BC，∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，又∵AE=CF，AB=AC，∴BE=AF，∴△BOE≌△AOF∴S四边形 AEOF=S△AOB=OB•OA=2．（2）∵BC 为半圆 O 的直径，∴∠BAC=90°，且 AB=AC=2，y=S △OEF=S 四边形 AEOF﹣S△AEF=2﹣AE•AF=2﹣x（2 ﹣x）∴y=x2﹣x+2（0＜x＜2 ）．6.【解答】（1）证明：连结 OB、OD、OC，如图 1，∵D 为 BC 的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∴∠ODB=90°，∵∠BMC=∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC=60°∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：BE+CF 的值是为定值．作DH⊥AB 于 H，DN⊥AC 于 N，连结 AD，如图 2，∵△ABC 为正三角形，D 为 BC 的中点，∴AD 平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE 和△DNF 中，，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB 中，∵∠DBH=60°，∴BH=BD，同理可得 CN=OC，∴BE+CF=DB+ DC= BC，∵BD=OB•cos30°=，∴BC=2，∴BE+CF的值是定值，为．7.【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点 A，∴∠EAC=∠ABC，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四边形 ABCE 是平行四边形；（2）解：如图，连接 AO，交 BC 于点 H，双向延长 OF 分别交 AB，CD 与点 N， M，∵AE 是⊙O 的切线，由切割线定理得，AE2=EC•DE，∵AE=6，CD=5，∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形 ABDC 是等腰梯形，且 AB=AC=BD=CE=4，又根据对称性和垂径定理，得 AO 垂直平分 BC，MN 垂直平分 AB，DC，设 OF=x，OH=Y，FH=z，∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF= BC+FH=3+z，易得△OFH∽△DFM∽△BFN，∴，，即，①②，①+②得：，①÷②得：，解得，∵x2=y2+z2，，∴∴x=，∴OF=．8.【解答】解：（1）直线 BC 与⊙O相切；连结 OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直线 BC 过半径 OD 的外端，∴直线 BC 与⊙O 相切．（2）设 OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB 中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得 r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60° ．∴．∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，∵AB=2AC=6，∴OD=2，BD=2 S △BOD=×OD•BD=2，∴所求图形面积为．9.【解答】解：（1）连接 OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB 与△COB 中，，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，， ∵BD 切⊙O 于点 D ， ∴∠ODB=90°， ∴∠OCB=90°， ∴AC⊥BC，∴直线 BC 是⊙O 的切线；（2）∵∠DEO=∠2， ∴tan∠DEO=tan∠2= ， 设；OC=r ，BC=r ，由（1）证得△DOB≌△COB， ∴BD=BC=r ，由切割线定理得：AD 2=AE •AC=2（2+2r ）， ∴AD=2，∵DE∥BO， ∴ ∴ ，∴r=1， ∴AO=3．10.【解答】解：（1）∵AB 与圆 O 相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接 OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形 AEOD 为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE 为圆的半径，∴AE 为圆 O 的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S 阴影=S△BDO+S△OEC﹣S 扇形 FOD﹣S 扇形 EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣= ．11．【解答】（1）解：∵A C=12，∴CO=6，∴==2π；答：劣弧 PC 的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO 和△PEO 中，，∴△PO E≌△A OD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：法一：如图，连接 AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC 是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC 为 EF 的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF ，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF 是⊙O 的切线．法二：设⊙O 的半径为 r．∵OD⊥AB，∠ABC=90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE 又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC ∴BF=BC+FC=r+BC∵PD=r+OD=r+BC∴PD=BF又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，∴四边形 DBFP 是矩形∴∠OPF=90°∴OP⊥PF，∴PF 是⊙O 的切线．方法 3、∵AC 为直径，∴∠ABC=90°又∵∠ADO=90°，∴PD∥BF∴∠PCF=∠OPC∵OP=OC，∴∠OCP=∠OPC∴∠OCP=∠PCF，即∠ECP=∠FCP ∵PD∥BF，∴∠ODE=∠EFC∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED又∵∠OED=∠FEC，∴∠FEC=∠EFC∴EC=FC在△PEC 与△PFC 中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC=∠PEC=90°∴四边形 PDBF 为矩形∠DPF=90°，即 PF 为圆的切线．12.【解答】解：（1）连接 O1A，则 O1A⊥OA，又 OB⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO；（2）作 O1E⊥BC于点 E，∴E 为 BC 的中点，∵BC=8，∴BE=BC=4，∵A（﹣3，0），∴O1E=OA=3，在直角三角形 O1BE 中，根据勾股定理得：O1B= ==5，∴O1A=EO=5，∴BO=5﹣4=1，在直角三角形 AOB 中，根据勾股定理得：AB==；（3）①BM﹣BN 的值不变，理由为：证明：在 MB 上取一点 G，使 MG=BN，连接 AM、AN、AG、MN，∵∠ABO1 为四边形 ABMN 的外角，∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO，∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角，∴∠AMG=∠ANB，在△AMG 和△ANB 中，∵，∴△A MG≌△A NB（SAS），∴AG=AB，∵AO⊥BG，∴BG=2BO=2，∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2 其值不变．13.【解答】（1）证明：∵△ADE是直角三角形，∴∠E=90°﹣∠A；又∵∠BCD=∠A，∠BCE=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A，∴∠E=∠DCE，即 CD=DE．（2）解：设 BC=y，ED=x；根据tan∠BAC=，得出 AD=3x，AC=3y；Rt△ABC中，根据勾股定理，得：AB==y；又因为 CD=DE，所以根据切割线定理，x2=BD•3x，BD=，AB=3x﹣=x；所以y= x，=．又因为== ﹣1=×﹣1= ．（3）解：连接 OC；由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°；∴∠OBC=∠DCE；∵OB=OC，CD=DE；∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E；在△OBC 和△DCE 中∴△OBC≌△DCE（ASA）；∴OC=CD=R；Rt△OCD 中，OC=CD=R，∠OCD=90°；∴OD=R，即 BD=OD﹣OB=（﹣1）R．14.【解答】（1）解：∵PC 是直径，∴PM⊥BC，在Rt△PBM中，PB=2﹣t，∠B=60°，∴PM=PB•sin60°=， S=×CD×PM=（0＜t＜2）．（2）解：由（1）可知，BM= （2﹣t），MC=2﹣BM= （2+t），MD=MC+1=2+t；由切割线定理得 DT2=DC•DM=2+t，∴DT=．（3）证明：作PN⊥AC 于 N；∵点 P 为 AB 中点，∴CP 为等边△ABC 的中线，∴PC 平分∠ACB，∵PM=PN，∴S△PCD= PM•CD，S△PCE= PN•CE，∴．15.【解答】（1）证明：连接 DE、DF，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠E=90°，∠DFA=90°，∵=，∴∠DBC=∠DCB，∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD=∠DCB，∵∠DAC=∠DBC，∴∠EAD=∠DAF，在△ADE≌△ADF 中∴△A DE≌△A DF（AAS），∴AE=AF；（2） 解：由（1）得 DE=DF， 在 Rt△DEB和 Rt△DFC 中∴Rt△DEB≌R t△DFC（HL） ， ∴EB=FC， ∴AE+AB=AC﹣AF． 