河南省2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(理)

河南省南阳六校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
_
二、多选题
参考答案：
3．B
【分析】利用待定系数法即可得解.
【详解】因为双曲线C 的渐近线方程为所以可设C 的方程为(22
4x y λλ-=
8．A
【分析】设1BF t =，由双曲线的定义求得利用22222AF AB BF +=列出方程求得结合离心率的定义，即可求解.
【详解】因为11:3:1AF BF =，设
9．BC
【分析】根据直线的倾斜角为π2
可判定B正确；化简直线4
y+=
定D错误.
【详解】对于A中，当直线的倾斜角为
故选：AD
11．BCD
【分析】对于A,可先将椭圆化为标准式，再由参数关系可直接求离心率；对于
圆化为标准式，可直接得到圆心；对于C，取圆上的一些特殊点判断其与特殊点的位置关系，再联立椭圆与圆的方程判断有无交点，两者结合即可判定椭圆与圆的位置关系
先求AP的最值，再通过圆上的点B的常用几何结论
则
()
2
22112AP x y x =
-+=
-所以2x =时，AP 取得最小值B 是圆P ：222241x y x +-+=
13．3
【分析】首先得到抛物线的准线方程，再设点【详解】抛物线24y x =的准线为由抛物线24y x =上的点P 到准线的距离为故答案为：3
则1242
x x a +=
=，12
2y y b +=，即
22．(1)
2
21 4
x
y
-=
(2)证明见解析；。

河南省郑州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·珠海期末) 已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .3. （2分）已知双曲线的渐近线l1经过二、四象，直线l过点A(2,3)且垂直于直线l1 ，则直线l方程为（）A . 2x+y-7=0B . x-2y+4=0C . x-2y+3=0D . x-2y+5=04. （2分）若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by-4=0对称，则a2+b2的最小值是（）A . 2B .C .D . 15. （2分）已知A（﹣1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为（）A . -10B . 17C . 5D . 26. （2分）如图为一个几何体的三视图正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知点在抛物线的准线上，焦点为，若点在抛物线上，且满足，则点的坐标为（）A .B .C .D .8. （2分）已知直线l：，定点F(0，1)，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）如实数x,y满足，目标函数z=ax+y取得最小值的最优解有无穷多个，则a= （）A . -1B . -3C . 1D . 310. （2分） (2015高一下·广安期中) 在△ABC中，a=7，b=5，c=3，则cosA等于（）A . ﹣B .C .D .11. （2分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，则点A（﹣2，0）与点P连线中点的轨迹方程是（）A . y=2x2B . y=8x2C . x=4y2﹣1D . y=4x2﹣12. （2分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A . y=xB . y=xC . y=xD . y=x二、填空题 (共7题；共7分)13. （1分）(2012·江苏理) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为________．14. （1分） (2016高三上·嘉兴期末) 设不等式组表示的平面区域为M，点P（x，y）是平面区域内的动点，则z=2x﹣y的最大值是________，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．15. （1分）已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________.16. （1分） (2017高二上·静海期末) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是________．17. （1分） (2019高二上·延边月考) 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．18. （1分）双曲线 =1有动点P，F1 ， F2是曲线的两个焦点，则△PF1F2的重心M的轨迹方程为________．19. （1分）(2018·辽宁模拟) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 ________．三、解答题 (共4题；共30分)20. （5分） (2018高二上·如东月考) 某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G ，且G在P的右侧，△MNP 为灯光区，用于美化环境.（1）若学校的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆（）的面积为 ) （2）若椭圆的离心率为，要求灯光区的周长不小于，求PG的取值范围.21. （5分）(2019·浙江) 如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1 ， S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.（2）求的最小值及此时点G点坐标.22. （10分）(2020·达县模拟) 椭圆的焦点是，，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点．问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．23. （10分）(2018·延安模拟) 已知两定点，，动点使直线，的斜率的乘积为 .（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于，两点，是否存在常数，使得？并说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共7题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共4题；共30分)20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线3x ﹣2y ﹣3＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为上底面A 1C 1的中心，若AO →=AA 1→+xAB →+yAD →，则实数x ，y 的值分别为（ ） A ．x ＝1，y ＝1B ．x =12，y =12C ．x =12，y =1D ．x =1，y =123．“a ＝﹣2”是“直线ax +3y ﹣1＝0与直线6x +4y ﹣3＝0垂直”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）A ．√19米B ．√51米C ．2√19米D ．2√51米5．若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为（ ） A ．5√22B ．3√22C ．√2D ．√226．已知直线l ：x +y cos θ﹣3＝0，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0，π） B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]7．已知直线3x +2y ﹣6＝0分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若直线x +y ﹣1＝0上存在一点C ，使|CA |+|CB |最小，则点C 的坐标为（ ） A ．(23，13)B ．(65，−15)C ．(43，−13)D ．(45，15)8．如图，二面角α﹣l ﹣β的棱上有两点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ，若AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD =√41，则二面角α﹣l ﹣β的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．23πD ．5π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年河南省焦作市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={−3，−2，1，3}，B ={x|3x ＜19}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣2}B ．{﹣3}C ．{3}D ．{1，3}2．已知双曲线C ：x 24−y 2b2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线x ﹣3y ﹣2＝0平行，则b ＝（ ）A ．36B ．4√2C ．6D ．233．已知a ，b ∈R ，若z 1=a−i1+i与z 2＝b ﹣3i 是共轭复数，则a ＝（ ） A ．﹣7B ．﹣4C ．2D ．54．图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体P ﹣ABCD ﹣Q （图2），其中P ﹣ABCD ，Q ﹣ABCD 均为所有棱长都相等的正四棱锥，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则PQ →=（ ）A ．a →+b →+2c →B ．2a →+2b →+2c →C ．−a →−b →+2c →D ．a →+b →−2c →5．已知直线l ：y ＝2x 与圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4ay +1＝0（a ≠0）交于A ，B 两点，且点C 到直线l 的距离等于|AB |，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2√5+4C ．1或−13D ．2√5+4或2√5−46．已知椭圆C ：x 225+y 29=1的右焦点为F ，点E （0，2），点P 是C 上的动点，则|PF |+|PE |的最小值为（ ） A ．5B ．10−2√5C ．10D ．10+2√57．已知点A （﹣3，0），B （3，0），若在直线l 上有唯一点P 满足P A ⊥PB ，且有唯一点Q 满足|QA |＝2|QB |，则符合条件的l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条8．已知正六边形ABCDEF ，把四边形ABCD 沿直线AD 翻折，使得点B ，C 到达B 1，C 1且二面角B 1﹣AD﹣E 的平面角为120°．若点A ，B 1，C 1，D ，E ，F 都在球O 1的表面上，点O 1，B 1，C 1，E ，F 都在球O 2的表面上，则球O 2与球O 1的表面积之比为（ ） A ．34B ．43C ．√3D ．√32二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a ＞0)，当a 变动时，下列结论正确的是（ ） A ．C 的焦点恒在x 轴上 B ．C 的焦距恒大于4C ．C 的离心率恒大于2D ．C 的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变10．已知在平面直角坐标系中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是不重合的两点，则下列结论错误的是（ ） A ．直线AB 的方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1B ．若2x 1﹣y 1﹣1＝0，2x 2﹣y 2﹣1＝0，则直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0C ．若3x 1﹣y 1﹣1＝0，3x 2﹣y 2+4＝0，则|AB |的值可以是√2D ．若x 12+y 12=x 22+y 22=4，y 1x 1−3=y2x 2−3，且|AB |是定值，则直线AB 有2条11．已知空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点A （1，0，1），B （﹣1，﹣1，2），C （0，1，2），则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 的一个方向向量的坐标为（2，1，﹣1）B ．直线AC 与平面xOy 的交点坐标为（2，1，0） C ．点B 关于平面yOz 的对称点为B ′（1，﹣1，2）D ．∠BAC 为钝角12．