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高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝错误!未指定书签。
lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝错误!未指定书签。
limΔx →0ΔyΔx ＝错误!未指定书签。
lim Δx →f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝错误!未指定书签。
limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos__xf (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．➢考点1 导数的运算[名师点睛]对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值． 1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数． （1）sin x y e =；（2）32x y x +=+； （3）()ln 23y x =+；（4）()()2221y x x =+-；（5）cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解】（1）因为sin x y e =，则()sin sin sin cos x x y e x e x ''=⋅=；（2）因为32x y x +=+，则()()()()()()223223122x x x x y x x ''++-++'==-++； （3）因为()ln 23y x =+，则()22213233y x x x ''=⋅+=++； （4）因为()()2221y x x =+-，则()()()()''22221221y x x x x =+++-'-()()2222122624x x x x x =-++=-+；（5）因为cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故2sin 22sin 2333y x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，且()2(e)ln f x xf x +'=，则()e f =（ ）A ．1e-B ．1-C ．1D ．e 【答案】B 【解析】由()2(e)ln f x xf x +'=得1()2(e)f x f x ''=+，当e x =时，1(e)2(e)e f f ''=+，解得()1e ef '=-，所以2()ln e x f x x -=+，2e(e)ln e 1ef -=+=-. 故选：B [举一反三]1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ） A ．()22x x '=B ．()sin cos x x '= C ．()33ln 3x x '=D ．()1e ln 3e 3x x '+=+【答案】D 【解析】对于A ：()22x x '=，故选项A 正确； 对于B ：()sin cos x x '=，故选项B 正确； 对于C ：()33ln 3x x '=，故选项C 正确；对于D ：()()()e ln 3e l 0n 3e e x x x x '''=++=+=，故选项D 不正确； 所以求导运算不正确的是选项D ， 故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x ，()g x 满足()()21,f x xg x x +=-且()11f =，则()()11f g ''+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】取1x =，则有()()110f g +=，即(1)(1)1g f =-=-，又因为()()21,f x xg x x +=-所以()()()2f x g x xg x x ''++=，所以()()1(1)12f g g ''++=，所以()()112(1)213f g g ''+=-=+=.故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x 满足()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，0x >，π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()πf 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．π 【答案】C【解析】由()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++两边同时乘x 可得： ()()()22222cos 22sin 22xf x x f x x x x x x x f x ''⎡⎤+=++=⎣⎦，又()222sin 22cos 22sin 22x x x x x x x x +++'=，因此()222sin 2x f x x x x c =++．由π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即222πππ5sin π444c ⨯=++，可得2πc =， ∴()22πsin 21f x x x =++，∴()22sin 21π2πππf =++=．故选：C ﹒4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（ ）A ．(sin )cos x x '=B ．211()x x '=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x '=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y =x （x 2311x x ++）；（2）y =1）1）； （3）y =x tan x ； （4）y =x ﹣sin 2x cos 2x；（5）y =3ln x +ax （a >0，且a ≠1）.【解】解：（1）y =x （x 2311x x++）=x 3+121x +；则函数的导数y ′=3x 232x -.（2）y =1）1）=11=y ′= （3）y =x tan x sin cos x xx =， 则y ′()()()222sin 'cos sin cos 'sin cos cos sin cos cos x x x x x x x x x x x x xx-++==2222sin sin cos cos xcosx xcos x xsin x x x xx cos x+++==；（4）y =x ﹣sin 1cos 222x x x =-sinx ；则y ′=112-cosx.（5）y ′3x=+ax ln a .➢考点2 导数的几何意义1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线()sin 2cos 1f x x x =--在点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为______．【答案】2π0x y --=【解析】()cos 2sin f x x x '=+，则曲线()y f x =在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率ππcos 2sin 222k =+=，∴切线方程为π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2π0x y --=．故答案为：2π0x y --=．2．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为__________【答案】0y =或440x y ++=【解析】点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，20x )，由f (x )＝x 2可得()'2f x x =，∴切线的斜率()'002k f x x ==.切线方程为()021y x x =+.∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝2001x x +＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. 故答案为：0y =或440x y ++=3．（2022·河南·三模）曲线()30y x m x =+<在点A 处的切线方程为322y x m =+-，则切点A 的坐标为______． 【答案】()1,3-【解析】由233y x '==，得1x =±，因为0x <，所以1x =-， 则切点A 的横坐标为－1，所以()31322m m -+=-+-， 解得4m =，所以A 的坐标为()1,3-． 故答案为：()1,3-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为___________.