七年级数学上册第2章几何图形的初步认识同步练习(共9套冀教版有答案)

2.1 从生活中认识几何图形一、选择题1．下列所述的物体中，与球形状类似的是( )A. 铅笔 B．烟囱帽 C．西瓜 D．电视机2．下列图形中，不属于立体图形的是 ( )图K－16－13．如图K－16－2所示的几何体的面数是( )图K－16－2A．3 B．4 C．5 D．64．下列几何图形中，与其他三个不是同一类的是 ( )A. 正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．长方体5．图K－16－3是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有( )图K－16－3A. 三角形、长方形B．三角形、长方形、正方形C．三角形、长方形、正方形、梯形D．长方形、正方形、梯形6．下雨时，司机会打开雨刷器，雨刷器在运动时会形成一个扇面，这是因为( ) A. 点动成线 B．线动成面C．面动成体 D．面面相交成线二、填空题7．长方体是一个立体图形，它有________个面，________条棱，________个顶点．8．请从数学(几何)的角度解释下列现象：(1)国庆之夜，燃放的礼花在天空中留下美丽的弧线：____________；(2)用一条笔直的细线切一块豆腐：__________；(3)自行车辐条转动时，形成一个________，这说明了____________．三、解答题9．找朋友．图K－16－4素养提升规律探究下列图形中，图(a)是正方体木块，把它切去一块，得到如图(b)(c)(d)(e)的木块．图K－16－5(1)我们知道，图(a)的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(b)(c)(d)(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．1．C 2.A 3.C 4.C 5.C6．[解析] B雨刷可以看成一条线，运动形成的扇形可以看成一个面，即线动成面．7．6 12 88．(1)点动成线(2)线动成面(3)圆面线动成面9．略[素养提升]解：(1)填表如下：2．2 点和线一、选择题1．下列各图形中，可以比较长短的是( )A. 两条射线 B．两条直线 C．两条线段 D．直线与射线2．下列说法中，错误的是( )A. 经过一点的直线可以有无数条B．经过两点的直线只有一条C．一条直线只能用一个字母表示D．线段CD和线段DC是同一条线段3．下列语句中正确的个数是( )①直线MN和直线NM是同一条直线；②射线AB和射线BA是同一条射线；③线段PQ和线段QP是同一条线段；④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线．A. 4 B．3 C．2 D．14．下列现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的有( )①把弯曲的公路改直，就能缩短路程；②园林工人栽一行树，先栽首尾的两棵树；③解放军叔叔打靶瞄准；④在墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固．A. 1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图K－17－1所示，下列说法不正确的是( )图K－17－1A. 直线AC经过点AB．BC是线段C．点D在直线AC上D．直线AC与线段BA相交于点A6．经过任意不重合的三点中的两点共可以画出的直线有( )A. 一条或三条 B．三条C．两条 D．一条二、填空题7．如图K－17－2，图中有________条直线，有________条射线，有________条线段．图K－17－2三、解答题8．按下列语句画出图形：①画一条直线l，在直线l上取两点A，B；②在直线l外取两点P，Q，使点P，Q在直线l的异侧，且A，B，P，Q任意三点不共线；③画直线PQ交线段AB于点O；④画线段PA，PB和射线QA，QB.素养提升建模思想(1)观察思考如图K－17－3所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：如果线段AB上有3个点，那么线段总条数为3；如果线段AB上有4个点，那么线段总条数为6；如果线段AB 上有5个点，那么线段总条数为________．3＝2＋1＝＝3＋2＋1＝图K－17－3(2)模型构建如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，那么共有________条线段．(3)拓展应用8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．1．C2．C3．[解析] B②不正确．4．C5．[解析] C A．直线AC经过点A，正确；B．BC是线段，正确；C．点D在直线AC外，不在直线AC上，错误；D．直线AC与线段BA相交于点A，正确．故选C.6．[解析] A当三点在同一直线上时，只能画出一条直线；当三点不在同一直线上时，每过两点可画一条直线，共可画3条．故选A.7．[答案] 1 9 12[解析] 图中有直线AC，共1条直线；以A为端点有2条射线，B为端点有1条射线，C 为端点有2条射线，E为端点有3条射线，F为端点有1条射线，共2＋1＋2＋3＋1＝9(条)射线；线段有AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，DF，EF，共12条线段．8．