下载文档原格式
练案[4]第二章相互作用第1讲重力弹力摩擦力一、选择题(本题共12小题，1～8题为单选，9～12题为多选)1．(2022·广东梅州二模)2022年春晚舞蹈《只此青绿》表演中，需要舞者两脚前后分开，以胯部为轴，上半身后躺，与地面近乎平行，在舞者缓慢后躺的过程中，下列说法不正确的是( A )A．人对地面的压力和地面对人的支持力是一对平衡力B．舞者所受的支持力始终等于舞者的重力C．舞者越向下躺，重心越低D．舞者两脚间距越大，下弯时越稳定[解析]人对地面的压力和地面对人的支持力是一对作用力与反作用力，选项A错误，符合题意；舞者缓慢后躺，可认为都是平衡状态，则舞者所受的支持力始终等于舞者的重力，选项B正确，不符合题意；舞者越向下躺，整个身体的重心越低，选项C正确，不符合题意；舞者两脚间距越大，重心越向下，下弯时越稳定，选项D正确，不符合题意。
2．(2022·陕西榆林市高三二模)一矿泉水瓶如图所示，其外壳是由食品级的弹性塑料制成的。
下列说法正确的是( C )A．手轻握矿泉水瓶时外壳发生的形变为非弹性形变B．手对矿泉水瓶的作用力是由矿泉水瓶的形变而产生的C．矿泉水瓶的瓶盖以及瓶身上的条纹是为了增大最大静摩擦力D．矿泉水瓶里的水对瓶底部的作用力与瓶底部对水的作用力是一对平衡力[解析]手轻握矿泉水瓶时外壳发生的形变在手离开瓶后还能恢复原状，为弹性形变，故A错误；手对矿泉水瓶的作用力是由手的形变而产生的，故B错误；矿泉水瓶的瓶盖以及瓶身上的条纹，增加了瓶盖和瓶身的粗糙程度，手握瓶时可以增大最大静摩擦力，故C正确；矿泉水瓶里的水对瓶底部的作用力与瓶底部对水的作用力是一对相互作用力，故D错误。
3．(2023·重庆南开中学高三阶段练习)艺术课上，老师将学生们的剪纸作品进行展出时，用磁铁将剪纸作品吸在竖直的磁性黑板上，下列关于各物体的受力情况正确的是( D )A．磁铁对剪纸的摩擦力与剪纸对磁铁的摩擦力是一对平衡力B．磁铁对剪纸的压力是由于剪纸发生形变引起的C．黑板对剪纸的作用力与磁铁对剪纸的作用力大小相等D．磁铁对剪纸的摩擦力与黑板对剪纸的摩擦力大小不相等[解析]磁铁对剪纸的摩擦力与剪纸对磁铁的摩擦力是一对相互作用力，故A 错误；由弹力产生的条件可知：磁铁对剪纸的压力是由于磁铁发生形变引起的，故B错误；由图可知，三块磁铁对剪纸的压力与黑板对剪纸的支持力相等，黑板对剪纸的摩擦力大小等于剪纸与磁铁的重力之和，而磁铁对剪纸的摩擦力大小等于磁铁的重力，可得磁铁对剪纸的摩擦力与黑板对剪纸的摩擦力大小不相等，由力的合成知：黑板对剪纸的作用力与磁铁对剪纸的作用力大小不相等，故D 正确，C错误。
第二节摩擦力一、静摩擦力答案：接触面粗糙接触处有弹力相对运动趋势0 F fm相反【基础练1】(2020·浙江省选考模拟)体操运动员在平衡杆上进行静态平衡训练，如图所示，则( )A．平衡杆对人的力等于人对平衡杆的力B．平衡杆对人的摩擦力方向向左C．人对平衡杆的摩擦力方向向左D．人受到的支持力是因为脚底发生了形变解析：选A。
平衡杆对人的力、人对平衡杆的力属于相互作用力，所以A正确；人受到重力、平衡杆对人的支持力，处于平衡状态，没有受到摩擦力，所以B、C错误；人受到的支持力是平衡杆形变造成的，所以D错误。
二、滑动摩擦力答案：μF N相反粗糙程度【基础练2】(多选)(2020·广东五华县期末质检)如图所示，物块M在静止的传送带上以速度v匀速下滑时，传送带突然启动，方向如图中箭头所示，若传送带的速度大小也为v，则传送带启动后( )A．M受到的摩擦力不变B．M静止在传送带上C．M可能沿斜面向上运动D．M下滑的速度不变解析：选AD。
由题意知，物块受到的摩擦力为滑动摩擦力，传送带启动后物块仍然受到的是滑动摩擦力，由F f＝μmg cos θ可知，物块M受到的摩擦力不变，A正确；由于物体受力情况没有变化，所以物体运动状态不变，物体仍沿传送带匀速下滑，B、C错误，D正确。