由（1）知 AE=AF， ∴AE+AB=AC﹣AE， ∴AE= （AC﹣AB）= （7﹣2）= ．. 6 1【解答】（1）证明：延长 CM 与圆相交于 E，连接 OC，OE；∵CM⊥AB， ∴ = ．∴∠COP=∠EOP． ∴∠BCP= ∠COP，∠MCB= ∠EOP． ∴∠BCP=∠MCB，CB 平分∠PCM．（2）证明：∵∠CBA=60°， ∴∠1=∠ACD=30°．∵∠COB 是△AOC 的外角， ∴∠COB=60°． 又∵AD⊥PC，OC⊥PC， ∴AD∥OC，∠DAM=∠COB=60°． ∵△BOC 是等边三角形，CM⊥OB， ∴∠BCM=30°． ∵CB 平分∠PCM， ∴∠PCB=30°． ∴∠1=∠PCB=30°． 又 ∵∠DAM=60°， ∴∠DAC=∠1=30°． ∴AC 是∠DAM 的平分线． ∵∠ADC=∠CMA=90°， ∴CD=CM，△ADC≌△AMC，AD=AM． ∴∠ADM=∠AMD． 又 ∵∠DAM=60°， ∴∠DAM=∠ADM=∠AMD=60°． 即△ADM 为等边三角形；（3） 解：∵PO=5，PC=a，⊙O 的半径为 r，∴在 Rt△OCP 中，OC2+PC2=OP2 即 r2+a2=52①∵a，r 是关于 x 的方程 x2﹣（2m+1）x+4m=0 的两根 ∴a+r=2m+1，ar=4m ∴（a+r）2=a2+r2+2ar ② ③把①②代入③得（2m+1）2=25+8m，解得 m=3 或 m=﹣2（舍去） 故 m=3．。

数学第二十四章圆测试题附参考答案时间：45分钟分数：100分一、选择题（每小题3分，共33分）1．（2005·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（）A．2ba+B．2ba-C．22baba-+或D．baba-+或2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．80°C．160°D．120°4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需图24—A—5图24—A—1 图24—A—2 图24—A—3 图24—A—4在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ）A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．512 C ．2 D ．3 11．如图24—A—7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点 二、填空题（每小题3分，共30分） 12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。

人教版九年级上册数学第二十四章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法错误的是（）A.平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧B.已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点C.如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等2、如图所示，⊙O是等边△ABC的内切圆，切点分别为E、F、G，P是上任意一点，则∠EPF的度数等于（）A.120°B.90°C.60°D.30°3、如图，为的直径，直线与相切于点，直线交于点、交于点，连接、，则下列结论错误的是（）A.若，则平分；B.若平分，则； C.若，则平分； D.若，则．4、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为（）A. B.3 C.4 D.55、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A.1：1：B.1：：2C.1：：1D. ：2：46、如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为（）A.110°B.125°C.130°D.140°7、AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角等于（）A.40°B.20°C.40°或140°D.20°或160°8、如图为和一圆的重迭情形，此圆与直线相切于点，且与交于另一点．若，，则的度数为何（）A.50°B.60°C.100°D.120°9、如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A.若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B.若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC C.若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D.若BE= EC，则AC是⊙O 的切线10、直线l上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相切或相交D.相交11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.10π﹣8B.10π﹣16C.10πD.5π12、下列叙述正确的是（）A.平分弦的直径必垂直于弦B.三角形的外心到三边的距离相等C.相等的圆心角所对的弧相等D.垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧13、如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B 重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为（）A. B. C.π D.2π14、如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB＝52°，则∠ADB的度数是（）A.104°B.52°C.38°D.26°15、如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的半径只有一条；③以M为端点的直径只有一条；④以M为端点的弧只有一条．其中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P 到各边距离之和为________cm．17、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD 上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为________．18、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线BD上，联结AE，作EF⊥AE交边BC于F，若BF＝，那么BE＝________．19、四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=________ ．20、如图，矩形中，，，M是边上的一点，且，点P在矩形所在的平面中，且，则的最大值是________.21、如图，是圆的直径，与交于点．如果，那么的长为________．22、如图，等边边长为4，将绕的中点顺时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为________.23、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．24、如图，为的直径，，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，则劣弧的弧长是________．25、已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．27、如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2.求⊙O半径的长.28、如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．求证：AB=BE．29、如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD长．30、如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、D4、D5、B6、B7、C8、C9、C10、C11、B12、D13、A14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、30、。