解：如图所示：[素养提升]解：(1)10 (2)(3)把8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，线段上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行＝28(场)比赛．2.3 线段的长短一、选择题1．下面给出的四条线段中，最长的是( )图K－18－1A. a B．b C．c D．d2．在跳绳比赛中，要在两条绳子中挑出较长的一条用来比赛，选择的方法是( )A. 把两条绳子的一端对齐，然后拉直两条绳子，另一端在外面的为长绳B．把两条绳子接在一起C．把两条绳子重合观察一端的情况D．没有办法挑选3．为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则( )A. AB<CD B．AB>CDC．AB＝CD D．以上都有可能4．A，B，C，D四个村庄之间的道路如图K－18－2所示，从A村到D村有以下四条路线可走，其中路程最短的是( )图K－18－2A. A→B→C→D B．A→C→DC．A→E→D D．A→B→D二、填空题5．如图K－18－3所示，用圆规比较下列线段的长短(填“＞”“＜”或“＝”)：AO____CO，BO____DO，CD____DO.图K－18－36．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其依据是____________________．7．尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB，如图K－18－4.图K－18－4求作：线段CD，使CD＝AB.小亮的作法如下：如图K－18－5，(1)作射线________；(2)以点________为圆心，________长为半径作弧交CE于点________．线段CD就是所求作的线段．图K－18－5三、解答题8．如图K－18－6所示，A，B是两个村庄，若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水，则水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短？请说明理由．图K－18－69．如图K－18－7，已知线段AB，C是线段AB上一点．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短(要求保留作图痕迹)．图K－18－7素养提升建模思想如图K－18－8所示，设A，B，C，D为四个居民小区，现要在居民小区内建一个购物中心，应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？试说明理由．图K－18－81．D 2.A 3.B4．[解析] C根据“两点之间的所有连线中，线段最短”进行解答．5．＝＝＞6．两点之间，线段最短7．(1)CE (2)C AB D8．解：连接AB，与直线l的交点P为所求水泵站的位置．图略．因为两点之间的所有连线中，线段最短．9．解：如图所示，由图可知，AC>BC.[素养提升]解：连接AD，BC交于一点，该点即为所求．理由：因为两点之间线段最短，到A，D距离之和最小的点在线段AD上，到B，C距离之和最小的点在线段BC上，所以到A，B，C，D距离之和最小的点就是线段AD和线段BC的交点．2.4 线段的和与差一、选择题1．如图K－19－1，下列等式中错误的是( )图K－19－1A．AD－CD＝AC B．BD－BC＝DCC．DC－BC＝AB D．AD－BD＝AB2．下列说法中正确的是( )A. 连接两点之间的直线的长度叫做这两点间的距离B．若AB＝AC，则A必定是线段BC的中点C．画出A，B两点间的距离D．线段的大小关系与它们长度的大小关系是一致的3．点M在线段AB上，下面给出的四个式子中，不能判定M是线段AB的中点的是( )A. AB＝2AM B．BM＝ABC．AM＝BM D．AM＋BM＝AB4．在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝9 cm，BC＝4 cm，如果O是线段AC的中点，那么OB的长为( )A. 2.5 cm B．1.5 cmC．3.5 cm D．5 cm5．已知A，B，C都是直线l上的点，且AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么A与C之间的距离是( )A．8 cm B．2 cmC．8 cm或2 cm D．4 cm6．已知线段AB＝10 cm，PA＋PB＝20 cm，下列说法正确的是( )A. 点P不能在直线AB上B．点P只能在直线AB上C．点P只能在线段AB的延长线上D．点P不能在线段AB上7．如图K－19－2所示，线段AB＝10，M为线段AB的中点，C为线段MB的中点，N为线段AM上的点，且MN＝1，则线段NC的长为( )图K－19－2A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．已知线段AB＝5 cm，在AB的延长线上取一点C，使AC＝AB，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝AB，那么线段CD的长度是( )A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm二、填空题9．2017·桂林如图K－19－3，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点．