14级高二数学寒假作业(椭圆)

高二数学理科寒假作业：椭圆高中各科目的学习对同学们提升综合成绩特别重要，大家必定要仔细掌握，小编为大家整理了高二数学理科寒假作业：椭圆，希望同学们学业有成!一、选择题 (本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 )1.椭圆的焦距是 ()A.2B.C.D.2.F1、F2 是定点， F1F2=6 ，动点 M 知足 MF1+MF2=6 ，则点M 的轨迹是 ()A. 椭圆B.直线C.线段D.圆3.方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ()A.B.(0 ， 2)C.(1， +)D.(0 ， 1)4.P 是椭圆上一点，P 到右焦点 F2 的距离为1，则 P 到相应左焦点的准线距离为()A.B.C.D.5.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为 ()A.B.C.D.6.若椭圆的对称轴在座标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为，这个椭圆方程为 ()A.B.第1页/共6页C.D. 以上都不对7.已知 P 是椭圆上一点， F1 和 F2 是焦点，若F1PF2=30，则△PF1F2 的面积为8.椭圆内有一点P(3，2)过点 P 的弦恰巧以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为()A.B.C.D.9.如图，已知椭圆的中心在原点， F 是焦点， A 为极点，准线 l 交 x 轴于 B， P、Q 在椭圆上， PDl 于 D ，QFAO ，椭圆的离心率为 e，则以下结论 (1)(3) 正确的个数是 ()10.直线与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ()A.(0 ， 1)B.(0 ，5)C.D.二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )11.中心在原点，离心率为，且一条准线方程是y=3 的椭圆方程是 .12.过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB ，那么弦 AB 的长 =.13.设 P 是直线上的点，若椭圆以F1(1， 0)F2(2，0) 为两个焦点且过 P 点，则当椭圆的长轴长最短时，P 点坐标为 .14.已知圆为圆上一点，AQ 的垂直均分线交CQ 于 M ，则点第2页/共6页M 的轨迹方程为 .三、解答题 (本大题共 6 小题，共80 分 )15.求中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P(3，-2)的椭圆方程 .(10 分 )16.已知地球运转的轨迹是长半轴长为a，离心率为 e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离 .(10 分)17.已知 A 、B 是椭圆上的两点，F2 是椭圆的右焦点，假如AB 的中点到椭圆左准线距离为，求椭圆方程.(10 分 )18.求经过点 M(1 ，1)以 y 轴为准线，离心率为的椭圆的中心的轨迹方程 .(10 分)19.已知椭圆 =1(a0) 与右焦点F1 对应的准线l ，问可否给定离心率的范围，使椭圆上存在一点P，知足 PF1 是 P 到 l 的距离与 PF2 的比率中项 .(12 分 )20.已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率的等比中项 .(1) 求椭圆方程， (2)能否存在直线l 与椭圆交于不一样的两点 M 、 N，且线段 MN 恰为直线均分 ?若存在，求出直线l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明原因.(14 分 )21.如图， A 村在 B 地正北 cm 处， C 村在 B 地正东 4km 处，已知弧形公路 PQ 上任一点到 B， C 距离之和为 8km ，现要在公路旁建筑一个交电房 M 分别向 A 村、 C 村送电，但 C 村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，第3页/共6页所以向 C 村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使得所用电线最短，变电房M 应建在 A 村的什么方向，并求出M 到 A 村的距离 .(14 分 )参照答案椭圆一、二、 11.12.13.14.三、 15.16.最大距离为a(1+e)，最小距离为a(1-e)17.解：设 AB 的中点为 P，A 、P、B 在左准线上的射影分别为 M 、Q、N，则又.则椭圆方程为18.解：设椭圆中心.而中心到准线的距离为.由椭圆的第二定义得20.解(1)对应准线方程为椭圆中心在原点，则椭圆方程为(2)假定存在直线l，且 l 交椭圆所得的弦MN 被直线均分， l 的斜率存在，设l:y=kx+m.由.∵直线 l 交椭圆于不一样两点M 、 N.设 M代入①得 .存在知足条件的直线l1 的倾斜角注：第 (1)小题还可利用椭圆第4页/共6页的第二定义解决21.解：， M 在以 B， C 为焦点，长轴长为8 的椭圆上，成立如下图的坐标系，则B(-2 ， 0)，C(2， 0)，，求得椭圆方程为，其离心率，右准线为.作 MNl 于 N ，则，由平面几何知识知，当直线MN 经过 A 时，，此时 M 的纵坐标为 ,“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。

