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第四章 能带理论小结

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能带理论(陈长乐)

能带理论(陈长乐)
V (r ) V (r R
n
)
式中，Rn 为晶格周期性平移矢量，
则，薛定鄂方程
2 2m
2
V ( r ) ( r ) E ( r )
的本征函数 (r) 具有调幅平面波的形式：
(r ) u k (r )e
i k r
其中 称
u k (r )
E ' (... r i ... R ...)
这种把电子系统与原子核 (离子实) 分开处理的方法称为绝热近似。
上述方程虽然经过简化，但仍然是多电子体系的薛定鄂方程，精 确求解仍然非常困难。
因为，所有电子的状态都是相互关联的，任一电子的状态不仅与 自身位置有关，而且和所有其它电子位置有关。
是以晶格为周期的函数, 即： u k ( r )
(r )
u k (r R l )
,
k 是一个实矢量，
(r )
为布洛赫波，称由
描述的电子为布洛赫电子。
4.2 周期场中单电子状态的一般属性
4.2.1 布洛赫定理
布洛赫定理证明：
T (R
引入平移符， n )， T ( R n ) 作用于任意函数 f ( r ), 得 T ( R n ) f( r ) f ( r R n ) 根据定义 T ( R m )T ( R n ) f (r ) T ( R m ) f (r R
n
m
) A(R
) ( r )
即有，
A(R
R
m
) A(R
2
) A(R
)
(2)
由以上结果
和上式
(1)
(2) ， 得到
A(R n )

固体物理学能带理论小结

固体物理学能带理论小结

能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度。

本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。

比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。

了解内容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。

二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。

故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。

多体问题化为了多电子问题。

2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。

多电子问题化为单电子问题。

3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。

单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()ni k R n r R e r ψψ⋅+= ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik rr e u r ψ⋅= ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+ ，n R 取布拉维格子的所有格矢成立。

2）证明过程：a. 定义平移算符 T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m =b ． 证明 T 与ˆH 的对易性。

ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出 T 在 T 与ˆH 共同本征态下的本征值 λ。

能带理论--能带结构中部分概念的理解小结

能带理论--能带结构中部分概念的理解小结

本文是关于能带结构概念部分学习的小结，不保证理解准确，欢迎高中低手们批评指教，共同提高。

能带结构是目前采用第一性原理(从头算abinitio)计算所得到的常用信息，可用来结合解释金属、半导体和绝缘体的区别。

能带可分为价带、禁带和导带三部分，导带和价带之间的空隙称为能隙，基本概念如图1所示。

1. 如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。

一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。

因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

2. 能带用来定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点。

价带（valence band），或称价电带，通常指绝对零度时，固体材料里电子的最高能量。

在导带（conduction band）中，电子的能量的范围高于价带（v alence band），而所有在传导带中的电子均可经由外在的电场加速而形成电流。

对于半导体以及绝缘体而言，价带的上方有一个能隙（b andgap），能隙上方的能带则是传导带，电子进入传导带后才能再固体材料内自由移动，形成电流。

对金属而言，则没有能隙介于价带与传导带之间，因此价带是特指半导体与绝缘体的状况。

3. 费米能级(Fermi level)是绝对零度下电子的最高能级。

根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。

“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。

海平面即是费米能级。

一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。

成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。

4. 能量色散（dispersion of energy）。

固体物理_第4章_能带理论

固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

第四章能带理论

第四章能带理论
T T f (r ) T f (r a ) f (r a a ) T T f (r )
T T T T
性质2： TαTβ= Tα+β
T f ( r ) f ( r a a ) T T f ( r ) f ( r a a ) T T T
15
性质3：平移算符Tα与H互相对易
2 2 H r V (r ) 2m
HT ( r ) H( r a ) 2 2 ( r V ( r )) ( r a ) 2m 2 2 ( r a V ( r a )) ( r a ) 2m H ( r a ) ( r a ) H ( r ) Ta
故晶体势场对电子运动的影 响看作微扰处理。 近自由电子近似
紧束缚近似
6
能带理论基本思想
理想晶体 具有周期性的晶格结构，因而等效势场V(r)也应具有周期性。 晶体中的电子 是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方 程为（即单电子薛定谔方程）：
2 2 V r E 2m 其 中V r V r Rn , Rn为 晶 格 平 移 矢 量 。
布洛赫定理
——1928 年布洛赫提出
一、定理内容：晶格具有平移对称性的单 电子哈密顿
2 2 H V (r ) 2m
的本征函数 ( r )可表示为
ik r (r ) e u(r )
其中
u(r ) u(r R) ，k 为简约波矢。
（2）定理证明。
13
（1）平移算符Tα及其性质
定义：平移算符Tα对于任意函数，都有：

第四章-能带理论-(Band-Theory)

第四章-能带理论-(Band-Theory)
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
不考虑原子间相互作用, 简单晶格格点 Rm 原子的电子
将以原子束缚态的形式运动, 其波函数i r Rm 满足方程:
2
2m
2
V
r Rm
i
r Rm
根据能量函数的对称性, 可以得到如下推论: 简 约BZ可以分成若干等价的小区域. 以立方晶体为例, Oh点群有48个对称操作, 则简约BZ可以分割成48个 等价区域, 只需讨论其中一个就可以得到全部. 这 1/48的体积称为RBZ的不可约体积.
21
根据量子力学中的结论, 若 k 是 S-E 的解, 则其复共
imjnmnijrrrrdr??????????????????3minmiminmarrurvrrrrdrea?????????????????????????3inmimnmrrurvrrrrdrjrr??????????????设
能带理论 - 3 （Band Theory）
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
若干分离能量值, 对应于不同的能带; 对于给定的 n, 能量 是 k 的连续函数. 这种能量函数的表示方法称为 RBZ 图像.
RBZ 实际上是倒空间的原胞, 以它的形状为单元周期重 复排列可以充满整个 k 空间, 这些单元是完全等价的. 因此
有 En k En k Gn .
23
除了RBZ和PBZ图像, 还有一种EBZ图像, 其差别 如下：

