江苏南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试(数学)[1]

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = ▲ . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = ▲ .3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥ab ,则实数x = ▲ . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 ▲ .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = ▲ .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥ABCD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 ▲ .10.已知1()21xf x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞ 上的奇函数, 则()f x 的值域为 ▲ .11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = ▲ .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 ▲ .第5题第7题13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲.14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:∥PD面AEC ； (2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t .(1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?CBD PE 第16题第17题18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =. (1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足*1(0,)a aa aN =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；第18题(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由． 南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，O 的半径OB 垂直于直径AC ，D 为AO 上一点，BD 的延长线交O 于点E ，过E 点的圆的切线交CA 的延长线于P .求证：2PD PA PC =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被C 截得的弦AB 的长度.D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x y z 、、111()x y z ++≤.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A BC P O · E D22．（本小题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BCC D 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.23．（本小题满分10分）已知整数n ≥4,集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ⋅⋅⋅.(1)当5n =时,求集合3512,,,C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和.(2)设i m 为i A 中的最小元素,设n P =312nC m m m ++⋅⋅⋅+,试求n P .南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 2 3. －4 4.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间) 10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分DCB 11第22题sin(2)6x π=- ……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分(2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分 故所求的值域为1[2-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O = ,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD面AEC …………………………………………………7分(2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O = ,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值 为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分 因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1, 从而得(P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-, 所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r =……………………………………………………8分又圆心(0,－1)到直线BD 的距离为d =,所以直线BD 被圆C 截得的弦长为=……………………………………………………………………………………10分(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上, 解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分 19．解:(1)函数()xf x =是“(ba ,)型函数”…………………………………………………………2分因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分(2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =, ① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++ ,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2m g g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分 ③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2m g g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+- =224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得21m ≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是22m ≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分又当n=1时,120a pa -=,解得2aa p=,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分 (2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p+=-,解得13p =-…………6分此时1123(2),3(2)k kk k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p+=,此时无解………………………………9分[3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分 综上所述,13p =-,192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分 ②[1]当13p =-时,9(21)k k S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2ka <-,因为404033(1())2k>-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分数学附加题部分21．A. 证明：连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE ，所以∠OBE=∠OEB ，因为OB⊥AC 于点O ，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE ，PD=PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2=PA·PC， 故PD 2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分B. 易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y y y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……………8分 代入20x y ''+-=中得12042yx y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=…………………10分 C. 解：C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24c o s 4s i n ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得22440x y x y +--=………………………………5分其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=, ∴圆心C到直线l的距离d ==,∴弦长26AB ==……………………………10分 D.证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++……………………………………5分则111x y z≥++,即111()x y z ++≤10分 22. 解:(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -,设(0CP a a =≤≤ ,则(2,2,0),(2CQ P a Q =-,1(2,2)B Q =-,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥,∴110BQ D P ⋅= ，∴240a -+=，解得1a =……………………………4分 ∴PC=1,CQ=1,即P Q 、分别为,BC CD 中点…………………………………………………………5分 (2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c = ，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅= ，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =- ………………………………………………8分∵(0,0,2)k =- 为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>= ,而二面角为钝角,故余弦值为13-……10分 23.（1）解：当5n =时，含元素1的子集有246C =个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,于是所求元素之和为24(12345)61590C ++++⨯=⨯=……………………………………………5分（2）证明:不难得到12,i i m n m Z ≤≤-∈ ，并且以1为最小元素的子集有21n C -个，以2为最小元素的子集有22n C -个，以3为最小元素的子集有23n C -，…，以2n -为最小元素的子集有22C 个,则32222121232123(2)nn n n n C P m m m C C C n C ---=+++=⨯++++- ………………………………8分2222231(2)(3)(4)n n n C n C n C C -=-+-+-++ 2222222341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++2322223341(3)()(4)n C n C C n C C -=+-++-++ 23222441(3)(4)n C n C n C C -=+-+-++2332224441(4)()n C C n C C C -=++-+++ 23322451(4)n C C n C C -=++-++4333445n C C C C =++++ 41n C +=……………………………………………………………………10分。