若CD＝1，则AB＝________．图K－19－310．如图K－19－4，A，B，C，D在同一条直线上，AB＝6，AD＝AB，CD＝1，则BC＝________．图K－19－411．已知线段BD＝4，延长DB到点A，使BA＝5，C是线段AD的中点，则BC＝________．12．已知线段AB＝12 cm，延长线段AB至点C，使AC∶BC＝5∶2，则BC的长度为________．三、解答题13．如图K－19－5所示，已知线段a，b(a>b)，用尺规作线段AB＝2a－2b.(不写作图过程，仅保留作图痕迹)图K－19－514．如图K－19－6，已知AC＝BD，请你判断AB与CD的大小关系，并说明理由．图K－19－615．如图K－19－7，AB＝4 cm，延长线段AB到C，使得BC＝2AB，D是线段AC的中点，求BD的长.图K－19－716．如图K－19－8，线段AB＝8 cm，C是线段AB上一点，AC＝3.2 cm，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点．(1)求线段CM的长；(2)求线段MN的长．图K－19－817．已知线段AB＝24 cm，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，点E在线段AC 上，且CE＝AC.画图并计算线段ED的长．18．2017·河北在一条不完整的数轴上从左到右有三个点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图K－19－9所示，设点A，B，C所对应的数的和是p.(1)若以B为原点，请写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p的值．图K－19－9素养提升整体思想如图K－19－10所示，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，M，N分别是线段AC，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想出线段MN的长度吗？并验证你的猜想．(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为线段AC，BC的中点，你能猜想出线段MN的长度吗？图K－19－101．C2．[解析] D A选项中，直线没有长度，应改为线段；B选项中，点A可能在线段BC 外；C选项中，两点间的距离只能量出，不能画出．3．D 4.A5．[解析] C有两种情况：①当B在A，C之间时，AC＝AB＋BC＝8 cm；②当C在A，B之间时，此时AC＝AB－BC＝2 cm.所以A与C之间的距离是8 cm或2 cm.6．D7．[解析] D因为线段AB＝10，M为线段AB的中点，所以MB＝AB＝5.因为C为线段MB的中点，所以MC＝BM＝2.5，所以NC＝NM＋MC＝3.5.8．[解析] C如图，AC＝AB＝×5＝9 cm，DA＝AB＝×5＝2 cm，CD＝AD＋AC＝2＋9＝11(cm)．9．[答案] 4[解析] 因为C是线段AD的中点，CD＝1，所以AD＝2CD＝2.因为D是线段AB的中点，所以AB＝2AD＝4.10．[答案] 3[解析] 因为AB＝6，AD＝AB＝2，CD＝1，所以BC＝AB－AD－CD＝6－2－1＝3.11．[答案] 0.5[解析] 如图，因为BD＝4，BA＝5，所以AD＝AB＋DB＝9.又因为C为AD的中点，所以CD＝AD＝4.5，所以BC＝DC－DB＝4.5－4＝0.5.12．8 cm13．略14．解：AB＝CD.理由如下：因为AC＝BD，所以AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.15．解：因为AB＝4 cm，BC＝2AB＝8 cm，所以AC＝AB＋BC＝4＋8＝12(cm)．因为D是线段AC的中点，所以AD＝AC＝×12＝6(cm)，所以BD＝AD－AB＝6－4＝2(cm)．16．解：(1)由AB＝8 cm，M是线段AB的中点，得AM＝AB＝4 cm.又AC＝3.2 cm，所以CM＝AM－AC＝4－3.2＝0.8(cm)．(2)因为N是线段AC的中点，所以NC＝AC＝1.6 cm，所以MN＝NC＋CM＝1.6＋0.8＝2.4(cm)．17．解：如图，因为C是线段AB的中点，AB＝24 cm，所以AC＝CB＝AB＝12 cm.因为D是线段CB的中点，所以CD＝CB＝6 cm.又因为CE＝AC＝4 cm，所以ED＝CE＋CD＝4＋6＝10(cm)．18．解：(1)若以B为原点，则点C表示1，点A表示－2，所以p＝1＋0－2＝－1；若以C为原点，则点A表示－3，点B表示－1，所以p＝－3－1＋0＝－4.(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则点C表示－28，点B表示－29，点A表示－31，所以p＝－31－29－28＝－88.[素养提升]解：(1)MN的长为7 cm.(2)猜想：MN＝a cm.验证：因为M是线段AC的中点，N是线段CB的中点，所以AM＝CM＝AC，BN＝CN＝CB，所以MN＝CM＋CN＝(AC＋CB)＝a cm.(3)MN＝b cm.2．5 角以及角的度量一、选择题1．如图K－20－1所示，下列表示角的方法中错误的是图K－20－1A. ∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示2．如图K－20－2所示，以C为顶点的角(小于平角)共有 ( )图K－20－2A. 4个 B．8个C．10个 D．