高二年级（选修1-1）寒假作业1-椭圆部分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆22221124x y m m +=+-的焦距是（ ）A ．4B ．C ．8D ．与m 有关2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．3D ．23.短轴长等于8，离心率等于35的椭圆的标准方程为（ ） A ．22110064x y +=B ．22110064x y +=或22110064y x += C ．2212516x y +=D ．2212516x y +=或2212516y x += 4.直线(1)1y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有焦点，则m 的取值范围是（ ） A ．9(,)8+∞B ．9[,9)(9,)8+∞C ．9(,9)(9,)8+∞D ．9[,)8+∞5.如果椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23140x y +-=D ．280x y +-=6.椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是（ ）A ．3BC ．D7.设M 为椭圆221259x y +=上的一个点，1F ，2F 为焦点，1260F MF ∠=︒，则△12MF F 的周长和面积分别为（ ）A ．16B ．18C ．16，D ．18，8.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A 1B 1C 1D 19.已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B ，焦距为2，则线段AB 的长是（ ）A ．3B ．3C D ．210.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 11.若椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点得直线的斜率为2，则n m 的值为（ ）A B C D 12.设1F ，2F 分别为椭圆221259x y +=的左右两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，则使得127PF PF ⋅=- 成立的点P 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共40分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅= ，12tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 14.椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一动点，若12F PF ∠钝角，则点P 的横坐标的取值范围是 ．15.若方程22126x y m m+=--表示一个椭圆，则实数m 的取值范围为 ． 16.椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 ． 三、解答题 （本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =1)2P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线y x m =-+，使直线与椭圆交于A 、B 两点，且满足OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18.设椭圆M ：22221(0)y x a b a b +=>>经过点(1P ，其离心率e =．（1）求椭圆M 的方程；（2）直线l ：y m =+交椭圆于A 、B 两点，且△PAB m 的值．高二年级（选修1-1）寒假作业1—椭圆答案一、选择题二、填空题1 14.( 15.()()2,44,6 16.2.5 三、解答题17.解：（1）由题意c e a ==223114a b +=，又222c a b =-，所以1285m x x +=，212445m x x -=，1212()()y y m x m x =--2222212128444()555m m m m x x x x m m --=-++=-+=， 由OA OB ⊥，可知0OA OB ⋅=，得1122(,)(,)0x y x y ⋅=，12120x x y y +=，22444055m m --+=，5m =±，又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0m m ∆=--⨯->，解得m <<m 的值要满足上面条件，所以5m =±．18.解：（1）由已知，得22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩∴2,a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所求椭圆M 的方程为22142y x +=．（2）由22,1,24y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22440x m ++-=，由22)16(4)0m ∆=-->，得m -<<11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴12x x m +=，21244m x x -=，∴12|||AB x x-=== 又P 到AB的距离d =．则11||22ABCS AB d ∆=====428160m m -+=，24m =，2m =±，显然2(±∈-，故2m =±．。