南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. U A B ðB. U A B UðC. U B A ⋂ðD. U B A U ð2. 复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A.14B.12C.D. 13. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-4. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ） A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5. 关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法： ①()f x 的最大值为3②()f x 图像可由3sin y x =的图像平移得到 ③()f x 的图像上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图像关于直线π3x =对称 若有且仅有一个说法是错误，则π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） AB. 32-C.32D.6. 设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A.B.C.D.7. 在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ）A. 12aB. 12πaC. 24aD. 24πa8. 用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()e xxf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( ) A.22e B.1eC.ln 22D. ln2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( ) A. y x > B. 1x y +> C. 14xy <D.<10. 有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）的的.A. ()1213P A A =B. ()124|5P A A = C. ()1279P A A +=D. ()1012P A =11. 已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ） A. 121y y = B. 1323x x x +=C. AF DF =D. ABC 面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为______.13. 设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为______． 14. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. ABC 中，()sin sin B A A C -+=． （1）求B 的大小；（2）延长BC 至点M ，使得2BC CM =．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小． 16. 如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．（1）若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ；在（2）若二面角P QD C --，求BQ 的长． 17. 已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值． 附：若()2~,Z Nμσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =， （1）求C 的方程；（2）B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.19. 已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<． （1）若2a =，证明：()0f x >； （2）若()0f x >，求a 的取值范围； （3）设集合()1π{|cos,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2m Q x m x m =<<，记m P Q 中元素个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．的1. 已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. U A B ðB. U A B UðC. U B A ⋂ðD. U B A U ð【答案】A 【解析】【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A 中，不在集合B 中，所以所求集合为U A B ð. 故选：A2. 复数z 满足()21i 1i z -=+，（i 为虚数单位），则z =（ ）A.14B.12C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算求出复数z ，再求模长即可求解. 【详解】由已知得：z ()()221i i 1i1i 11i 2i 2i 221i +++====-+---，所以，||z ==故选：C ．3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】把等比数列{}n a 各项用基本量1a 和q 表示，根据已知条件列方程即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3215S a a =+，得：123215a a a a a ++=+， 即：23114a a a q ==，所以，24q =，又54a =，所以，4222111()44a q a q a ==⨯=，所以，114a =. 故选：A.4. 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ） A. 2倍 B. 4倍C. 6倍D. 8倍【答案】B 【解析】【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.【详解】设火星的公转周期为1T ，长半轴长为1a ，火星的公转周期为2T ，长半轴长为2a ，则，128T T =，且32113222T T ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②①②得： 311222(8T a T a ==， 所以，124a a =，即：124a a =. 故选：B ．5. 关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法： ①()f x 的最大值为3②()f x 的图像可由3sin y x =的图像平移得到 ③()f x 的图像上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图像关于直线π3x =对称 若有且仅有一个说法是错误的，则π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. B. 32-C.32D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【详解】说法②可得1ω=，说法③可得π22T =，则2ππT ω==，则2ω=，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意3A =，1ω=，ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0k =，π6ϕ=，即()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 说法①③④成立时，由题意3A =，2ω=，2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ， 20,62k ππϕπ⎛⎫=-∉ ⎪⎝⎭，故不合题意． 故选：D ．6. 设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x 轴切于点A ，直线0x +=交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据圆的弦长公式求出线段BC 的长度，再求出直线0x +=的倾斜角，即可求得OA与BC的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意()1,0A ，圆心()1,2M ，()1,2M 到直线0x -+=距离为12，所以BC ==直线0x +=π6，则OA 与BC 的的夹角为π6，所以cos ,1OA BC OA BC OA BC ⋅===故选：D ．7. 在棱长为()20a a >的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱AB ，11D C 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且0PM PN ⋅=，则点P 的轨迹长度为（ ） A. 12a B. 12πaC. 24aD. 24πa【答案】B 【解析】【分析】根据条件得到P 点轨迹为以MN 为直径的球，进而得出点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，即可求出结果.【详解】因为0PM PN ⋅=，故P 点轨迹为以MN 为直径的球，如图，易知MN 中点即为正方体中心O ，球心在每个面上的射影为面的中心，设O 在底面ABCD 上的射影为1O ，又正方体的棱长为2a ，所以MN =， 易知1OO a =，1O M a =，又动点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹是六个半径为a 的圆，轨迹长度为6212a a ⨯π=π，故选：B ．8. 用{}min ,x y 表示x ，y 中的最小数．已知函数()ex xf x =，则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为( ) A.22e B.1eC.ln 22D. ln2【答案】C 【解析】【分析】利用导数研究()e xxf x =的单调性，作出其图象，根据图象平移作出()ln 2y f x =+的图象，数形结合即可得到答案． 【详解】∵()e x x f x =，∴()1e xxf x ='-， 根据导数易知()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减; 由题意令()()ln 2f x f x =+，即ln 2ln 2e ex x x x ++=，解得ln 2x =； 作出图象：则()(){}min ,ln 2f x f x +的最大值为两函数图象交点处函数值，为ln 22． 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则( ) A. y x >B. 1x y +>C. 14xy <D.<【答案】ACD 【解析】【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】∵123x =，∴12log 3x =，同理12log 4y =， ∵12log y x =在0x >时递增，故y x >，故A 正确； ∵12log 121x y +==，∴B 错误；∵0x >，0y >，∴2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，而x y <，故14xy <，∴C 正确；∴212x y +=++=+<<，∴D 正确．故选：ACD ．10. 有n （n *∈N ，10n ≥）个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件i A （1i =，2，3，…，n ），则（ ）A. ()1213P A A = B. ()124|5P A A = C. ()1279P A A +=D. ()1012P A =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由概率的公式即可判断AC ，由条件概率的公式即可判断B ，由()n P A 与()1n P A -的关系，即可得到()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，从而判断D 【详解】对A ，()12224339P A A =⨯=，所以A 错误； 对B ，()22211533339P A =⨯+⨯=，故()()()121224|5P A A P A A P A ==，所以B 正确； 对C ，()()()()12121225473999P A A P A P A P A A +=+-=+-=，所以C 正确；对D ，由题意：()()()1121133n n n P A P A P A --⎡⎤=+-⎣⎦，所以()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦， ()123P A =，()112112326P A -=-=，所以()11111126323n nn P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()11123n n P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 则()101011123P A ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以D 错误． 故选：BC ．11. 已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过F 的直线1l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y ，E 在B 处的切线为2l ，过A 作与2l 平行的直线3l ，交E 于另一点()33,C x y ，记3l 与y 轴的交点为D ，则（ ） A. 121y y = B. 1323x x x +=C. AF DF =D. ABC 面积的最小值为16【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线1l 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出121y y =；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到1322x x x +=；C 选项，求出()10,2D y +，11DF y =+，结合焦半径公式求出11AF y =+，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到2ABC ABM S S = ，表达出ABM S △，利用基本不等式求出最小值，从而得到ABC 面积最小值. 【详解】A 选项，由题意得()0,1F ，准线方程为1y =-， 直线1l 的斜率存在，故设直线1l 的方程为1y kx =+， 联立24x y =，得2440x k --=，124x x =-，故2212121116y y x x ==，A 正确； B 选项，12y x '=，直线2l 的斜率为212x ，故直线3l 的方程为()2112x y y x x -=-，即2122x y x y =++，联立24x y =，得()2212220x x x y --+=，故1322x x x +=， 所以B 错误；C 选项，由直线3l 的方程()2112x y y x x -=-，令0x =得()2112xy x y =-+， 又124x x =-，所以12y y =+，故()10,2D y +，故11DF y =+，又由焦半径公式得11AF y =+，所以C 正确； D 选项，不妨设12x x <，过B 向3l 作垂线交3l 于M ，根据B 选项知，1322x x x +=， 故2ABC ABM S S = ， 根据直线3l 的方程()2112x y y x x -=-， 当2x x =时，()22221222111122222x x x x x y x x y y y =-+=+-=++， 故2221,22x M x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 故222222221211212111614222244444x x x x x BM y y x x x ⎛⎫=++-=+-=++=+ ⎪⎝⎭，故()2212111111114144248ABMS x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3311141888x x ⎛⎫⎛⎫=+≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当114x x =，即12x =时，等号成立， 故ABC 的面积最小值为16，D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为______.【答案】15 【解析】【分析】利用二项式的展开式通项公式求解.【详解】展开式的通项公式为66316621C (1)C kk k k k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630k -=，解得2k =， 所以常数项为236C 15T ==， 故答案为：15.13. 设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由直线EF 与渐近线方程联立求出E 的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率．【详解】直线EF 与渐近线方程联立得(),,b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2E a x c =，E ab y c =，∴EF 中点M 的坐标为22,22a c ab cc ⎛⎫+⎪⎝⎭， 又M 点在双曲线上，代入其标准方程，得()2222222144c a c a a c+-=， 化简得222c a =，∴22e =，e =．的． 14. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin sin 2αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则tan tan αβ+=______． 【答案】83##223【解析】【分析】变形后得到sin cos sin cos ααββ+=+，利用辅助角公式得到π2αβ+=，得到1sin cos 2αα-=-，两边平方后得到3sin cos 8αα=，利用同角三角函数关系求出18tan tan sin cos 3αβαα+==.【详解】由题可知sin sin cos cos αβαβ-=-+，所以sin cos sin cos ααββ+=+，ππ44αβ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3πππ3π,,,244244αβ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又αβ≠，所以πππ44a β+++=，故π2αβ+=， 所以1sin cos 2sin sin αβαα-=--=，两边平方后得221sin 2sin cos cos 4αααα-+=，故3sin cos 8αα=，1sin cos 18tan tan tan tan cos sin sin cos 3αααβαααααα+=+=+==．故答案为：83四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，()sin sin B A A C -=． （1）求B 的大小；（2）延长BC 至点M ，使得2BC CM =．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小． 【答案】（1）π4B =； （2）π12BAC ∠=或5π12．【解析】【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =可得B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【小问1详解】在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =． 