【全国百强校顶尖名校】内蒙古赤峰二中2019届高三上学期第二次月考 数学(理)
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赤峰二中2014级高三上学期第二次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一.选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.若集合[]{},065,3,22=+-==x x x B A 则=B A ( )A {}3,2 .B φC . 2D .[]3,22.若复数z 满足i zi +=1,则z 的共轭复数是( )A .i --1 .B i +1C i +-1D i -13.若函数()⎩⎨⎧>-≤+=0,420,22x x x x f x,则()()1f f 的值为( )A 10- .B 10C 2-D 24.已知向量与的夹角为3π,()10,2===-( ) A 3 .B 32 C 2 D 45.设函数()=x f ()为自然对数的底数e e xx32-,则使()1<x f 成立的一个充分不必要条件是( ) A 10<<x .B 40<<x C 30<<x D 43<<x6.各项均为正数的等差数列{}n a 中,3694=a a ,则前12项和12S 的最小值为( )A 78 .B 48C 60D 727.实数y x ,满足⎩⎨⎧≤+≥10y x xy ,使y ax z +=取得最大值的最优解有两个,则11++=y ax z 的最小值为( )A 0 .B 2-C 1D 1-8.在ABC ∆中,D 为BC 的中点,ABD G ∆为的重心,记==,,则=( )A b a 3121+ .B b a 3121+-C b a 3132+-D b a 6121+-9.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边c b a ,,,若ca c B 22sin 2-=,则ABC ∆的形状一定是( )A 直角三角形 .B 锐角三角形C 等腰三角形D 钝角三角形10.若实数0,0>>b a ,且121=+b a ,则当82ba +的最小值为m 时,函数()1ln -=-x e x f mx 的零点个数为( )A 0 .B 1C 2D 311.函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πωx A x f ()0>ω的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,要得到函数()x A x g ωcos =的图像,只需将()x f 的图像A 向左平移6π个单位长度 .B 向右平移3π个单位长度 C 向左平移32π个单位长度 D 向右平移32π个单位长度 12.已知R b a ∈,,函数()x x f t a n =在4π-=x 处与直线2π++=b ax y 相切,设()a bx e x g x ++=,若在区间[]2,1上,不等式()22-≤≤m x g m 恒成立,则实数m( )A 有最小值e - .B 有最小值22+eC 有最大值1-D 有最大值1+e第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二.填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.若函数()xx x f 1+=,则()=⎰dx x f e 1__________14.若534cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ,则=α2sin __________ 15.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2112123,2++=-=n nn n a S a S S ,则=n a __________16.在ABC ∆中,2,332sin==∠AB ABC ,点D 在线段AC 上,且334,2==BD DC AD ,则=C cos __________三.解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17. (本题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n项和为n S ,数列{}n b 是等比数列,满足1,311==b a ,325222,10a b a S b =-=+。
2019届内蒙古赤峰二中高三上12月月考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合,,则() A. B. C. D.2. 已知是虚数单位,若,则的共轭复数的虚部为()A. ______________ B._______________________ C.____________________ D.3. 给出下列两个命题,命题“ ”是“ ”的充分不必要条件;命题q:函数是奇函数,则下列命题是真命题的是()A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为()A. B. C. D.6. 将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习,每个学校至少一人,且甲、乙在同一学校的分配方案共有()A.种 B.种 C.种 D.种7. 已知变量满足:的最大值为()A. B. C.2 D.48. 已知直线与圆交于两点,且(其中为坐标原点),则实数的值为()A. ________ B. _________ C.或 _________ D.或9. 的图象如图所示,为得到的图象,可以将的图象()A .向右平移个单位长度B .向右平移个单位长度C .向左平移个单位长度D .向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且,则=()A. B. C. D.11. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交抛物线于点,为原点,若,则双曲线的离心率为()A . ______________B .___________C .______________ D .12. 定义在上的单调递减函数,若的导函数存在且满足,则下列不等式成立的是()A. B._________C. D.二、填空题13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则展开式的各项系数和为_________.14. 如图,在边长为(为自然对数的底数)的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为 _________.15. 已知M是△ABC内的一点(不含边界),且,若△MBC,△MAB,△MCA的面积分别为,记,则的最小值为_________.16. 已知函数,把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 _________.三、解答题17. 已知,,记函数(1)求函数取最大值时的取值集合;(2)设的角所对的边分别为,若a=2csinA,c=,且△ ABC的面积为,求a+b的值.18. 以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩(环数),射击次数为4次.(1)试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性;(2)每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析,共选取了4次(有放回选取).设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为,求的分布列及数学期望.19. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF 平面ABCD, EF//AB ,,AD=2, AB= AF=2EF=l,点P在棱DF上.(1)若P为DF的中点,求证:BF // 平面ACP(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度.20. 已知椭圆:的离心率为,右顶点是抛物线的焦点.直线:与椭圆相交于,两点.(Ⅰ )求椭圆的方程;(Ⅱ )如果,点关于直线的对称点在轴上,求的值.21. 设函数,其中.(Ⅰ )当时,求曲线在原点处的切线方程;(Ⅱ )试讨论函数极值点的个数;(Ⅲ )求证:对任意的,不等式恒成立.22. 如图,⊙ 的半径为 6 ,线段与⊙ 相交于点、,,,与⊙ 相交于点.( 1 )求长;(2)当⊥ 时,求证:.23. 在直角坐标系xOy中,曲线C 1 的参数方程为(α为参数).M 是C 1 上的动点,P点满足=2 ,P点的轨迹为曲线C 2 .(1)求C 2 的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C 1 的异于极点的交点为A,与C 2 的异于极点的交点为B,求|AB|.24. 已知,的最小值为.(Ⅰ )求的值;(Ⅱ )解关于的不等式.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
内蒙古达标名校2019年高考二月调研数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ,点M ,N 分别在棱1BB ,1CC 上,满足1AM MN ND ++最小,则四面体1AMND 的体积为( )A .112VB .18V C .16V D .19V 2.下列说法正确的是( )A .“若1a >,则21a >”的否命题是“若1a >,则21a ≤”B .“若22am bm <,则a b <”的逆命题为真命题C .0(0,)x ∃∈+∞,使0034x x >成立D .“若1sin 2α≠,则6πα≠”是真命题 3.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图(例如:2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%),根据该图,以下结论一定正确的是( )A .2019年该工厂的棉签产量最少B .这三年中每年抽纸的产量相差不明显C .三年累计下来产量最多的是口罩D .口罩的产量逐年增加4.如图,在ABC 中,,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=,且12AC AD ⋅=,则2x y +=( )A .1B .23-C .13- D .34- 5.如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交,则点(),M a b 与圆C 的位置关系是( )C .点M 在圆C 内D .上述三种情况都有可能6.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为3的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .33B .43C .33D .37.以()3,1A -,()2,2B -为直径的圆的方程是A .2280x y x y +---=B .2290x y x y +---=C .2280x y x y +++-=D .2290x y x y +++-= 8.给出下列三个命题:①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定;②在ABC 中,“30B ︒>”是“3cos B <”的充要条件; ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 其中假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3 9.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增,则a 的最大值为( ).A .2πB .3πC .512πD .712π 10.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是34,则判断框中应填入的条件是( )A .5?i >B .5?i <C .4?i >D .4?i <11.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 12.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为( ) A .227 B .15750C .289D .337115 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