固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)

填充的部分（允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成 的能带，所以这种理论称为能带论。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ

因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r



它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn

，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。

固体物理-第四章 能带理论


V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的 体积, N = N1N2N3是原胞总数。
k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个 布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N
4.1.基本概念
4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 Ĥ=Ĥ0+ĥ (4.1.4.1) Ĥ0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。Ĥ0的本征方程为： Ĥ0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，ĥ 微扰项。为便于比较，令ĥ=lĤ’ , l<<1, Ĥ’ 的作用相当于Ĥ0，但Ĥ’不等于Ĥ0。。于是 Ĥ=Ĥ0+ lĤ’
第四章 能带理论

4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性
4.1.基本概念
4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动 能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相 互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述 晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 Ĥ=-ħ22/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势 与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞 的单位矢量. r ，电子的位矢.

能带理论


(
K r
),
其中
K k 为电子波矢，
K Rn
=
K n1a1
+
K n2a2
+
K n3a3
是格矢。
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
ψ
K (r
)
=
eikK⋅rG
K u(r
),
G
其中u(r )具有与晶u格(rK一+样RK的n周) =期u性(rG，)即
首都师范大学物理系
ψ
K (r
K
u(r
)
=KeikK⋅rG
G
对于自由电子 hk为动量，但对于晶体中的布洛赫电子，hk 不
是真实动量。在研究晶体在外场作用下运动及电子与声子、
光子的相G互作用时, 它在形式上又好像起到动量的作用, 所 以又称 hk 为布洛赫电子的准动量或电子的晶体动量。
首都师范大学物理系
下面我们证明
ψ
G k
K (r )
=
ψ
G k+
K Kn
K (r )
N1 N2
K
K
N3
K
引入矢量 k = l 1 b 1 + l 2 b 2 + l 3 b 3
N1
N2
N3
首都师范大学物理系
式中
KKK b1、b2、b3为晶格三个倒格基矢，由于
K ai
⋅
K bj
= 2πδij
,
KK
λ ( Rn ) = eik⋅Rn
ψ
K (r
+
K Rn
)
=
KK
ψ eik ⋅Rn
K (r )
首都师范大学物理系

能带理论课程总结

能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。

这种多电子系统严格的解显然是不可能的。

能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。

能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。

在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。

在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。

通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。

1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。

根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。

Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。

具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。

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5.能带宽度：
E Emax Emin
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ik r k r e uk r uk r uk r Rn
布洛赫波函数具有如下特点：
ik Rn (r Rn ) e (r ),
bi bi ki ， i 1， ， ) ( 2 3 2 2 在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
第四章 能带理论
第 四 章

能带理论
小结
能带理论的基本假定
布洛赫定理 近自由电子近似



紧束缚近似

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第四章 能带理论
基本假定
绝热近似：价电子可以看作是在固定不变的离子实场中运 动，一个多种粒子的多体问题简化成多电子问题 平均场近似(单电子近似）：每一个电子都处在同样的势 场中运动 ，使一个多电子体系问题变成一个单电子问题
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第四章 能带理论 3.波函数和能量
1 ( x ) Ae ， A L
0 k ikx
2k 2 E 2m
0 k
k ( x)
1 ikx e 1 ' 2 L n 2m
2 2
Vne 2π 2 2 k (k n) a
周期场假设：薛定谔方程中势能项具有晶格周期性
多电子体系问题可以简化为晶格周期场下的单电子问题
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
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第四章 能带理论
布洛赫定理
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
电子能带的三种图示法
每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能 带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大。
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第四章 能带理论
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V (r Rn )
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。 2.势场 3.波函数
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k (r ) k K (r )
h
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第四章 能带理论
近自由电子近似
1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势 能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替 V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。 2.势场: V ( x )
利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。
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第四章 能带理论
5.能带图
(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带； (b)简约区图：将不同能带平移适当 的倒格矢进入到第一布里渊区内表示( 在简约布里渊区内画出所有能带)；
(c)周期区图：在每一个布里渊区
周期性地画出所有能带(强调任一特 定的波矢k的能量可以用和它相差Kh 的波矢来描述)。
Vne
n
ikx
1 a Vn 2a V ( x )e ikxdx a 2
a 2 a 2 i 2π nx a
1 1 ikx Vn V ( x )e dx V ( x )e a a
a 2 a 2
dx
1 a 。 其中V0 2a V ( x )dx是势能的平均值 a 2
1.模型
紧束缚近似
Vr

V at ( r

' V at ( r R ) Rn ) m
Rm
1 (k , r ) N
e
Rn
ik Rn
( r Rn )
at
4.能量表达式： E ( k ) E at J ' e ik ( Rn Rs ) J ss sn Rn
i 2π nx a
e ikxuk ( x )
Vn k Ek ' 2 2 2π 2 2m n k (k n) 2m a
2
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返回
结束
第四章 能带理论
4.结论:
(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁 带，禁带宽度为 2Vn ； (2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上 弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线； (3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。