高二数学椭圆一．选择题1．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．4．椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A．B．C．1D．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（）A．+y2=1 B．x2+=1C．+y2=1或x2+=1D．以上均不对6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（±，0）8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3二．填空题（共6小题）10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为_________．11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为_________．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最_________值为_________．13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程_________．14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为_________．15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是_________．三．解答题（共5小题）16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭圆的标准方程．17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程．18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程．19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．21.已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2015•兴国县一模）椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A．点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（2012•香洲区模拟）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得焦点在y轴上的椭圆方程中，x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．解答：解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴，解之得1＜k＜2实数k的取值范围是（1，2）故选：C点评：本题给出标准方程表示焦点在y轴上的椭圆，求参数k的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于基础题．3．（2007•安徽）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选A点评：此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．4．（2006•东城区二模）椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A．B．C．1D．考点：椭圆的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据题意，可得右焦点F（1，0），由点到直线的距离公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，可得右焦点F（1，0），y=x可化为y﹣x=0，则d==，故选B．点评：本题考查椭圆的性质以及点到直线的距离的计算，注意公式的准确记忆．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（）A．+y2=1 B．x2+=1C．+y2=1或x2+=1D．以上均不对考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设经过两点P（，﹣4）和Q（﹣，3），的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n ＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆方程．解答：解：设经过两点P（，﹣4）和Q（﹣，3），的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B得，，解得m=1，n=，∴所求椭圆方程为x2+=1．故选：B．点评：本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得出a、b、c的值，由∠F1PF2=90°得出点P在以F1F2为直径的圆（除F1、F2），且r＜b，得出圆在椭圆内，点P不存在．解答：解：∵椭圆+=1中，a=4，b=2，∴c==2；∴焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）；又∵∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=4上（除F1、F2），又∵r=2＜2=b，∴圆被椭圆内含，点P不存在．点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆的标准方程的应用问题，解题时应灵活利用∠F1PF2=90°，是基础题．7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（±，0）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆方程化为标准方程，再利用c=即可得出．解答：解：椭圆4x2+9y2=1化为，∴a2=，b2=，∴c==∴椭圆的焦点坐标为（±，0）．故选：C．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦点坐标为（0，4）可得k＞0，化椭圆方程为标准式，求出c，再由c=4得答案．解答：解：由2kx2+ky2=1，得，∵椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），∴，，则，．∴，解得．故选：C．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：综合题．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．二．填空题（共6小题）10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设另一焦点为D，则可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得CD，得到答案．解答：解析：设另一焦点为D，∵Rt△ABC中，AB=AC=1，∴BC=∵AC+AD=2a，AC+AB+BC=1+1+=4a，∴a=又∵AC=1，∴AD=．在Rt△ACD中焦距CD==．故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系．11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆方程求得a和b的大小，进而利用椭圆的基本性质，确定最大角的位置，求出∠F1PF2的最大值．解答：解：根据椭圆的方程可知：+=1，∴a=2，b=，c=1，由椭圆的对称性可知，∠F1PF2的最大时，P在短轴端点，此时△F1PF2是正三角形，∴∠F1PF2的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最大值为16．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=8，再由基本不等式，即可求得|PF1|•|PF2|的最大值．解答：解：椭圆+=1的a=4，则|PF1|+|PF2|=2a=8，则|PF1|•|PF2|≤（）2=16，当且仅当|PF1|=|PF2|=4，则|PF1|•|PF2|有最大值，且为16．故答案为：大，16点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程=1．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把两点P1（），P2（0，）代入，能求出结果．解答：解L：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）把两点P1（），P2（0，）代入，得：，解得m=5，n=4，∴椭圆方程为5x2+4y2=1，即=1．故答案为：=1．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为，或．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦距是8，离心率0.8，先求出a=5，c=4，b，由此能求出椭圆的标准方程．解答：解：∵椭圆的焦距是8，离心率0.6，∴，解得a=5，c=4，b2=25﹣16=9，∴椭圆的标准方程为，或．故答案为：，或．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要避免丢解．15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是（3，4），（3，﹣4），（﹣3，4），（﹣3，﹣4）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，根据PF1⊥PF2得=0，与椭圆方程联立解得即可．解答：解：由椭圆+=1，得F1（﹣5，0），F2（5，0）设P（x，y），=0，①即（x+5）（x﹣5）+y2=0因为P在椭圆上，所以+=1，②两式联立可得x=±3，∴P（3，4），P（3，﹣4），P（﹣3，4），P（﹣3，﹣4）故答案为：P（3，4），P（3，﹣4），P（﹣3，4），P（﹣3，﹣4）．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质，向量的应用．三．解答题（共5小题）16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭圆的标准方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（1，2），即可求得椭圆C的方程．解答：解：设椭圆方程为，椭圆的半焦距为c，∵椭圆C的离心率为，∴，∴，①∵椭圆过点（1，2），∴②由①②解得：b2=，a2=49∴椭圆C的方程为．点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，解题的关键是待定系数法．17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程．分析：首先，设椭圆的标准方程为：=1 （a＞b＞0），然后，设出直线与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b 的一个方程，再结合给定的a，c的关系式，求解即可．解答：解：设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是﹣，∴弦的中点的纵坐标是﹣，设椭圆与直线x+y+1=0的两个交点为P（x1，y1），Q（x2，y2）．则有+=1 ①+=1 ②①﹣②，化简得+=0 ③x1+x2=2×（﹣）=﹣，y1+y2=2×（）=﹣，且=﹣1，∴由③得a2=2b2，又由题意2c=，有c=，则可求得c2==b2，a2=，∴椭圆的标准方程为：+=1．点评：本题重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求”的思想．18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为（a＞b＞0），由已知得，由此能求出椭圆方程．解答：解：设椭圆方程为（a＞b＞0），由已知得，解得，b2=1，∴椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．点评：本题考查椭圆的性质和方程，考查运算能力，属于基础题．20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：直接根据焦点的坐标设出椭圆的方程，再根据点的坐标求出结果． 解答： 解：椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），所以：设椭圆的方程为：由于：椭圆经过点（2，）， 则：， 且a 2=b 2+4， 则：，解得：．椭圆方程为：．点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，属于基础题型．21. 以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+。