已知函数f(x)={sin 2x cosx ，x ≠π2+kπ，cosx ，x =π2+kπ(k ∈Z)，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）在区间(0，π2)上单调递增 B ．若f （α）＝1，则cos α有2个不同的取值 C ．f （x ）的图象关于点(π2，0)对称D ．若f （x ）在区间（0，x 0）上有且仅有10个零点，则x 0的取值范围是(5π，11π2) 三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2是偶函数，则实数a ＝ ．14．已知点O （0，0，0），A （2，0，1），B （﹣1，0，2），则△OAB 的面积为 ．15．著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为r 1，r 2，r 3的三个圆两两外切，同时又都与半径为r 4的圆外切，则2(1r 1r 2+1r 1r 3+1r 1r 4+1r 2r 3+1r 2r 4+1r 3r 4)=1r 12+1r 22+1r 32+1r 42．已知O 1（﹣2，0），O 2(2，0)，O 3(0，32)，若圆O 1，O 2，O 3两两外切，且都与圆O 4外切，其中圆O 1，O 2的半径相等，则圆O 4的标准方程为 ． 16．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）交于点A ，B ，直线AB 与x 轴的交点既是C 1的右焦点，也是C 2的焦点，点A ，B 关于原点的对称点分别为A '，B '，点P 是C 1上与A ，A '，B ，B '均不重合的点，记直线P A ，P A '的斜率分别为k ，k '，则kk '−4kk′= ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季．经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：mm ）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1．记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m ，x ． （1）求m ，x ；（2）已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物，当月降水量低于12.0mm 时甲种植物需要浇水，当月降水量低于15.0mm 时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （﹣2，0），直线l ：x ＝3，动点P （x ，y ）（x ≤0）到l 的距离等于|PF |+1．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线x ＝my ﹣4与曲线C 交于A ，B 两点，证明：OA →⋅OB →为定值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1与侧面ACC 1A 1都是菱形，AA 1＝AB 1＝2，∠BAC ＝∠AA 1C 1＝120°．记AB →=a →，AA 1→=b →，AC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示AB 1→，BC 1→，并证明BC 1⊥AB 1； （2）若D 为棱A 1C 1的中点，求线段BD 的长．20．（12分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，BD ＝2AD ，AD ＝2DC ． （1）求证：5AB 2+20AC 2＝8BC 2；（2）若∠BAC 是锐角，∠BAD ＝∠CAD 且AB +AC ＝5，△ABC 的面积为4825，求sin B ．21．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，AA 1＝5，A 1B 1＝3，AA 1⊥平面ABCD ，E 为CC 1的中点． （1）求直线AC 1与平面B 1CD 1所成角的正弦值；（2）若平面α经过BE 且与AC 1平行，求点B 1到平面α的距离．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1(√2，0)，A 2(√2，1)，A 3(√2，−1)，A 4(0，√2)中的3个点． （1）求C 的方程．（2）若直线x ＝ty +√2(t ≠0)与C 交于点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，点D 是△MNM '的外接圆圆心，判断在x 轴上是否存在定点P ，使得|DP||MN|为定值．若存在，求出点P 的坐标及|DP||MN|的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年河南省焦作市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={−3，−2，1，3}，B ={x|3x ＜19}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣2}B ．{﹣3}C ．{3}D ．{1，3}解：因为不等式3x ＜19可化为3x ＜3﹣2，解得x ＜﹣2，则B ＝（﹣∞，﹣2），所以A ∩B ＝{﹣3}． 故选：B ．2．已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线x ﹣3y ﹣2＝0平行，则b ＝（ ）A ．36B ．4√2C ．6D ．23解：由题设，双曲线渐近线为y =±b2x （b ＞0），其中一条与y =13x −23平行，所以b2=13⇒b =23．故选：D ．3．已知a ，b ∈R ，若z 1=a−i1+i与z 2＝b ﹣3i 是共轭复数，则a ＝（ ） A ．﹣7B ．﹣4C ．2D ．5解：由题设z 1=a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−1−(a+1)i2，与z 2＝b ﹣3i 是共轭复数， 所以a+12=−3⇒a =−7．故选：A ．4．图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体P ﹣ABCD ﹣Q （图2），其中P ﹣ABCD ，Q ﹣ABCD 均为所有棱长都相等的正四棱锥，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则PQ →=（ ）A ．a →+b →+2c →B ．2a →+2b →+2c →C ．−a →−b →+2c →D ．a →+b →−2c →解：连接AC ，BD 交于点O ，如图所示：则AO →=12AC →=12(AB →+AD →)，PQ →=2PO →=2（AO →−AP →）＝2[12（AB →+AD →）−AP →]=AB →+AD →−2AP →=a →+b →−2c →．故选：D ．5．已知直线l ：y ＝2x 与圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4ay +1＝0（a ≠0）交于A ，B 两点，且点C 到直线l 的距离等于|AB |，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2√5+4C ．1或−13D ．2√5+4或2√5−4解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4ay +1＝0（a ≠0）即（x +1）2+（y ﹣2a ）2＝4a 2（a ≠0）， 所以圆心C （﹣1，2a ），半径r ＝|2a |， 则圆心到直线l ：y ＝2x 的距离d =|−2−2a|5， 因为点C 到直线l 的距离等于|AB |，所以d 2+(d2)2=r 2， 即(|−2−2a|√5)2+(|−1−a|√5)2=4a 2，解得a ＝1或a =−13． 故选：C ． 6．已知椭圆C ：x 225+y 29=1的右焦点为F ，点E （0，2），点P 是C 上的动点，则|PF |+|PE |的最小值为（ ） A ．5B ．10−2√5C ．10D ．10+2√5解：设F 1为椭圆的左焦点，则F 1（﹣4，0）， 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF |＝2×5＝10， 则|PF |＝10﹣|PF 1|，即|PF |+|PE |＝10+|PE |﹣|PF 1|， 又||PE|−|PF 1||≤|EF 1|=√(−4)2+22=2√5， 则−2√5≤|PE|−|PF 1|≤2√5，则|PF |+|PE |＝10+|PE |﹣|PF 1|≥10−2√5，当且仅当点P 在EF 1的延长线上时取等号， 即|PF |+|PE |的最小值为10−2√5． 故选：B ．7．已知点A （﹣3，0），B （3，0），若在直线l 上有唯一点P 满足P A ⊥PB ，且有唯一点Q 满足|QA |＝2|QB |，则符合条件的l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解：若P A ⊥PB ，则P 在以AB 为直径的圆上，对应方程为x 2+y 2＝9，令Q （x ，y ），由题设有（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2，整理得（x ﹣5）2+y 2＝16， 所以直线l 与圆x 2+y 2＝9、（x ﹣5）2+y 2＝16均有且只有一个交点，即直线与两圆都相切， 又两圆圆心距离为5，半径之和为7，故两圆相交，它们的公切线有2条， 所以符合条件的l 有2条． 故选：C ．8．已知正六边形ABCDEF ，把四边形ABCD 沿直线AD 翻折，使得点B ，C 到达B 1，C 1且二面角B 1﹣AD ﹣E 的平面角为120°．若点A ，B 1，C 1，D ，E ，F 都在球O 1的表面上，点O 1，B 1，C 1，E ，F 都在球O 2的表面上，则球O 2与球O 1的表面积之比为（ ） A ．34B ．43C ．√3D ．√32解：由题设，若O 1为AD 中点，则OA ＝OB 1＝OC 1＝OD ＝OE ＝OF ， 令正六边形的边长为2，则球O 1的半径r ＝2，过C 1作C 1G ⊥DO 1于G ，连接EG ，由正六边形性质，△DC 1O 1，△EDO 1都为等边三角形， 所以G 为DO 1的中点，故EG ⊥DO 1，则二面角B 1﹣AD ﹣E 的平面角为∠EGC 1＝120°， GC 1=EG =√3，故C 1E ＝3，又C 1G ∩EG ＝G ，C 1G ，EG ⊂面EGC 1，故DO 1⊥面EGC 1，即DA ⊥面EGC 1， C 1E ⊂面EGC 1，则DA ⊥C 1E ，而B 1C 1∥DA ∥EF ，故B 1C 1⊥C 1E ，EF ⊥C 1E ， 由B 1C 1＝EF ＝2，故B 1C 1EF 为矩形，其对角线长为√13，由O 2是O 1﹣B 1C 1EF 外接球球心，故O 2必在O 1与底面B 1C 1EF 中心的连线上， 设球O 2的半径O 1O 2＝B 1O 2＝C 1O 2＝EO 2＝FO 2＝R ，如上图示，所以O 1O 2=√C 1O 12−(132)2+√C 1O 22−(132)2，即R =√4−134+√R 2−134=√32+√R 2−134，故(R −√32)2=R 2−134⇒R 2−√3R +34=R 2−134⇒R =43， 所以球O 1与球O 1的表面积之比为R 2r 2=43．故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a ＞0)，当a 变动时，下列结论正确的是（ ） A ．C 的焦点恒在x 轴上 B ．C 的焦距恒大于4C ．C 的离心率恒大于2D ．C 的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变解：由双曲线C ：x 2a2−y 24=1(a ＞0)，焦点在x 轴上，A 对；c =√a 2+4＞2，故焦距2c ＞4，B 对； 离心率e =c a =√1+4a2∈(1，+∞)，C 错； 由渐近线为y =±2ax ，即ay ±2x ＝0，焦点坐标为（±c ，0），所以一个焦点到其中一条渐近线的距离d =2√a 2+4√4+a 2=2，D 对．故选：ABD ．10．已知在平面直角坐标系中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是不重合的两点，则下列结论错误的是（ ） A ．直线AB 的方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1B ．若2x 1﹣y 1﹣1＝0，2x 2﹣y 2﹣1＝0，则直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0C ．若3x 1﹣y 1﹣1＝0，3x 2﹣y 2+4＝0，则|AB |的值可以是√2D ．若x 12+y 12=x 22+y 22=4，y 1x 1−3=y2x 2−3，且|AB |是定值，则直线AB 有2条解：A ：当x 1＝x 2时，直线方程不能用y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1表示，错；B ：由题设，不重合的点A ，B 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上，故直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，对；C ：由题设，A （x 1，3x 1﹣1），B （x 2，3x 2+4），则|AB|=√(x 1−x 2)2+[3(x 1−x 2)−5]2， 所以|AB|=√10[(x 1−x 2)−32]2+52≥√102＞√2，错； D ：由题设，不重合的点A ，B 在圆x 2+y 2＝4上，且与点C （3，0）所成直线斜率相同， 所以A ，B ，C 共线，而C 在圆x 2+y 2＝4外，只需过C 的直线y ＝k （x ﹣3）与圆有两个交点即可，如下图示，若|AB |是定值且为4时，结合圆的性质知：此时直线AB 有1条，而定值不为4时有2条，错．