18个3．已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论中正确的是( ) A. ∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．∠B＝∠C D．三个角互不相等4．4点10分时，时针与分针所夹的小于平角的角为( )A. 55° B．65°C．70° D．以上度数都不对二、填空题5．将图K－20－3中的角用不同方法表示出来，并填写下表图K－20－36．如图K－20－4所示．(1)写出所有以点C为顶点的小于平角的角；(2)写出所有以射线OC为一边的角．图K－20－47．把下列角度化成以度表示的形式．(1)15°24′36″；(2)36°59′96″；(3)50°65′60″.8．将下列各角度用度、分、秒表示出来．(1)32.41°；(2)75.5°；(3)()°.素养提升[规律探索]按语句画图：任取一点O，以O为端点画射线OA和OB，使∠AOB＝40°；分别在OA和OB上截取OC和OD，使OC＝OD＝3 cm，画出OC和OD的中点M，N，连接CD和MN.(1)测量∠OCD，∠OMN，∠ODC，∠ONM的度数；(2)你发现什么规律了吗？试着表述一下．1．D 2.C3．[解析] B先将三个角的单位统一成度再进行比较，∠A＝25°12′＝25.2°，所以∠A＝∠C.故选B.4．B5．[答案] 从左到右依次填：∠BCE∠2∠BA C∠BA D∠B[解析] ∠BCA与∠BCD，∠BAC与∠BAE都表示同一个角且属于同一种表示方法．6．解：(1)以点C为顶点的小于平角的角有∠ACF，∠FCB，∠BCO，∠OCA.(2)以射线OC为一边的角有∠COA，∠COB.7．解： (1)15°24′36″＝15°24′＋′＝15°24.6′＝15°＋°＝15.41°.(2)36°59′96″＝36°＋1°＋′＝37°＋0.6′＝37°＋°＝37.01°.(3)50°65′60″＝50°66′＝51°6′＝51°＋°＝51.1°.8．解：(1)因为0.41×60＝24.6，0．6×60＝36，所以32.41°＝32°24′36″.(2)因为0.5×60＝30，所以75.5°＝75°30′.(3)因为×60＝5，所以()°＝5′.[素养提升]解：图略．(1)四个角的度数都相等，均为70°.(2)顶角相等(同)的等腰三角形的底角也相等．2.6 角的大小一、选择题1．下列四个选项中，表示的角最大的是( )图K－21－12．下列说法错误的是( )A. 角的大小与角两边的长短无关B．角的大小和它们度数的大小是一致的C．用10倍的放大镜看一个10°的角是100°D．20.5°的角与20°30′的角一样大3．已知∠MON与∠MOP，若OP在∠MON的内部，且∠MON＝60°，则∠MOP( )A. 一定是锐角 B．一定是直角C．一定是钝角 D．可能是锐角二、填空题4．如图K－21－2所示，将一个长方形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其中的∠α，∠β，得∠α________∠β.(填“>”“<”或“＝”)图K－21－25．一副三角板中，最大的角为________度，最小的角为________度．6．如果∠1＝4°18′，∠2＝3°79′，∠3＝4.4°，那么∠1，∠2，∠3的大小顺序是________________．(用“＜”连接)三、解答题7．如图K－21－3所示，试比较∠DON，∠NOM，∠DOE，∠EOF的大小．图K－21－38．如图K－21－4所示，已知∠1，用量角器求作一个角，使它等于∠1.图K－21－49．如图K－21－5所示，回答下列问题：(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；(2)借助三角板比较∠DOE与∠BOF的大小；(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小．图K－21－5素养提升[动手操作]比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：①用量角器测量两个角的大小，角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，那么这个角就大．对于图K－21－6中给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图(草图)即可．图K－21－61．[解析] D利用估测法比较．2．[解析] C用放大镜看角，角的大小不变．3．A 4.＝ 5.90 306. ∠1＜∠2＜∠37．解：由测量可知∠EOF＞∠NOM＞∠DOE＞∠DON.8．略9．解：(1)因为OD在∠FOE的内部，所以∠FOD＜∠FOE.(2)用含有45°角的三角板比较，可得∠DOE＞45°，∠BOF＜45°，则∠DOE＞∠BOF.(3)用量角器度量得∠AOE＝30°，∠DOF＝30°，则∠AOE＝∠D OF.[素养提升]解：①用量角器测量得∠ABC＝45°，∠DEF＝65°，即∠DEF＞∠ABC.②如图，把∠ABC放在∠DEF上，使点B和点E重合，边EF和边BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形上可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF＞∠ABC.[点评] 本题主要考查学生的动手操作能力，注意：比较两个角的大小有三种方法：①度量法；②叠合法；③估测法，即通过观察直接比较两个角的大小．