人教版九年级上册数学第二十四章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A.5B.C.3D.2、如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.23、如图，四边形是⊙的内接正方形，点是劣弧上任意一点（与点不重合），则的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.无法确定4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（）A.110°B.70°C.55°D.35°5、如图，⊙O与△ABC的边AB，AC相切于点B，D，若圆心O在BC边上，∠C=30°，OC=2，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.6、已知扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（）A.36πcm 2B.12πcm 2C.9πcm 2D.6πcm 27、选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（）A.∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°B.∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°C.∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°D.∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°8、如图， AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BAC=20°，AD=DC，则∠DAC的度数是（）A.30°B.35°C.45°D.70°9、如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切（）A.1B.2C.3D.1或310、如图，已知ABCD，∠A=45°，AD=4，以AD为直径的半圆O与BC相切于点B，则图中阴影部分的面积为A.4B.π+2C.4D.211、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为( )A. cmB.3 cmC. cmD.6cm12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交13、如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A （0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，⊙O经过△ABC的两个顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，点P从点A出发，沿A→D→E→C的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图大致是（）A. B. C. D.15、已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（）A.2-B.4 -6C.8-4D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是________．17、已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为________18、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于________.19、已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则它的半径为________ 。

九年级数学上册第二十四章圆必练题总结单选题1、如图，点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，连结AC 并延长交BO 的延长线于点D ．若AB ＝3，BD ＝4，则⊙O 的半径为（ ）A ．94B ．83C ．52D ．32答案：D分析：连接OC ，根据题意得到RtΔABD 、RtΔCOD ，由切线长定理求得AC =AB =3，最后根据勾股定理在RtΔABD 、RtΔCOD 中求解即可．解：连接OC ，如图所示：∵点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，∴OC ⊥AD ，BD ⊥AB ，∴AC =AB =3，在RtΔABD 中，∠ABD =90°，AB ＝3，BD ＝4，由勾股定理得AD =5，∴CD =AD −AC =5−3=2，设半径OC =OB =r ，则OD =BD −OB =4−r ，在RtΔCOD 中，∠OCD =90°，CD ＝2，OC =r ，OD =4−r ，由勾股定理知CD2+OC2=OD2，得r2+22=(4−r)2，即8r=12，，解得r=32故选：D．小提示：本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键．2、如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°答案：C分析：首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠B=20°，再用三角形内角和定理求得答案．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵∠D=∠B=20°，∴∠CAD=180°−90°−∠D=180°−90°−20°=70°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．3、小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能答案：B分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，﹣2）C．（3，﹣3）D．（3，﹣4）答案：B分析：根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴点M为AC中点，∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），设点C横坐标为（x,y）,∴x+32=−1,y+42=1，解得x=-5，y=-2，∴点C（-5，-2），∵AB⊥x轴，∴点A，B的横坐标相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标相同都是-2，∴点B（3，-2）．故选：B．小提示：本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．5、如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A．√32B．√3C．2√3D．3√3答案：D分析：过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =60°，∵O 为三角形外心，∴∠OAH =30°，∴OH =12OB =1，∴BH =√BO 2−OH 2=√3，AH =-AO +OH =2+1=3∴BC =2BH =2√3∴S ΔABC =12BC ×AH =12×2√3×3=3√3故选：D小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6、将一张正方形的透明纸片ABCD 和⊙O 按如图位置叠放，顶点A 、D 在⊙O 上，边AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相交于点E 、F 、G 、H ，则下列弧长关系中正确的是（ ）A ．AD⌢=AE ⌢B ．AD ⌢=AF ⌢ C ．AF⌢=DG ⌢D ．AF ⌢=DH ⌢ 答案：C分析：连接AF,DG ，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．如图，连接AF,DG ，过点O 作NM ⊥AD ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB =BC =CD ，∠B =∠C ，∴ AM =MD ，∴四边形AMNB,MNCD 是矩形，∴NB =AM =MD =NC ，∴FN =GN ，∴FB =GC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDG ，∴ AF =DG ，A. ∵AD >AE ，∴ AD⌢>AE ⌢，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵AD =AB <AF ，∴AD⌢<AF ⌢，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ AF =DG ，∴ AF⌢=DG ⌢，故该选项正确，符合题意； D.∵DH <DC <DG =AF ，∴ AF⌢>DH ⌢，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C.小提示：本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．7、如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：①∠BAD =∠CAD ；②若∠BAC =60°，则∠BEC =120°；③若点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°；④BD =DE ．其中一定正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据点E 是△ABC 的内心，可得∠BAD =∠CAD ，故①正确；连接BE ，CE ，可得∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），从而得到∠CBE +∠BCE =60°，进而得到∠BEC =120°，故②正确； ∠BAD =∠CAD ，得出BD⌢=CD ⌢，再由点G 为BC 的中点，则∠BGD =90°成立，故③正确；根据点E 是△ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得∠BED =12(∠BAC +∠ABC )，再由圆周角定理可得∠DBE =12(∠BAC +∠ABC )，从而得到∠DBE =∠BED ，故④正确；即可求解．解：∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD =∠CAD ，故①正确；如图，连接BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACB =2∠BCE ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⌢=CD⌢,∵点G为BC的中点，∴线段AD经过圆心O，∴∠BGD=90°成立，故③正确；∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC,∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴∠BED=12(∠BAC+∠ABC)，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴∠DBE=12(∠BAC+∠ABC)，∴∠DBE=∠BED，∴BD=DE，故④正确；∴正确的有4个．故选：D小提示：本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．8、如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（）A ．√32mB ．