故选：ACD ．11．已知空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点A （1，0，1），B （﹣1，﹣1，2），C （0，1，2），则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 的一个方向向量的坐标为（2，1，﹣1）B ．直线AC 与平面xOy 的交点坐标为（2，1，0） C ．点B 关于平面yOz 的对称点为B ′（1，﹣1，2）D ．∠BAC 为钝角解：对于A ，由AB →=(−2，−1，1)，而−AB →=(2，1，−1)， 故直线AB 的一个方向向量为（2，1，﹣1），故A 正确；对于B ，由AC →=(−1，1，1)，令直线AC 与平面xOy 的交点D （x ，y ，0）， 则AD →=(x −1，y ，−1)， ∴x−1−1=y 1=−11⇒{x =2y =−1，即交点D （2，﹣1，0），故B 错误；对于C ，点B 关于平面yOz 的对称点为B ′（1，﹣1，2），故C 正确； 对于D ，由cos ∠BAC =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=2√6×√30，故∠BAC 为锐角，故D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f(x)={sin 2x cosx ，x ≠π2+kπ，cosx ，x =π2+kπ(k ∈Z)，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）在区间(0，π2)上单调递增 B ．若f （α）＝1，则cos α有2个不同的取值 C ．f （x ）的图象关于点(π2，0)对称D．若f（x）在区间（0，x0）上有且仅有10个零点，则x0的取值范围是(5π，11π2)解：当x≠π2+kπ时，f(x)=1−cos2xcosx=1cosx−cosx，f（x+2π）=1cos(x+2π)−cos(x+2π)=1cosx−cosx，所以f（x+2π）＝f（x），当x=π2+kπ，k∈Z时，f（x+2π）＝f（x）也成立，故f（x）是周期为2π的函数，f′（x）=sinxcos2x +sinx=sinx(1+1cos2x)，当x∈(0，π2)时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，且f（x）＞0，故A正确；当x∈(π2，π)时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，且f（x）＜0，当x∈(π，32π)时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，且f（x）＜0，当x∈(32π，2π)时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，且f（x）＞0，且f（0）＝f（π）＝f（2π）＝0，又x=π2+kπ，k∈Z时，f（x）＝cos x，则f(π2)=f(32π)=0，可得函数f（x）的图象如图所示，若f(α)=1，f(α)=1cosα−cosα=1，则cos2α+cosα﹣1＝0，解得cosα=−1+√52或cosα=−1−√52（舍），故cosα只有一个值，故B错误；当x≠π2+kπ，k∈Z时，f(x+π)=1cos(x+π)−cos(x+π)=−1cosx+cosx=−f(x)，当x=π2+kπ，k∈Z时，f（x+π）＝﹣f（x）也成立，所以f（x）的图象关于点(π2，0)对称，故C正确；因为f(π2)=f(π)=f(3π2)=f(2π)=0，所以f （x ）在（0，2π]上只有四个零点， 若f （x ）在区间（0，x 0）上有且仅有10个零点，则x 0的取值范围是(5π，11π2]，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2是偶函数，则实数a ＝ −16 ． 解：f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2的定义域为R ，所以f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2=log 3(9−x +1)+(−ax +3)2=f(−x)， 故log 3(9x +1)−log 3(9−x +1)+12ax =0，进而log 3(9x+1)−log 39x+19x +12ax =0，所以2x +12ax ＝0，解得a =−16． 故答案为：−16．14．已知点O （0，0，0），A （2，0，1），B （﹣1，0，2），则△OAB 的面积为 52．解：由题意可知OA →=(2，0，1)，OB →=(−1，0，2)，显然OA →⋅OB →=0⇒OA ⊥OB ，故△OAB 的面积为S =12|OA →|⋅|OB →|=12×√5×√5=52．故答案为：52．15．著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为r 1，r 2，r 3的三个圆两两外切，同时又都与半径为r 4的圆外切，则2(1r 1r 2+1r 1r 3+1r 1r 4+1r 2r 3+1r 2r 4+1r 3r 4)=1r 12+1r 22+1r 32+1r 42．已知O 1（﹣2，0），O 2(2，0)，O 3(0，32)，若圆O 1，O 2，O 3两两外切，且都与圆O 4外切，其中圆O 1，O 2的半径相等，则圆O 4的标准方程为 x 2+(y −56)2=136 ． 解：设圆O 1，O 2，O 3，O 4的半径分别为r 1，r 2，r 3，r 4，由题意可得：{r 1=r 2r 1+r 2=|O 1O 2|=4r 1+r 3=|O 1O 3|=52，解得{r 1=r 2=2r 3=12， 又因为2(1r 1r 2+1r 1r 3+1r 1r 4+1r 2r 3+1r 2r 4+1r 3r 4)=1r 12+1r 22+1r 32+1r 42，即2(14+1+12r 4+1+12r 4+112r 4)=14+14+114+1r 42，解得r 4=16， 由|O 1O 4|＝|O 2O 4|，可知点O 4在线段O 1O 2的中垂线上，即y 轴上，设O 4（0，a ），由题意可得{|O 1O 4|=√4+a 2=2+16|O 3O 4|=|32−a|=12+16，解得a =56， 即圆O 4的圆心O 4(0，56)，半径r 4=16，所以圆O 4的方程为x 2+(y −56)2=136． 故答案为：x 2+(y −56)2=136． 16．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）交于点A ，B ，直线AB 与x 轴的交点既是C 1的右焦点，也是C 2的焦点，点A ，B 关于原点的对称点分别为A '，B '，点P 是C 1上与A ，A '，B ，B '均不重合的点，记直线P A ，P A '的斜率分别为k ，k '，则kk '−4kk′= 4 ． 解：如图，令椭圆C 1半焦距为c ，由C 1的右焦点，也是C 2的焦点，得c =p2，又直线AB 过点F(p2，0)，由椭圆、抛物线的对称性知，点A ，B 关于x 轴对称，即直线AB ⊥x 轴，由{x =p 2y 2=2px ，得|y |＝p ，由{x =cx 2a 2+y 2b 2=1，得|y|=b2a ， 于是b 2a=2c ，即b 2＝2ac ，则a 2﹣c 2＝2ac ，解得ca=√2−1，不妨令A （c ，2c ），则A ′（﹣c ，﹣2c ），设P （x 0，y 0），x 0≠±c ，显然y 02=b 2−b 2a2x 02=2ac −2c a x 02，所以kk ′=y 0−2c x 0−c ⋅y 0+2c x 0+c =y 02−4c 2x 02−c 2=2ac−2c a x 02−4c 2x 02−c 2 =−2c a ⋅x 02−(a 2−2ac)x 02−c 2=−2c a ⋅x 02−c 2x 02−c2=−2c a =−2(√2−1)， 所以kk ′−4kk′=−2(√2−1)4−2(2−1)=4． 故答案为：4．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季．经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：mm ）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1．记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m ，x ． （1）求m ，x ；（2）已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物，当月降水量低于12.0mm 时甲种植物需要浇水，当月降水量低于15.0mm 时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率．解：（1）由数据从小到大为10.4，10.5，12.0，12.1，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1， 又10×40%＝4，则第40百分位数为m =12.1+12.52=12.3mm ， 平均数x =10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.110=13.5mm ． （2）由数据及题设知：12个月中降水量低于12.0mm 有2个月，降水量低于15.0mm 有8个月， 所以甲、乙两种植物都需要浇水的概率为16，二者中有植物需要浇水的概率为23．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （﹣2，0），直线l ：x ＝3，动点P （x ，y ）（x ≤0）到l 的距离等于|PF |+1．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线x ＝my ﹣4与曲线C 交于A ，B 两点，证明：OA →⋅OB →为定值．解：（1）由点F （﹣2，0），直线l ：x ＝3，动点P （x ，y ）（x ≤0）到l 的距离等于|PF |+1， 可得|x ﹣3|＝1+√(x +2)2+y 2，即为（2﹣x ）2＝x 2+y 2+4x +4， 化为y 2＝﹣8x ；（2）证明：联立{x =my −4y 2=−8x ，可得y 2+8my ﹣32＝0，设A （−y 128，y 1），B （−y 228，y 2），则y 1y 2＝﹣32， OA →•OB →=164（y 1y 2）2+y 1y 2＝16﹣32＝﹣16，即为定值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1与侧面ACC 1A 1都是菱形，AA 1＝AB 1＝2，∠BAC ＝∠AA 1C 1＝120°．记AB →=a →，AA 1→=b →，AC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示AB 1→，BC 1→，并证明BC 1⊥AB 1； （2）若D 为棱A 1C 1的中点，求线段BD 的长．解：（1）根据题意可得： AB 1→=AB →+AA 1→=a →+b →，BC 1→=BA →+AC →+CC 1→=−AB →+AC →+AA 1→=−a →+b →+c →，证明：∵BC 1→⋅AB 1→=(−a →+b →+c →)⋅(a →+b →)=−a →2−a →⋅b →+a →⋅b →+b →2+a →⋅c →+b →⋅c →＝﹣4+4+2×2×cos120°+2×2×cos60°＝0， ∴BC 1⊥AB 1；（2）∵D 为棱A 1C 1的中点，∴根据题意可得： BD →=BA →+AA 1→+A 1D →=−a →+b →+12c →， ∴BD →2=a →2+b →2+14c →2−2a →⋅b →−a →⋅c →+b →⋅c →＝4+4+1﹣2×2×2×cos120°﹣2×2×cos120°+2×2×cos60° ＝17， ∴|BD →|=√17．20．（12分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，BD ＝2AD ，AD ＝2DC ． （1）求证：5AB 2+20AC 2＝8BC 2；（2）若∠BAC 是锐角，∠BAD ＝∠CAD 且AB +AC ＝5，△ABC 的面积为4825，求sin B ．