专题二 复数与几何

高中数学教案：《复数的运算与几何意义》一、引言复数是数学中的一个重要概念，其在高中数学中的学习也是不可或缺的一部分。

而复数的运算与几何意义是复数学习中的关键内容之一。

本教案旨在通过系统的教学设计，帮助学生深入理解复数的运算规则，并能够将其几何意义与实际问题相结合，达到掌握复数运算与几何意义的目标。

二、理论与概念讲解1. 复数的定义首先，我们需要明确复数的定义。

复数由实部和虚部组成，形如 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。

实部 a 表示复数在实轴上的投影，虚部 b 表示复数在虚轴上的投影。

复数的运算符合加法和乘法的运算规律。

2. 复数的四则运算接下来，我们来详细介绍复数的四则运算规则。

对于两个复数a + bi 和c + di，其加法和减法的规则分别如下：- 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i复数的乘法和除法规则如下：- 乘法：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² + d²)]i3. 复数的几何意义了解了复数的运算规则，我们继续探讨复数的几何意义。

复数 a + bi 可以表示平面上的一个点，其中实部 a 表示点的横坐标，虚部 b 表示点的纵坐标。

因此，复平面上的点可以通过复数来进行表示，这种表示方法称为复平面坐标。

4. 复数的模与幅角接下来我们介绍复数的模和幅角。

复数的模表示复数到原点的距离，记作 |a + bi| = √(a² + b²)。

复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，记作 arg(a + bi)。

复数第2讲 复数的几何意义与复数方程【知识点归纳】 1、复数的几何形式：复数集与平面上的点集一一对应，可用平面上的点来表示复数，一般地，可用(,)Z a b 表示复数(,)a bi a b R +∈，或用向量OZ 表示复数(,)a bi a b R +∈。

特别提醒：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数z 对应点的轨迹及相应的复数方程①两点间的距离公式：12d z z =-； ②线段的中垂线：12z z z z -=-； ③圆的方程：z p r -=（以点p 为圆心，r 为半径）；④椭圆：122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z >-）； ⑤双曲线：122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z <-）； ⑥圆的内部：z p r -<（以点p 为圆心，r 为半径）；⑦闭圆环：12r z p r -≤≤（以点p 为圆心，12rr ，为半径）。

3、复系数一元二次方程及性质：（1）实系数一元二次方程20(ax bx c a b c ++=∈R ，，且0)a ≠及性质①0∆≥时，方程有实根：12x =，0∆<时，在复数集C 中，方程有一对共轭虚数根12x =，②根与系数的关系：无论0∆≥还是0∆<，总有112b c x x x x a a+=-=，. ③虚根成对出现的性质：当∆＜0时，12x x =且221212c x x x x a===. （2）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）及性质 ①求根公式122b x a-+∆=，的平方根适用；②韦达定理仍适用；③判别式判断实根情况失效；④虚根成对出现的性质失效.如x 2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。

但韦达定理以及求根公式仍适用。

【例题讲解】例1、已知z 为复数，z ＋2i 和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解： （1）设复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），由题意，22(2)z i a bi i a b i +=++=++∈R ，∴b ＋2＝0，即b＝－2． 又()(2)222555z a bi i a b b a i i ++-+==+∈-R ，∴2b ＋a ＝0，即a ＝－2b ＝4． ∴42z i =-．（2）由（1）可知42z i =-，∵2222()(42)[4(2)]16(2)8(2)z ai i ai a i a a i +=-+=+-=--+-对应的点在复平面的第一象限，∴216(2)0,8(2)0,a a ⎧-->⎨->⎩解得a 的取值范围为26a <<．例2、（1）根据复数的几何意义及向量表示，在复平面内以),(b a 为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是______________； r bi a z =--||（2）△ABC 三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|=|z －z 2|=|z －z 3|，则z 所对应的点是△ABC 的_____________(填 内心、外心、重心、垂心等) 外心； （3）已知复数z 满足2|43|=++i z ，则||z 的最大值是_______ 7 （4）已知1=z ，则i z 43-+的最大值是________ 6（5）若复数z 满足|z-4-3i|≤3，则|z|的取值范围是_______________ ]8,2[（6）已知虚数(2)(,)x yi x y R -+∈，则yx的取值范围是__________ 解：z 在圆22(2)3(0)x y y -+=≠上，y x 表示圆上的点与原点连线斜率，y x∈[⋃。