北京宏志中学2014学年高二数学（理科）寒假作业--椭圆答案一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为() A ．6B ．5C ．4 D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为()A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个． 答案：B3．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则() A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：如图所示设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且1MF ²2MF＝0，则点M 到y 轴的距离为()A.233 B.263 C.33D. 3 解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则1MF ²2MF ＝(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②.将②代入 ①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案：B5．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF ＝DA＋22DF ，则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15解析：设点D (0，b ),则1DF ＝(－c ，－b )，DA＝(－a ，－b )，2DF ＝(c ，－b )，由31DF ＝DA ＋22DF 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D6．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；C 选项中，当k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等．答案：D 二、填空题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．解析：∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∴∠BAO ＝∠FBO . ∴OB OA ＝OF OB. 即OB 2＝OA ²OF ， ∴b 2＝ac . ∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2＋e －1＝0.∴e ＝－1±1＋42＝－1±52.又∵0<e <1， ∴e ＝5－12. 答案：5－128．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2³5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2³5＋5＝15. 答案：159．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝52F B，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n )2F B ＝(c －2，d )．∵1F A ＝52F B，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，m ＋62523＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案： (0，±1) 三、解答题10．设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)． 由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223. (3)证明：法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2记μ＝21＋2k2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k 2(x －μ), 代入椭圆方程并由μ＝21＋2k2得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ3k 2＋22＋k 2，μk32＋k2)．于是直线PB 的斜率k 1＝uk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2²y 2－y 1x 2－x 1²y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .12．已知椭圆G ∶x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2[64k 4m21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2]＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m ＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2双曲线一、选择题1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的()A ．必要但不充分条件B ．充分但不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件．答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 24＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－4y23＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又ba ＝33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 24－3y 24＝1. 答案：A3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2³b 2a ＝2³2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝ca＝ 3.答案：B4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ²2PF的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)、F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，1PA ²2PF ＝(－1－x ，－y )²(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ²2PF 取得最小值－2.答案：A5．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值为()A.14B.13C.23D ．－13解析：由题意可知m －2＝3＋1，解得m ＝6.法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)，F 2(0,2)，联立x 22＋y 26＝1与y 23－x 2＝1组成方程组，解得P (22，322)．所以由两点距离公式计算得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－ 3.又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝13.法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)．F 2(0,2)，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，|F 1F 2|＝4，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，同上由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝13.答案：B6．已知双曲线mx 2－y 2＝1(m >0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B 、C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为()A.12B ．1C ．2D ．3 解析：由题意可得，点A 的坐标为(1m，0)，设直线AB 的方程为y ＝tan 45°(x －1m)，即x ＝y ＋1m，与双曲线方程联立可得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1mmx 2－y 2＝1，则(m －1)y 2＋2my ＝0，解得y ＝0或y ＝2m 1－m .由题意知y ＝2m 1－m 为B 点的纵坐标，且满足2m1－m>0，即0<m <1，根据选项知． 答案：A 二、填空题7．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.答案：28．已知双曲线kx 2－y 2＝1(k >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．解析：双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .∵双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝14，∴双曲线的离心率为 e ＝1k＋11k＝52，渐近线方程为12x ±y ＝0.答案：52 12x ±y ＝0 9．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：5 三、解答题10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0. 解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴e 的取值范围是[52，5]． 12． P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC ＝(x 3，y 3)，OC ＝λOA ＋OB ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝ －4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4 A抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于() A ．1B ．4C ．8 D ．16解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2, 解得a ＝8.答案：C2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是() A ．－1716B ．－1516C.716D.1516解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.答案：B3．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A. 34B ．1C.54D.74解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C4．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切．答案：C5．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于()A ．42B ．8C ．82D ．16解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝144－16＝8 2.答案：C6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B 二、填空题7．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝648．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上， ∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y . 答案：x 2＝±2y 或x 2＝±18y9．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|FA |＋|FB|＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|FA |＋|FB|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7答案：7 三、解答题10．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．解：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .11．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π4，求△POM 的面积．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线， ∴k AM ＝k PM ， 即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224， 即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2， ∴y 1y 2＝4.∴OM ²OP ＝y 214²y 224＋y 1y 2＝5.∵向量OM 与OP 的夹角为π4，∴|OM |²|OP |²cos π4＝5.∴S △POM ＝12|OM |²|OP |²sin π4＝52.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB∥OA ，MA ²AB ＝MB ²BA，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 解：(1)设M (x ，y )由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA ＝(－x ，－1－y )，MB＝(0，－3－y )， AB＝(x ，－2)．再由题意可知(MA ＋MB )²AB＝0，即(－x ，－4－2y )²(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此曲线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 2－2， 所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.1．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（Ⅰ）求12的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．1C 2C x 1C 2C l 2C F 1C ,M N 、l由OM ON ⊥，即，得将①②代入（*）式，得，解得…………………11分 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+…………………………………………………………………………………12分法二：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分 当直线l 斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为由2214(1)x y y k x ⎧⎪+=⎨⎪=-⎩消掉y ，得 2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=， …………8分 0=⋅ON OM (*)02121=+y y x x 043444222=+-++-m m m 21±=m l l l ),(),,(2211y x N y x M于是 2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k-=+ ① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++即2222122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k-=-+=-+++ ② ………………………………10分 由OM ON ⊥，即，得将①、②代入（*）式，得 2222224(1)340141414k k k k k k---==+++，解得2k =±；……11分 所以存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+．………12分2．．(2012北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.0=⋅(*)02121=+y y x x l l又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 3．已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，并满足OA ⊥OB ，求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[规范解答] (1)因为AB 斜率不为0，设直线AB 方程为my ＝x ＋b ， 2分由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b y 2＝2px 消去x ，得y 2－2pmy ＋2pb ＝0. 由Δ＝(－2pm )2－8pb >0， 4分 又∵y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pb ， 6分 又∵OA ⊥OB ， ∴x 1²x 2＋y 1²y 2＝0， ∴y 12²y 224p 2＋y 1²y 2＝0，∴b 2＋2pb ＝0，∴b ＋2p ＝0，∴b ＝－2p . 8分 ∴y 1y 2＝－4p 2，x 1·x 2＝b 2＝4p 2所以A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p 2和－4p 2；10分(2)AB 方程为my ＝x －2p ，所以AB 过定点(2p ，0). 12分。