赤峰二中月考数学试题文科一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若集合错误!未找到引用源。
,集合错误!未找到引用源。
,则 “错误!未找到引用源。
”是“的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知函数错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
( ) A. 在上递增 B. 在上递减 C.在上递增 D.在上递减4.等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的前n 项n S = A ()1n n + B.()1n n - C.()12n n + D.()12n n -5.若实数x ,y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则23x yz +=的最小值为 ( )A .0B .1CD .96已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,下列命题中正确的是 A .,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B .,,m n m n αα⊥⊥若则‖C .,,m n m n αα若则‖‖‖D .,,mm αβαβ若则‖‖‖ 7.如果函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图像关于直线32π=x 对称,那么ϕ的最小值为( ) A.6π B.4π C.3π D.2π8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为 ( )A .B .C .D .9.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数sin 2y x =的图象( )A .向左平移12π个单位长度 B .向右平移12π个单位长度C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移6π个单位长度 10.已知数列{}n a 的前项和为n S ,且21n n S a =-,则66S a =( ) .A 6332 .B 3116 .C 12364 .D 12712811. 如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、,交其准线l 于点C ,若点F 是AC 的中点,且4AF =,则线段AB 的长为( )A. 5B. 6C.163 D. 20312.已知关于x 的方程()22ln 2x x x k x +=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解,则实数k 的取值范围为( )A .ln 21,15⎛⎤+ ⎥⎝⎦B .9ln 21,105⎛⎤+⎥⎝⎦C .(]1,2D .(]1,e 二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
内蒙古赤峰二中2018-2019学年高二上学期第二次月考数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1由曲线23,y x y x == 围成的封闭图形面积为( )A .112 B 14 C .13 D .7122.曲线y=2212-x 在点(1,-23)处切线的倾斜角为( )A .1B .4πC .45πD .-4π3.下列说法正确的是( )A 若)(0x f '不存在,则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线;B 若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线,则)(0x f '必存在;C 若)(0x f '不存在,则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在;D 若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在,则曲线在该点处没有切线。
4.下列求导运算正确的是( )A .(x +211)1xx +='B .(log 2x )'=2ln 1xC .(3x )'=3x log 3eD .(x 2cos x )'=-2x sin x 5函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤6.函数f(x)=log a (x 3-ax) (a>0且a ≠1)在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,49D.⎪⎭⎫⎝⎛49,17 ⎰-+22)cos (sin ππdx x x 的值为( )A .0 B.4πC. 2D.48 如果复数miim -+12是实数,则实数=m ( )A.1- B 1 C 2- D.29在用数学归纳法证明不等式的过程中,当由n=k 推到n=k+1时,不等式左边应增加 ( )A 增加了一项)1(21+k B 增加了两项221121+++k k C 增加了B 中的两项但减少了一项11+k D 以上都不对 10.已知函数y =f (x )(x ∈R)的图象如图所示,则不等式xf ′(x )<0的解集为( )A .(-∞,12)∪(12,2)B .(-∞,0)∪(12,2)C .(-∞,12∪(12,+∞)D .(-∞,12)∪(2,+∞)11.设()()()F x f x g x =是R 上的奇函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,且(2)0g =,则不等式()0F x <的解集是( )A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞- 12已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足:0)()('<+x f x f ,则122)(+--m m em m f 与)1(f 的大小关系是( )(A)122)(+--m m em m f >)1(f (B)122)(+--m m em m f <)1(f (C)122)(+--m m em m f =)1(f (D) 不确定二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13 若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数,则实数a 的值为 ______. 14已知b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2,则y x ,的大小关系是 ______15.同住一间寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在听音乐。
内蒙古赤峰二中2019届高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. i 是虚数单位,复数1+ii 3对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解:1+ii 3=−1+i i=−(1+i)i i 2=−1+i .所以复数1+ii 3对应的点在第二象限. 故选:B .给出的复数的分母是−i ,然后把分子分母同时乘以i 即可把复数化为实部加虚部乘以i 的形式.本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法运算采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题.2. 若集合A ={1,m 2},集合B ={3,9},则“m =3”是“A ∩B ={9}”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:当m =3时,A ={1,9},B ={3,9},满足A ∩B ={9}, 若A ∩B ={9},则m 2=9,解得m =±3, ∴“m =3”是“A ∩B ={9}”的充分不必要条件. 故选:A .根据集合的基本运算以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合的基本运算是解决本题的关键,比较基础.3. 已知函数f(x)=xlnx ,则f(x)( )A. 在(0,+∞)上递增B. 在(0,+∞)上递减C. 在(0,1e )上递增D. 在(0,1e )上递减【答案】D【解析】解:∵f(x)=xlnx当0<x <1e 时,,函数f(x)单调递减 当x >1e 时, 0'/>,函数f(x)单调递增故选:D .先对函数f(x)进行求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减可得答案. 本题主要考查根据函数的导数值的正负判断原函数的单调性的问题,即当导数大于0时原函数单调递增,当导数小于0时原函数单调递减.4. 等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( )A. n(n +1)B. n(n −1)C.n(n+1)2D.n(n−1)2【答案】A【解析】解:由题意可得a 42=a 2⋅a 8, 即a 42=(a 4−4)(a 4+8),解得a 4=8,∴a 1=a 4−3×2=2, ∴S n =na 1+n(n−1)2d ,=2n +n(n−1)2×2=n(n +1),故选:A .由题意可得a 42=(a 4−4)(a 4+8),解得a 4可得a 1,代入求和公式可得.本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.5. 若实数x ,y 满足{x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0则z =3x+2y 的最小值是( )A. 0B. 1C. √3D. 9【答案】B【解析】解:约束条件{x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0对应的平面区域如图示:由图可知当x =0,y =0时,目标函数Z 有最小值,Z min =3x+2y =30=1故选:B .本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件{x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.6.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()A. 若α⊥γ,β⊥γ,则α//βB. 若m⊥α,n⊥α,则m//nC. 若m//α,n//α,则m//nD. 