数学中的复数与几何关系技巧数学作为一门抽象而又实用的学科，常常能够以推理和逻辑的方式解决现实世界的问题。

而在数学中，复数与几何关系技巧恰好是两个相互具有影响力的概念。

在本文中，我们将探讨数学中的复数以及它们与几何之间的关系，并介绍一些技巧和应用。

1. 复数的介绍和基本概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。

虚数部分由一个实数与i（虚数单位）的乘积组成，其中i定义为√-1。

一个复数可以写成形如a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分。

2. 复平面在理解复数与几何关系之前，我们首先需要了解复平面的概念。

复平面是一个二维平面，坐标轴上的实数轴表示实部，竖直方向的轴表示虚部。

每一个复数可以在复平面上表示为一个点。

实部与虚部的值可以用坐标表示复数所在的位置。

3. 欧拉公式欧拉公式是数学中一个重要的公式，它将三个基本数学常数（e、π和i）联系在一起。

欧拉公式的形式为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。

这个公式的重要性在于它使得复数的指数形式和三角函数之间建立了联系。

4. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

这里我们着重介绍复数的乘法，因为它在几何关系中非常有用。

两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘，然后使用公式i^2 = -1将得到的虚部合并。

5. 复数与向量的关系在几何关系中，复数可以被看作是平面上的一个点，同时也可以被看作是从原点到该点的一个向量。

复数的实部和虚部分别对应向量在x轴和y轴上的投影。

6. 复数运算的几何解释在复平面上，复数的加法等于向量的相加，复数的乘法等于向量的叠加。

这种几何解释使得复数运算更加直观且易于理解。

7. 极坐标形式复数还可以用极坐标形式表示，即使用复数的模长和相位来描述复数的位置。

模长表示复数到原点的距离，相位表示复数与实轴之间的夹角。

8. 复数的应用复数在数学和物理中有广泛的应用。

在物理中，复数常常用于描述振荡、波动和电路等现象。

在数学中，复数解决了一些实数范围内无法解决的问题，比如平方根的存在性和无理方程的解。

复数的几何应用与解析几何的结合复数是数学中一种重要的概念，在几何学和解析几何中有着广泛的应用。

本文将介绍复数的几何应用，并探讨复数与解析几何之间的关联。

一、复数的几何应用复数可以用于表示平面上的点或向量，通过复数的坐标或模长和幅角可以得到详细的几何信息。

首先，复数的坐标表示。

对于复数a+bi，其中a和b分别代表实部和虚部，可以将其看作是平面上的一个点(x, y)，其中x=a，y=b。

通过复数的坐标表示，可以得到平面上点的几何信息，比如坐标表示的距离、位置等。

其次，复数的模长和幅角表示。

对于复数a+bi，其模长等于√(a²+b²)，表示了复数到原点的距离；幅角θ=arctan(b/a)，表示了复数与实轴的夹角。

通过模长和幅角的表示，可以得到复数的极坐标形式。

在几何学中，可以利用模长和幅角的概念，进行复数的运算和变换。

复数的几何应用不仅限于表示点和向量，还可以应用于解决几何问题，比如求解平面几何中的相交、垂直、平行等关系。

通过复数的运算和变换，可以将几何问题转化为代数问题，从而简化求解过程。

二、复数与解析几何的结合复数与解析几何之间有着密切的关联，解析几何可以通过复数的表达和计算来进行推导和论证。

首先，复平面与坐标系。

复数可以通过在平面上表示，与坐标系形成对应关系。

在解析几何中，复数可以用于表示平面上的几何对象，比如点、直线、曲线等。

通过复数的运算和变换，可以进行几何图形的平移、旋转、缩放等操作。

其次，复数的运算。

复数的加法、减法、乘法和除法等运算，与解析几何中的向量运算和坐标变换有着一一对应的关系。

通过复数的运算，可以方便地进行几何对象的计算和推导，从而解决几何问题。

最后，解析几何中的方程和曲线。

复数可以通过方程和曲线的表示，提供了解析几何中求解相关问题的新方法。

比如，通过复数的根与方程的解的关系，可以求解解析几何中的交点、切点等问题；通过复数的极坐标表示，可以求解曲线的参数方程。

数学知识点归纳复数的解析几何与运算复数是数学中的一个重要概念，它在解析几何与运算中具有广泛的应用。

本文将对复数的定义、解析几何中的复数运算以及一些相关的数学知识点进行归纳和总结。