【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设l 与曲线e 1x y =-相切于点(),e 1aP a -，与曲线ln 1y x =+相切于点(,ln Q b b +1），则1ln e 2e a ab b b a-+==-，整理得()()1e 10aa --=，解得1a =或0a =，当1a =时，l 的方程为e 1y x =-；当0a =时，l 的方程为y x =. 故答案为：e 1y x =-或y x =. [举一反三]1．（2022·山东枣庄·三模）曲线32y x bx c =++在点()1,0M 处的切线与直线20x y --=垂直，则c 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】设()32f x x bx c =++，则()232f x x bx '=+，直线20x y --=的斜率为1，由题意可得()()1321110f b f b c ⎧=+=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21b c =-⎧⎨=⎩. 故选：C.2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．3-B ．3C ．5-D ．5 【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=，∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（ ） A ．0b a >>B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a <-<<D ．1a b a a>>-且0a > 【答案】D 【解析】作出()10y x x x=->的图象，由图可知， 若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，点(),a b 应在曲线外， 设切点为()()000,0>x y x ，所以0001y x x =-，21-'=+y x ，所以切线斜率为0002000111---=+==--x b y b x k x x ax a， 整理得()20020--+=a b x x a ，即方程在00x >上有两个不同的解，所以()()4402020a a b a b a ⎧-->⎪-⎪->⎨-⎪⎪>⎩，100⎧-<⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩a ba ab a ， 所以1a b a a>>-且0a >. 故选：D ．4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()ln f x x x t =-+，直线1:ln 222l y x =-++，点()()00,P x f x 在函数()y f x =图像上，则以下说法正确的是( )A ．若直线l 是曲线()y f x =的切线，则3t =-B ．若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则3t >-C ．若2t =-，则点P 到直线l 5D ．若2t =-，当点P 到直线l 的距离最短时，02x ＝ 【答案】D【解析】f (x )定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-， 若直线l 是曲线()y f x =的切线，则()1111222f x x x =-⇒-=-⇒='，代入1ln222y x =-++得1ln2y =+，()21ln2ln221ln23f t t ∴=+⇒-+=+⇒=，故A 错误；当t ＝－2时，当在点P 处的切线平行于直线l 时，P 到切线直线l 的最短距离，则()0001111222f x x x =-⇒'-=-⇒=，故D 正确； 此时()2ln24f =-，故P 为()2,ln24-，P 到l ：22ln240x y +--=的距离为=C 错误；设1ln ln 22ln ln 2222xx x t x t x -+=-++⇒=-++，令()ln ln 222x g x x =-++，则()11222x g x x x-'=-=， 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 23g x g ==，又0x →时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+， ∴若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则t ＜3，故B 错误． 故选：D ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20(0)l x ty t --=≠与函数()(0)xe f x x x=>的图象相切，则切点的横坐标为A．2．2+C ．2D ．1【答案】A【解析】由()(0)xe x x x =>可得()()21x e x f'x x -=，设切点坐标为()(),0m n m >，则()22011m m m tn en m e m m t ⎧⎪--=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2m = A.6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B【解析】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <， 因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅= 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【解析】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-， 对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->， 令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ） A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n = 【答案】AD【解析】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>， 又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >， 所以2b =，7n =. 故选：AD9．（2022·重庆·三模）曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】22y x =-+【解析】由()1ln 225y x x =+++，2111y x x '=-++，则切线的斜率为12422x y =-=-+=-'． 所以曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为： 1322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即22y x =-+．因此所求切线的方程为22y x =-+． 故答案为：22y x =-+．10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数()e ,()ln x f x g x x ==.若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y f x =在点()()22,x g x 处的切线平行，则()12x g x +=___________；若(2)()2()1f x h x x g x x=--+，则()h x 的最大值为___________. 【答案】 0 2n 2e l 2-+ 【解析】由已知()e x f x '=，1()g x x'=，所以121e x x =，即12e xx -=，所以112111()ln e0x x x x g x x -=-+==+．2()2ln e 1xh x x x x=--+，定义域为()0,∞+，2222222e (21)e (12(21)(()221)e )x x x x x x x h x x x x x x x ----'=--=--=，令2e ()x p x x =-，则2()12e x p x '=-，0x >时，()0p x '<，所以()p x 在(0,)+∞上递减， 所以0x >时，()(0)1p x p <=-， 所以102x <<时，()0h x '>，()h x 递增，12x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max 11()()1ln 1221222ee ln 2h x h =-=-+=-+． 故答案为：0；2n 2e l 2-+．11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线12y x b =+是曲线sin (0,)y x x π=∈，的一条切线，则实数b 的值是_________．6π- 【解析】设切点坐标为00(,)x y ，因为cos y x '=，所以有00000sin 121cos 2y x y x b x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩因为(0,)x π∈，所以00,3x y π==00126b y x π=-=.6π- 12．