若m//α,m//β,则α//β【答案】B【解析】解:若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故A错误;若m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质得m//n,故B正确;若m//α,n//α,则m与n相交、平行或异面,故C错误;若m//α,m//β,则α与β相交或平行,故D错误.故选:B.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.7.如果函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=2π3对称,那么|φ|的最小值为()A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】A【解析】解:若f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=2π3对称,则2×2π3+φ=π2+kπ,即φ=kπ−5π6,k∈Z,若|φ|的值最小,则当k=0时,φ=−5π6,此时|φ|=5π6,|当k=1时,φ=π6,此时|φ|=π6<5π6,即|φ|的最小值为π6,故选:A.根据正弦函数的对称性求出φ的值,进行判断即可.本题主要考查三角函数对称性的应用,求出φ的表达式是解决本题的关键.8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为()A. 2B. 4C. 4+4√2D. 6+4√2【答案】D【解析】解:由几何体的三视图可得: 该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱, 底面面积为:12×2×1=1, 底面周长为:2+2×√2=2+2√2, 故直三棱柱的表面积为S =2×1+2×(2+2√2)=6+4√2. 故选:D .由三视图得出该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱, 结合图中数据求出三棱柱的表面积.本题考查了空间几何体三视图以及表面积的计算问题,是基础题.9. 要得到函数y =cos(2x −π3)的图象,只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位【答案】A【解析】解:∵y =cos(2x −π3)=sin(2x +π6)=sin[2(x +π12)],∴只需将函数y =sin2x 的图象向左平移π12个单位即可得到函数y =cos(2x −π3)的图象. 故选:A .先根据诱导公式化简可得y =sin[2(x +π12)],再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案.本题主要考查两角和与差的公式和三角函数的平移,三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n−1,则S6a6=()A. 6332B. 3116C. 12364D. 127128【答案】A【解析】解:∵S n=2a n−1,∴n=1时,a1=2a1−1,解得a1=1;n≥2时,a n=S n−S n−1=2a n−1−(2a n−1−1),化为:a n=2a n−1.∴数列{a n}是等比数列,公比为2.∴a6=25=32,S6=26−12−1=63.则S6a6=6332.故选:A.利用数列递推关系:n=1时,a1=2a1−1,解得a1;n≥2时,a n=S n−S n−1.再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A. 5B. 6C. 163D. 203【答案】C【解析】解:设A、B在准线上的射影分别为为M、N,准线与横轴交于点H,则FH=p,由于点F是AC的中点,|AF|=4,∴AM=4=2p,∴p=2,设BF=BN=x,则BNFH =BCCF,即x2=4−x4,解得x=43∴AB=AF+BF=4+43=163,故选:C .设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ,准线与横轴交于点H ,则FH =p ,由点F 是AC 的中点,得p =2,设BF =BF =x ,则BNFH =BCCF ,即x2=4−x 4,解得x =43,即可求解.本题考查抛物线的定义及其应用,抛物线的几何性质,过焦点的弦的弦长关系,平面几何知识,转化化归的思想方法,属中档题12. 已知关于x 的方程x 2+2=xlnx +k(x +2)在[12,+∞)上有两解,则实数k 的取值范围为( )A. (1,1+ln25]B. (1,910+ln25]C. (1,2]D. (1,e]【答案】B【解析】解:由x 的方程x 2+2=xlnx +k(x +2), 则:k =x 2+xlnx+2x+2,x ∈[12,+∞), 设g (x)=x 2+xlnx+2x+2,x ∈[12,+∞),则:g′(x)=x 2+3x−2lnx−4(x+2)2,令ℎ(x)=x 2+3x −2lnx −4,x ∈[12,+∞), 则:ℎ′(x)=(2x−1)(x+2)x ≥0,即y =ℎ(x)在[12,+∞)上为增函数, ∵ℎ(1)=0,∴g′(1)=0,当12≤x <1时,ℎ(x)<0,∴g′(x)<0, 当x >1时,ℎ(x)>0,∴g′(x)>0,∵关于x 的方程x 2+2=xlnx +k(x +2)在[12,+∞)上有两解, ∴g (1)<k ≤g (12),又g(12)=9+2ln210, 即1<k ≤9+2ln210,故选:B .由x 的方程x 2+2=xlnx +k(x +2),分离变量得:k =x 2+xlnx+2x+2,x ∈[12,+∞),构造函数g (x)=x 2+xlnx+2x+2,x ∈[12,+∞),求导可得:g′(x)=x 2+3x−2lnx−4(x+2)2,再次构造函数可得:ℎ(x)=x2+3x−2lnx−4,x∈[12,+∞),求导可得:ℎ′(x)=(2x−1)(x+2)x≥0,再利用函数单调性可求解.本题考查了导数的运算及应用,重点考查了分离变量值域法,属难度较大的题型.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若函数y=f(x)的定义域是[12,2],则函数y=f(log2x)的定义域为______.【答案】[√2,4]【解析】解:由题意知12≤log2x≤2,即log2√2≤log2x≤log24,∴√2≤x≤4.故答案为:[√2,4].由题意可得log2x∈[12,2],建立不等式,从而可得函数y=f(log2x)的定义域.本题考查函数的定义域及其求法,正确理解“函数y=f(x)的定义域是[12,2],得到12≤log2x≤2”是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.14.设平面向量m⃗⃗⃗ 与向量n⃗互相垂直,且m⃗⃗⃗ −2n⃗=(11,−2),若|m⃗⃗⃗ |=5,则|n⃗|=______.【答案】5【解析】解:根据题意,设|n⃗|=t,(t>0),若m⃗⃗⃗ −2n⃗=(11,−2),则|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2=(11)2+(−2)2=125,则有|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2=m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+4n⃗2,又由向量m⃗⃗⃗ 与向量n⃗互相垂直,则m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0,则有|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2=m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+4n⃗2=25+4t2=125,解可得t=5;则|n⃗|=5;故答案为:5.根据题意,设|n⃗|=t,由若m⃗⃗⃗ −2n⃗=(11,−2)计算可得|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2的值,由数量积的计算公式可得|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2=m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+4n⃗2,代入数据分析可得25+4t2=125,解可得t的值,即可得答案.本题考查向量数量积的计算,关键是掌握向量数量积的计算公式.15.设集合A={x|14<2x<16},B={x|y=ln(x2−3x)},从集合A中任取一个元素,则这个元素也是集合B中元素的概率是______.【答案】12【解析】解:∵集合A={x|14<2x<16}={x|−2<x<4},B={x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3},∴A∩B={x|−2<x<0或3<x<4}.从集合A中任取一个元素,则这个元素也是集合B中元素的概率是:p=0−(−2)+(4−3)4−(−2)=12.故答案为:12.求出集合A={x|−2<x<4},B={x|x<0或x>3},从而A∩B={x|−2<x<0或3<x<4}.由此利用几何概型能求出从集合A中任取一个元素,则这个元素也是集合B中元素的概率.本题考查概率的求法,考查几何概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.16.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形F1MF2,如果线段MF1,的中点在椭圆上,则该椭圆的离心率为______.【答案】√10−√22【解析】解:记椭圆的焦距为2c、依题意知点M在y轴上,不妨设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,M在y轴正半轴上,则有F1(−c,0),M(0,c),∴线段MF1的中点坐标是(−c2,c 2 ).又∵线段MF1的中点在椭圆上,∴c24a2+c24b2=1,即c2a2+c2a2−c2=4,即e2+e21−e2=4,(e2)2−6e2+4=0,e2=3±√5.又0<e2<1,∴e2=3−√5,∵(√10−√22)2=3−√5,∴e=√10−√22.故答案为:√10−√22.记椭圆的焦距为2c、依题意知点M在y轴上,不妨设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,M在y轴正半轴上,则可表示出F1和M的坐标,进而可表示出线段MF1的中点坐标代入椭圆方程,化简整理即可求得e.本题主要考查了直线与椭圆的关系以及求离心率的问题.考查了学生的综合分析问题和基本的运算能力.三、解答题(本大题共7小题)17.如图,在△ABC中,已知∠B=30∘,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3.18.(1)求△ADC的面积;19.(2)求边AB的长.【答案】解:(1)在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2−AC22AD⋅DC =−12∴∠ADC=120∘那么:sin∠ADC=sin120∘=√32则S△ADC=12AD⋅DC⋅sin∠ADC=15√34(2)在△ABD中,∠B=30∘,∠ADB=60∘由正弦定理得:ABsin∠ADB =ADsinB∴AB=5√3.【解析】(1)在△ADC中,根据余弦定理求解cos∠ADC,可得sin∠ADC,即可求解△ADC的面积;(2)在△ABD中,∠B=30∘,∠ADB=60∘由正弦定理得AB的长度:本题考查了正余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.20.