一、复数的定义与表示在复数领域，定义了一个虚数单位i，它满足 i^2 = -1。

基于虚数单位i，可以构成形如a + bi的复数，其中a和b分别表示复数的实部和虚部。

例如，复数3 + 4i中，实部为3，虚部为4。

复数可以通过直角坐标系表示。

实部a对应坐标系的x轴，虚部b 对应坐标系的y轴。

因此，复数3 + 4i在坐标系中对应于一个坐标为(3,4)的点。

这样的坐标系称为复平面。

二、复数的运算1. 复数的加法：将两个复数的实部相加，虚部相加。

例如(3 + 4i) +(1 + 2i) = (4 + 6i)。

2. 复数的减法：将两个复数的实部相减，虚部相减。

例如(3 + 4i) - (1 + 2i) = (2 + 2i)。

3. 复数的乘法：将两个复数按照分配律展开并结合虚数单位i的平方性质进行化简。

例如(3 + 4i) * (1 + 2i) = (-5 + 10i)。

4. 复数的除法：将两个复数相乘的结果化简为标准形式，并依据实数的除法规则进行运算。

例如(3 + 4i) / (1 + 2i) = (2 + i)。

5. 复数的共轭：将复数的虚部取负即可得到其共轭复数。

例如，(3 + 4i)的共轭复数为(3 - 4i)。

三、解析几何中的复数运算在解析几何中，复数可以用来表示平面上的点、向量和线段等。

1. 复数表示点：设复数z = a + bi，其对应复平面上的点可以用坐标(a, b)表示。

例如，复数3 + 4i对应于复平面上的点(3, 4)。

2. 复数表示向量：复数的减法可以表示向量的减法，即两个点之间的差向量。

例如，在复平面上，点(3, 4)和点(1, 2)之间的差向量可以用复数(3 + 4i) - (1 + 2i)表示为(2 + 2i)。

复数的几何表示与性质复数是数学中的一个重要概念。

我们知道，实数可以表示在数轴上的点，而复数则是通过实部和虚部组成的。

那么，复数在几何上又有什么特殊的表示和性质呢？本文将介绍复数的几何表示方式以及其相关性质。

一、复数的几何表示复数可以用平面上的向量表示。

我们可以将复数看作是向量的模长和方向。

复数a + bi可以表示为一个平面上的点P(x, y)，其中x为复数的实部，y为复数的虚部。

这个点P对应的向量OP即为复数a + bi的几何表示，O为原点。

复数的实部和虚部分别对应向量OP在x轴和y轴上的投影。

二、复数的运算几何表示1. 复数的加法假设有两个复数a + bi和c + di。

它们的和可以通过向量相加的方式得到。

复数a + bi和c + di的和为(a + c) + (b + d)i。

对应的向量可表示为OP + OQ，其中OP是复数a + bi的几何表示，OQ是复数c + di的几何表示。

将OP和OQ放在一起，以OP为起点，OQ为终点画出一条新向量，它的终点即为复数a + bi和c + di的和的几何表示。

复数的减法可以通过向量相减的方式来表示。

复数a + bi和c + di的差为(a - c) + (b - d)i。

对应的向量可表示为OP - OQ，其中OP是复数a + bi的几何表示，OQ是复数c + di的几何表示。

将OP和OQ放在一起，以OP为起点，OQ为终点画出一条新向量，它的终点即为复数a + bi和c + di的差的几何表示。

3. 复数的乘法复数的乘法可以通过向量和角度的变换来表示。

假设有两个复数a + bi和c + di。

它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

对应的向量表示为OP * OQ，其中OP是复数a + bi的几何表示，OQ是复数c + di的几何表示。

计算出向量OP和OQ的模长之积和夹角之和，得到新的向量的模长和方向，它的终点即为复数a + bi和c + di的乘积的几何表示。

复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念 例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A.①B.②C.③D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1， 所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部， 故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合， 由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。