考点一静摩擦力的有无及方向的判断假设法思维程序如下：状态法先判断物体的状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向牛顿第三定律法先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向(2020·庐巢七校联盟第三次联考)智能化电动扶梯如图所示，乘客站上扶梯，先缓慢加速，然后再匀速上升，则( )A．乘客始终处于超重状态B．加速阶段乘客受到的摩擦力方向与v相同C．电梯对乘客的作用力始终竖直向上D．电梯匀速上升时，电梯对乘客的作用力竖直向上[解析] 加速运动阶段，乘客的加速度沿电梯斜向上，有竖直向上的分加速度，根据牛顿第二定律，电梯对他的支持力大于其重力，处于超重状态；匀速运动阶段，加速度为0，所以既不超重也不失重，故A错误；加速阶段乘客加速度方向沿电梯斜向上，加速度有水平向右的分量，则受到的摩擦力方向水平向右，B错误；加速阶段，乘客受到竖直向上的支持力和水平向右的摩擦力，则电梯对乘客的作用力斜向右上方；电梯匀速上升时，电梯对乘客只有向上的支持力，即电梯对乘客的作用力竖直向上，C错误，D正确。
第二单元 相互作用§1 重力 弹力 摩擦力 一．知识点 1．力 2．重力 3．弹力 3．摩擦力二．典例解析 1．弹力【例1】 如图所示，用细绳连接用同种材料制成的a 和b 两个物体。
它们恰能沿斜面向下作匀速运动，且绳子刚好伸直，关于a 、b 的受力情况（ ）A ．a 受3个力，b 受4个力B ．a 受4个力，b 受3个力C ．a 、b 均受3个力D ．a 、b 均受4个力【例2】如图所示，四根相同的弹簧都处于水平位置，右端都受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中的弹簧左端固定在墙上；②中的弹簧左端受大小也为F 的拉力作用；③中的弹簧左端栓一个小物块，物块在光滑桌面上滑动； ④中的弹簧左端栓一个小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动．若认为弹簧的质量都为零，以1l 、2l 、3l 、4l 依此表示四根弹簧的伸长量，则有F 引 mgF 向（ ） A ．1l ＜2lB ．2l =4lC ．3l ＜1lD ．4l ＞3l【例3】(2020年新课标)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2。
弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为A ．2121F F l l -- B.2121F F l l ++ C.2121F F l l +- D.2121F F l l -+组合弹簧问题 【例4】如图所示，一劲度系数为k ２的弹簧，竖直地放在桌面上，上面压一质量为m 的物体，另一劲度系数为k １的弹簧竖直地放在物体上面，其下端与物体的上表面接在一起，两个弹簧的质量都不计.要想使物体静止时下面弹簧的弹力减为原来的2/3（方向不变），应将上面弹簧的上端A 竖直向上提高一段距离d ，则d 为多少？变式1：把一根劲度系数k=1000N/m 的弹簧截成等长的两段，每一段弹簧的劲度系数为A ．500N/mB ．1000N/mC ．1500N/mD ．2000N/m变式2：如图所示，a 、b 、c 为三个物块，M 、N 为两根轻质弹簧，R 为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们的连接情况如图所示，并处于平衡状态，则A ．有可能N 处于拉伸状态而M 处于压缩状态B．有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C．有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D．有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态变式3：一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m，它们的下端平齐并固定，上端自由，如图所示，若压缩此组合弹簧时（在弹性限度内），测得力与压缩距离之间的关系图线如图所示，求大弹簧的劲度系数k和小弹簧的1劲度系数k2变式4：如图所示，倾角为θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定挡板C，劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量均为m的物体A和B连接，劲度系数为k2的轻弹簧一端与A连接，另一端通过一根轻绳与一轻质小桶P相连，跨过光滑的定滑轮Q放在斜面上，B靠在挡板C处，A和B均静止。