√33mC ．√34mD ．√3m答案：B分析：先求出扇形的半径R 与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径r ． 解：过B 作BM ⊥AC 于M ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴ AB =BC =CD =DE =2m ，∠ABC =∠BCD =∠CDE =120°，∴ ∠BCA =∠DCE =180°−120°2=30°，∠ACE =180°−30°−30°=60°， ∴ BM =12BC =1m ，AM =√BC 2−BM 2=√22−12=√3m ，∵ AB =BC ，BM ⊥AC ，∴ AC =2CM =2√3m ，∴ AE ⌢=60360×2π×2√3=2πr ， 解得r =√33． 故选：B ． 小提示：本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．9、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°,∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．π3cm2B．π4cm2C．(π3−√38)cm2D．π6cm2答案：B分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12cm，∴B′C′=√32cm，∴S扇形B′OB=120π×12360=π3cm2，S扇形C′OC=120π×1 4360=π12cm2，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=π3−π12=π4cm2；故选：B．小提示：此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．10、如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC⌢=2AC⌢，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°答案：D分析：由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵BC⌢=2AC⌢，∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．填空题11、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．答案：（2，1）分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．小提示：本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．12、如图1，把一个半径是7cm的圆分成20等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是___________cm．答案：57.96分析：由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知这个长方形的周长，据此可得答案．因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长就比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，即：3.14×2×7+7×2=57.96．所以答案是：57.96．小提示：本题考查了图形的拼接，解答的主要依据是圆的面积的推导过程．13、已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为_______．答案：60πcm2分析：利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，×12π×10=60πcm2．侧面展开图的面积=12所以答案是：60πcm2．小提示：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．14、如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F､C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E､A和D､B，顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为______；答案：2√3π3分析：可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解连接OE，OD，OB，OA，由题可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD∴△EFO,△OFA,△OAB,△OBC,△OCD,△ODE为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为△ODE和△OAB的面积之和，如图所示：设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，∴⊙O的面积为S=πr2=πa2∵等边△OED与等边△OAB的边长为a∴S△OED=S△OAB=√3a2 4∴S阴=S△OED+S△OAB=√3a22∴⊙O的面积与阴影部分的面积比为SS阴2√3a22=2√3π3所以答案是：2√3π3．小提示：本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．15、如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）答案：9π4−92分析：由∠C=45°，根据圆周角定理得出∠AOB=90°，根据S阴影=S扇形AOB－S△AOB可得出结论．解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴S阴影=S扇形AOB－S△AOB=90×π×32360−12×3×3=9π4−92，所以答案是：9π4−92．小提示：本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交⊙O于点H．(1)求证：DF⊥AC；(2)若OG=1，求AE的长．答案：(1)证明见解析(2)AE=2分析：（1）根据切线，得到∠ODF=90°；连接OD，通过证OD是△ABC的中位线，证OD∥AC，进而得到∠CFD=∠ODF=90°，即可证明；（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用AE=AC−CF−EF=2OB−2BG= 2OG，即可求解．（1）证明：∵过点D作⊙O的切线交AC于点F，∴∠ODF=90°，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠ABC ，∴∠C =∠ABC ，∴AC = AB =2OB ，∵在Rt △CFD 和Rt △BGD 中，{∠DFC =∠DGB =90°∠C =∠ABCCD =BD， ∴Rt △CFD ≌Rt △BGD(AAS)，∴CF =BG ，又∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠AED +∠ABC =180°，又∵∠AED +∠CED =180°，∴∠ABC =∠CED ，∴∠C =∠CED ，∴CD =DE ，又∵DF ⊥AC ，∴CF =EF ，∴AE =AC −CF −EF =2OB −2BG ，即AE =2(OB −BG)=2OG =2．小提示：本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．17、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）求AD 的长；（2）试探究CA 、CB 、CD 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接OD,P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE ⊥OD 于点E ，设ΔOPE 的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长答案：（1）5√2；（2）CA +CB =√2CD ，证明见解析；（3）5√22π． 分析：(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD ⏜的长度，再得到点M 经过路径的长．解：(1)∵AB 是直径∴∠ADB =90°∵CD 是∠ACB 的平分线∴∠ACD =∠BCD∴AD=BD 在RtΔABD中，AD2+BD2=AB2∴AD=BD=√22AB=√22×10=5√2(2)CA+CB=√2CD，证明如下延长CA到F，使AF=CB，连接DF∵∠CBD+∠CAD=180°,∠FAD+∠CAD=180°∴∠CBD=∠FAD又AD=BD,AF=BC∴ΔADF≌ΔBDC，∴CD=FD,∠CDF=90°,ΔCDF为等腰直角三角形∴CA+CB=CF=√2CD(3)连接OM、PM∵PE⊥OD∴∠PEO=90°∵点M为ΔOPE的内心∴∠OMP=135°∵OD=OP，∠DOM=∠POM，OM=OM∴ΔOMD≌ΔOMP∴∠OMD=∠OMP=135°∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）；设OMD 所在圆的圆心O′∵∠OMD =135°∴∠OO′D =90°∴O′O =√22OD =5√22 弧OD ⏜的长为90π×5√22180=5√24π ∴点M 经过路径长为2×5√24π=5√22π小提示：本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC 和 △ABD 是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF 和△ABD 是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．18、用反证法证明：一条线段只有一个中点．答案：见解析．分析：首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点的定义得出矛盾，即可证得．解：已知：一条线段AB，点M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M，证明：假设线段AB有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，则AM<AN，又∵AM=1AB=AN，2这与AM<AN矛盾，∴假设不成立，线段AB只有一个中点M．∴一条线段只有一个中点．小提示：本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．。