解：（1）由题设，令BD ＝4DC ＝4x ，则AD ＝2x ，BC ＝5x ，△ADB 中cos ∠ADB =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD ，△ADC 中cos ∠ADC =AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC，又∠ADB +∠ADC =π，故cos ∠ADB +cos ∠ADC =0， 所以4x 2+16x 2−AB 22⋅2x⋅4x+4x 2+x 2−AC 22⋅2x⋅x=0，即AB 2+4AC 2＝40x 2，则5AB 2+20AC 2＝200x 2＝8BC 2，得证． （2）设∠BAD =∠CAD =θ，在△ABD 中BD sinθ=AB sin∠ADB，在△ACD 中CDsinθ=AC sin∠ADC，而∠ADB +∠ADC =π，故sin ∠ADB =sin ∠ADC ，则AB AC=BD CD=4，又AB +AC ＝5，故AB ＝4，AC ＝1，又12AB ⋅ACsin2θ=4825，所以sin2θ=2425，由∠BAC =2θ为锐角，则cos2θ=1−2sin 2θ=725⇒sinθ=35，由BD sinθ=AD sinB⇒4x sinθ=2x sinB⇒sinB =sinθ2=310．21．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，AA 1＝5，A 1B 1＝3，AA 1⊥平面ABCD ，E 为CC 1的中点． （1）求直线AC 1与平面B 1CD 1所成角的正弦值；（2）若平面α经过BE 且与AC 1平行，求点B 1到平面α的距离．解：（1）根据题意，可建系如图，则A （0，0，0），B （4，0，0），C （4，4，0），B 1（3，0，5），D 1（0，3，5），C 1（3，3，5），E （72，72，52），∴AC 1→=(3，3，5)，B 1C →=(1，4，−5)，CD 1→=(−4，−1，5)，BE →=(−12，72，52)， 设平面面B 1CD 1所的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅B 1C →=x +4y −5z =0m →⋅CD 1→=−4x −y +5z =0，取m →=(1，1，1)， ∴直线AC 1与平面B 1CD 1所成角的正弦值为：|cos ＜AC 1→，m →＞|=|AC 1→⋅m →||AC 1→||m →|=11√9+9+25×3=11√129129；（2）∵平面α经过BE 且与AC 1平行，又根据（1）可知AC 1→=(3，3，5)，BE →=(−12，72，52)，BB 1→=(−1，0，5)，设平面α的法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅BE →=−12a +72b +52c =0n →⋅AC 1→=3a +3b +5c =0，取n →=(1，1，−65)， ∴点B 1到平面α的距离为：|BB 1→||cos ＜BB 1→，n →＞|=|BB 1→⋅n →||n →|=7√1+1+3625=35√8686． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1(√2，0)，A 2(√2，1)，A 3(√2，−1)，A 4(0，√2)中的3个点． （1）求C 的方程．（2）若直线x ＝ty +√2(t ≠0)与C 交于点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，点D 是△MNM '的外接圆圆心，判断在x 轴上是否存在定点P ，使得|DP||MN|为定值．若存在，求出点P 的坐标及|DP||MN|的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为A 2(√2，1)，A 3(√2，−1)关于x 轴对称， 所以这2个点在椭圆上，此时2a 2+1b 2=1，①当A 1(√2，0)在椭圆上时，2a 2+0b 2=1，②由①②知，方程无解； 当A 4(0，√2)在椭圆上时，0a 2+1b 2=1，③联立①③，解得a 2＝4，b 2＝2， 因为a ＞b ＞0，所以a 2＝4，b 2＝2， 则椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；（2）不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），可得M '（x 1，﹣y 1）， 联立{x =ty +√2x 24+y 22=1，消去x 并整理得(t 2+2)y 2+2√2ty −2=0，由韦达定理得y 1+y 2=−2√2t t 2+2，y 1y 2=−2t 2+2， 所以|MN |=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+t 2⋅√(−2√2t t 2+2)2−4×(−2t 2+2)=4t 2+4t 2+2，由外接圆的定义知，点D 为线段MM '，MN 垂直平分线的交点， 因为线段MM '的垂直平分线为x 轴， 所以线段MN 垂直平分线为y −y 1+y 22=−t(x −x 1+x 22)，令y ＝0，解得x D =y 1+y 22t =x 1+x 22=(t 2+1)(y 1+y 2)+2√2t2t=(t 2+1)(−2√2t t 2+2)+2√2t2t=√2t 2+2，不妨设P （x 0，0）， 此时|DP||MN|=|x 0−√2t 2+2|4t 2+4t 2+2=|x 0t 2+2x 0−√2|4t 2+4，所以当x 0=2x 0−√2， 即x 0=√2时，|DP||MN|为定值，定值为√24， 故当在x 轴上存在定点P （√2，0），使得|DP||MN|为定值，定值为√24．。

2022-2023学年（上）高二年级期中考试数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.^+£-11.椭圆 3的焦点坐标为（ ）A. （土V^,0）B.（0,土很）c. （±2,0） D.（0,±2）由椭圆方程可知,【2=3，。

2=1,所以。

2=。

2_》2=2，且焦点在y 轴,故选：B2.已知向量. = （1,0,2）,人=（4,2,2），且a-b = 6，则向量q 与夹角的余弦值为（ ）「应C.-----51A.-5R 4oD.------------53D.-5由空间向量数量积的坐标运算可得o ・Z7 = x + 4 = 6,解得尤=2,所以，方=（2,2,2）,7 a-b所以，cos<a,b>=a /15aib6___打x2右—5，故选：C.3.已知直线l:kx-2y-4k + l = 0 ,当实数上变化时，Z 恒过点（ ）4A.（0,0）B.C.（4,1）D.直线Z 的方程可化为—4） + 1 —2y = 0,由＜x-4 = 0[1-2,=。

‘ 解得x = 41，y =一24因此，直线/恒过定点［勺；］故选：B.4.已知向量方=（0,1,1）, /? = （1,-2,2）.若a + b 与向量c = （-l,2m,-3）平行，则实数m =£2A.2B.-2 D.~2因为向量】=(0,1,1),/?=(1,-2,2)所以a+b—(1,-1,3)又a+b与向量。

=(一1,2m,-3)平行-12m 所以一二——1-1-3 T所以m=-,2故选：D.5.直线y=x被椭圆子+匕=i截得的线段长为()22^3D4^3厂厂—B. C.右33B联立＜，解得＜$x=——3*L或1V6"——3V6x=------3y=------3y=jt子+丈—123a/3"V 厦I匝］所以,2直线y 二x交椭圆工2+匕=1于点a2、B(46—匝，HE I M\(2^Y c M所以，|AB|=J—-—x2=—-—.故选：B.6.已知直线心+5y—3=0与工―3y+〃=0互相垂直，且交点为(p,l),则m+n+p= ()A.24B.20C.18D.10C因为两直线互相垂直，所以m+5x(-3)=0,得m=15,直线为15x+5y—3=0,代入交点（P』），得15〃+5—3=0,p=一土，再将交点e，l］代入直线尤一3y+〃=。

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单选题1．直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,22．已知空间向量()2,2,1a =-- ，()3,0,1b = ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A ．⎝⎭B ．10105,,333⎛⎫-- ⎝⎭C ．31,0,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．10105,,999⎛⎫-- ⎝⎭3．已知方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,4B ．()2,3C ．()()2,33,4D ．()2,44．已知{},,a b c 是空间的一个基底，{},,a b a b c +- 是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()4,2,3，则向量p在基底{},,a b a b c +- 下的坐标是（）A ．()4,0,3B ．()3,1,3C ．()1,2,3D ．()2,1,35．直线sin 20x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．[)0,πB ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．12D ．37．若圆()2221:(1)(2)0C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:43100l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．()5,+∞C ．()3,5D ．[]3,58．已知实数x ，y 满足2222x y x y +=+，则4yx -的最大值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．1二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若空间中O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线B ．空间中三个非零向量,,a b c，若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则a c∥C ．对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，若220242025OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 共面D ．()1,1,a x = ，()3,,9b x = ，若310x >-，则a与b 的夹角为锐角10．下列说法不正确的有（）A ．若两条直线250x ay +-=与250ax y +-=互相平行，则实数a 的值为2-B ．若直线y kx b =+不经过第三象限，则点(,)k b 在第二象限C ．过点(2,3)--且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-D ．已知直线10kx y k ---=和以(3,1)M -，(3,2)N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为32k ≥或12k ≤-11．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，动点P 满足PA =，得到动点P 的轨迹是曲线C ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22(2)8x y -+=B ．若直线4y kx =+与曲线C 有公共点，则k 的取值范围是22⎡+⎣C ．当,,O A P 三点不共线时，若点(2D -，则射线PD 平分APO∠D ．过曲线C 外一点(4,)a a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，则直线MN 过定点24,33⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题1210=化简后为．13．如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为(3,0)A -，(2,1)B ，(2,3)C -，求：(1)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程；(3)ABC V 的外接圆方程．16．如图，在棱长为2的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=.(1)求线段1AC 的长度；(2)求直线1AC 与直线1C D 的夹角的余弦值.17．已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =，点()0000,,P x y z ，若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000;x x y y z z abc a b c---==≠若平面α以u为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000.a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线l 的标准式方程为112x z-==，平面1α的点法式方程可表示为50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的正弦值;(2)已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，求点P 到平面2α的距离;(3)若集合(){},,|2,1M x y z x y z =+==，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积.。