第1讲重力弹力摩擦力错误!力和重力1．力(1）定义：力是物体与物体间的相互作用。
(2)作用效果：使物体发生形变或改变物体的运动状态（即产生加速度)。
(3)性质：力具有物质性、相互性、共存性、矢量性、独立性等特征。
2．重力(1）产生：由于地球吸引而使物体受到的力.注意：重力不是万有引力，而是万有引力沿竖直向下的一个分力。
(2）大小：G＝mg，可用弹簧测力计测量.注意：①物体的质量不会变；②G的变化是由在地球上不同位置处g的变化引起的。
(3)方向：总是竖直向下。
注意：竖直向下是和水平面垂直，不一定和接触面垂直,也不一定指向地心。
（4)重心：物体的每一部分都受重力作用，可认为重力集中作用于一点即物体的重心.注意：重心的位置不一定在物体上.错误!弹力1．形变：物体在力的作用下形状和体积的变化.2．弹性形变：撤去外力作用后能够恢复原状的形变。
3．弹力（1)定义:发生弹性形变的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产生的作用力.（2）产生条件：①物体间直接接触;②接触处发生弹性形变。
（3）方向：总是与施力物体形变的方向相反。
4．胡克定律（1）内容：在弹性限度内，弹力和弹簧形变大小(伸长或缩短的量)成正比。
(2)表达式：F＝kx。
①k是弹簧的劲度系数,国际单位是牛顿每米，用符号N/m表示；k的大小由弹簧自身性质决定。
②x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度。
错误!静摩擦力、滑动摩擦力、动摩擦因数1．静摩擦力、滑动摩擦力名称项目静摩擦力滑动摩擦力定义两相对静止的物体间的摩擦力两相对运动的物体间的摩擦力产生条件①接触面粗糙②接触处有压力③两物体间有相对运动趋势①接触面粗糙②接触处有压力③两物体间有相对运动大小0〈F f≤F fm F f＝μF N方向与受力物体相对运动趋势的方向相反与受力物体相对运动的方向相反作用效果总是阻碍物体间的相对运动趋势总是阻碍物体间的相对运动2。
动摩擦因数(1）定义：彼此接触的物体发生相对运动时，摩擦力和正压力的比值。
第2讲摩擦力A组基础题组1.关于由滑动摩擦力公式F f=μF N推出的μ=,下列说法正确的是( )A.动摩擦因数μ与摩擦力F f成正比,F f越大,μ越大B.动摩擦因数μ与正压力F N成反比,F N越大,μ越小C.μ与F f成正比,与F N成反比D.μ的大小由两物体接触面的情况及材料决定2.(2015北京六十六中第一次质检,3)如图所示,一个人用与水平方向成θ角斜向上的力F 拉放在粗糙水平面上质量为m的箱子,箱子沿水平面做匀速运动。
若箱子与水平面间的动摩擦因数为μ,则箱子所受的摩擦力大小为( )A.F sin θB.F cos θC.μmgD.μF sin θ3.(2016广东执信中学期中)电视台体育频道讲解棋局节目中棋盘竖直放置,棋盘由磁石做成,棋子都可视为被磁石吸引的小磁体,若某棋子静止,则( )A.棋盘面可选足够光滑的材料B.棋盘对棋子的作用力比棋子对棋盘的作用力大C.棋盘对棋子的作用力比棋子的重力大D.若棋盘对棋子的磁力越大,则对其摩擦力也越大4.(2016江西上高二中月考)木块A、B分别重50 N和70 N,它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.2,与A、B相连接的轻弹簧被压缩了5 cm,系统置于水平地面上静止不动。
已知弹簧的劲度系数为100 N/m。