因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =． 因为0πB <<，所以π4B =． 【小问2详解】法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①． 在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷=，即12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12． 法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =． 因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CM BM AM=， 所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠，化简得sin BAM ∠=． 因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-， 故π12BAC ∠=或5π12． 16. 如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D ==，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．（1）若3BQ QC =，证明：PQ ∥平面11ABB A ； （2）若二面角P QD C --，求BQ 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】【分析】（1）取1AA 的中点M ，先证明四边形BMPQ 是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得；（2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设CQ CB λ=()01λ≤≤，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点Q 坐标()()4,,013Q t t -≤≤，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解t ；法三：一作二证三求，设()04BQ x x =≤≤，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得. 【小问1详解】证明：取1AA 的中点M ，连接MP ，MB ．在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ， 又点M ，P 分别是棱1A A ，1D D 中点，所以MP AD ∥，且1132A D ADMP +==．在正方形ABCD 中，BC AD ∥，4BC =，又3BQ QC =，所以3BQ =． 从而MP BQ ∥且MP BQ =，所以四边形BMPQ 是平行四边形，所以PQ MB ∥． 又因为MB ⊂平面11ABB A ，PQ ⊄平面11ABB A ，所以PQ ∥平面11ABB A ；【小问2详解】在平面11AA D D 中，作1A O AD ⊥于O ．因为平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，1A O AD ⊥，1A O ⊂平面11AA D D ，的所以1A O ⊥平面ABCD ．在正方形ABCD 中，过O 作AB 的平行线交BC 于点N ，则ON OD ⊥．以{}1,,ON OD OA为正交基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为四边形11AA D D 是等腰梯形，112AD =，4=AD ，所以1AO =，又11AA D D ==，所以14A O =．易得()4,1,0B -，()0,3,0D ，()4,3,0C ，()10,2,4D ，50,,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()4,0,0DC = ，10,,22DP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()0,4,0CB =-．法1：设()()0,4,001CQ CB λλλ==-≤≤ ，所以()4,4,0DQ DC CQ λ=+=-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1202440y z x y λ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取()4,4,1m λ= ， 另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==． 又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得34λ=±（舍负），因此3434CQ =⨯=，1BQ =． 所以当二面角P QDC --时，BQ 的长为1．法2：设()()4,,013Q t t -≤≤，所以()4,3,0DQ t =-．设平面PDQ 的法向量为(),,m x y z = ，由00m DP m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得12024(3)0y z x t y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，取()3,4,1m t =- ，另取平面DCQ 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角P QD C --的平面角为θ，由题意得cos θ==． 又cos cos ,m n m n m nθ⋅===⋅=解得0=t 或6（舍），因此1BQ =． 所以当二面角P QDC --时，BQ 的长为1．法3：在平面11A ADD 中，作PH AD ⊥，垂足为H ．因为平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11 A ADD 平面ABCD AD =，PH AD ⊥，PH ⊂平面11A ADD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又DQ ⊂平面ABCD ，所以PH DQ ⊥． 在平面ABCD 中，作HG DQ ⊥，垂足为G ，连接PG ．因为PH DQ ⊥，HG DQ ⊥，PH HG H = ，PH ，HG ⊂平面PHG ， 所以DQ ⊥平面PHG ，又PG ⊂平面PHG ，所以DQ PG ⊥．因为HG DQ ⊥，PG DQ ⊥，所以PGH ∠是二面角P QD A --的平面角． 在四棱台1111ABCD A B CD -中，四边形11A ADD 是梯形，112AD =，4=AD ，11AA D D ==，点P 是棱1DD 的中点， 所以2PH =，12DH =．设()04BQ x x =≤≤，则4CQ x =-，DQ ==在QHD △中，1114222HG ⨯⨯=，从而HG =．因为二面角P QD C --的平面角与二面角P QD A --的平面角互补，且二面角P QD C --sin PGH ∠=tan 5PGH ∠=．所以在Rt PHG △中，5PHHG==，解得1x =或7x =（舍）．所以当二面角P QD C --时，BQ 的长为1． 17. 已知某种机器的电源电压U （单位：V ）服从正态分布()2220,20N ．其电压通常有3种状态：①不超过200V ；②在200V~240V 之间③超过240V ．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；（2）从该机器生产的零件中随机抽取n （2n ≥）件，记其中恰有2件不合格品的概率为n p ，求n p 取得最大值时n 的值． 附：若()2~,Z Nμσ，取()0.68P Z μσμσ-<<+=，()220.95P Z μσμσ-<<+=．【答案】（1）0.09；（2）22n =. 【解析】【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】记电压“不超过200V”、“在200V~240V 之间”、“超过240V”分别为事件A ，B ，C ，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D ．因为()2~220,20U N ，所以()()()110.682000.1622P Z P A P U μσμσ--<<+-=≤===，()()()2002400.68P B P U P Z μσμσ=<<=-<<+=，()()()110.682400.1622P Z P C P U μσμσ--<<+-=>===．所以()()()()()()()|||P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.160.150.680.050.160.20.09=⨯+⨯+⨯=，所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． 【小问2详解】从该机器生产的零件中随机抽取n 件，设不合格品件数为X ，则()~,0.09X B n ， 所以()2222C 0.910.09n n n p P X -===⋅⋅．由21211222C 0.910.0910.911C 0.910.091n n n n n n p n p n -++-⋅⋅+==⨯>⋅⋅-，解得19129n ≤<． 所以当221n ≤≤时，1n n p p +<； 当22n ≥时，1n n p p +>；所以22p 最大． 因此当22n =时，n p 最大．18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x 轴交于点M ，且AM a AF =， （1）求C 的方程；（2）B 为l 上动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=的（2）①证明见解析；②存在，BM =【解析】【分析】（1）先求出右顶点D 和M 的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为()4y t k x -=-，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意，将韦达定理代入可出答案. 【小问1详解】由右焦点为()1,0F ，得1c =，因为AM a AF =，所以()41a a a -=-，若4a ≥，则()41a a a -=-，得2402a a -+=，无解，若4a <，则()41a a a -=-，得24a =，所以23b =，因此C 的方程22143x y +=.【小问2详解】设()4,B t ，易知过B 且与C 相切的直线斜率存在， 设为()4y t k x -=-，联立()224143y t k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()222348444120k x k t k x t k ++-+--=，由()()()2222Δ64443444120k t k k t k ⎡⎤=--+--=⎣⎦，得2212830k tk t -+-=， 设两条切线BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，则1282123t t k k +==，212312t k k -=. ①设BF 斜率为3k ，则3413t tk ==-， 因为123223tk k k +==，所以BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列， 的②法1：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，所以()10,4P t k -， 同理，得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y t k k =-+， 易得BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-， 联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得()()121222,2N k k t k k +-+， 所以()122122,22NP k k k k =--- ，()121222,22NQ k k k k =---，要使0NP NQ ⋅= ，即()()2212124140k k k k +--=，整理得12121k k k k +=-，而12k k -===，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM = 故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法2：在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，因此()10,4P t k -， 同理可得()20,4Q t k -，所以PQ 的中垂线为()122y tk k=-+，因为BP 中点为()12,2t k -，所以BP 的中垂线为()11122y x t k k =--+-， 联立12112()1(2)2y t k k y x t k k =-+⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得1222N x k k =+， 要使0NP NQ ⋅= ，则2PNQ π∠=，所以2N PQ x =，即1212222k k k k +=-，而12k k -===，所以23112t -+=，解得27t =，t =，因此BM = 故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法3：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒， 从而1tan PBQ ∠=，又1212tan 1k k PBQ k k -∠=+，所以121211k k k k -=+，因为12k k -===，23112t -=+，解得27t =，t =，所以BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法4：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，从而cos BP BQ PBQ BP BQ⋅∠==⋅ ，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -， 同理可得()20,4Q t k -，因此()14,4BP k =-- ，()24,4BQ k =--，所以BP BQ BP BQ ⋅==⋅)121k k +=，即222222121212122241k k k k k k k k ++=+++， 整理得()22212121261k k k k k k ++=+，所以22223326112123t t t ⎛⎫--⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =法5：要使90PNQ ∠=︒，即45PBQ ∠=︒或135︒，在()14y t k x -=-中，令0x =，得14P y t k =-，故()10,4P t k -，同理可得()20,4Q t k -， 由等面积法得1122B PBQ PQ x S BP BQ ⋅==⋅即121144422k k -⋅=⋅()22212121261k k k k k k +=++， 所以22222336131212t t t ⎛⎫--⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422630t t +-=，解得27t =或9-（舍去），因此t =，BM =故存在符合题意的点B ，使得0NP NQ ⋅=，此时BM =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 已知0a >，函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<． （1）若2a =，证明：()0f x >； （2）若()0f x >，求a 的取值范围； （3）设集合()1π{|cos ,N }21nn n k P a a n k k *===∈+∑，对于正整数m ，集合{}|2mQ x m x m =<<，记m P Q 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）(]0,2；（3）m b m =. 【解析】【分析】（1）通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0f x >；（3）利用（1）中结论，()()ππcos 12121k k k k >-++，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos 21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =-<<+∑，可得m b m =【小问1详解】因为2a =，所以()()2sin cos 212sin sin f x x x x x x x =+-=-， π04x <<，2sin 0x >． 设()sin gx x x =-，π04x <<， 则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()()00g x g >=， 因此()0f x >． 【小问2详解】函数()sin cos 1f x ax x ax =+-，π04x <<， 方法一：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤， 因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦， 由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>， 所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin h x f x a x x x ax '==+-，()()()222cos sin cos 2cos cos h x a x x x a ax a a ax a ax a ⎛⎫'=--<-=- ⎪⎝⎭，.因为201a <<，所以存在0,2a θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2cos a a θ=， 则当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220h x a a a ⎛⎫'<-=⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,θ上单调递减， 从而()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,θ上单调递减，因此()()00f f θ<=，不合题意；综上，02a <≤． 方法二：()()sin cos sin f x a x x x ax '=+-，当02a <≤时，注意到π022ax x <≤<，故sin sin2ax x ≤， 因此()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos f x a x x x x a x x x x x '≥+-=-+-⎡⎤⎣⎦， 由（1）得sin 0x x ->，因此()0f x ¢>， 所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()00f x f >=，满足题意； 当2a >时，先证明当0x >时，2sin x x x -<. 令()2sin G x x x x =--，则()12cos G x x x '=--，令()12cos H x x x =--，则()2sin 0H x x '=-+<， 所以()G x '在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G ''<=， 所以()G x 在()0,∞+上单调递减，有()()00G x G <=， 因此当0x >时，2sin x x x -<. 又由（1）得sin 0x x ->，此时()()()()()2222sin cos s 22in 2a x ax ax a a x a x ax a x a f x a x x x ax ⎡⎤⎡⎤⎡⎤<-+=--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦'=+-，则0π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃且022a x a-<，当()00,x x ∈时，()0f x '<。