2021-2022学年河南省开封市五县高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a2−y22=1有相同的焦点，则实数a为()A. 1B. −1C. ±1D. 不确定2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则cd(a+b)2的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. 24.如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，……，P7，F是椭圆的左焦点，则|P1F|+|P2F|+⋯+|P7F|=()A. 35B. 30C. 25D. 205.在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角α为某一范围内变动，π6≤α≤π3，则该双曲线的离心率取值范围是()A. [43,4] B. [2√33,4] C. [2√33,2] D. [43,2]6.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7.已知x>0，y>−1，且4x +1y+1=3，则x+y的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 18.“a=12”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块10.下列五个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0<a<1，则log a(a+1)<log a(1+1a)”是真命题；⑤命题“集合{x|x2−2x+1=0,x∈R}有2个子集”是假命题．其中正确命题的序号是()A. ②③B. ①②C. ④⑤D. ③④11.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太极图案中，阴影部分可表示为A ={(x,y)|x 2+(y −1)2≤1或{x 2+y 2≤4x 2+(y +1)2≥1x ≤0}，设点(x.y)∈A ，则z =3x +4y 的最大值与最小值之和为( ) A. −1B. 19C. 1D. 2012. 已知点A 是椭圆x 22+y 2=1的上顶点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线y =ax +b(a >0)将三角形AF 1F 2分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A. (1−√22,12) B. (1−√22,13] C. (0,1)D. [13,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点P 的轨迹是圆．若两定点A ，B 的距离为3，动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹围成的区域的面积为______． 14. 记不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D ，命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9；命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12.给出了四个命题：①p ∨q ：②￢p ∨q ：③p ∧￢q ；④￢p ∧￢q ，这四个命题中，所有真命题的编号是______.(把所有正确的命题序号都填上)15. 在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，若a ，b ，c 成等差数列，则B 的取值范围是______．16. 函数y =√x 2+4+√x 2+6x +18的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：∃x 0∈{x|−1≤x ≤1}，x 02−x 0−m ≥0是假命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x −3a)(x −a −2)<0的解集为A.若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值．19.设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n=na n，已知a1，3a2，9a3成等差数3列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和.证明：T n<S n．220.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21. 已知圆C 1：x 2+y 2−2mx −4my +5m 2−4=0，圆C 2：x 2+y 2=1．(1)若圆C 1、C 2相交，求m 的取值范围；(2)若圆C 1与直线l ：x +2y −4=0相交于M 、N 两点，且|MN|=4√55，求m 的值；(3)已知点P(2,0)，圆C 1上一点A ，圆C 2上一点B ，求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围．22. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点为M(1,34)，求k 的值；(2)若OA ⊥OB ，求证：原点O 到直线l 的距离为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：椭圆x24+y2m2=1得∴c1=√4−m 2，∴焦点坐标为(√4−m 2,0)(−√4−m 2,0)，双曲线：x2m2−y22=1有则半焦距c2=√m 2+2∴√4−m 2=√m 2+2则实数m=±1故选：C．先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．利用祖暅原理可得：A、B在等高处的截面积恒相等”，可得：A、B的体积相等，即可判断出p与q的关系．【解答】解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故答案选A．3.【答案】A【解析】解：∵x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，∴x+y=a+b，xy=cd．又x>0，y>0．∴cd(a+b)2=xy(x+y)2≤xy4xy=14，当且仅当x=y>0时取等号．故选：A．利用等差数列、等比数列的性质、基本不等式即可得出．熟练掌握等差数列、等比数列的性质、基本不等式是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：由椭圆x225+y216=1，得a=5．设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P5F′|，∴|P1F|+|P2F|+⋯+|P7F|=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+|P4F|=7a=35．故选：A．由椭圆方程求得a，设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性，可得|P1F|+|P2F|+⋯+ |P7F|=7a，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=bax，则tanα=ba，∵π6≤α≤π3，∴√33≤tanα≤√3，即√33≤ba≤√3，∴13≤b 2a 2=c 2−a 2a 2≤3求得2√33≤ca ≤2，故选：C ．先表示出渐近线方程，利用求得tanα=ba ，根据α的范围确定tanα范围，进而确定ba 的范围，同时利用c =√a 2+b 2转化成a 和c 的不等式关系求得ca 的范围，即离心率的范围． 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用．6.【答案】D【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB 化简已知的等式得：sinAcosA =sinBcosB ， ∴12sin2A =12sin2B ，∴sin2A =sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2， 则△ABC 为等腰或直角三角形． 故选D利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A =sin2B ，由A 和B 都为三角形的内角，可得A =B 或A +B =90°，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．7.【答案】C【解析】解：因为x >0，y >−1，且4x +1y+1=3，所以x +y =x +y +1−1=13(x +y +1)(4x +1y+1)−1=13(5+4(y+1)x+xy+1)−1≥13(5+2√4y+4x⋅xy+1)−1=2，当且仅当4y+4x=xy+1且4x +1y+1=3，即y =0，x =2时取等号，此时x +y 取得最小值2．故选：C ．利用“乘1法”，结合基本不等式即可得出．本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是乘1法的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题，直线l1：2ax+4y+3=0，所以斜率k1=−a2，直线l2：x−(a−1)2y−5=0，所以斜率k2=1(a−1)2，因为直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直，所以k1k2=−1，即−a2×1(a−1)2=−1，解得a=12或a=2，所以“a=12”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．可先根据“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”计算出a的取值，再由充要条件进行判断即可．本题考查了命题的充分条件，必要条件，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d=9，a1=9，根据等差数列的性质即可求出n=9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d=9，a1=9，由等差数列的性质可得S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则n2d=729，则n=9，则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+27×262×9=3402块，故选：C．10.【答案】A【解析】解：对于①，“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；故①不正确；对于②，命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；故②正确；对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题p是假命题，命题q一定是真命题；故③正确；对于④，若若0<a<1，则1a >1，所以a<1a，所以a+1<1a+1，因为y=log a x单调递减，所以log a(a+1)>log a(1+1a)，故④不正确；对于⑤，集合{x|x2−2x+1=0,x∈R}={1}的子集为{1}和⌀，子集有2个故是真命题，所以⑤不正确；所以正确命题的序号是②③，故选：A．根据否命题是同时否定条件和结论可判断①；根据特称命题的否定变量词否结论可判断②；根据或与非命题真假的判断可判断③；根据不等式的性质以及对数函数的单调性可判断④；解方程求得集合中的元素，进而可得集合子集的个数可判断⑤；进而可得正确答案．否命题是同时否定条件和结论，命题的否定只否定结论，存在量词的否定是全称量词，本题属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图，作直线3x+4y=0，当直线上移与圆x2+(y−1)2=1相切时，z= 3x+4y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线z =3x +4y 的距离等于1， 即√32+42=1，解得z 的最大值为：4+5=9，当下移与圆x 2+y 2=4相切时，3x +4y 取最小值， 同理有√32+42=2，即z 的最小值为−10．∴z =3x +4y 的最大值与最小值之和是9+(−10)=−1． 故选：A ．结合图形，平移直线z =3x +4y ，当直线与阴影部分相切时取得最值，分别求其最大最小值即可．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力，属于中档题目．12.