用F=7 N的水平力作用在木块A上,如图所示,力F作用后( )A.木块A所受摩擦力大小是10 NB.木块A所受摩擦力大小是2 NC.弹簧的弹力是12 ND.木块B所受摩擦力大小为12 N5.(2015黑龙江哈尔滨三中测试,10)(多选)如图所示,将一物块分成相等的A、B两部分靠在一起,下端放置在地面上,上端用绳子拴在天花板上,绳子处于竖直伸直状态,整个装置静止,则( )A.绳子上的拉力可能为零B.地面受的压力可能为零C.地面与物体间可能存在摩擦力D.A、B之间可能存在摩擦力6.(2015河北石家庄3月模拟,16)如图所示,一质量为M、倾角为θ的斜面体置于水平地面上,质量为m的小木块(可视为质点)放在斜面上。
第2讲力的合成和分解知识巩固练习1．如图所示，一幼儿园小朋友在水平桌面上将a、b、c三个形状不规则的石块成功叠放在一起，受到了老师的表扬，则下列说法正确的是( )A．c受到水平桌面向左的摩擦力B．c对b的作用力方向一定竖直向上C．b对a的支持力大小一定等于a受到的重力D．b对a的支持力与a受到的重力一定是一对平衡力【答案】B【解析】以三个物体组成的整体为研究对象，整体只受到重力和桌面的支持力，水平方向不受摩擦力，故A错误；选取a、b作为整体研究，根据平衡条件，则石块c对b的作用力与整体的重力平衡，则石块c对b的作用力一定竖直向上，故B正确；石块b对a的支持力与其对a的静摩擦力的合力，跟a受到的重力是平衡力，则b对a的支持力和静摩擦力的合力方向竖直向上，支持力的方向不是竖直向上，也不等于a的重力，故C、D错误．2．如图所示，天鹅、大虾和梭鱼一起想把一辆大车在水平面上拖着跑，它们都给自己上了套，天鹅伸着脖子要往云里钻，大虾弓着腰儿使劲往前拉，梭鱼拼命地向水里跳，它们都在尽力地拉，结果大车却一动不动．则下列说法正确的是( )A．大虾和梭鱼对大车的拉力的合力一定比天鹅的拉力大B．它们三者拉力的合力与大车所受的重力一定平衡C．大车对地面的压力可能比重力大D．大车所受摩擦力大于其他所有力对大车的合力【答案】C【解析】车本身有重力的作用，大虾和梭鱼对大车的拉力的合力可以比天鹅的拉力小，A 错误；大车可能受到地面的支持力的作用，所以它们三者拉力的合力与大车所受的重力可以不平衡，B 错误；当梭鱼对大车的拉力在竖直方向上的分力大于天鹅对大车的拉力在竖直方向上的分力时，大车对地面的压力就会比重力大，C 正确；大车静止不动合力为零，所以大车所受摩擦力与其他所有力对大车的合力大小相等，方向相反，D 错误．3．(多选)(2021年德州质检)如图所示，形状和质量完全相同的两个小球a 、b 靠在一起，表面光滑，重力为G ，其中b 的下半部分刚好固定在水平面MN 的下方，上边露出另一半，a 静止在平面上．现过a 的轴心施加一水平作用力F ，可缓慢地将a 拉离平面一直滑到b 的顶端，对该过程分析，则应有( )A ．拉力F 先增大后减小，最大值是GB ．开始时拉力F 最大为3G ，以后逐渐减小为0C ．a 、b 间的压力开始最大为2G ，而后逐渐减小到GD ．a 、b 间的压力由0逐渐增大，最大为G【答案】BC【解析】据力的三角形定则可知，小球a 初状态时，受到的支持力N ＝G sin 30°＝2G ，拉力F ＝N cos 30°＝3G ．当小球a 缓慢滑动时，θ增大，拉力F ＝G cot θ，所以F 减小；当小球a 滑到小球b 的顶端时小球a 还是平衡状态，此时它受到的拉力必定为0，故A 错误，B 正确．小球a 受到的支持力由N ＝Gsin θ可知，θ增大而支持力减小，滑到b 球的顶端时由于小球处于平衡状态，支持力N ＝G ，故a 、b 间的压力开始最大为2G ，而后逐渐减小到G ，故C 正确，D 错误．4．如图，滑块A 置于水平地面上，滑块B 在一水平力作用下紧靠滑块A(A 、B 接触面竖直)，此时A 恰好不滑动，B 刚好不下滑．已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1，A 与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则A 与B 的质量之比为( )A ．1μ1μ2 B ．1－μ1μ2μ1μ2C ．1＋μ1μ2μ1μ2D ．