为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重(单位:千克)情况,将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图,已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.21.(Ⅰ)求该校报考体育专业学生的总人数n;22.(Ⅱ)已知A,a是该校报考体育专业的两名学生,A的体重小于55千克,a的体重不小于70千克,现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名,然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人,体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组,求A不在训练组且a在训练组的概率.【答案】解:(Ⅰ)设该校报考体育专业的人数为n,前三小组的频率为p1,p2,p3,则由题意可得p1=0.125,p2=0,p3=0.375.又因为p2=0.25=12n,故n=48.(Ⅱ)由题意,报考体育专业的学生中,体重小于55千克的人数为48×0.125=6,记他们分别为A,B,C,D,E,F,体重不小于70千克的人数为48×0.0125=3,记他们分别为a,b,c,从体重小于55千克的6人中抽取1人,体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组,所有可能结果有:(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),(B,a,b),(B,a,c),(B,b,c),(C,a,b),(C,a,c),(C,b,c),(D,a,b),(D,a,c),(D,b,c),(E,a,b),(E,a,c),(E,b,c),(F,a,b),(F,a,c),(F,b,c),共18种;其中A不在训练组且a在训练组的结果有:(B,a,b),(B,a,c),(C,a,b),(C,a,c),(D,a,b),(D,a,c),(E,a,b),(E,a,c),(F,a,b),(F,a,c),共10种.故概率为p=1018=59.【解析】(Ⅰ)设该校报考体育专业的人数为n,前三小组的频率为p1,p2,p3,则由题意可得p1=0.125,p2=0,p3=0.375.p2=0.25=12n,由此能求出n.(Ⅱ)由题意,报考体育专业的学生中,体重小于55千克的人数为6,记他们分别为A,B,C,D,E,F,体重不小于70千克的人数为3,记他们分别为a,b,c,从体重小于55千克的6人中抽取1人,体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组,利用列举法能求出A不在训练组且a在训练组的概率.本题考查总人数、概率的求法,考查频率分布直方图、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.23.如图,正三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为C1B的中点,P为AB边上的动点.24.(Ⅰ)当点P为AB的中点时,证明DP//平面ACC1A1;25.(Ⅱ)若AP=3PB,求三棱锥B−CDP的体积.26.27.28.【答案】解:(I)连接DP、AC1,∵△ABC1中,P、D分别为AB、BC1中点∴DP//AC1,∵AC1⊆平面ACC1A1,DP⊈平面ACC1A1,∴DP//平面ACC1A1(II)由AP=3PB,得PB=14AB=12过点D作DE⊥BC于E,则DE//CC1且DE=12CC1又∵CC1⊥平面ABC,∴DE⊥平面BCP∵CC1=3,∴DE=32∵S△BCP=12×2×12×sin60∘=√34∴三棱锥B−CDP的体积v=13×√34×32=√38【解析】(I)连接DP、AC1,在△ABC1中根据中位线定理,得DP//AC1,结合线面平行的判定定理,得DP//平面ACC1A1;(II)过点D作DE⊥BC于E,结合DE//CC1且DE=12CC1,得三棱锥B−CDP的高DE=32,结合△BCP的面积和锥体体积公式,可算出三棱锥B−CDP的体积.本题在直三棱柱中证明线面平行,并求锥体的体积公式,着重考查了线面平行的判定、线面垂直的性质和锥体体积公式等知识,属于中档题.29.已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线x2=−4√2y的焦点是它的一个焦点,又点A(1,√2)在该椭圆上.30.(1)求椭圆E的方程;31.(2)若斜率为√2直线l与椭圆E交于不同的两点B、C,当△ABC的面积为√2时,求直线l的方程.【答案】解:(1)由已知抛物线的焦点为(0,−√2),故设椭圆方程为y2a2+x2a2−2=1,将点A(1,√2)代入方程得2a2+1a2−2=1,整理得a4−5a2+4=0,得a2=4,a2=1(舍去),故所求的椭圆方程为y24+x22=1;(2)设直线BC的方程为y=√2x+m,设B(x1,y1),C(x2,y2),代入椭圆方程并化简得4x2+2√2mx+m2−4=0,由△=8m2−16(m2−4)=8(8−m2)>0,可得m2<8.由x1+x2=−√22m,x1x2=m2−44,故|BC|=√3|x1−x2|=√3⋅√16−2m22.又点A到BC的距离为d=|m|√3,故S△ABC=12|BC|d=|m|√16−2m24=√2,解得:m=±2,检验成立.∴所求直线l的方程为:y=√2x±2.【解析】(1)由抛物线的焦点,可设椭圆方程,再将点A代入,即可求出椭圆方程;(2)设直线BC的方程为y=√2x+m,联立椭圆方程,应用韦达定理,注意判别式大于0,应用弦长公式,点到直线的距离公式等,即可求出m.本题主要考查椭圆的方程和性质,以及直线与椭圆的位置关系,如何求弦长,以及应用韦达定理,考查基本的运算能力,属于中档题.32.已知函数f(x)=ax−lnx−a(a∈R).33.(1)讨论函数f(x)的单调性;34.(2)若a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),证明:f(x)<axlnx.【答案】解:(1)f′(x)=a−1x =ax−1x,当a≤0时,ax−1<0,从而,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;当a>0时,若0<x<1a,则ax−1<0,从而,若x>1a,则ax−1>0,从而0'/>,函数在(0,1a )单调递减,在(1a ,+∞)单调递增.(2)令g(x)=f(x)−axlnx ,a ∈(0,+∞),x ∈(1,+∞),则g′(x)=−1x −alnx ,故g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)递减,g(x)<g(1)=0,成立;综上,a ∈(0,+∞),x ∈(1,+∞),f(x)<axlnx .【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a 的范围,求出函数的单调区间即可;(2)令g(x)=f(x)−axlnx ,a ∈(0,+∞),x ∈(1,+∞),求出函数的导数,结合函数的单调性证明即可. 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查不等式的证明,是一道综合题.35. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =√22t y =2+√22t (t 为参数),若以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ,设M 是圆C 上任一点,连结OM 并延长到Q ,使|MQ|=2|OM|.36. (1)求点Q 轨迹的直角坐标方程;37. (2)若直线l 与点Q 轨迹相交于A ,B 两点,点P 的直角坐标为(0,2),求|PA|+|PB|的值.【答案】解:(1)设Q 点坐标为(ρ,θ),则M(13ρ,θ),代入圆C 可得,13ρ=4cosθ,即ρ=12cosθ,化为平面直角坐标系下的方程为(x −6)2+y 2=36,即点Q 轨迹的直角坐标方程为(x −6)2+y 2=36.(2)把直线的参数方程{x =√22t y =2+√22t代入(x −6)2+y 2=36, 可得t 2−4√2t +4=0,由韦达定理t 1+t 2=4√2,t 1t 2=4>0,则PA|+|PB|=t 1+t 2=4√2.【解析】(1)设出点Q 的坐标,由MQ|=2|OM|得出M 点坐标,代入圆C 方程,可得点Q 的轨迹方程,进而化成直角坐标方程即可;(2)将直线l 的参数方程与点Q 的轨迹方程联立,得到关于t 的一元二次方程,由t 的几何意义以及韦达定理求值即可.本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用,属于中档题目.38. 已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m|≥2m 的解集为R .39. (1)求实数m 的取值范围;40. (2)已知a >0,b >0,c >0且a +b +c =m ,当m 最大时,求a 2+2b 2+3c 2的最小值及此时实数a ,b ,c 的值.【答案】解:(1)因为|x +3|+|x +m|≥|(x +3)−(x +m)|=|m −3|,当−3≤x ≤−m 或−m ≤x ≤−3时取等号,令|m −3|≥2m ,可得m −3≥2m 或m −3≤−2m ,解得m ≤−3或m ≤1,则m ≤1;(2)由(1)知a +b +c =1,由柯西不等式,可得,(1+12+13)(a 2+2b 2+3c 2)≥(a +b +c)2=1,所以a 2+2b 2+3c 2≥611,当且仅当a =2b =3c 且a +b +c =1时等号成立,易得a =611,b =311,c =211时,a 2+2b 2+3c 2的最小值为611.【解析】(1)运用绝对值不等式的性质可得|m −3|≥2m ,解不等式即可得到所求范围;(2)可得a +b +c =1,由柯西不等式,可得(1+12+13)(a 2+2b 2+3c 2)≥(a +b +c)2=1,化简整理可得所求最小值.本题考查绝对值不等式的性质和柯西不等式的运用:求最值,考查化简运算能力,属于中档题.。