专题04 椭圆的简单几何性质（背）一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形 标准方程2222=1x y a b + 2222=1y x a b + 范围a x ab y b ≤≤≤≤－，－ a y a b x b ≤≤≤≤－，－ 顶点(),0(0)a b ±±，， (),0(0)b a ±±，， 轴长短轴长＝b 2，长轴长＝2a 焦点(),0c ± (0)c ±， 焦距2c 对称性对称轴是坐标轴，对称中心是_原点_____ 离心率 e=ca 0<e<1二、点00P(x ,)y 与椭圆2222=1x y a b +的位置关系：00P(x ,)y 在椭圆内220022<1x y a b ⇔+；00P(x ,)y 在椭圆上220022=1x y a b ⇔+；00P(x ,)y 在椭圆外220022>1x y a b ⇔+已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a,b ，椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆，通过解关于a,b,c 方程或不等式可以求得离心率的值或范围，关键要充分挖掘题中隐含的数量关系，注意方程思想的应用.椭圆的焦半径公式：新课程里虽然没提到椭圆的第二定义，但是由椭圆第二定义（或两点之间距离公式）推导出来的焦半径公式在处理椭圆上点到焦点距离问题时大有帮助，设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212tan 2F PF b ∠，其中b 是短半轴的长； 过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a弦长公式：将直线方程和二次曲线方程联立得：20ax bx c ++=或20ay by c ++=，则直线被二次曲线所截得的弦长212122111AB k x x y y k =+-=+-。