2.7 第1课时角的和与差一、选择题1．如图K－22－1所示，下列各个角中，能用∠AOC－∠BOC表示的是()图K－22－1A. ∠BOD B．∠AOD C．∠AOB D．∠COB2．一副三角板如图K－22－2所示放置，则∠AOB的度数为( )图K－22－2A．120° B．90° C．105° D．75°3．如图K－22－3所示，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB的度数为( )图K－22－3A. 50° B．75° C．100° D．20°4．如图K－22－4所示，∠AOB＝25°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )图K－22－4A．65° B．25° C．115° D．155°5．如图K－22－5所示，O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠DOC＝50°，则∠BOE的度数为( )图K－22－5A．50° B．40° C．25° D．20°6．如图K－22－6所示，OB是∠AOC的平分线，∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD 的度数是( )图K－22－6A．70° B．83° C．68° D．85°7．如图K－22－7所示，将长方形ABCD沿AE折叠，∠CED′＝56°，则∠AED的度数是( )图K－22－7A. 56° B．60° C．62° D．65°8．如图K－22－8所示，∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线OM，ON分别平分∠AOB与∠COD，若∠MON＝90°，则∠AOB的度数为( )图K－22－8A. 20° B．30° C．40° D．45°二、填空题9．计算：48°39′＋67°41′＝________.10．已知∠AOB＝55°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝________°11．如图K－22－9所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝________°.图K－22－912．如图K－22－10，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，则∠AOB 的度数为________．图K－22－1013．如图K－22－11所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，则∠AOD＋∠BOC＝________°.图K－22－1114．如图K－22－12所示，已知OC为∠AOB内的一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若∠EOC＝20°，∠BOF＝40°，则∠AOB＝________°.图K－22－1215．已知∠AOB＝30°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC∶∠AOB＝4∶3，则∠BOC 的度数是________．三、解答题16．计算：(1)35°43′54″＋28°30′16″；(2)160°－64°27′48″；(3)36°30′54″＋59°28′59″－61°5′9″.17．如图K－22－13所示，已知∠AOB＝156°，∠AOC＝∠BOD＝90°，求∠COD的度数．图K－22－1318．如图K－22－14所示，OB平分∠AOC，∠AOD＝78°.(1)若∠BOC＝20°，求∠COD的度数；(2)若OC是∠AOD的平分线，求∠BOD的度数．图K－22－14素养提升[数形结合](1)如图K－22－15，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON 平分∠BOC，求∠MON的度数；(2)如果(1)中∠AOB＝α，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．图K－22－151．C2．[解析] C由图形及三角板的度数可得∠AOB＝45°＋60°＝105°.3．[解析] C因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠AOB.又因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOC＝×∠AOB＝∠AOB.因为∠COD＝25°，所以∠AOB＝4∠COD＝100°.故选C.4．[解析] C因为∠AOB＝25°，∠AOC＝90°，所以∠BOC＝90°－25°＝65°，所以∠CO D＝180°－65°＝115°.5．[解析] B因为∠DOC＝50°，OD平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠DOC＝100°，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝80°.又因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠BOC＝40°.6．[解析] D因为∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，所以∠BOC＝2∠COD＝2×17°＝34°.