内蒙古赤峰二中2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题一、选择题(本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 如图, 在平面直角坐标系x O y 中, 角α的终边与单位圆交于点A, 点A 的纵坐标为45, 则cos α的值为 A.45 B. -45 C.35 D. -352. 若sin α < 0, 且tan α > 0, 则α是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 如果cos(π + A) = -12, 那么sin(2π+ A) =A. -12B.12C. -2D.2 4. 函数y = sin x 和y = cos x 都递减的区间是 A. [-2π, 0] B. [- π, -2π] C. [2π, π] D. [0,2π] 5. 函数f (x ) = log 2x + 2x - 4的零点位于区间A. (3, 4)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2, 3)6. 已知函数y = 2cos x 的定义域为[3π, π], 值域为[a , b ], 则b - a 的值是7. 函数y = 2- x与y = log 2(- x )在同一直角坐标系下的图象大致是8. 下列关系式中正确的是A. sin11︒ < cos10︒ < sin168︒B. sin168︒ < sin11︒ < cos10︒C. sin11︒ < sin168︒ < cos10︒D. sin168︒ < cos10︒ < sin11︒9. 如果log a 3 > log b 3 > 0, 那么a 、b 间的关系是A. 0 < a < b < 1B. 1 < a < bC. 0 < b < a < 1D. 1 < b < a10. 已知函数f (x ) =1,2,2log ,2a x x x x -≤⎧⎨+>⎩(a > 0且a ≠ 1的最大值为1, 则a 的取值范围是 A. [12, 1) B. (0, 1) C. (0,12] D. (1, + ∞) 11. 已知定义在R 上的函数f (x ) = 2|x - m | - 1(m 为实数)为偶函数, 记a = f (log 0.53),b = f (log 25),c = f (2m ), 则a , b , c 的大小关系为A. a < b < cB. c < a < bC. a < c < bD. c < b < a12. 设函数f (x ) = |log a x |(0 < a < 1)的定义域为[m , n ](m < n ), 值域为[0, 1], 若n - m 的最小值为13, 则实数a 的值为 A.14 B.14或23 C.23 D.23或34二、填空题(每题5分, 共20分)13. 已知扇形弧长为3π, 圆心角为34π, 则扇形的面积为 . 14. 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数, 当0 < x < 1时, f (x ) = log 2x , 则f (-52) + f (2) = .15. 若函数y = sin 2x + cos x + a - 1在区间[-2π,2π]上的最大值是14, 则a = .16. 如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动, 设顶点A(x, y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y = f(x), 有下列结论:①函数y = f(x)的值域是];②对任意的x∈ R, 都有f(x + 6) = f(x);③函数y = f(x)是偶函数;④函数y = f(x)单调递增区间为[6k, 6k + 3](k∈ Z).其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)说明:“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动. 沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转, 当顶点C落在x轴上时, 再以顶点C为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动.三、解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知集合A = {x | - 1 ≤x≤ 5}, B = {x | x2 - 2x - m < 0}(1)当m = 3时, 求A∩∁R B;(2)若A∩B = [- 1, 4), 求实数m的值.18. (本小题满分12分)已知函数f(x) = log a(3x + 1)(a > 0, a≠ 1).(1)不论a取什么值, 函数f(x)的图象都过定点A, 求点A的坐标;(2)若f(x) > f(9)成立, 求x的取值范围.19. (本小题满分12分)(1)已知tan α = 2, 求sin(π - α)cos(2π - α)的值;(2)已知sin αcos α =14, 0 < α <4π, 求sin α - cos α的值.20. (本小题满分12分)(1)求函数y = - 3cos2x , x ∈ R 取得最大值时的自变量x 的集合并说出最大值.(2)求函数y = 3sin(2x +4π), x ∈ [0, π]的单调递增区间.21. (本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药, 成年人按规定的剂量服用后, 每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间关系满足如图所示的曲线.(1)写出y 关于t 的函数关系式: y = f (t );(2)据进一步测定: 每毫升血液中的含药量不少于0.25微克时, 治疗疾病有效. 求服药一次后治疗疾病有效的时间.22. (本小题满分12分)已知函数f(x) = log2(2x + 1) + kx(k R)是关于x的偶函数.(1)求k的值;(2)求证: 对任意实数m, 函数y = f(x)的图象与函数y =12x + m的图象最多只有一个交点.内蒙古赤峰二中2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题参考答案DCBCC BDCBA BD11. 解析: log25 > log23 = |log0.53| > 0 = 2m, 又f(x) = 2|x| - 1为偶函数且在(0, + ∞)上递增, ∴f(log25) > f(log0.53) > f(2m), 即c < a < b, 选B.12. 解析1: f(x)的图象如图所示, 由题意, 0 < m≤ 1, n≥ 1.(1)若f(m) = |log a m| = log a m = 1, 即m = a时,f(n) = |log a n| = - log a n≤ 1,∴1 ≤n≤1a, ∴1 - a≤n - m≤1a- a.∵n - m的最小值为13, ∴1 - a =13, 解得a =23.(2)若f(n) = |log a n| = - log a n = 1, 即n =1a时,f(m) = |log a m| = log a m≤ 1, ∴a≤m≤ 1, ∴1a- 1 ≤n - m≤1a- a.∵n - m的最小值为13, ∴1a- 1 =13, 解得a =34.解析2:由题意,分n = 1或m = 1两种情况:(1) n = 1时, m =23, 此时f(x)在[m, n]上单调递减, 故f(m) = |log a m| = 1, 解得a =23.(2) m = 1时, n =43,此时f(x)在[m, n]上单调递增, 故f(n) = |log a n| = 1, 解得a =34.13. 6π 14. 1 15. 0 16. ②③16. 解析: 点A运动的轨迹如图所示.函数f(x)且为偶函数, f(x)的值域为[0, 2],也是一个周期函数,周期为T = 6, 其增区间为[6k, 6k + 2]和[6k + 3, 6k + 4](k∈ Z), 故选②③.17. 解析: (1)当m = 3时, B = (- 1, 3), ∁R B = (- ∞, - 1]∪[3, + ∞), 所以, A ∩∁R B = { - 1 }∪[3, 5].(2) 因为A ∩B = [- 1, 4), 所以, 42 - 2⨯4 - m = 0, 解得m = 8. 此时, B = (- 2, 4), 符合题意. 故m = 8.18. 解析: (1)因为当3x + 1 = 1时, 即x = 0时, f (x ) = 0, 所以函数f (x )的图象过定点A(0, 0).(2) f (x ) > f (9), 即log a (3x + 1) > log a 28.①当0 < a <1时, y = log a x 在(0, + ∞)上是减函数, 故0 < 3x + 1 < 28, 解得-13< x < 9; ②当a > 1时, y = log a x 在(0, + ∞)上是增函数, 故3x + 1 > 28, 解得x > 9.由a x - 1 > 0, 得x > 0,综上, 当0 < a <1时, x 的取值范围是(13, 9); 当a > 1时, x 的取值范围是(9, + ∞). 19. 解析: (1)原式 = sin αcos α =2tan 1tan αα+=25. (2) ∵sin αcos α =14, ∴ (sin α - cos α)2 = 1 - 2sin αcos α =12,∵0 < α <4π, ∴ sin α < cos α, ∴sin α - cos α = -2. 20. 解析: (1)由2x = π + 2k π, 得x =π2+ k π, k ∈ Z. 所以, 函数y = - 3cos2x , x ∈ R 取得最大值时的自变量x 的集合是{x | x ≤2π+ k π, k ∈ Z}. 函数y = - 3cos2x , x ∈ R 的得最大值是3.(2)由-2π+ 2k π ≤ 2x +4π≤2π+ 2k π, 得-38π+ k π ≤ x ≤8π+ k π, k ∈ Z. 设A = [0, π], B = {x |-38π+ k π ≤ x ≤8π+ k π, k ∈ Z}, 易知A ∩B = [0,8π]∪[58π, π]. 所以, 函数y = 3sin(2x +4π), x ∈ [0, π]的单调递增区间为[0,8π]和[58π, π].21. 解析: (1)将t = 1, y = 4分别代入y = kt , y =1()2t a -, 得k = 4, a = 3, ∴f (t ) =34,01,1(), 1.2t t t t -≤≤>⎧⎪⎨⎪⎩ (2)当01?t ≤≤时,由40.25t ≥,得1116t ≤≤;当1t >时,由31()0.252t -≥得1 5.t <≤ 因此, 服药一次后治疗疾病有效的时间为115541616-= (小时). 22. 解析: (1)因为f (x )是关于x 的偶函数,所以log 2(2 - x + 1) + k ( - x ) = log 2(2x+ 1) + kx , 即2kx = log 22121x x -++= - x , 解得k = -12. (2)(法1) 由21log (21)212x y x y x m ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 得log 2(2x + 1) -12x =12x + m , 所以 m = log 2(2x + 1) -x = log 2(1 +12x ). 令h (x ) = log 2(1 +12x ), 设x 1, x 2 ∈ R, 且x 1 < x 2, 则112x >212x , 所以log 2(1 +112x ) > log 2(1 +212x ), 所以h (x 1) – h (x 2) = log 2(1 +112x ) - log 2(1 +212x ) > 0, 即 h (x 1) > h (x 2), ∴ h (x )在R 上单调递减.因此, 函数y = h (x )的图象与直线y = m 的图象最多只有一个交点. 所以, 对任意实数m , 函数y = f (x )的图象与直线y =12x + m 的图象最多只有一个交点. (法2)由(1)得f (x ) = log 2(2x + 1) -12x , 由21log (21)212x y x y x m ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 得log 2(2x + 1) -12x =12x + m ,所以 log 2(2x + 1) = x + m , 即2x + 1 = 2x + m , 2x (2m - 1)= 1 (*), ①当m ≤ 0时, 2m - 1 ≤ 0, 方程(*)无解;②当m > 0时, 2m - 1 > 0, 2x =121m -, x = log 2(121m -), 方程(*)有唯一解. 所以, 对任意实数m , 函数y = f (x )的图象与直线y =12x + m 的图象最多只有一个交点.。