人教新版九年级上学期第24章《圆》单元测试卷（含详解）一．选择题1．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cmC．5.5cm D．2.5cm或5.5cm4．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO ＝（）A．90°B．110°C． 120°D．165°5．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．πB． +C．D． +6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）A．1 B．C．D．7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm8．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB ＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°10．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝3，则的弧长为（）A．B．πC．D．312．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定二．填空题13．把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是．14．（1）已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．（2）等边△ABC的边长为10cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．15．在圆内接四边形ABCD中，弦AB＝AD，AC＝2016，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为．16．已知⊙O的半径为1cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝．17．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为．三．解答题18．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°．（1）求∠B的度数；（2）若PC＝2，求BC的长．19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D 作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．21．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．（1）求直径AB的长；（2）求阴影部分图形的周长和面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．（1）求证：BE∥AF；（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．参考答案一．选择题1．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．2．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D＝∠BOC＝20°，故选：A．3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选：D．4．解：∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝65°＝∠ABO+∠OBC，∴∠BAO+∠BCO＝65°，∵∠ADC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝360°﹣（∠ADC+∠BAO+∠BCO+∠ABC）＝360°﹣（65°+65°+65°）＝165°，故选：D．5．解：∵AB为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝BC ＝，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥AB ，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S △AOC ＝S △BOC ，OA ＝，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝＝π．故选：A ． 6．解：∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠1＝30°（如图），∴a ＝2cos ∠1＝，∴a ＝2． 故选：D ．7．解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠PAO ＝90°，在直角△APO 中，OA ＝＝2，∵AB ⊥OP ，∴AD ＝BD ，∠ADO ＝90°，∴∠ADO ＝∠PAO ＝90°，∵∠AOP ＝∠DOA ，∴△APO ∽△DAO ，∴＝，即＝， 解得：AD ＝3（cm ），∴BD ＝3cm ．故选：B ．8．解：如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OF ． ∵AB 是直径，∴∠AFB ＝90°，∴AF ⊥BF ，∵CF ＝BF ，∴AC ＝AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，易证△CEF ≌△BOF ，∴S 阴＝S 扇形OBF ＝＝，故选：D ．9．解：连接AC ，如图，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵∠ACB ＝∠ADB ＝70°，∴∠ABC ＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选：A ．10．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°，故选：C．11．解：∵四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，∵AB＝BE＝CD＝3，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴的弧长为＝π，故选：B．12．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5，所以圆锥的高＝＝．故答案为．14．解：（1）如果设这个直角三角形的直角边是a，b，斜边是c，那么由题意得：S＝ab＝12，a+b+c＝12，△∴ab＝24，a+b＝12﹣c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2，（12﹣c）2﹣48＝c2，解得c＝，所以直角三角形外接圆的半径是cm；设内切圆的半径是r，则×12r＝12，解得：r＝cm．故答案是：，；（2）连接OC和OD，如图：由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点所以OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即为圆的半径．又由BC＝10cm，则CD＝5cm在直角三角形OCD中：＝tan30°代入解得：OD＝CD＝，则CO＝×10＝；故答案为：，．15．解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，∴∠ADF＝∠ABE．∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，∴△AEB≌△AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）．∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF ＝30°，∴CF ＝1008，AF ＝，∴四边形ABCD 的面积＝2S △ACF ＝2×CF ×AF ＝88144．故答案为：88144．16．解：当圆心O 在弦AC 与AB 之间时，如图（1）所示，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，连接OA ，由垂径定理得到：D 为AB 中点，E 为AC 中点，∴AE ＝AC ＝cm ，AD ＝AB ＝cm ，∴cos ∠CAO ＝，cos ∠BAO ＝＝， ∴∠CAO ＝45°，∠BAO ＝30°，此时∠BAC ＝∠CAO +∠BAO ＝45°+30°＝75°；当圆心在弦AC 与AB 一侧时，如图（2）所示，同理得：∠BAC ＝∠CAO ﹣∠BAO ＝45°﹣30°＝15°，综上，∠BAC ＝15°或75°．故答案为：15°或75°．17．解：作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，交CD 于点P ，则PA +PB 最小， 连接OA ′，AA ′．∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，又∵OA＝OA′＝3，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．故答案为：3．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠P＝30°，∴∠POA＝60°，∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°，（2）如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°且∠B＝30°，∴BC＝AC，设OA＝OB＝OC＝x，在Rt△AOP中，∠P＝30°，∴PO＝2OA，∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2．又在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．