（2022·全国·高三专题练习）曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1【解析】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==， 所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=； 当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意， 综上可得，切点为()0,1. 故答案为：()0,1.13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数()32f x ax bx cx d =+++，若曲线()y f x =在点()0,0处的切线与曲线()()g x xf x =在点1,2处的切线重合，则()2g '=______．【答案】32-【解析】由题知：(0)0f =，∴0d =，2()32f x ax bx c '=++()f x 在(0,0)处的切线为0(0)(0)y f x '-=-，即(0)y f x ='，∵()()()g x f x xf x +''=，(1)(1)(1)g f f =+''， ∴()g x 在1,2处的切线方程为：(1)(1)2y g x g =-'+' 又因为两条切线重合，∴(0)(1){(1)20f g g ='-+'='，∴(0)(1)2f g ''==，又∵(1)(1)2g f ==，(1)(1)(1)g f f =+''∴(1)0f '=，∴(0)2{(1)320(1)2f c f a b c f a b c ===++==++'='解得2{22a b c =-==∴()32222f x x x x =-++，2()642f x x x '=-++，∴(2)(2)2(2)32g f f =+=-''. 故答案为：32-.14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．【答案】2【解析】根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +， 对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=， 则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--， 对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=， 则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=， 则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-； 则()f x 与()g x 的公切线条数是2条． 故答案为：2。
《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，定义为：要点诠释： （1）()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，它表示当自变量x 从0x 变1x ，函数值从()0f x 变到()1f x 时，函数值关于x 的平均变化率.当x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数.（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度． 导数的几何意义：要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 基本初等函数的导数要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±L L ． （2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.（2）只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.利用导数研究可导函数的极值求函数()y f x =在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：①注意极值．．与极值点．．．的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
③可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x =0处，'(0)0f =，但x =0不是函数的极值点.利用函数研究可导函数的最值若函数()y f x =在闭区间[,]a b 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数()f x 在(,)a b 内的导数()f x '； ②求方程()0f x '=在(,)a b 内的根；③求在(,)a b 内所有使()0f x '=的的点的函数值和()f x 在闭区间端点处的函数值()f a ，()f b ；比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最小值. 要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若()f x 在开区间(,)a b 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：导数在解决实际问题中的应用我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题. 在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 【典型例题】类型一：导数的概念与公式的应用 例1. 求下列各函数的导数：（1）12xy x e =g； （2）()ln 25=x y x+‘； （3）()5sin cos sin y x ⎡⎤=⎣⎦；（4）y =【思路点拨】要求函数的导函数，应遵循一定的顺序：先观察：找出函数中的基本函数（或复合函数）；再确定函数的构成：它是由①中的基本函数（或复合函数）由哪种四则运算而成的；最后根据导数的四则运算法则写出导函数.是复合函数的，按照复合函数的求导法则计算. 【解析】（1）观察函数结构：该函数是由二次函数2y x =与1xy e =相乘得到的；导数的乘法法则：()1122'''xxy x e x e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g g ；求出各函数导数：()111221'2=21x xxy x e x e e x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭g g g .（2）观察函数结构：该函数是由复合函数()=ln 25y x +与一次函数=y x 相除得到的；导数的除法法则：()()2ln 25'ln 25'=x x x x y x ++⎡⎤⎣⎦g g ‘ ；求出各函数导数：()()()()222ln 25225ln 2525==25xx x x x x y x x x +++++g ‘.（3）该函数是由函数5sin cos sin y u u v v t t x ====，，，复合而成的，由复合函数求导法则，可得：()()()()()()''''55544555'cos cos sin sin sin cos 5=5cos sin sin cos cos sin u v t x y y u v t x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎣⎦g g g g g g g g g ；（4）该函数是由1y u=，u v =和25v x = 复合而成，由复合函数求导法则，可得： ()31'2=2-52-522-5y x x x =g g. 【总结升华】（1）在导数的运算中，最复杂、最应引起重视的莫过于符合函数求导，因此应主要复合函数的求导方法。
解这类问题的关键是正确分析函数的符合层次，一般由最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定符合过程.（2）除了牢固掌握导数的相关公式外，记住两个常用的导数：①211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()'2x x =.举一反三：【变式1】函数cos2sin y x x =+的导数为（ ）A.－2sin2x +x x 2cosB.2sin2x +xx 2cosC.－2sin2x +xx 2sinD.2sin2x －xx 2cos【答案】A【变式2】函数2=cos 2y x x 的导数为 ( )A ．2=2cos 2sin 2y x x x x '－B ．2=2cos 22sin 2y x x x x '－C ．2=cos 22sin 2y x x x x '－D ．2=2cos 22sin 2y x x x x '＋【答案】B例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为()()5284=80100100c x x x<<-，求净化到下列纯净度时，所需费用的瞬时变化率．(1)90%； (2)98% .【思路点拨】利用导数的概念作答。