复数的几何表示与解析表示复数是数学中一个重要的概念，由实数部分和虚数部分组成。

在几何上，复数可以用向量表示，同时也可以用解析式表示。

本文将介绍复数的几何表示和解析表示，并探讨它们的联系和应用。

一、复数的几何表示复数的几何表示主要依赖于向量的概念。

我们知道，向量由大小和方向组成，可以用有向线段来表示。

同样地，复数也可以看作是一个向量，在数学上常用平面直角坐标系表示。

在平面直角坐标系中，复数可以表示为 z = a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。

a和b可以看作是复平面的横轴和纵轴坐标，复数z 位于复平面上的一个点。

我们可以使用复数的模长和辐角来准确表示复数在复平面上的位置。

复数的模长表示复数的大小或长度，记作 |z| = sqrt(a^2 + b^2) 。

辐角表示复数的方向，可以用弧度或角度来表示，记作 arg(z)。

二、复数的解析表示复数的解析表示是一种基于数学形式化的表示方法。

我们可以用复数的实部和虚部的形式来表示复数。

例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。

在复数的解析表示中，实部 a 和虚部 b 可以是任意实数。

实部表示复数的实数部分，而虚部表示复数的虚数部分。

通过解析表示，我们可以进行复数的加减乘除等运算，更方便地进行复数的计算。

三、几何表示与解析表示的联系几何表示和解析表示是两种不同的方式，但它们之间存在着密切的联系。

首先，通过几何表示可以很方便地得出复数的模长和辐角。

复数 z 的模长可以由几何表示的长度得出，而辐角可以由几何表示的方向得出。

其次，通过解析表示可以方便地进行复数的运算。

复数的加减乘除等运算可以通过解析表示直接进行，无需对几何表示进行操作。

最后，几何表示和解析表示可以相互转化。

通过知道复数的实部和虚部，我们可以得到复数在复平面上的位置；而通过复数在复平面上的位置，我们也可以得到复数的实部和虚部。

四、几何表示与解析表示的应用几何表示和解析表示在数学中有广泛的应用。

复数的几何意义知识点总结一、复数的几何表示。

1. 复平面。

- 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。

在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

- 例如，复数z = 3 + 2i，在复平面内对应的点为(3,2)，其中3是实部，对应实轴上的坐标；2是虚部，对应虚轴上的坐标。

2. 复数的向量表示。

- 复数z = a+bi(a,b∈ R)与复平面内的向量→OZ=(a,b)一一对应，其中O为坐标原点，Z(a,b)为复数z对应的点。

- 向量的模|→OZ|=√(a^2)+b^{2}，这个模就等于复数z = a + bi的模|z|=√(a^2)+b^{2}。

例如，对于复数z = 1 + i，其模| z|=√(1^2)+1^{2}=√(2)，在复平面内对应的向量→OZ=(1,1)，向量的模也是√(2)。

3. 复数的加减法的几何意义。

- 设复数z_1=a + bi，z_2=c+di(a,b,c,d∈ R)，它们在复平面内对应的向量分别为→OZ_1=(a,b)，→OZ_2=(c,d)。

- 复数的加法：z_1+z_2=(a + c)+(b + d)i，其几何意义是对应的向量相加，即→OZ_1+→OZ_2=(a + c,b + d)。

- 例如，z_1=1+2i，z_2=3 - i，z_1+z_2=(1 + 3)+(2-1)i = 4 + i，在复平面内→OZ_1=(1,2)，→OZ_2=(3,-1)，→OZ_1+→OZ_2=(1 + 3,2-1)=(4,1)。

- 复数的减法：z_1-z_2=(a - c)+(b - d)i，其几何意义是对应的向量相减，即→OZ_1-→OZ_2=(a - c,b - d)。

例如，z_1=3+2i，z_2=1 + i，z_1-z_2=(3 - 1)+(2 - 1)i=2 + i，在复平面内→OZ_1=(3,2)，→OZ_2=(1,1)，→OZ_1-→OZ_2=(3 - 1,2 - 1)=(2,1)。