因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOC＝2∠BOC＝2×34°＝68°，所以∠AOD ＝∠AOC＋∠COD＝68°＋17°＝85°.7．C8．B9．116°20′10.27.511．[答案] 30[解析] 因为∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°.因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOD＝60°，所以∠BOD＝60°－30°＝30°.12．[答案] 120°[解析] 因为∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，所以可设∠COB＝2∠AOC＝2x，则∠AOD＝∠BOD＝1.5x，所以∠COD＝0.5x＝20°，所以x＝40°，所以∠AOB 的度数为3×40°＝120°.13．[答案] 180[解析] 根据题意得到∠AOB＝∠COD＝90°，而∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD，故∠AOD＋∠BOC＝180°.14．[答案] 120[解析] 因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，所以∠AOC＝2∠EOC＝40°，∠BOC＝2∠BOF＝80°，所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°.15．[答案] 10°或70°[解析] 因为∠AOB＝30°，∠AOC∶∠AOB＝4∶3，所以∠AOC＝40°.分为两种情况：如图①，∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝30°＋40°＝70°；如图②，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝40°－30°＝10°.16．解：(1)35°43′54″＋28°30′16″＝63°73′70″＝64°14′10″.(2)160°－64°27′48″＝159°59′60″－64°27′48″＝95°32′12″.(3)36°30′54″＋59°28′59″－61°5′9″＝95°58′113″－61°5′9″＝34°53′104″＝34°54′44″.17．解：因为∠AOC＋∠BOD－∠COD＝∠AOB，所以∠COD＝∠AOC＋∠BOD－∠AO B＝90°＋90°－156°＝24°.18．[解析] 利用角平分线的定义，结合图形即可求解．解：(1)因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC＝20°.所以∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝40°.因为∠AOD＝78°，所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝78°－40°＝38°.(2)因为OC平分∠AOD，所以∠DOC＝∠AOC＝∠AOD＝×78°＝39°.因为OB平分∠AOC，所以∠BOC＝∠AOC＝×39°＝19.5°，所以∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝39°＋19.5°＝58.5°.[素养提升]解：(1)因为OM平分∠AOB，∠AOB＝90°，所以∠BOM＝45°.因为ON平分∠BOC，∠BOC＝30°，所以∠BON＝15°，所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝45°＋15°＝60°.(2)因为OM平分∠AOB，∠AOB＝α，所以∠BOM＝α.因为ON平分∠BOC，∠BOC＝β，所以∠BON＝β，所以∠MON＝(α＋β)．2.7 第2课时余角和补角一、选择题1．[2017·广东]已知∠A＝70°，则∠A的补角为 ( )A．110° B．70° C．30° D．20°2．已知∠α＝25°37′，则∠α的余角是( )A．65°63′ B．64°23′ C．155°63′ D．155°23′3.下列说法中正确的是( )A．互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角B．180°的角是补角C．互余的两个角可能是等角D．只有锐角才有补角4．如图K－23－1所示，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角有( )图K－23－1A．5对 B．4对 C．3对 D．2对二、填空题5．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1＝63°，则∠3＝________°.6．如图K－23－2所示，点O在直线l上，∠1与∠2互余，∠α＝116°，则∠β＝________°.图K－23－27．若∠α的余角与∠α的补角的和为180°，则∠α＝________．8．如图K－23－3所示，填理由并计算：因为∠1＋∠3＝180°(________________)，∠2＋∠3＝180°(__________________)，所以∠1＝∠2(________________)，同理∠3＝________．若∠1＝63°，则∠2＝________°，∠3＝________°，∠4＝________°.图K－23－3三、解答题9．