南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试 数 学 2024.03 注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U 与集合A ，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为第1题图A ．A ∪C UB B ．A ∪C U B C ．B ∪C U AD ．B ∪C U A2．复数z 满足(1－i)2z ＝1＋i ，(i 为虚数单位)，则|z |＝A ．14B ．12C ．22D ．1 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋5a 1，a 5＝4，则a 1＝A ．14B ．－14C ．12D ．－124．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论)中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：T ＝2πGM·a 32，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍5．关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，有下列四个说法： ①f (x )的最大值为3②f (x )的图象可由y ＝3sin x 的图象平移得到③f (x )的图象上相邻两个对称中心间的距离为π2④f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 若有且仅有一个说法是错误的，则f (π2)＝ A ．－332 B ．－32 C ．32 D ．3326．设O 为坐标原点，圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝4与x 轴切于点A ，直线x －3y ＋23＝0圆M 于B ，C 两点，其中B 在第二象限，则→OA ·→BC ＝A ． 154B ．354C ．152D ．352 7．在棱长为2a (a ＞0)的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱AB ，D 1C 1的中点．已知动点P 在该正方体的表面上，且→PM ·→PN ＝0，则点P 的轨迹长度为A ．12aB ．12πaC ．24aD ．24πa8．用min{x ，y }表示x ，y 中的最小数．已知函数f (x )＝x ex ，则min{f (x )，f (x ＋ln2)}的最大值为A ．2e 2B ．1eC ．ln22D ．ln2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知x ，y ∈R ，且12x ＝3，12y ＝4，则A ．y ＞xB ．x ＋y ＞1C ．xy ＜14D ．x ＋y ＜2 10．有n (n ∈N *，n ≥10)个编号分别为1，2，3，…，n 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i 号盒子取出的球是白球”为事件A i (i ＝1，2，3，…，n )，则A ．P (A 1A 2)＝13B ．P (A 1|A 2)＝45C ．P (A 1＋A 2)＝79D ．P (A 10)＝1211．已知抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C (x 3，y 3)，记l 3与y 轴的交点为D ，则A ．y 1y 2＝1B ．x 1＋x 3＝3x 2C ．AF ＝DFD ．△ABC 面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在(x －1x 2)6的展开式中，常数项为 ▲ ． 13．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为E ．若线段EF 的中点在C 上，则C 的离心率为 ▲ ．14．已知α，β∈(0，π2)，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan α＋tan β＝ ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在△ABC 中，sin(B －A )＋2sin A ＝sin C ．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2→BC ＝→CM ．若∠CAM ＝π4，求∠BAC 的大小．16．(本小题满分15分)如图，已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ，A 1A ＝D 1D ＝17，点P 是棱DD 1的中点，点Q 在棱BC 上．(1)若BQ ＝3QC ，证明：PQ ∥平面ABB 1A 1；(2)若二面角P －QD －C 的正弦值为52626，求BQ 的长．第16题图17．(本小题满分15分)已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，202)．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为p n，求p n取得最大值时n的值．附：若Z~N(μ，σ2)，取P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.95．18．(本小题满分17分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，直线l ：x ＝4与x 轴交于点M ，且|AM |＝a |AF |．(1)求C 的方程；(2)B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ．①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，∠PNQ ＝90°？若存在，求|BM |；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分17分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax sin x ＋cos ax －1，0＜x ＜π4． (1)若a ＝2，证明：f (x )＞0；(2)若f (x )＞0，求a 的取值范围；(3)设集合P ＝{a n |a n ＝∑nk ＝1cos π2k (k ＋1)，n ∈N *}，对于正整数m ，集合Q m ＝{x |m ＜x ＜2m }，记P ∩Q m 中元素的个数为b m ，求数列{b m }的通项公式．。