（19）椭圆1、椭圆()222210x y a b a b +=>>和()22220x y k k a b+=>具有( )A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点 2、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m = ( )A. 14B. 12C. 2D. 43、椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ,过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于( )C.72D. 44、设12,F F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<，的左右焦点，过1F 的直线与E 相交于,A B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列，则||AB 的长为（ ）A.23B.1C.43 D.535、过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )B.3C.12 D. 136、椭圆 C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率等于12,且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点,则椭圆 C 的标准方程为( )A. 22142x y += B. 22143x y += C.221129x y += D.2211612x y += 7、已知1F ,2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右焦点, A 是 C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为6的直线上, 12PF F ∆为等腰三角形, 12120F F P ∠=,则 C 的离心率为( )A.23 B. 12C.13 D. 148、在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=.P 为1C 上的动点, Q 为2C 上的动点, w 是OP OQ ⋅的最大值. 记, (){P Q P Ω=<在1C 上, Q 在2C 上,且}OP OQ w ⋅=,则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个9、已知椭圆()22122:1?0x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=,若在椭圆1C 上存在点P ,过P 作圆2C 的切线,PA PB ,切点为,A B ,使得3APB π∠=,则椭圆1C 的离心率的取值范围是( )A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 22⎣⎦C. 2⎫⎪⎪⎣⎭ D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭10、已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( ) A. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭11、已知方程222(1)31k x y -+=表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是__________12、设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E于A ,B 两点,若113AF BF =,2AF x ⊥轴,则椭圆E 的方程为__________13、设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点,若2MNF ∆的内切圆的面积为π,则_2MNF S ∆=__________14、已知椭圆22: 1.94x y C +=点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则AN BN +=__________ .15、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. 1.求椭圆的方程2.设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ,已知点A 的坐标为(),0a -,点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB ⋅=,求0y 的值答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析： ()22220x y k k a b +=>即()222210x y k ka kb +=>,由e =知,椭圆()222210x y a b a b +=>>和()22220x y k k a b+=>具有相同的离心率,选C 。

上大附中高二第一学期数学寒假作业4——椭圆一、填空题1．椭圆14922=+y x 的焦点坐标是 。

2.两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，且椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10的椭圆的标准方程为 。

3. 两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-椭圆的标准方程为 。

4.若椭圆19422=++y k x 的一个焦点为（0，-2），则k = 。

5.椭圆25922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 。

6.椭圆121522=++my x 的焦距为4，则m = 。

7.椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = 。

8．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为__________________。

9.椭圆192522=+y x 的一个焦点为F 1,M 椭圆上一点，且|MF 1|=2，N 是线段MF 1 的中点，则|ON|的长为 。

10.F 1，F 2是椭圆C ：14822=+x x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________。

11．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = 。

12. 过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________。

二、选择题：13.设F 1F 2是两定点，|F 1F 2|=6，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=6，则动点P 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆14、若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.(0，2)C.(1，＋∞)D.(0，1)15、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．B ．6C ．D ．1216.设AB 是过椭圆x a y ba b 222210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）A. bcB. abC. acD. b 2三、解答题： 17.已知椭圆的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