19．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴＝＝，∵FC＝1，∴EC＝2，∵OD＝AC＝2，∴AC＝4，∴AE＝EC＝2，∴AB＝BC，∵AB＝AC＝4，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∴的长：＝．20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．21．解：如图所示：连接OC，∵OA＝AE＝0.5m，∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，∴BC＝＝＝3.2＞3m ∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．22．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影23．解：（1）设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝2，∴CE＝ED＝，∴OC＝EC÷os30°＝2，∴AB＝2OC＝4．（2）连接BC，OD，∵∠CBO＝∠BOD＝60°，∴BC∥OD，∴S△BCD ＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝π，阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．24．（1）证明：∵AH＝AC，AF平分线∠CAH∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，∴∠HAF+∠ACH＝90°∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，∵E为的中点，∴，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠HAF＝∠E BD，∴BE∥AF；（2）解：连接OH、CD．∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AH＝AC＝6∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB∴△EBH∽△ECB，∴，EB＝2EH，由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，即（2EH）2+EH2＝42，∴EH＝．25．证明：（1）∵AC平分∠BCD∴∠ACB＝∠ACD，∵AE∥BC∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD∴AE＝CE，且AE＝EF∴AE＝CE＝EF∴△CAF是直角三角形∴∠CAF＝90°∴AF是⊙O的切线（2）连接AD，∵AC是直径∴∠ABC＝90°＝∠ADC∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD＝12，BC＝CD在Rt△AED中，DE＝＝5∵AE＝CE＝EF＝13∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，∵AE∥BC∴＝∴EG＝9∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(1)一、知识梳理（一）点、直线与圆的位置关系：（可用什么方法判断？） 1．2．已知圆O 的半径为8cm ，若圆心O 到直线l 的距离为8cm ，那么直线l 和圆O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相离（二）圆心角、弧、弦之间的关系 1．下列说法中，正确的是( )A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等 2．（三）圆周角定理及其推理1．如图，若AB 是⊙O 的直径，AB=10cm ，∠CAB=30°，则BC= cm 。

人教版九年级数学上册第二十四章圆综合压轴题练习1．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点O作OF⊥BC，交AC于点E，连接AF，且AF是⊙O的切线．（1）求证：AF＝EF．（2）若⊙O的半径为5，AB＝，求AF的长．3．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF ⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．5．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝10．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，求线段BP的长．6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．7．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O 为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．若AD ＝2，CD＝3，求GF的长．10．如图，已知点A、C、D在⊙O上，⊙O的半径为2，CD为⊙O的直径，直线AB∥CD 且∠ADC＝60°，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AF，点D的对应点为点F，且点F在射线AB上，连接FC；（1）求线段AF的长；（2）若点E是上的一点，连接EF，DE，过点F作FH⊥DE于H，延长FH交⊙O 于G，若EF＝2，求FG的长．11．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．12．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．14．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．15．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BC＝10，AE＝12时，求AM的长度．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB 延长线于点D，E为CD上一点，且BE＝DE．（1）证明：BE为⊙O的切线；（2）若AM＝8，AB＝8，求BE的长．参考答案1．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，在Rt△P AO中，OA＝AP＝，∴⊙O的半径为．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点O作OF⊥BC，交AC于点E，连接AF，且AF是⊙O的切线．（1）求证：AF＝EF．（2）若⊙O的半径为5，AB＝，求AF的长．【解答】解：（1）如图，连接OA，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAC+∠F AC＝90°，∵∠FEA＝∠OEC，OF⊥BC，∴∠OEC+∠OCE＝90°，∵∠OCE＝∠OAC，∴∠F AC＝∠FEA，∴AF＝EF；（2）∵⊙O的半径为5，∴BC＝10，在Rt△ABC中，AB＝，根据勾股定理，得AC＝＝3，∵∠ECO＝∠BCA，∠EOC＝∠CAB＝90°，∴△EOC∽△BAC，∴＝，即＝，解得OE＝，由（1）可知：AF＝EF，设AF＝EF＝x，∴OF＝EF+OE＝x+，在Rt△AOF中，根据勾股定理，得AF2+OA2＝OF2，即x2+52＝（x+）2，解得x＝．答：AF的长为．3．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF ⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，∴OB＝AB＝2，∴的长＝＝π．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9．5．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝10．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，求线段BP的长．【解答】（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝10，OB＝OP＝6，由勾股定理，得：AB＝8，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，∵∠OPD＝∠CP A，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝8，AP＝OA﹣OP＝4，∴PC＝＝4，∴PD＝＝，∴BP＝2PD＝．6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵点E是△ABC的内心，∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°，∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度数为30°；（2）证明：如图，连接BE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2＝∠6，∴∠1＝∠6，∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE；（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴＝＝，∴BF＝3，CF＝2，∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，∴△BDF∽△ACF，∴＝＝＝2，＝，∴DF＝BD，DF•AF＝BF•CF＝6，∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴＝，∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（BD）2，解得BD＝2，∴DE＝BD＝2．答：DE的长为2．7．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．