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 . 10.已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 . 11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 .13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答第5题第7题题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB . 17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AO拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =. (1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由. 19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由； (2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最C BDP E 第16题第18题大值；若不存在,请说明理由．南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.32. 23. －44.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分故所求的值域为1[2-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C 的半径为r =8分又圆心(0,－1)到直线BD 的距离为d =所以直线BD 被圆C 截得的弦长为=……………………………………………………………………………………10分(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分 (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分 ②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2mg g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2mg g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得213m -≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分 又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分 (2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得13p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2k >-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分。

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 . 10.已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 .11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 .13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .第5题第7题14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .CA B D P E 第16题在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?第17题如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点A为椭圆222199x y+=的右顶点, 点(1,0)D,点,P B在椭圆上,BP DA=.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过,,P A B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.第18题对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.32. 23. －44.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分故所求的值域为1[,22-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分(2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r =……………………………………………………8分 又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d =所以直线BD 被圆C 截得的弦长为= ……………………………………………………………………………………10分 (3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分 (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2mg g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分 ③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2mg g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得21m ≤≤.综上所述,所求m的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分 20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列 (3)分又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分(2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===, [1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得13p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时,1013(21)k <-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2k >-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分。

南京市2012届高三第一次调研测试数 学2011.09注意事项：1. 本试卷共160分.考试用时120分钟.2. 答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上 .考试结束后，交回答题纸.参考公式： 一组数据的方差S 2- ［（X 1 X ）2 （X 2 X ）2L （X n x ）2］，其中x 为这组数据的平均数.n一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分）101 •计算cos 也。

32. 若复数m _ （m R,i 是虚数单位）为纯虚数，则m=。

1 i3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,则其方差为 ____________ 。

4. 已知等比数列{a n }的各项均为正数.若a 1=3，前三项的和为 21,则a 4+a 5+a 6= ________________ 。

5. 设P 和Q 是两个集合，定义集合P Q {x|x P,且x Q}.若P {1,2,3,4},为 __________ 。

10. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔 A , B ，灯塔B 位于灯塔A 的正 南方向.海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔 A 的北偏西750方向，与A 相距3 2海里的D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西600方向，与B 相距5海里的C处.则两艘船之间的距离为 ___________ 海里.11. _________________________________________________ 如图，在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 ___________________________Q {x|. x 1 2,x R}，则 P Q _____________ 。