专题4 椭圆的简单几何性质【测一测】一．选择题（5*10=50）1．椭圆22194x y k +=+的离心率为45，则k 的值为（ ）（A ）－21（B ）21 （C ）1925-或21 （D ）1925或21 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x236＋y216＝1B.x216＋y236＝1C.x26＋y24＝1D.y26＋x24＝1 3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为12，则m 等于( ) A. 3 B.32 C.83 D.234. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）（A ）12(,)33 （B ）1(,1)2 （C ）2(,1)3 （D ）111(,)(,1)322 【答案】D5. 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B.⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D. ⎛ ⎝⎦6. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )A． B ．12 C ．2 D【答案】B【解析】试题分析：由椭圆的图形及几何性质知，等边三角形的边长为a c =2,从而离心率为21==a c e .7. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）A.1B. C.2D.8. 椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为 （ ）A.B.C. D.34±【答案】A【解析】 试题分析：设点M 0m （，），由中点坐标公式知P 3,2m （）,代入椭圆方程得m =，故选A.．9. 若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ． 2C ．1D ．10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2【答案】D二、填空题（4*5=20）11.设F1,F2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________.【答案】4【解析】试题分析： 因为|OM|=3,数形结合得|PF2|=6,又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4.12. 如图，P 是椭圆2212516x y +=在第一象限上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且20F M MP ∙=，则||OM 的取值范围是.13.已知F1,F2分别是椭圆2222x y 1a b += (a>b>0)的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A,B 两点，若△F2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于________.14. 设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是.三．解答题（2*15=30）15. 设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a ，b)满足|PF2|＝|F1F2|. (1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．16. 设椭圆C:()222210x ya ba b+=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的长度。

学习资料专题04 椭圆小题专项练习一、巩固基础知识1．若方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）。

A 、)10(，B 、)1()10(∞+，，C 、)0(∞+，D 、)1(∞+，【答案】A【解析】222=+ky x 化为方程12222=+k y x ，焦点在y 轴上则22>k，解得10<<k ，故选A 。

2．已知P 是椭圆上一定点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若 6021=∠F PF ，||3||12PF PF =，则椭圆的离心率为（ ）。

A 、231-B 、213- C 、32-D 、13-【答案】D【解析】由题意得21F PF ∆为∆Rt ,令1=c ,则2||21=F F ,1||1=PF ,3||2=PF ， 则a PF PF 231||||21=+=+，13312-=+==a c e ,故选D 。

3．已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a )的右焦点为)03(，F ，过点F 的直线交C 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为)11(-，，则C 的方程为（ )。

A 、191822=+y x B 、1182722=+y x C 、1273622=+y x D 、1364522=+y x【答案】A 【解析】21310122=---==a b k AB ，又9222==-c b a ，则222b a =，解得92=b ，182=a ,故选A 。

4．焦点在x 轴上的椭圆的方程为114222=++a y a x （0>a ),则它的离心率e 的取值范围为（ ）。

A 、]410(，B 、]210(， C 、]220(， D 、]2141[，【答案】C【解析】142+>a a ，解得3232+<<-a ， ]210()1(41141122，∈+-=+-=a a a a e ，则]220(，∈e ，故选C 。