如图K－23－4所示，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE.(1)写出∠AOC与∠BOD的大小关系：__________，判断的依据是；(2)若∠COF＝35°，求∠BOD的度数．图K－23－4素养提升[规律探究]问题情境：将一副直角三角尺按图K－23－5①所示的方式摆放，使这两个直角三角尺的直角顶点重合在点O处．观察发现：(1)∠AOD和∠BOC的数量关系是________；(2)∠AOC和∠BOD的数量关系是________．猜想与探究：若将这副直角三角尺按图K－23－5②所示的方式摆放，使这两个直角三角尺的直角顶点重合在点O处，则∠AOD和∠BOC有什么数量关系？∠AOC和∠BOD又有什么数量关系？请分别说明理由．①②图K－23－51．[解析] A∠A的补角＝180°－∠A＝110°.2．[解析] B∠α的余角＝90°－25°37′＝64°23′.3．[解析] C A选项中互补的两个角可以是两个直角，故A错；B选项中互补是两个角之间的数量关系，故B错；D选项中钝角和直角都有补角，故D错，只有C正确．故选C.4．B5．[答案] 153[解析] ∠1是∠2的余角，∠3是∠2的补角，由题可知∠3－∠1＝90°，所以∠3＝90°＋63°＝153°.6．1547．[答案] 45°[解析] 由已知可得180°－(90°－∠α)＝180°－∠α，所以∠α＝45°.8．平角的定义平角的定义同角的补角相等∠4 63 117 1179．[解析] 因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOD＋∠BOC＝180°，根据同角的补角相等可得∠AOC＝∠BOD.解：(1)∠AOC＝∠BOD同角的补角相等(2)因为∠COE是直角，∠COF＝35°，所以∠EOF＝90°－35°＝55°.又因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF＝55°，所以∠AOC＝∠AOF－∠COF＝55°－35°＝20°.又因为∠AOC＝∠BOD，所以∠BOD＝20°.[素养提升]解：观察发现：(1)∠AOD＝∠BOC(2) ∠AOC＋∠BOD＝180°猜想与探究：∠AOD＝∠BOC，∠AOC＋∠BOD＝180°.理由如下：因为∠AOB＝∠DOC＝90°，所以∠AOB－∠BOD＝∠DOC－∠BOD，即∠AOD＝∠BOC.因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠BOD＝∠DOC－∠BOC，所以∠AOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠BOC＋(∠DOC－∠BOC)＝∠AOB＋∠BOC＋∠DOC－∠BOC＝∠AOB＋∠DOC.又因为∠AOB＝∠DOC＝90°，所以∠AOC＋∠BOD＝90°＋90°＝180°.2.8 平面图形的旋转一、选择题1．下列现象：①时针转动；②荡秋千；③转呼啦圈；④传送带上电视机的运动．其中属于旋转的有( )A. ①② B．②③ C．①④ D．③④2．如图K－24－1，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案应该是( )图K－24－13．如图K－24－2所示的三角形ABC和三角形DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的．下列叙述中错误的是( )A. 旋转中心是点CB．旋转角是90°C．既可以是逆时针旋转又可以是顺时针旋转D．旋转中心是B，旋转角是∠ABC图K－24－24．如图K－24－3所示，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是( )图K－24－3A. 25° B．30° C．35° D．40°二、填空题5．如图K－24－4所示，以点O为旋转中心，将∠1按顺时针方向旋转一定角度得到∠2，若∠1＝40°，则∠2＝________°.图K－24－46．如图K－24－5所示，在正方形网格中，图①经过旋转得到图②，其旋转中心是点________(填“A”“B”“C”或“D”)．图K－24－57．如图K－24－6所示，将三角形ABC绕点C旋转到三角形A′B′C的位置，使点B恰好落在A′B′上，若AB＝10，BB′＝6，则A′B＝________．图K－24－68．如图K－24－7所示，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出第10个图案是______；在前16个图案中有______个；第2018个图案是________．图K－24－7三、解答题9．[2017·宁波]在4×4的方格纸中，三角形ABC的三个顶点都在格点上．将图中的三角形ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．图K－24－8素养提升[学以致用]如图K－24－9所示，三角形ABC是等边三角形，D是BC边上的一点，三角形ABD经过旋转后到达三角形ACE的位置．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M到了什么位置？K－24－91．A 2.A 3.D 4.B 5.40 6.A7．[答案] 4[解析] 由旋转的性质，得A′B′＝AB＝10，所以A′B＝10－6＝4.8. 59．解：如图所示，△A′B′C即为所求．[素养提升]解：(1)点A.(2)60°.(3)点M到了AC的中点处．。