内蒙古赤峰市2019版数学高三文数第二次模拟考试试卷(I)卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2018高三上·信阳期中) 设集合A={x|1≤x≤5},B={x|log2x<2},则A∪B等于()A . (﹣1,5]B . [1,4)C . (0,5]D . [﹣1,4)2. (2分) (2019高三上·西湖期中) 设纯虚数z满足(其中i为虚数单位),则实数a等于()A . 1B . -1C . 2D . -23. (2分)若双曲线的离心率为2,则等于()A . 2B .C .D . 14. (2分) (2015高三上·务川期中) 在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=()A . 10B . 18C . 20D . 285. (2分)已知向量 =(sinθ,1), =(2cosθ,﹣1),且θ∈(0,π),若⊥ ,则θ=()A .B .C .D .6. (2分) (2018高二下·保山期末) “ ”是“ ”的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. (2分) (2018高一上·佛山期末) 如图,直线与单位圆相切于点,射线从出发,绕着点逆时针旋转,在旋转的过程中,记(),所经过的单位圆内区域(阴影部分)的面积为,记,则下列选项判断正确的是()A . 当时,B . 对任意,且,都有C . 对任意,都有D . 对任意,都有8. (2分)已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为时,a 的值等于()A .B .C .D .9. (2分)(2017·宁德模拟) 函数y= 的图象大致是()A .B .C .D .10. (2分)函数的图象为()A . 单调递减B . 单调递增C . 关于y轴对称D . 关于x轴对称11. (2分)(2017·黑龙江模拟) 已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,对角线AC与BD的交点为O,把菱形ABCD沿对角线BD折起,使得∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的表面积为()A . 15πB .C .D . 7π12. (2分) (2019高三上·汉中月考) 已知点为函数的图象上任意一点,点为圆上任意一点,则线段的长度的最小值为()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共5分)13. (1分)(x﹣3)(x+2)(x﹣1)2(x﹣4)3>0的解集是________.14. (1分)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为________15. (2分) (2018高二上·哈尔滨月考) 若变量满足约束条件,则目标函数的最大值为________.16. (1分) (2017高一下·泰州期中) 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2﹣a2=ac,则﹣的取值范围为________.三、解答题 (共7题;共45分)17. (5分)(2017·东城模拟) 在△ABC中,.(Ⅰ)若c2=5a2+ab,求;(Ⅱ)求sinA•sinB的最大值.18. (5分) (2016高二上·潮阳期中) 如图,四棱锥P﹣ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.(Ⅰ)求证:PC⊥AD;(Ⅱ)在棱PB上是否存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面?若存在,指出点Q的位置并证明;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)求点D到平面PAM的距离.19. (5分)某地区有100名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是:第1组:[75,80),第2组:[80,85),第3组:[85,90),第4组:[90,95),第5组:[95,100].(1)求图中a的值,并估计此次考试成绩的中位数(结果保留一位小数);(2)在第2、4小组中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机选取2人进行面试,求至少有一人来自第2小组的概率.20. (5分)(2017·石嘴山模拟) 设A(x1 , y1),B(x2 , y2)是椭圆上的两点,已知向量 =(,), =(,),若 =0且椭圆的离心率e= ,短轴长为2,O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.21. (5分) (2018高二下·衡阳期末) 已知函数。
一、选择题(本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图, 在平面直角坐标系中, 角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标为, 则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出点的横坐标,利用三角函数的定义可得的值.【详解】由题意,点的纵坐标为,点的横坐标为,由三角函数的定义可得,故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.2.若,且,则是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C【解析】,则的终边在三、四象限;则的终边在三、一象限,,,同时满足,则的终边在三象限。
3.如果,那么( )A. B. C. D.【答案】B【解析】 试题分析:因为,所以,所以,选B.考点:诱导公式.4.函数和都递减的区间是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】 求出区间中,和的减区间,再求它们的交集即可. 【详解】因为在上递增,所以排除选项; 在区间上,的减区间是;的减区间是,和的公共减区间是,故选C.【点睛】本题考查了正弦函数的单调性与余弦函数的单调性,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,是基础题.5.函数的零点位于区间( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】 由在上函数单调递增,其图象是连续不断的一条曲线,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为时,,,,又在上函数单调递增,其图象是连续不断的一条曲线,所以函数在区间上存在零点,故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于基础题. 应用零点存在定理须满足两条:①在区间上图象连续不断;②端点处函数值异号.6.已知函数的定义域为值域为,则的值是()A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断出在单调递减,利用单调性求出函数的值域,根据值域求出的值,从而可得结果. 【详解】因为当≤x≤π时,y=2cosx是单调减函数,且当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cosπ=-2,所以-2≤y≤1,即y的值域是[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.故选B.【点睛】本题主要考查函数的值域的求法,属于简单题.求函数值域的常见方法有:①配方法;②换元法;③不等式法;④单调性法:首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间,最后再根据其单调性求凼数的值域,⑤图象法:画出函数图象,根据图象的最高和最低点求最值,本题求值域时主要是应用方法④解答的.7.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的图象是增函数,过点,排除;是减函数经过点,排除,从而可得结果. 【详解】函数的图象是增函数,过点,可排除;是减函数经过点,排除,故选C.【点睛】本题考查对数、指数函数的图象,属于中档题题. 函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.8.下列关系式中正确的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析:因,故.应选C.考点:正弦函数、余弦函数的图象和性质.9.如果,那么间的关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式,可化为,,根据对数函数的单调性,即可得到结果. 【详解】不等式,可化为,,又函数的底数,故函数为增函数,,故选B .【点睛】本题主要考查换底公式的应用以及对数函数的单调性,属于中档题.对数函数的单调性有两种情况:当底数大于1时单调递增;当底数大于0小于1时单调递减.10.已知函数且的最大值为1, 则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵当时,,∴,∵函数(且)的最大值为1,∴当时,,∴,解得,故选A.11.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由为偶函数得,所以,,所以,故选B.考点:本题主要考查函数奇偶性及对数运算.视频12.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( )A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】试题分析:如图所示的最小值是,或,当时,;当时,(舍去)考点:函数的定义域和值域.二、填空题(每题5分, 共20分)13.已知扇形弧长为, 圆心角为, 则扇形的面积为________.【答案】【解析】【分析】设扇形的半径是,则其弧长是,再根据弧长是,列方程求得,由扇形的面积公式可得结果.【详解】设扇形的半径是,根据题意,得,解得,则扇形面积是,故答案为.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式以及弧长公式,意在考查方程思想以及对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题..14.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数, 当时, ,则________. 【答案】1【解析】【分析】由奇函数的性质,结合周期性可得,再由周期性结合时, ,可得以,从而可得结果.【详解】是定义在上的周期为2的奇函数,所以,当时, ,,所以,故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用,属于中档题.周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.15.若函数在区间上的最大值是,则__________.【答案】0【解析】【分析】由函数,又由,则,根据二次函数的性质,即可求解函数的最大值,得到答案.【详解】由函数,因为,所以,当时,则,所以.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质,以及二次函数的图象与性质,其中解答中根据余弦函数,转化为关于的二次函数,利用二次函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与计算能力,属于基础题.16.如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动, 设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是,有下列结论:①函数的值域是;②对任意的,都有;③函数是偶函数;④函数单调递增区间为.