6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 I 为 ____________ S — 1I — 1While S <5I 1 S —— II 17. 已知扇形的周长为 8cm 则该扇形面积的最大值为 ____________ cm 2。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.）1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2. 若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3. 现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+5. 若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7. 在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9. 设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 11. 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13. 若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题 （本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17. 如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. 已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21. （选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. （必做题）22. 已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 23. 设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.）1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2. 若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3. 现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+5. 若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7. 在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为.9. 设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 11. 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13. 若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题 （本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17. 如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. 已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21. （选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. （必做题）22. 已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值；（2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 23. 设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B。

江苏省盐城市2011-2012学年度高三年级摸底考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}2,0,2,4,|03P Q x x =-=<<，则P Q = ▲ .2．命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定是 ▲ .3. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = ▲ .4. 已知等差数列{}n a 满足3710a a +=，则该数列的前9项和9S = ▲ .5．4张卡片上分别写有数字0抽取不同的2率为 ▲ .6. 某校举行2011据的平均值为 ▲ .78．已知向量(3,1),(==-a b 数λ的值为 ▲ .9. 在平面上,为 ▲ . 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点， 则其解析式是 ▲ .11.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ， 若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 ▲ .12.与直线3x =相切，且与圆22(1)(1)1x y +++=相内切的半径最小的圆的方程 是 ▲ .13.已知函数2()|6|f x x =-，若0a b <<,且()()f a f b =，则2a b 的最小值是 ▲ .7 98 4 4 4 6 7 9 3第6题第11题14.设等差数列{}n a 满足：公差*d N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =，则d 的所有可能取值之和为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证: AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证:1A C平面1AB D .16．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，BC（Ⅰ）求sin BAD ∠的值； （Ⅱ）求AC 边的长．17．(本小题满分14分)某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内(含3km )的路程统一按起步价7元收费，超过．．3km 以外的路程按2.4元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km 时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm .(Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；(Ⅱ)若一次载客的路程不少于2km ,则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每km 的收益ABCDA 1B 1C 1B 第16题y (F Cy x-=)取得最大值?18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(Ⅰ)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；② 圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()ln(2)f x x =+. (Ⅰ)当0x <时，求()f x 的解析式；(Ⅱ)当m R ∈时，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小；第18题(Ⅲ)求最小的整数(2)m m ≥-，使得存在实数t ，对任意的[,10]x m ∈，都有()2ln |3|f x t x +≤+.20．(本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅，*n N ∈，12a =.(Ⅰ)求2a ，3a 的值；(Ⅱ)设2121n n n b a a +-=-，*n N ∈，证明: {}n b 是等差数列；(Ⅲ)设212n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .江苏省盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过点C作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，D 为垂足，且AD 与圆O 交于点E ，求DAC ∠的度数与线段AE 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A =1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ、2λ及对应的特征向量1α、2α.第21(A)题A· OB E l D CC ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为2(x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，试判断l 与C 的位置关系.D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正数，且22214a b c ++=，试求23a b c ++的最大值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (Ⅱ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，1BC =，1AA =， M 是棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：1A B ⊥AM ；（Ⅱ）求直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值.ABMA 1B 1C 1盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}2 2．,sin 0x R x ∃∈≤．45 5．136. 85 7．1 8．4 9.1:8 10.2sin(2)3y x π=+11．12 12.22125()(1)24x y -++= 13.－16 14. 364 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)证:（Ⅰ）因为ABC ∆是正三角形,而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥……………………………… 3分又BC 是两个相互垂直的平面ABC 与面11BCC B 的交线,且AD ABC ⊂面,所以11AD BCC B ⊥面…………………………………………………………………………………… 7分 （Ⅱ）连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点,连接DE ,由D 是BC 的中点,得DEAC ………11分 又1DE AB D ⊂面,且11A C AB D ⊄面,所以1A C平面1AB D ………14分16．(本小题满分14分) 解:（Ⅰ）因为cos 8B =，所以sin 8B =…………………………………………………………2分 又1cos 4ADC ∠=-,所以sin 4ADC ∠=………………………………………………………… 4分所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠1()48484=--⨯=………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BDB BAD =∠,84=,解得2BD =……………10分故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=22132232()164+-⨯⨯⨯-=,所以4AC =………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分) 解: (Ⅰ) 703()7 2.4(3)3x F x x x <≤⎧=⎨+⨯->⎩7032.40.23x x x <≤⎧=⎨->⎩…………………………3分 设折旧费2z kx =,将(100,0.1)代入,得.20.1100k =,解得5110k =……………………………………5分所以251() 2.3 1.610C x x x =++…………………………………………………………………………7分 (Ⅱ)因为F C y x -=,所以554.711.623102.510.8()310x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩……………………………………11分①当3x >时,由基本不等式,得0.80.79y ≤-=(当且仅当500x =时取等号)……………12分 ②当23x ≤≤时,由y 在[2,3]上单调递减,得max 554.7221.60.750.7921010y =--=-<…………13分答: 该市出租汽车一次载客路程为500km 时,每km 的收益y 取得最大值…………………………14分 18．(本小题满分16分)解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 (3)分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=……………………………………5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t -………………………………………8分 则线段1F R 的中垂线方程为2t x =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t --…………………10分经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………………………………………… 11分解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QRAF ,得(4,0)R t -……………………………………………………………………8分设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D tE tF t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩…………………………………10分 所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………11分 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=……………………………13分该方程可整理为22(x y ++则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以圆C 恒过异于点1F 16分 19．(本小题满分16分)解: (Ⅰ)当0x <时，()f x 3分 (Ⅱ)当0x ≥时,()ln(f x x =)在(,0)-∞上单调递减,所以(1)f m -＞22(3)|1||3|(1)(3)f m m m m m -⇔->-⇔->-2m ⇔>………………6分所以当2m >时, (1)(3)f m f m ->-；当2m =时, (1)(3)f m f m -=-；当2m <时, (1)(3)f m f m -<-……………………………………………………………… 8分(Ⅲ)当x R ∈时,()ln(||2)f x x =+,则由()2ln |3|f x t x +≤+,得2ln(||2)ln(3)x t x ++≤+,即2||2(3)x t x ++≤+对[,10]x m ∈恒成立………………………………………………………12分从而有225777t x x t x x ⎧≤++⎨≥---⎩对[,10]x m ∈恒成立,因为2m ≥-， 所以22min 22max (57)57(77)77t x x m m t x x m m ⎧≤++=++⎨≥---=---⎩………………………………………………………14分因为存在这样的t ,所以227757m m m m ---≤++,即2670m m ++≥…………………… 15分 又2m ≥-,所以适合题意的最小整数1m =-………………………………………………………16分 20．(本小题满分16分) 解: (Ⅰ)因为11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅ (*),且12a =,所以将1n =代入(*)式,得1232a a +=-,故28a =-……1分 将2n =代入(*)式,得2337a a +=,故35a =…………2分 (Ⅱ)在(*)式中,用2n 代换n ,得2122221[2(1)][2(1)]1(1)6n n n n n a a n +++-++-=+-⋅,即221316n n a a n ++=+ ①,再在(*)式中,用21n -代换n ,得22121212[2(1)][2(1)]1(1)(63)n n n n n a a n ---+-++-=+-⋅-, 即212346n n a a n -+=- ②, ①－②,得21213()123n n a a n +--=-,即41n b n =-…………………6分 则由1(4(1)1)(41)4n n b b n n +-=+---=,得{}n b 是等差数列……………………………………… 8分 (Ⅲ)因为12a =,由(Ⅱ)知,21131532123()()()k k k a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-2(411)(421)(4(1)1)k =+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯--=(1)(21)2k k --+ ③,将③代入②,得23(1)(21)646k k k a k --++=-,即22635k a k k =-+-………………………… 10分所以221211(21)2k k c a k --=+-=27452k k -+,2221(2)2k k c a k =+=2435k k -+-, 则212322k k c c k -+=--,所以21234212()()()k k k S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++=3[(21)2-⨯+3(22)2+⨯+3(2)]2k +⋅⋅⋅+⨯+23335[(21)(22)(2)]2222k k k -⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+=--……… 13分所以2222122511()(435)3522k k k S S c k k k k k k -=-=----+-=-+…………………………… 15分故221135(21)25(2)2n k k n k S k k n k ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩223512()45()4n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为数为数奇偶………………………………16分数学附加题部分21．A. 解: 连结OC ，因BC=OB=OC=3,因此060CBO ∠=,由于DCA CBO ∠=∠,所以060DCA ∠=， 又AD DC ⊥，故030DAC ∠=…………………………………………………………………………5分 又因为090ACB ∠=,得030CAB ∠=,那么060EAB ∠=,连接BE,则030ABE ∠=， 于是132AE AB ==…………………………………………………………………………………… 10分 B. 解:设A 的一个特征值为λ,由题意知1214λλ---=0,则(2)(3)0λλ--=,解得12λ=或23λ=………………………………………………………………………………………5分 当λ1=2时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值2的特征向量α1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………8分当λ2=3时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值3的特征向量α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………10分 C. 解：直线l 的直角坐标方程为y x =……3分 曲线C 是圆,圆心为(2,0),半径为r =6分因为圆心到直线l的距离d r ===,所以直线与曲线C 相切……………………………10分 D. 解:根据柯西不等式,得22222222(23)()(123)14a b c a b c ++≤++++=………………………8分所以2314a b c ++≤,即23a b c ++的最大值为14…………………………………………………10分22. 解：(Ⅰ)332454140A C A =，即甲、乙两人同时参加A 5分 (Ⅱ)随机变量ξA 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===,10分23.解：（Ⅰ）因为1C C ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，所以分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B （0，1，0），1A ，A 0，0）,M ，所以1A B =（，1，）,AM =（0，所以1A B ·AM =3+0-3=0，所以1A B ⊥AM ,即1A B ⊥AM ……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知(AB =-，1A A =（0，0），设面11AA B B 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.y ⎧+=⎪=不妨取n =，设直线AM 与平面11AA B B 所成角度为θ,- 11 -则sin |cos ,|||6||||AM nAM n AM n θ⋅=<>==⋅ 所以直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值为610分 (注:其它建系方法与解法,类似给分)。