2＋μ1μ2μ1μ2【答案】B【解析】B 刚好不下滑，说明B 的重力等于最大静摩擦力，即m B g ＝μ1F ．A 恰好不滑动，视A 、B 为一个整体，水平力等于整体的最大静摩擦力，即F ＝μ2(m A ＋m B )g ．联立两式可解得m A m B ＝1－μ1μ2μ1μ2．故B 正确． 5．(2021届山东名校一模)如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F 的作用，F 平行于斜面向上，若物块质量为6 kg ，斜面倾角为37°，动摩擦因数为0.5，物块在斜面上保持静止，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10 m/s 2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，则F 的可能值为( )A ．10 NB ．20 NC ．0 ND ．62 N【答案】B【解析】当物体受到的摩擦力沿斜面向上时，由共点力平衡可知mg sin 37°－μmg cos 37°－F ＝0，解得F ＝mg sin 37°－μmg cos 37°＝12 N ．当物体受到的摩擦力沿斜面向下时，由共点力平衡可知mg sin 37°＋μmg cos 37°－F ′＝0，解得F ′＝mg sin 37°＋μmg cos 37°＝60 N ．故施加的外力F 范围为12 N≤F ≤60 N，B 正确．6．如图所示，橡皮筋一端固定，用力F 1和F 2共同作用于橡皮筋的另一端，使之伸长到点O ，这时力F 1和F 2与橡皮筋之间的夹角分别为α、β，现保持橡皮筋的位置不变，力F 2的大小保持不变，而使力F 2逆时针转过某一角度(小于β)则可能需要( )A ．增大F 1的同时，增大α角B ．增大F 1的同时，α角不变C ．增大F 1的同时，减小α角D ．减小F 1的同时，减小α角【答案】A【解析】以O 点为研究对象，F 1和F 2的合力不变，而力F 2的大小保持不变，使力F 2逆时针转过某一角度(小于β)，各力变化如图所示．由图可知，F 1的大小变大，夹角α增大，故A 正确，B 、C 、D 错误．7．(多选)如图所示，一个“房子”形状的铁制音乐盒静止在水平面上，一个塑料壳里面装有一个正方形强磁铁，吸附在“房子”的顶棚斜面上，保持静止状态．已知顶棚斜面与水平面的夹角为θ，塑料壳和磁铁的总质量为m ，塑料壳和顶棚斜面间的动摩擦因数为μ，则以下说法正确的是( )A ．塑料壳对顶棚斜面的压力大小为mg cos θB ．顶棚斜面对塑料壳的摩擦力大小一定为μmg cos θC ．将塑料壳与磁铁看作一个整体，顶棚斜面对它的支持力、吸引力和摩擦力的合力等于mgD ．磁铁的磁性若瞬间消失，塑料壳不一定会往下滑动【答案】CD【解析】将塑料壳和圆柱形磁铁当作整体进行受力分析，它受重力、支持力(垂直斜面向上)、沿斜面向上的摩擦力、顶棚对圆柱形磁铁的吸引力而处于平衡状态，则塑料壳对顶棚斜面的压力大于mg cos θ，A 错误；顶棚斜面对塑料壳的摩擦力大小等于mg sin θ，B 错误；将塑料壳和磁铁看作一个整体，顶棚斜面对它的支持力、吸引力和摩擦力三者的合力大小等于mg ，C 正确；当磁铁的磁性消失时，最大静摩擦力大小发生变化，但合力可能为零，可能保持静止状态，则塑料壳不一定会往下滑动，D 正确．综合提升练习8．(多选)(2021届南昌名校期末)两个中间有孔、质量为M 的小球A 、B 用一轻弹簧相连，套在水平光滑的横杆上．两个小球下面分别连一轻弹簧．两轻弹簧下端系在一质量为m 的小球C 上，如图所示．已知三根轻弹簧的劲度系数都为k ，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形．下列说法正确的是( )A ．水平横杆对质量为M 的小球的支持力为Mg ＋mgB ．连接质量为m 的小球的轻弹簧的弹力为mg 3C ．连接质量为m 的小球的轻弹簧的伸长量为33k mg D ．