【答案】A【解析】解：因为点A 是椭圆x 22+y 2=1的上顶点，F 1，F 2分别是椭圆左右焦点，所以a 2=2，b 2=1，从而有c 2=a 2−b 2=1， 所以A(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，由题意，三角形AF 1F 2的面积为12⋅F 1F 2⋅OA =1， 设直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba ,0)，由直线y =ax +b(a >0)将三角形AF 1F 2分割为面积相等的两部分，可得b >0， 所以−ba <0，故点M 在射线OF 1上， 设直线y =ax +b 和AF 2的交点为N ， 则由{y =ax +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b a+1,a+ba+1)，①若点M 和点F 1重合，如图：则点N 为线段AF 2的中点，故N(12,12)，把F 1、N 两点的坐标代入直线y =ax +b ，求得a =b =13， ②若点M 在点O 和点F 1之间，如图：此时b >13，点N 在点F 2和点A 之间，由题意可得三角形NMF 2的面积等于12，即12⋅MF 2⋅y N =12， 即12×(1+ba )⋅a+ba+1=12，可得a =b 21−2b>0，求得b <12， 故有13<b <12， ③若点M 在点F 1的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−ba <−1，求得b >a ， 设直线y =ax +b 和AF 1的交点为P ， 则由{y =ax +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b a−1,a−ba−1)，此时，由题意可得，三角形APN 的面积等于12，即12(1−b)|x N −x P |=12， 即12(1−b)|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2(1−b)2=|a 2−1|， 由于此时13>b >a >0，所以2(1−b)2=|a 2−1|=1−a 2，两边开方可得√2(1−b)=√1−a 2<1，所以1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13，综上，b 的取值范围应是(1−√22,12)，故选：A ．由题意，A(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，先求出直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba,0)，由−ba<0，可得点M 在射线OF 1上．再求出直线y =ax +b(a >0)和AF 2的交点N 的坐标，分三种情况讨论即可得b 的取值范围．本题主要考查直线与椭圆的位置关系，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．13.【答案】4π【解析】 【分析】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查． 设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可． 【解答】解：根据本题圆的定义知平面内到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点P 的轨迹是圆．又动点P 满足|PA|=2|PB|，A ，B 的距离为3， 所以PAPB =2，P 点的轨迹为圆． 设A(−32,0)，B(32,0)，P(x,y)，|PA|=√(x +32)2+y 2，|PB|=√(x −32)2+y 2，∴(x +32)2+y 2=4(x −32)2+4y 2， 化简得，(x −52)2+y 2=4． ∴r =2，S =πr 2=4π． 故答案为4π．14.【答案】①③【解析】解：作出不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D ，在图形可行域范围内可知：命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9，是真命题，则￢p 假命题， 命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12，是假命题，则￢q 真命题， 所以由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p ∨q 真；②￢p ∨q 假；③p ∧￢q 真；④￢p ∧￢q 假， 故①③真命题． 故答案为：①③．画出平面区域为D ，再去判断命题的真假即可．本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,π3]【解析】解：由题意可得：2b =a +c ． 由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac=3(a 2+c 2)−2ac8ac=38(a c +c a )−14≥38×2−14=12.当且仅当a =c =b 时取等号． 又B ∈(0,π)，∴B ∈(0,π3]. 故答案为：(0,π3].由题意可得：2b =a +c.利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】√34【解析】解：y =√x 2+4+√x 2+6x +18=√(x −0)2+(0−2)2+√(x +3)2+(0−3)2，可看作点(x,0)与点(0,2)和(−3,−3)的距离之和， 所求最小值为距离和的最小值， 点(0,2)关于x 轴对称的点为(0,−2)，(0,−2)和(−3,3)两点的距离为√32+52=√34，综上所述，函数y =√x 2+4+√x 2+6x +18的最小值为√34， 故答案为：√34．y =√x 2+4+√x 2+6x +18=√(x −0)2+(0−2)2+√(x +3)2+(0−3)2，可看作点(x,0)与点(0,2)和(−3,−3)的距离之和，即可得出答案． 本题考查函数的最值，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)命题p ：∃x 0∈{x|−1≤x ≤1}，x 02−x 0−m ≥0是假命题，所以命题￢p ：∀x ∈{x|−1≤x ≤1}，x 2−x −m <0是真命题． 所以m >x 2−x ，−1≤x ≤1时，f(x)=x 2−x 有最大值为f(−1)=2， 所以实数m 的取值集合B ={m|m >2}； (2)由题意可知，A ⊊B 且A ≠⌀，不等式(x −3a)(x −a −2)<0对应方程(x −3a)(x −a −2)=0的根为x =3a 或x =a +2，①若3a >a +2，即a >1时，A ={x|2+a <x <3a}， 若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，即A ⊊B ， 所以2+a ≥2，解得a ≥0，此时a ∈(1,+∞)； ②若3a <a +2，即a <1时，A ={x|3a <x <2+a}， 所以3a ≥2，得a ≥23，此时23≤a <1，综上所述，实数a的取值范围是[23,1)∪(1,+∞)．【解析】(1)根据命题p与它的否定命题一真一假，写出￢p，再求实数m的取值集合B；(2)根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，以及根据定义转化为集合关系的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设asinA =bsinB=csinC=2R则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 方程两边同乘以2R∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA故cosA=−12，A=120°(Ⅱ)由(Ⅰ)得：sinB+sinC=sinB+sin(60°−B)=√32cosB+12sinB=sin(60°+B)故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理，设asinA =bsinB=csinC=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．(Ⅱ)根据(Ⅰ)中A的值，可知c=60°−B，化简得sin(60°+B)根据三角函数的性质，得出最大值．本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．19.【答案】解：(1)∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2=a1+9a3，∵{a n}是首项为1的等比数列，设其公比为q，则6q =1+9q 2，∴q =13， ∴a n =a 1q n−1=(13)n−1，∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ．(2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ， ∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1，T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，① ∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，②①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1， ∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．20.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q ，由a 32=9a 2a 6． 得a 32=9a 42． 所以q 2=19．由条件可知q >0，故q =13．由2a 1+3a 2=1，得2a 1+3a 1q =1， 所以a 1=13．故数列{a n }的通项式为a n =13n ．(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n=log 3(a 1a 2…a n )=log 3(3−(1+2+3+⋯+n))=−(1+2+3+⋯+n)=−n(n+1)2．故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，数列{1b n}的前n 项和：T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=−2n n+1．所以数列{1b n}的前n 项和为：T n =−2nn+1．【解析】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．(1)利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{a n }的通项公式．(2)利用对数运算法则化简b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，然后化简数列{1b n}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.【答案】解(1)圆C 1的圆心为C 1 (m,2m)，半径r 1=2，圆C 2的圆心C 2(0,0)，半径r 2=1， 因为圆C 1，C 2相交，所以圆心距|r 1−r 2|<|C 1C 2|<|r 1+r 2|， 即1<√m 2+(2m)2<3，解得−3√55<m <−√55或√55<m <3√55(2)圆心C 1到直线l ：x +2y −4=0的距离d =√5，结合d 2+(MN 2)2=r 12，即(5m−4)25+45=4，解得m =0或m =85(3)由向量加减运算得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|， 由−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 联想到作出圆C 2：x 2+y 2=1关于定点P(2,0)的对称圆C 3：(x −4)2+y 2=1， 延长BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与圆C 3交于点B 1，则−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |就是圆C 1上任意一点A 与圆C 3上任一点B 1的距离． 所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =|C 1C 3|−3=√(m −4)2+(2m)2−3=√5m 2−8m +16−3=√5(m −45)2+645−3=8√55−3 所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围是[8√55−3,+∞)【解析】(1)根据|r 1−r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2，即可求解m 的取值范围； (2)由C 1到直线l 的距离为√5，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形即可求解m 的值．