【解答】（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．∵AB⊥DG，AB是直径，∴＝，DE＝EG，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE．（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，∴∠FBO＝90°﹣2x，∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°+x，∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB∴BF＝BO＝OA，∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴＝＝，∴AC＝2FR＝2FC，∴tan∠F AR＝tan∠F AC＝，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，则t2+4t2＝4，∵t＞0，∴t＝，∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2＝，∵m＞0，∴m＝，∴AC＝2m＝．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O 为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即（R+2）2＝（2）2+R2，解得：R＝4，即⊙O的半径是4．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．若AD ＝2，CD＝3，求GF的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AE．∵∠BCE＝90°，∴∠BAE＝90°．又∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°．∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG＝∠AEB．∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG＝BG．在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，∴x＝，∴FG＝．10．如图，已知点A、C、D在⊙O上，⊙O的半径为2，CD为⊙O的直径，直线AB∥CD 且∠ADC＝60°，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AF，点D的对应点为点F，且点F在射线AB上，连接FC；（1）求线段AF的长；（2）若点E是上的一点，连接EF，DE，过点F作FH⊥DE于H，延长FH交⊙O 于G，若EF＝2，求FG的长．【解答】解：（1）设⊙O交AB于T，连接OT，OA．∵OA＝OD，∠ADO＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，AD＝OA，∵AB∥CD，∴∠OAT＝∠AOD＝60°，∵OA＝OT，∴△AOT是等边三角形，∴AT＝OA＝AD，∵AD＝AF，∴点F与T重合，∴AT＝AD＝OA＝2．（2）连接OE，EG，过点O作OK⊥EF于K．∵OK⊥EF，∴EK＝KF＝，∴OK＝＝＝，∴KO＝KE＝KF，∴∠EOF＝90°，∴∠EGF＝∠EOF＝45°，∵DE⊥FG，∴∠EGH＝90°，∴HE＝HG，∵∠DOF＝∠AOD+∠AOF＝60°+60°＝120°，∴∠DEF＝∠DOF＝60°，在Rt△EFH中，EH＝EF•cos60°＝，FH＝EF•sin60°＝，∵HG＝HE＝，∴FG＝FH+HG＝+．11．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB＝OA，∴∠OBD＝∠ODB，∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠CDA+∠ODA＝∠ODC＝90°．∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CBD＝30°，∠OBD＝∠ODB，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°，∴∠C＝30°．∵∠ODC＝90°．∴OD＝OB＝OC，∴OB＝BC，∵BC＝3，∴OB＝1，∴⊙O半径为1．12．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，连接OD，过点C作CF⊥AB于点F，∵，∴∠DAB＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，设∠ABC＝α，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，∵∠CAD＝∠CBA＝α，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+α，∴，∴α＝30°，∴CF＝，∵，∴OD＝CF，∵，∴AD＝BD，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP⊥AB，∴CF∥OD∴四边形ODCF是矩形，∴∠ODC＝90°，∴直线l是⊙O的切线；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于点G，由（1）知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，∴∠ADC＝∠EAB＝45°，则△ACD∽△BEA，∴，∴AE＝CD，∵∠DAB＝45°、∠ABC＝30°，∴BE＝2EG＝2×AE＝AE＝CD＝2CD，∴．13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．14．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．15．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【解答】解：（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点M，连接MD，如图，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠M＝∠BAD，∵∠EAD＝∠HAD．∴∠M＝∠EAD，∵AM为直径，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝90°，∴∠EAD+∠MAD＝90°，即∠MAE＝90°，∴AM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）∵∠EAD＝∠HAD，DH⊥AH，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AHD≌△AED（AAS）∴DE＝DH，AH＝AE，设DE＝x，AH＝y，则DH＝x，AE＝y，∵∠EPD＝∠HP A，∠PED＝∠PHA＝90°，∴Rt△PED∽Rt△PHA，∴＝＝，即＝＝，∴解得x＝，y＝，即DE的长为，AH＝，设圆的半径为r，则OH＝r﹣，在Rt△OAH中，（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．答：⊙O的半轻和DE的长分别为：，．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BC＝10，AE＝12时，求AM的长度．【解答】（1）证明：连接OM．∵OB＝OM，∴∠1＝∠3，又BM平分∠ABC交AE于点M，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OM∥BE．∵AB＝AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE与⊙O相切；（2）∵AB＝AC，AE是BC边上的高，∴BE＝BC＝5，∵当BC＝10，AE＝12，∴AB＝＝＝13，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴＝＝，∴＝＝，解得：AM＝．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB 延长线于点D，E为CD上一点，且BE＝DE．（1）证明：BE为⊙O的切线；（2）若AM＝8，AB＝8，求BE的长．【解答】（1）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∵AC＝BC，BE＝DE，∴∠A＝∠ABC，∠D＝∠DBE，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°＝90°，∴CB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；（2）解：连接BM，∵BC为⊙O的直径，∴BM⊥AC，∵AM＝8，AB＝8，∴BM＝＝16，∵AC＝BC，∴CM＝BC﹣AM＝BC﹣8，∵BC2＝BM2+CM2，∴BC2＝162+（BC﹣8）2，∴BC＝20，∴AC＝BC＝20，∵BM⊥AC，AC⊥CD，∴BM∥CD，∴∠MBC＝∠BCE，∵∠BMC＝∠CBM＝90°，∴△BMC∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝15．。