套在水平光滑横杆上的轻弹簧的形变量为36k mg【答案】CD【解析】先将三个小球当作整体，在竖直方向，整体受到两个力作用：竖直向下的重力、竖直向上的支持力，其大小为F N ＝(2M ＋m )g ，则F N 2是水平横杆对质量为M 的小球的支持力，A 错误；以C 为研究对象，受到的弹力为F ，则有2F cos 30°＝mg ，F ＝mg 2cos 30°＝3mg 3，B 错误；连接质量为m 的小球的轻弹簧的伸长量为Δx ＝3mg 3k，C 正确；对M 进行受力分析，在水平方向，设连接M 的弹簧所受的弹力为F ′，有F ′＝F cos 60°，则kx ′＝12F ，得x ′＝3mg 6k，D 正确． 9．(多选)如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有( )A ．三条绳中的张力都相等B ．杆对地面的压力大于自身重力C ．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零D ．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力【答案】BC【解析】由于三条绳子的长度不同，绳子与竖直方向的夹角不同，故绳中的张力也不相等，A 错误；三条绳子对杆的拉力都有竖直向下的分力，分别设为T 1y 、T 2y 、T 3y ，杆的重力设为G ，地面对杆的支持力设为N 支，由平衡条件知，N 支＝T 1y ＋T 2y ＋T 3y ＋G ＞G ，再根据牛顿第三定律，杆对地面的压力N 压＝N 支＞G ，故B 正确；杆受到三条绳子的拉力在水平方向的分力分别为T 1x 、T 2x 、T 3x ，三个力平衡，合力为零，C 正确；绳子对杆的拉力的合力即为拉力在竖直方向分力的合力，方向竖直向下，与重力的方向相同，故与重力不可能是一对平衡力，D 错误．10．(多选)(2021年成都质检)如图所示，两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连并放置在光滑的半球面内．已知细杆长度是球面半径的2倍，当两球处于静止状态时，细杆与水平面的夹角θ＝15°，则( )A ．杆对a 、b 球作用力大小相等且方向沿杆方向B ．小球a 和b 的质量之比为2∶1C ．小球a 和b 的质量之比为3∶2D ．半球面对a 、b 球的弹力之比为3∶1 【答案】AD【解析】对轻杆，受到两个球的弹力是一对平衡力，根据牛顿第三定律可得，杆对a 、b 两球的作用力大小相等，且方向沿杆方向，A 正确；a 、b 两球受力情况如图所示，过O 作竖直线交ab 于c 点，设球面半径为R ，则△Oac 与左侧力的三角形相似，△Obc 与右侧力的三角形相似，由几何关系可得m a g Oc ＝T ac ，m b g Oc ＝T bc ，即m a m b ＝bc ac，由题可知，细杆长度是球面半径的2倍，根据几何关系可得α＝45°，由于△acf ∽△bce ，则bc ac ＝be af ＝R sin 60°R sin 30°＝31，则m a m b ＝bcac ＝31，B 、C 错误；由几何关系可得N a Oa ＝T ac ，N b Ob ＝T bc ，解得N a N b ＝bc ac ＝31，D 正确．11．如图所示，AC 和BC 两轻绳共同悬挂一质量为m 的物体，若保持AC 绳的方向不变，AC 与竖直方向的夹角为60°，改变BC 绳的方向，求：(1)物体达到平衡时，θ角的取值范围．(2)θ在0°～90°的范围内，求BC 绳上拉力的最大值和最小值．【答案】(1)0°≤θ＜120° (2)3mg 32mg【解析】(1)改变BC 绳的方向时，AC 绳的拉力F T A 方向不变，两绳拉力的合力F 与物体的重力平衡，重力大小和方向保持不变，如图所示，经分析可知，θ最小为0°，此时F T A ＝0；且θ必须小于120°，否则两绳的合力不可能竖直向上，所以θ的取值范围是0°≤θ＜120°．(2)θ在0°～90°的范围内，当θ＝90°时，F T B最大，F max＝mg tan 60°＝3mg，当两绳垂直时，即θ＝30°时，F T B最小，F min＝mg sin 60°＝32 mg．。