(3)通过作圆C 2的对称圆C 3，找到B 的对称点B 1，然后将|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |转化为|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即圆C 1与圆C 3上两个动点之间距离．最后通过圆心距与两圆半径解决即可． 本题考查了圆的方程的综合引用．属难题．22.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12，得3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 解得k =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−1；证明：(2)当斜率k 存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{3x 2+4y 2=12y =kx +m ，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0． ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，∵OA ⊥OB ，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)⋅4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=7m 2−12−12k 23+4k 2=0，∴m 2=127(1+k 2)，原点O 到直线l 的距离d =√1+k2=2√217； 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 为x =m ， 则A(m,√3(4−m 2)2)，B(m,−√3(4−m 2)2)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得m 2−3(4−m 2)4=0，解得|m|=2√217． 综上可知，原点O 到直线l 的距离为定值2√217．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把A 、B 的坐标代入椭圆方程，利用作差法即可求得直线l 的斜率k 的值；(2)当斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积为0可得k与m的关系，再由点到直线的距离公式求解原点O到直线l的距离为定值；当直线l的斜率不存在时，设直线l为x=m，直接运算可得原点O到直线l的距离为定值．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用作差法求直线的斜率，考查运算求解能力，是中档题．。

2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。

2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l 的方程为（ ） A ．﹣x +y ＝1B ．x +y ﹣5＝0C ．y ＝3D ．x ＝22．二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A ．x =−14aB ．x =−a 4C ．y =−14aD ．y =−a 43．已知三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．k 3＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 2＜k 3＜k 1D ．k 3＜k 2＜k 14．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cm ．A ．30B ．20C ．10√3D ．105．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√58．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2 10．已知方程x 27−t +y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 ．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 ；|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（）A．﹣x+y＝1B．x+y﹣5＝0C．y＝3D．x＝2解：∵直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，∴直线l的方程为x＝2．故选：D．2．二次函数y＝ax2（a≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（）A．x=−14aB．x=−a4C．y=−14a D．y=−a4解：将二次函数y＝ax2（a≠0）化为抛物线标准式得x2=1ay，所以准线方程为y=−14a．故选：C．3．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（）A．k3＜k1＜k2B．k1＜k2＜k3C．k2＜k3＜k1D．k3＜k2＜k1解：若γ＞90°＞β＞α，则tanβ＞tanα＞0＞tanγ，A成立，若α＜β＜γ＜90°，则tanα＜tanβ＜tanγ，B成立，若α＜90°＜β＜γ，则tanα＞0＞tanγ＞tanβ，C成立，故选：D．4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cm．A．30B．20C．10√3D．10解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，大椭圆a1=20，b1=10，c1=√202−102=10√3，离心率为e1=√32，小椭圆b 2＝5，离心率e 2=e 1=√32=√a 22−25a 2，解得a 2＝10，故长轴长为20．故选：B ．5．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）解：直线y ＝kx +1恒过点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上， 即024+12m≤1，解得m ≥1，又m ≠4，则m 的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故选：B ．6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），抛物线y 2＝4x ，则F （1，0）， 因为焦点F 恰好是△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 3＝3×1＝3， 故|F A |+|FB |+|FC |＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝6． 故选：D ．7．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√5解：x 2+y 2＝1，则圆心C （0，0），半径r ＝1， |2x +y ﹣5|=√5|2x+y−5|√2+1，√22+12表示圆上的点到直线2x +y ﹣5＝0的距离，该距离的最小值为√22+12−r =√5−1，故|2x +y ﹣5|的最小值是：√5×(√5−1)=5−√5． 故选：C ．8．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：不妨设P （x 0，y 0），则过点P 的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y −y 0=k(x −x 0)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2k （y 0﹣kx 0）x −a 2[(y 0−kx 0)2+b 2]，因为过点P 的切线方程与双曲线只有一个交点，所以Δ＝0，解得(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0，易知k AP ，k BP 为关于k 的方程(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0的两个根，且k AP •k BP ＝﹣1，所以y 02+b 2x 02−a 2=−1，整理得x 02+y 02=a 2−b 2，所以点P 的轨迹方程为x 02+y 02=a 2−b 2（a ＞b ），可得双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的轨迹方程为x 2+y 2＝3， 所以r =√3，则该蒙日圆的面积S ＝πr 2＝3π． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2解：A 中，两条直线平行时，则a （a +1）＝2×1，且a ×（﹣1）≠﹣1×1，解得a ＝﹣2，所以A 不正确；B 中，a =−23时，a •1+2•（a +1）=−23+23=0，即两条直线垂直，所以B 正确； C 中，直线l 1：ax +2y ﹣1＝0可得恒过定点（0，12），直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0整理可得ay +x +y ﹣1＝0，恒过定点（1，0），所以C 不正确；D 中，由A 可知，两条直线平行时a ＝﹣2，此时直线l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0，即x ﹣y +12=0， 直线l 2：x ﹣y ﹣1＝0，所以两条直线的距离d =|12−1|√1+(−1)=√24，所以D 不正确．故选：ACD ． 10．已知方程x 27−t+y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 解：当方程x 27−t+y 23+t=1是椭圆时，则{7−t ＞03+t ＞07−t ≠3+t，解得﹣3＜t ＜2或2＜t ＜7，∴A 错误，当方程x 27−t+y 23+t =1是双曲线时，则（7﹣t ）（t +3）＜0，解得t ＜﹣3或t ＞7，∴B 正确；若方程x 27−t +y 23+t =1是焦点在x 轴上的椭圆，则{7−t ＞3+t 3+t ＞0，解得﹣3＜t ＜2，∴C 正确； 若方程x 27−t+y 23+t=1是焦点在y 轴上的双曲线，则 {3+t ＞07−t ＜0，解得t ＞7，∴D 正确．故选：BCD ． 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a解：对于A ，易知|OP |∈[b ，a ]，故A 错误； 对于B ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，根据余弦定理，（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°，解得mn =4a 2−4c 23=4b23，所以S △F 1PF 2=12mnsin60°=√3b 23，故B 错误；对于C ，若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°， 则c ⩾b ，所以c 2⩾a 2﹣c 2，即c 2a 2⩾12，所以e ∈[√22，1)，故C 正确；对于D ，若PF 1的中点在y 轴上，则PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|=b2a，故D 正确．故选：CD ．12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18解：A ．由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），准线方程为：x =−p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），利用焦点弦的性质可得|AB |＝x 1+x 2+p ，而AB 的中点M 到准线的距离d =x 1+x 22−（−p 2）=12（1+x 2+p ）=12|AB |，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；B ．设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，k =1m ＞0，联立{x =my +p2y 2=2px ， 整理可得：y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0， 可得y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2， ∵AF →=2FB →，∴y 1＝﹣2y 2， 解得y 2＝﹣2mp ，y 1＝4mp ， ∴﹣8m 2p 2＝﹣p 2，解得m 2=18， ∴k =√1m 2=2√2，因此B 不正确； C ．设M （x ，y ），结合A ，B 可得：y =y 1+y 22=mp ，x =x 1+x 22=m(y 1+y 2)2+p 2=m 2p +p 2，消去m 可得：2y 2＝2px ﹣p 2，因此C 不正确； D ．