第二十四章：圆压轴大题训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB＝6，求弧AD的长．2．如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D 作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．3．如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，过⊙O外一点P作PO⊥AB，垂足为点C，且交⊙O于点N，PO的延长线交⊙O于点M，连接BM、AD、AP．（1）求证：PM∥AD；（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的半径．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．5．已知⊙O经过△ABC的三个顶点，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3，圆的半径为7，求腰长AB．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）连接OA、OB，则∠AOB＝．（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．7．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．8．证明：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，连接OD并延长，交BC延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若EC：CF＝3：2，⊙O的半径为6，求DF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于点C，且∠BCM＝34°，求∠A的度数．11．如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．（1）求证：△ADB是等腰三角形；（2）若BC＝，则AD的长为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝30°，求∠D的度数．13．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x 轴于点B、C．解答下列问题：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系；（2）将⊙A向左平移个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，并画出⊙A′．此时点A′的坐标为．（3）求BC的长．14．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，与AB交于点G，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠EDG＝120°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．15．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CD E＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．参考答案1．证明：（1）连接AE∵AB是⊙O直径∴∠AEB＝90°（即AE⊥BC）∵AB＝AC∴BE＝CE（2）∵∠BAC＝54°，AB＝AC∴∠ABC＝63°∵BF是⊙O切线∴∠ABF＝90°∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝27°（3）连接OD∵OA＝OD∠BAC＝54°∴∠AOD＝72°∵AB＝6∴OA＝3∴的长＝．2．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AC⊥BD，∵AB＝AD，∴BF＝DF，∵DC∥AB，∴∠CDF＝∠ABF，在△CFD和△AFB中，∴△CFD≌△AFB（ASA），∴CF＝AF，∴四边形ABCD为菱形；（2）解：∵BF＝2，∴BD＝4，连接BE，则∠AEB＝90°，设菱形的边长为2r，则DE＝AD﹣AE＝2r﹣7，∵BD2﹣DE2＝AB2﹣AE2，即42﹣（2r﹣7）2＝（2r）2﹣72解得r＝4或r＝﹣（舍去），∴BE＝＝＝，∴菱形ABCD的面积为：AD•BE＝8×＝8．3．（1）证明∵B D是直径，∴∠DAB＝90°，∵PO⊥AB，∴∠DAB＝∠MCB＝90°，∴PM∥AD；（2）证明：如图1，连接OA，∵OB＝OM，∴∠M＝∠OB M，∴∠BON＝2∠M，∵∠BAP＝2∠M，∴∠BON＝∠BAP，∵PO⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴∠AON+∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BON＝∠AON，∴∠BAP＝∠AON，∴∠BAP+∠OAC＝90°，∴∠OAP＝90°，∵OA是半径，∴PA是⊙O的切线；（3）解：如图2，连接BN，则∠MBN＝90°．∵tan∠M＝，∴，设BC＝x，CM＝2x，∵MN是⊙O直径，NM⊥AB，∴∠MBN＝∠BCN＝∠BCM＝90°，∴∠NBC＝∠M＝90°﹣∠BNC，∴△MBC∽△BNC，∴，∴BC2＝NC•MC，∴，∴，∴，∴，∵O是BD的中点，C是AB的中点，AD＝6，∴OC＝，解得：x＝4，∴MO＝x＝×4＝5，∴⊙O的半径为5．4．证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB＝12，AD＝6，∴sin B＝＝＝，∴∠B＝60°，∴∠BOD＝60°，＝＝6π．∴S扇形BOD5．解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OA，OB，∵OD＝3cm，OB＝7cm，∴AD＝10cm，∴BD＝＝2cm，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AB＝＝2cm；如图二，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图一解法一样，只是AD＝7﹣3＝4cm，∴AB＝＝2cm，综上可得腰长AB＝2cm或2cm．6．解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，∴O为△ACB的内心，∴∠OBA＝∠ABC，∠OAB＝∠CAB，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝×90°＝45°，∴∠AOB＝180°﹣∠45°＝135°，故答案为：135°；（2）连接EO，FO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，又∵∠C＝90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO＝FO，∴矩形OECF是正方形，设EO＝x，则EC＝CF＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+6）2+（x+4）2＝102，解得：x＝2，即⊙O的半径r＝2．7．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．8．证明：①如图（1），当点O在∠BAC的一边上时，∵OA＝OC，∴∠A＝∠C，∵∠BOC＝∠A+∠C，∴∠BAC＝∠BOC；②如图（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则∠D＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD，∵∠BOC＝∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），∴∠BOC＝2∠A，即∠BAC＝∠BOC．③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则∠E＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵∠BOC＝∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BOC＝2∠A，即∠BAC＝∠BOC．9．解：（1）如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°∴△BDC是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠BDE＝∠DBE，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠ABC＝90°，∴∠OBD+∠DBE＝90°，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵EC：CF＝3：2，设EC＝3a，CF＝2a，则DE＝3a，∵∠EDF＝90°，∴ED2+DF2＝EF2，得DF＝4a，BF＝8a，∵⊙O的直径为6，OB2+BF2＝OF2，36+64a2＝（6+4a）2，解得a＝1，∴DF＝4．10．解：连接OC，∵MN切⊙O于点C，∴OC⊥MN，∴∠OCM＝90°，∵∠BCM＝34°，∴∠OCB＝90°﹣∠BCM＝56°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝56°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝34°．11．（1）证明：连接OD，∵∠DAC＝30°，∴∠ADO＝∠DAC＝30°，∠DOC＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，即∠ODB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DAC＝∠B，∴DA＝DB，即△ADB是等腰三角形．（2）解：连接DC，∵∠DAC＝∠B＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形，∵，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∴BC＝DC＝OC＝，∴AD＝，故答案为：312．解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝30°，∴∠DOB＝2∠M＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∵CD⊥AB，∴＝30°．13．解：（1）坐标系如图所示，（2）⊙A向左平移3个单位长度与y轴首次相切，此时点A′坐标（2，1）．故答案分别为3，（2，1）．（3）连接AC，过点A作AD⊥BC于点D．则BC＝2DC，由A（5，1）可得AD＝1，又∵AC＝2，∴在Rt△ADC中，DC＝∴BC＝2．14．解：（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠EDG＝120°，∴∠BAC＝60°，∵OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．15．解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．。