其中正确结论的序号是________. (写出所有正确结论的序号)说明:“正三角形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转, 当顶点落在轴上时, 再以顶点为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正三角形可以沿轴负方向滚动.【答案】②③【解析】【分析】由已知中长为2的正三角形沿轴滚动,可画出滚动过程中点的轨迹,由图分别判断函数的奇偶性、单调性、周期性,可得到其值域,从而可得结论.【详解】点运动的轨迹如图所示. 由图可知:的值域为, ①错;是一个周期函数,周期为, ②正确;函数的图象关于轴对称,为偶函数, ③正确;函数的增区间为和, ④错,故答案为②③.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断,综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性以及函数的值域,属于难题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.三、解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知集合 .(1)当时, 求;(2)若,求实数的值.【答案】(1);(2)8.【解析】【分析】(1)把代入中,利用一元二次不等式的解法求出解集,化简集合,然后利用补集的定义求出,由交集的定义可得结果;(2)根据与的交集,可得是方程的根,从而可确定实数的值.【详解】(1)当m = 3时, B = (- 1, 3), ∁R B = (- ∞, - 1]∪[3, + ∞),所以A∩∁R B = { - 1 }∪[3, 5].(2) 因为A∩B = [- 1, 4), 所以, 42 - 2⨯4 - m = 0, 解得m = 8,此时, B = (- 2, 4), 符合题意.故m = 8.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式,求集合的补集与交集,属于容易题,在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到,这是一个易错点,同时将不等式与集合融合,体现了知识点之间的交汇.18.已知函数.(1)不论取什么值, 函数的图象都过定点,求点的坐标;(2)若成立, 求的取值范围.【答案】(1);(2)当时, 的取值范围是;当时,的取值范围是.【解析】【分析】(1)由当时, 即时,,可得函数的图象过定点;(2),即,分两种情况讨论,分别利用对数函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】(1)因为当3x + 1 = 1时, 即x = 0时, f(x) = 0, 所以函数f(x)的图象过定点A(0, 0).(2) f(x) > f(9), 即log a(3x + 1) > log a28.①当0 < a <1时, y = log a x在(0, + ∞)上是减函数, 故0 < 3x + 1 < 28, 解得-< x < 9;②当a > 1时, y = log a x在(0, + ∞)上是增函数, 故3x + 1 > 28, 解得x > 9.综上, 当0 < a <1时, x的取值范围是(, 9); 当a > 1时, x的取值范围是(9, + ∞).【点睛】本题主要考查对数函数的几何性质,以及对数函数的定义域与单调性,属中档题. 函数图象过定点问题主要有两种类型:(1)指数型,主要借助过定点解答;(2)对数型:主要借助过定点解答.19.(1)已知,求的值;(2)已知,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由诱导公式化简原式,令其分母为1,结合,利用同角三角函数的关系求解即可;(2)先求出的平方的值,利用判断的符号,再开平方即可得结果.【详解】(1)原式 = sinαcosα==.(2) ∵sinαcosα =, ∴ (sinα - cosα)2 = 1 - 2sinαcosα =,∵0 < α <, ∴ sinα < cosα, ∴sinα - cosα = -.【点睛】本题主要考查诱导公式,以及同角三角函数之间的关系(平方关系)的应用,属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系,平方关系是正弦与余弦值之间的转换,商的关系是正余弦与正切之间的转换.20.(1)求函数取得最大值时的自变量的集合并说出最大值;(2)求函数的单调递增区间.【答案】(1)3;(2)和.【解析】【分析】(1)根据余弦函数的值域可求出函数的最大值,由,可求得取得最大值时自变量的集合;(2)由,求得的范围,可得函数的增区间,再结合,进一步确定函数的增区间.【详解】(1)由2x = π + 2kπ, 得x =+ kπ, k∈ Z.所以, 函数y = - 3cos2x, x∈ R取得最大值时的自变量x的集合是{x | x=+ kπ, k∈ Z}.函数y = - 3cos2x, x∈ R的得最大值是3.(2)由-+ 2kπ≤ 2x +≤+ 2kπ, 得-+ kπ≤x≤+ kπ, k∈ Z.设A = [0, π], B = {x|-+ kπ≤x≤+ kπ, k∈Z}, 易知A∩B = [0,]∪[, π]. 所以, 函数y= 3sin(2x+), x∈ [0, π]的单调递增区间为[0,]和[, π].【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值,属于中档题. 函数()的单调区间的求法:把看作是一个整体,由求得函数的减区间;由求得函数的增区间.21.某医药研究所开发一种新药, 成年人按规定的剂量服用后, 每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间关系满足如图所示的曲线.(1)写出关于的函数关系式:;(2)据进一步测定: 每毫升血液中的含药量不少于微克时, 治疗疾病有效. 求服药一次后治疗疾病有效的时间.【答案】(1);(2)小时.【解析】【分析】(1)将分别代入,得,从而可得与之间的函数关系式;(2)当时,由,得;当时,由得,由此能求出服药一次治疗疾病的有效时间. 【详解】(1)将t = 1, y = 4分别代入y = kt, y =, 得k = 4, a= 3, ∴f(t) =. (2)当时,由,得;当时,由得因此, 服药一次后治疗疾病有效的时间为 (小时).【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式、分段函数解不等式以及分类讨论思想的应用,属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清楚,思路清晰.22.已知函数是关于的偶函数.(1)求的值;(2)求证: 对任意实数,函数的图象与函数的图象最多只有一个交点.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)通过函数是关于的偶函数,可得恒成立,可得恒成立,从而可求的值;(2)由, 得, 所以,令,利用单调性的定义可证明在上单调递减,从而可得结论.【详解】(1)因为f(x)是关于x的偶函数,所以log2(2 - x + 1) + k( - x) = log2(2x + 1) + kx, 即2kx = log2= - x, 解得k = -.(2) 由, 得log2(2x + 1) -x =x + m,所以m = log2(2x + 1) -x = log2(1 +). 令h(x) = log2(1 +),设x1, x2 R, 且x1 < x2, 则>, 所以log2(1 +) > log2(1 +),所以h(x1) –h(x2) = log2(1 +) - log2(1 +) > 0, 即h(x1) > h(x2), ∴ h(x)在R上单调递减. 因此, 函数y = h(x)的图象与直线y = m的图象最多只有一个交点. 所以, 对任意实数m, 函数y = f(x)的图象与直线y =x + m的图象最多只有一个交点.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:奇函数由恒成立求解;偶函数由恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由求解;偶函数一般由求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.。
2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学(二)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2019•乐山调研]若与互为共轭复数,则的值为()A.B.C.D.2.[2019•济南外国语]已知集合,,则()A.B.C.D.3.[2019•九江一模] 的部分图像大致为()A.B.C.D.4.[2019•榆林一模]已知向量,满足,,,则()A.2 B.C.D.5.[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点,且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为()A.B.C.D.6.[2019•武邑中学]在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则角()A.B.C.或D.或7.[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中,每个月为感冒来就诊的人数如下表所示:()上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图,则图中判断框、执行框依次应填()A.;B.;C.;D.;8.[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球,分别写有“美、丽、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中、国、美、丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为()A.B.C.D.9.[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中,已知是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.10.[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点,,是与相邻的两个最低点.设,若,则的图象对称中心可以是()A.B.C.D.11.[2019•湖北联考]已知偶函数满足,现给出下列命题:①函数是以2为周期的周期函数;②函数是以4为周期的周期函数;③函数为奇函数;④函数为偶函数,则其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.412.[2019•宜昌调研]已知椭圆:上存在、两点恰好关于直线:对称,且直线与直线的交点的横坐标为2,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点,则______.14.[2019•湖北联考]设,满足约束条件,则的最大值为____.15.[2019•镇江期末]若,,则_______.16.[2019•遵义联考]已知三棱锥中,面,且,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,求数列的前项和.18.