若p ＝4，则抛物线C ：y 2＝8x ，不妨设x 1＞x 2＞0，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，∴|AF |+4|BF |＝x 1+4x 2+10=4x 2+4x 2+10≥4×2√1x 2⋅x 2+10＝18，当且仅当x 2＝1，x 1＝4时取等号，因此D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y轴上且a 2﹣b 2＝1） ． 解：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）． 故答案为：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 11 ． 解：由题意知E （﹣9，﹣4），F （1，3），如图，设圆E 关于y ＝x 的对称圆为圆G ，点Q 与点Q '关于y ＝x 轴对称，则圆G 的方程为（x +4）2+（y +9）2＝1，G （﹣4，﹣9），所以（|AP |+|AQ |）min ＝（|AP |+|AQ ′|）min ≥|PQ ′|，当且仅当P ，A ，Q ′三点共线时取得最小值， 此时|PQ ′|＝|FG |﹣1﹣1=√(−4−1)2+(−9−3)2−1﹣1＝11，所以AP |+|AQ |的最小值为11． 故答案为：11． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 3 ； |PF 1|2|PF 2|的最小值为 8 ． 解：已知椭圆x 281+y 272=1的离心率e 1=√1−7281=13，而c =√81−72=3， 因为双曲线C 与椭圆x 281+y 272=1的离心率互为倒数，所以双曲线C 的离心率e 2＝3，① 因为双曲线C 的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，所以双曲线C 的半焦距c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a ＝1，b ＝2√2，则双曲线C 的方程为x 2−y 28=1，若F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点， 可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝2， 即|PF 1|＝2+|PF 2|， 所以|PF 1|2|PF 2|=(2+|PF 2|)2|PF 2|=4+4|PF 2|+|PF 2|2|PF 2|=4|PF 2|+|PF 2|+4，因为|PF 2|≥c ﹣a ＝1， 所以4|PF 2|+|PF 2|+4≥2√4|PF 2|⋅|PF 2|+4=8， 当且仅当4|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|＝2时，等号成立，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为8．故答案为：3；8．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝79．解：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ |＝a +c ，|QR |＝a ﹣c 由题意可得P （0，4），R （﹣3，0），则PR ：4x ﹣3y +12＝0，k PR =43， 设M （n ，1），Q （n ，0）， 则M 到PR 的距离d =|4n−3+12|√4+3=1，解得n ＝﹣1（舍去）．n =−72，则|QR |=72−3=12=a ﹣c ， 又设PN ：kx ﹣y +4＝0，由d =|−72k−1+4|√1+k =1，得45k 2﹣84k +32＝0．∴k PR •k PN =3245，则k PN =815，得x N =−152， ∴2a =152−3=92，a =94，解得c =74． ∴椭圆的离心率e =ca =79． 故答案为：79．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程． 解：（1）由题意可得k AB =7−11−(−2)=2，由平行四边形可得CD ∥AB ，所以直线CD 的斜率为2，所以直线CD 的方程为y ﹣（﹣2）＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0； （2）设所求直线为l ．设点C 的坐标为（m ，n ），则DC →=(m −1，n +2)， 由题意AB →=DC →，又AB →=(3，6)，故{m −1=3n +2=6，解得m ＝4，n ＝4，即C （4，4）， 点E 是线段CD 的中点，则E(52，1)， 直线BC 的斜率为k BC =7−41−4=−1，由于直线BC 与l 垂直，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1=x −52， 即2x ﹣2y ﹣3＝0．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，所以e =√1+b 2a2=32，①因为焦点到其中一条渐近线的距离为√5， 所以d =√a 2+b=b =√5，②联立①②，解得a ＝2， 则双曲线的标准方程为y 24−x 25=1；（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +3，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +3y 24−x 25=1，消去y 并整理得（5k 2﹣4）x 2+30kx +25＝0，由韦达定理得x 1+x 2=−30k 5k 2−4，x 1x 2=255k 2−4，假设在y 轴上存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立， 不妨设点T （0，t ），此时k TM +k TN ＝0， 即y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)x 1x 2=x 2(kx 1+3−t)+x 1(kx 2+3−t)x 1x 2=2k +(3−t)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(3−t)−30k 5k 2−4255k 2−4=0，解得t =43，则点T 的坐标为(0，43)．综上，y 轴上存在点T(0，43)，使∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）证明：圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0，即x 2+y 2﹣10+λ（3x ﹣y ﹣10）＝0， 令{3x −y −10=0x 2+y 2−10=0，解得{x =3y =−1， 把（3，﹣1）代入圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0成立， 所以圆过定点（3，﹣1）．（2）当λ＝1时，圆C 的方程为：x 2+y 2+3x ﹣y ﹣20＝0． 假设存在直线l 符合题意，直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x +m ，与圆C 联立{y =x +mx 2+y 2+3x −y −20=0，化简整理可得，2x 2+2（m +1）x +m 2﹣m ﹣20＝0，Δ＝4（m +1）2﹣4×2×（m 2﹣m ﹣20）＞0①， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） x 1+x 2＝﹣（m +1），x 1x 2=m 2−m−202， 若以AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ，OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m m 2﹣m ﹣20﹣m （m +1）+m 2＝m 2﹣2m ﹣20＝0，解得m =1±√21，均满足①，故直线l 的方程为y =x +1−√21或y =x +1+√21． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值． 解：（1）选①：由题意得{2a =42b 2a =3，解得{a =2b =√3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：椭圆x 213+y 212=1的焦点坐标为（±1，0），则c ＝1，又2a ＝4，得a ＝2，由a 2＝b 2+c 2得，b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选③：由题意得2b 2a=3，因为F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b =√3c ，又a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）【解法一】：由题知F 2（1，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−−363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 设t =√m 2+1≥1，则S △F 1MN =12t 3t 2+1=123t+1t，因为函数y =3t +1t在t ∈[1，+∞）上单调递增， 所以函数y =123t+1t在t ∈[1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1时，y max =123×1+1=3（此时m ＝0，直线为x ＝1）， 所以△F 1MN 面积的最大值为3． 【解法二】：由题知F 2（1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时M （1，32），N （1，−32）或M （1，−32），N （1，32），所以|MN |＝3，所以△F 1MN 的面积为12|F 1F 2|⋅|MN|=3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=8k23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=−6k3+4k 2，y 1y 2=−9k23+4k2，所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6k 3+4k2−4⋅−9k23+4k2)=12√k 2(k 2+1)3+4k 2，设t ＝3+4k 2＞3，则k 2=t−34，所以S =12√(t−34)2−t−34t 2=3√1−2t −3t2（其中0＜1t ＜13），所以当1t→0时，S →3，综上所述：△F 1MN 面积的最大值为3．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 解：（1）因为动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切， 所以|MA |＝|x +2|，即点M 到点A （2，0）的距离与到直线x ＝﹣2的距离相等，由抛物线定义知圆心M 的轨迹C 为抛物线，且焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 所以曲线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：易知过点P 的切线斜率存在，且不为0； 因为P 为直线x ＝﹣2上任意一点，不妨设P （﹣2，t ），切线方程为x +2＝m （y ﹣t ），联立{x +2=m(y −1)y 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my +8mt +16＝0，此时Δ＝64m 2﹣4（8tm +16）＝64m 2﹣32tm ﹣64＝0， 因为过点P 存在两条切线，所以关于m 的方程有两个不相等的实数根m 1，m 2， 由韦达定理得m 1m 2＝﹣1，不妨设切线PE 、PF 的斜率分别为k 1，k 2， 此时k 1k 2=1m 1⋅1m 2=−1，故PE ⊥PF ．22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．解：（1）不妨设点P （x ，y ），因为过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89， 所以k PA ⋅k PB =yx+3⋅yx−3=−89， 整理得x 29+y 28=1(x ≠±3)；（2）证明：不妨设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 29+y 28=1，消去x 并整理得（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，由韦达定理得y 1+y 2=16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9， 则k 1k 2=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=x 2y 1−3y 1x 1y 2+3y 2=(my 2−1)y 1−3y 1(my 1−1)y 2+3y 2=my 1y 2−4y 1my 1y 2+2y 2=−64m8m 2+9−4y 1−64m 8m 2+9+2(16m8m 2+9−y 1)=−64m8m 2+9−4y 1−32m8m 2+9+2y 1=2．综上，k 1k 2为定值2．。