江苏省盐城中学2012届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =___▲____． 2．设集合11{3{0}3x x A xB x x-=<<=<，则A B =____▲____． 3．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 4．已知等比数列{}n a 的首项为1，若1234,2,a a a ，成等差数列，则数列1{}na 的前5项和为 _▲___ ．5．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是 _▲___．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)2500,3500（元7．铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部分按0.85元/kg 收费，相应收费系统的流程图如上图所示，则①处应填 ▲ ．8．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 ▲ ．9．已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆0．0．0．0．0．第6题第7题22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ▲ ．10．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．11．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得 75=∠BCD ， 60=∠BDC ，30=CD 米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60，则塔高=AB ▲ 米．12．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ▲ ． 13．已知点()1,0A -、()1,0B ，()00,P x y 是直线2y x =+上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P ．记椭圆离心率e 关于0x 的函数为()0e x ，函数()0e x 的最大值是 ▲ ． 14．某同学在研究函数()(1,)y f x x x =∈R ≥的性质，他已经正确地证明了函数()f x 满足：(3)3()f x f x =， 并且当13()1|2|x f x x =--≤≤时，，这样对任意1x ≥，他都可以求()f x 的值了，比如888(8)333121333f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯==--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，3354(54)3273f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，请你根据以上信息，求出集合{|()(99)}M x f x f ==中最小的元素是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,第11题请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知向量m ＝(1＋cosB ，sinB)与向量n =（0，1）的夹角为3π，其中A 、B 、C 为ΔABC 的三个内角．（1）求角B 的大小；（2）若AC ＝23，求ΔABC 周长的最大值．16．(本小题满分14分)在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E-AFMN 的体积．17．(本小题满分14分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试答案听力1-5 CAABA6-10 BCCCB11-15 ACABC16-20 BCABB单项填空21-25CDACD26-30BBADC31-35ACBCD完形填空36-40ABDAC41-45BADAC46-50DBACB51-55ABDBD阅读理解56-60ADBCB61-65BACAB66-70DDBAD任务型阅读71sentenced72Accusations/Change73Ashamed74including75sympathy/pity76forbidden/banned77Delaying78Arguments79knowing80defense作文Safety problems have been bothering people all the time. The whole society are trying to solve them in different ways.As we can see from the drawing above two men are chatting in a boat under a coconut tree without worrying about any danger because they know the boat is on land .Contrary to expectations, a coconut tree is falling down right in the direction of the head of one of them.This drawing mirrors(反映) a common social phenomenon, which has around our social concern. To be safe, some people just try avoiding taking adventures.As is shown in the drawing, the men get the boat out of water to prevent themselves from getting drowned. Actually, potential danger often comes against expections if we don’t take everything into consideration.I don’t think it is wise to take stopgap measures. Instead, we should raise our self-awareness of safety and focus on the prevention. Besides, we must obey all safety rules. Only in this way can we enjoy a safe and happy life.。