(12分)[2019•开封一模]大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年,共有250人参与学习先修课程,这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试(满分100分),结果如下表所示:分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率(1)这两年学校共培养出优等生150人,根据下图等高条形图,填写相应列联表,并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150(2)已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程,并都参加了高校的自主招生考试,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.(i)在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人,求他获得高校自主招生通过的概率;(ii)某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得高校自主招生通过的人数为,求的分布列,试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据:参考公式:,其中.19.(12分)[2019•湖北联考]如图,在四棱锥中,,,,且,.(1)证明:平面;(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.20.(12分)[2019•河北联考]在直角坐标系中,直线与抛物线交于,两点,且.(1)求的方程;(2)试问:在轴的正半轴上是否存在一点,使得的外心在上?若存在,求的坐标;若不存在,请说明理由.21.(12分)[2019•泉州质检]已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,,求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系(,),点为曲线上的动点,点在线段的延长线上,且满足,点的轨迹为.(1)求,的极坐标方程;(2)设点的极坐标为,求面积的最小值.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数.(1)当时,求关于的不等式的解集;(2)若在上恒成立,求的取值范围.2019届高三第二次模拟考试卷理科数学(二)答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】∵,,又与互为共轭复数,∴,,则.故选A.2.【答案】C【解析】∵集合,,∴,,∴.故选C.3.【答案】B【解析】,则函数是偶函数,图象关于轴对称,排除A,D,,排除C,故选B.4.【答案】A【解析】根据题意得,,又,∴,∴,∴.故选A.5.【答案】D【解析】由题可知,所求双曲线的顶点坐标为,又∵双曲线的渐近线互相垂直,∴,则该双曲线的方程为.故选D.6.【答案】A【解析】∵,,,∴由正弦定理可得,∵,由大边对大角可得,∴解得.故选A.7.【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数,∴该程序框图要算出所得到的和,①当时,,没有算出6个月的人数之和,需要继续计算,因此变成2,进入下一步;②当时,用前一个加上,得,仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算,因此变成3,进入下一步;③当时,用前一个加上,得,仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算,因此变成4,进入下一步;④当时,用前一个加上,得,仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算,因此变成5,进入下一步;⑤当时,用前一个加上,得,仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算,因此变成6,进入下一步;⑥当时,用前一个加上,得,刚好算出6个月的人数之和,因此结束循环体,并输出最后的值,由以上的分析,可得图中判断框应填“”,执行框应填“”.故选C.8.【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数,由随机产生的随机数可知,恰好第三次就停止的有,,,共4个基本事件,根据古典概型概率公式可得,恰好第三次就停止的概率为,故选C.9.【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2,取中点,连结,,∴是棱的中点,∴,∴是异面直线与所成角(或所成角的补角),,,∴,∴异面直线与所成角的余弦值为,故选C.10.【答案】D【解析】结合题意,绘图又,,∴周期,解得,∴,,令,得到,∴,令,,得对称中心,令,得到对称中心坐标为,故选D.11.【答案】B【解析】偶函数满足,即有,即为,,可得的最小正周期为4,故①错误;②正确;由,可得,又,即有,故为奇函数,故③正确;由,若为偶函数,即有,可得,即,可得6为的周期,这与4为最小正周期矛盾,故④错误.故选B.12.【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点,,设,,则,,∵、是椭圆上的点,∴①,②,①﹣②得:,∴,∴,∴,∴,故选C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.【答案】1【解析】函数,可得,∴,又,∴切线方程为,切线经过,∴,解得.故答案为1.14.【答案】5【解析】作出,满足约束条件,所示的平面区域,如图:作直线,然后把直线向可行域平移,结合图形可知,平移到点时最大,由可得,此时.故答案为5.15.【答案】【解析】由得,即,又,解得,∴.16.【答案】【解析】取的中点,连结、,∵平面,平面,∴,可得中,中线,由,,,可知,又∵,、是平面内的相交直线,∴平面,可得,因此中,中线,∴是三棱锥的外接球心,∵中,,,∴,可得外接球半径,因此,外接球的表面积,故答案为.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1);(2).【解析】(1)∵,,成等差数列,∴,当时,,∴,当时,,,两式相减得,∴,∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴.(2),∴,∴.18.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)列联表如下:优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得,因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.(2)(i)由题意得所求概率为.(ii)设获得高校自主招生通过的人数为,则,,,1,2,3,4,∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.19.【答案】(1)见证明;(2)见解析.【解析】(1)∵在底面中,,,且,∴,,∴,又∵,,平面,平面,∴平面,又∵平面,∴,∵,,∴,又∵,,平面,平面,∴平面.(2)方法一:在线段上取点,使,则,又由(1)得平面,∴平面,又∵平面,∴,作于,又∵,平面,平面,∴平面,又∵平面,∴,又∵,∴是二面角的一个平面角,设,则,,这样,二面角的大小为,即,即,∴满足要求的点存在,且.方法二:取的中点,则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系,且由(1)知是平面的一个法向量,设,则,,∴,,设是平面的一个法向量,则,∴,令,则,它背向二面角,又∵平面的法向量,它指向二面角,这样,二面角的大小为,即,即,∴满足要求的点存在,且.20.【答案】(1);(2)在轴的正半轴上存在一点,使得的外心在上.【解析】(1)联立,得,则,,从而.∵,∴,即,解得,故的方程为.(2)设线段的中点为,由(1)知,,,则线段的中垂线方程为,即.联立,得,解得或,从而的外心的坐标为或.假设存在点,设的坐标为,∵,∴,则.∵,∴.若的坐标为,则,,则的坐标不可能为.故在轴的正半轴上存在一点,使得的外心在上.21.【答案】(1)见解析;(2).【解析】解法一:(1),①当时,↘极小值↗∴在上单调递减,在单调递增.②当时,的根为或.若,即,0 0↗极大值↘极小值↗∴在,上单调递增,在上单调递减.若,即,在上恒成立,∴在上单调递增,无减区间.若,即,0 0↗极大值↘极小值↗∴在,上单调递增,在上单调递减.综上:当时,在上单调递减,在单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增,无减区间;当时,在,上单调递增,在上单调递减.(2)∵,∴.当时,恒成立.当时,.令,,设,∵在上恒成立,即在上单调递增.又∵,∴在上单调递减,在上单调递增,则,∴.综上,的取值范围为.解法二:(1)同解法一;(2)令,∴,当时,,则在上单调递增,∴,满足题意.当时,令,∵,即在上单调递增.又∵,,∴在上有唯一的解,记为,↘极小值↗,满足题意.当时,,不满足题意.综上,的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.【答案】(1);;(2)2.【解析】(1)∵曲线的参数方程为(为参数),∴曲线的普通方程为,∴曲线的极坐标方程为,设点的极坐标为,点的极坐标为,则,,,,∵,∴,∴,,∴的极坐标方程为.(2)由题设知,,当时,取得最小值为2.23.【答案】(1);(2).【解析】(1)∵,∴的解集为.(2)∵,∴,即,则,∴.。
赤峰二中月考数学试题
一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 2. 若集合,集合,则“”是“的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 3.已知函数
,则() A. 在上递增 B. 在上递减 C.在上递增 D.在上递减
5.若实数x ,y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
,则
23x y z +=的最小值为()
A .0
B .1
C
D .9
6.如果函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图像关于直线3
2π=
x 对称,那么ϕ的最小值为() A.6π B.4π C.3π D.2π 7.“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”([注释]四升五:4.5升.次第盛:盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间三节的容积为()
A. 3升
B. 3.25升
C.3.5 升
D. 3.75升
8.已知定义在上的奇函数满足,当时,则()
A. B. C. D.
10.如图,过抛物线22(0)
y px p
=>的焦点F的直线交抛物线于点A B
、,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且4
AF=,则线段AB的长为()
A. 5
B. 6
C.
16
3
D.
20
3
11.直线与曲线有且仅有一个公共点,则b的取值范围是
A.B.或 C.D.
12.对任意的实数x,都存在两个不同的实数y,使得()20
x y x
e y x ae-
--=成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.
1
0,
2e
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B.
1
,
2e
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
C.
1
,
2e
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
D.
1
,1
2e
⎛⎫
⎪
⎝⎭。