（10）椭圆1.如图，已知12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点,M N .若直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为( )1B.2 2.已知椭圆()2222:1x y E a ba b c +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF ＋＝，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎛ ⎝⎦B.0,34⎛⎤⎥⎝⎦C.⎫⎪⎪⎣⎭D.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.与椭圆229436x y +=有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A.22431x y +=B.2216y x +=C.2216x y +=D.22185x y += 4.椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ,点P 在椭圆上.若线段1PF 的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标为( )A.43±B. C. D.5.已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A.⎛ ⎝⎭B.()0,1C.⎫⎪⎪⎝⎭ D.⎛ ⎝⎭6.已知方程221||12x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A.(2),-∞B.(1,2)C.(,1)(1,2)-∞-⋃D.3(,1)1,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，过椭圆C 上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B .若椭圆上存在一点P ，使得0PA PB ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.⎛ ⎝⎦C.⎫⎪⎪⎣⎭ D.12⎡⎢⎣⎦8.设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线32ax =上一点，APF 是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为________________.9.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.若椭圆上存在一点P使2211sin sin a cF F P PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为_______________. 10.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为______________.11.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F .若椭圆上存在一点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________________.12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =,,?A B 是椭圆 C 上两点, (3,1)N 是线段AB 的中点（1）求直线AB 的方程;（2）若以AB 为直径的圆与直线10y +-=相切,求出该椭圆方程.答案以及解析1.答案：A解析：因为过点1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，212,2MF c F F c ==，所以1MF =.由椭圆定义可得122MF MF c a +=+=，可得椭圆离心率1c e a ==. 2.答案：A解析：设左焦点为0F ，连接00,F A F B ，则四边形0AFBF 为平行四边形.0||||4,||4,2AF BF AF AF a +=∴+=∴=.不妨设(0,)M b ，则44,1255b b ≥∴≤<.∴离心率c e a ⎛=== ⎝⎦，故选A. 3.答案：B解析：椭圆229436x y +=可化为标准形式为22149x y +=，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,，故可设所求椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则c =又22b =，即1b =，所以2226a b c =+=，故所求椭圆的标准方程为2216y x +=.4.答案：D解析：如图,当点P 在x 轴上方时,OM 为12PF F 的中位线,所以P ⎛ ⎝⎭,所以M ⎛ ⎝⎭.同理,当点P 在x 轴下方时,0,M ⎛ ⎝⎭,故选D.5.答案：C解析：因为PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得222210b x ax b a⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，由题意知此方程在区间()0,a 上有解.又因为a 为此方程的一个解，所以方程对应的二次函数图像的对称轴要介于2a 与a 之间，即22221a a ab a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭.又因为椭圆中222a b c =+，所以221122a c <<，1e <<.故选C. 6.答案：D解析：由题意得||10,20,2||1,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩即 1 1,2,3,2m m m m ⎧⎪><-⎪<⎨⎪⎪<⎩或312m ∴<<或1m <-，故选D.7.答案：C解析：由0PA PB ⋅=，可得90APB ∠=︒，利用圆的性质，可得OP . ∴2222OP b a =≤，∴222a c ≤.∴212e ≥. 又∵01e <<1e ≤<.故选C. 8.答案：23解析：不妨设点P 在第一象限，如图，设直线32ax =与x 轴的交点为C .由题意得3||||,||||||2aPF AF a c FC OC OF c ==+=-=-.又由题意可知60PFC ∠=︒，所以3||12cos ||2a cFC PFC PF a c -∠===+，所以离心率23c e a ==.9.答案：1,1)解析：在12PF F 中，由正弦定理知212211sin sin PF PF F PF F PF ∠=∠.因为1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，椭圆离心率ce a=，所以211PF a PF c e ==，即12PF e PF =.① 又因为点P 在椭圆上，所以122PF PF a +=. 将①代入得221a PF e =+.又2a c PF a c -<<+，所以同除以a 得2111e e e -<<++.又01e <<，11e <<. 10.答案：14解析：由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S bc =，该三角形的周长为22a c +.由题意可得1(22)25b S bc a c ==+⋅，得5a c c +=，所以14c e a ==，因此该椭圆的离心率为14. 11.答案：⎫⎪⎪⎣⎭解析：当P 是椭圆的上、下顶点时，12F PF ∠最大，所以12120180F PF ∠<︒≤︒，所以16090F PO ∠<︒≤︒，所以1sin 60sin sin90F PO ∠<︒≤︒.因为11,F P a FO c ==，1ca≤<，则椭圆的离心率e的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭. 12.答案：（1）离心率e , 设椭圆222:3(0)C x y a a +=> 设1122(,),(,)A x y B x y 由题意,设直线AB 的方程为(3)1y k x =-+,代入223x y a +=,整理得2222(31)6(31)3(31)0k x k k x k a +--+--=,2224(31)(31)0a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦.①,②且1226(31)31k k x x k -+=+,由(3,1)N 是线段AB 的中点,得1232x x +=.解得1k =-, 代入②得212a >,∴直线AB 的方程为1(3)y x -=--,即40x y +-= （2）圆心(3,1)N10y +-=的距离d,AB ∴=当1k =-时方程①即22424480x x a -+-=, 1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⋅=-⎪⎩12AB x ∴-=224a =. 椭圆方程为221248x y +=.。