2024学年江苏省南京市盐城市高三数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．42．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．985．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π7．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的距离为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．68．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π9．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>10．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x ． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤12．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．236二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2012届高中毕业班第一次模拟试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数(5)(3)z x x i =-+-在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x 的取值范围是A. (,5)-∞B. (3,)+∞C. (3,5)D. (5,)+∞ 2．已知集合{0,1,2}M =，集合N 满足N M ⊆，则集合N 的个数是 A.6 B. 7 C. 8 D. 93．已知函数()lg f x x =的定义域为M ，函数2,231,1x x y x x ⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N ，则M N =A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,)+∞D. (0,1)(2,)+∞ 4．“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的 条件 A ．充分非必要 B.充要 C ．必要非充分 D.非充分必要 5．已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x ∈R,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为( ) A ．1 BC.5 D．7．已知,x y 满足3,2,326,39x y x x y y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则2z x y =-的最大值是( ).A.152 B. 92 C. 94D. 2 8．设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量M ∈a ,都有M λ∈a ,则称M为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是 A.2{(,)|}x y y x ≥B.0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭C.22{(,)|20}x y x y y +-≥D.22{(,)|32120}x y x y +-<二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 必做题（9～13题） 9．2||2||150x x -->的解集是 .10．在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项．．．是 .（用数字作答） 11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生 参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若 将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛 中获奖的人数共有 人.12.离心率23e =的椭圆的两焦点为12,F F , 过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长为13．如果实数,x y 满足等式22(2)1x y -+=,那么31y x +-的取值范围是14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的一切线,D 是切点，割线经过圆心O ，若030=∠EFD ，32=PD ，则=PE三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （I ）求{}n a 的通项n a ； （II ）设52n n a c -=，2n cn b =,求2122232log log log log n T b b b b =++++ 的值。

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合，，则= ▲ . 2．已知复数（是虚数单位），则 ▲ .3．书架上有本数学书，本物理书，从中任意取出本， 则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ . 5．某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中 从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ .9．在中，设分别为角的对边，若，，，则边= ▲ . 10．设是等比数列的前项和，，若 ，则的最小值为 ▲ . 11．如图，在中，，，，则的值为 ▲ .12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 ▲ . 13．设是定义在上的奇函数，且，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式； （2）当时，求的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面.17．(本小题满分14分)如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为. （1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程； （2）若.①求证：； ②求的最大值.第18题图19．(本小题满分16分)已知函数在处的切线方程为. （1）求的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.20．(本小题满分16分)设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式； （2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵的一个特征值为，若曲线在矩阵变换下的方程为，求曲线的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为， 试判断点和圆的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲） 已知正实数满足.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱中，，，，，.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小为，求实数的值.ABDEO第21(A )题图 C·23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为. （1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由图象知，， …………2分又，，所以，得. …………4分所以，将点代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即，又，所以. …………6分所以. …………8分 （2）当时，， …………10分 所以，即. …………14分 16．证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以. ...............4分 又平面，平面，所以平面. ...............6分 （2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面. ...............8分 而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面. ...............12分 又面，所以面面. ...............14分 17．解法一：由条件①，得. ...............2分设，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ...............6分所以点到直线的距离sin 5h PA PAB x =∠===， ...............10分所以当，即时，取得最大值15千米.即选址应满足千米，千米. ...............14分解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. ...............2分则.由条件①，得. ...............4分设，则=化简得，2(17)x y y -+=>， ...............10分 即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆. 则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米.所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可. ...............14分 18．解：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为， ...............2分从而圆的方程为2211(()24x y +±=. …………4分（25=， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………6分同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， …………8分 从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …………10分②设点，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， …………12分同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为. ……………16分19. 解：（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，所以，得. ……………4分 （2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意都成立， 所以，即对任意都成立，从而. ……………6分 又不等式整理可得，令，所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得， ……………8分 当时，，函数在上单调递增，同理，函数在上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，综上所述，实数的取值范围是. ……………10分（3）结论是. ……………11分证明：由题意知函数，所以，易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可. ……12分 因为是函数的两个零点，所以，相减得， 不妨令，则，则，所以，，即证，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分 因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以在上单调递增，所以，综上所述，函数总满足成立. ……………16分 20．解：（1）因为单调递增，所以，，所以，. ……………4分（2）若单调递减，则，，所以，不满足，所以单调递增. ……………6分 则，，所以，即，，所以是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，. ……………10分 （3）构造，其中，. ……………12分 下证数列满足题意.证明：因为，所以数列单调递增，所以，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列单调递增，满足题意. ……………16分 （说明：等差数列的首项任意，公差为正数，同时等比数列的首项为负，公比，这样构造的数列都满足题意.）附加题答案21. A 、解：因为与相切于，所以， …………2分又因为为的直径，所以.又，所以，所以，所以. …………4分 又90ACD AED ∠=∠=︒，，所以.所以，所以5AD ， ………… 6分 又，所以. …………10分 B 、由题意，矩阵的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵有一个特征值为2，，所以. …………4分 所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即， 代入方程，得，即曲线的方程为. ………10分C 、解：点的直角坐标为， …………2分圆的直角坐标方程为， …………6分则点到圆心的距离4d r ==>=所以点在圆外. …………10分 D 、解：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， ………6分又，所以224≤，即…………10分22．解：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，，，， …………2分 （1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为则，所以取，又111111cos ,||||3DB n DB n DB n ⋅<>===所以直线与平面所成角的正弦值为. …………6分 （2），，，124(,,2)11A D λλλ=-++， 设平面的法向量为，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩，所以取. …………8分又平面的一个法向量为，由题意得， 所以，解得或（不合题意，舍去），所以实数的值为. …………10分23.解：（1），，，. ……………4分（2）猜想. ……………5分下用数学归纳法证明之.证明：①当时，由（1）知猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，而，所以得. ……6分 则当时，易知，而当集合从变为时，在的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和个， ……………8分所以213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+， 即.所以当时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出来证明的，同样给分.）。