拔高专题(一) 平行线中的规律探究

发现平行线的规律教案一、教学目标1.了解平行线的概念及性质；2.熟悉平行线的判定方法；3.掌握平行线的应用，如证明等角、等比、相似等基本几何定理等。

二、教学重点1.平行线的概念及性质的教授；2.平行线的判定方法的介绍。

三、教学难点1.平行线概念的理解；2.平行线判定方法的应用。

四、教学过程1.导入运用PPT等多媒体工具，导入本节课内容。

通过给学生介绍一些生活中的情景，引导学生思考关于平行线的性质。

2.提出问题与讨论问：两条直线如何才能成为平行线？引出学生讨论和总结平行线的概念和性质。

3.讲解平行线的定义将平行线定义为不在同一个平面内，但方向相同的两条直线。

并引导学生注意此定义中的几个关键点。

4.性质的讲解（1）非平行线交于一点。

（2）经过直线外一点，只有一条平行线。

（3）平行线间，对应角相等；同旁内角互为补角。

5.平行线的判定方法方法一：同旁内角互为补角。

方法二：同位角相等。

方法三：对顶角相等。

方法四：三角形内两边平行，则第三边也平行。

让学生在教师的指导下，针对不同的情况，独立运用不同的判定方法，来判断两条直线是否平行。

6.教师的讲解通过举例来让学生更好地理解平行线的概念及性质，同时也让学生知道平行线在几何学中的应用。

通过讲解证明某些基本几何定理的方法，帮助学生更深入地理解平行线的应用。

如：证明等角、等比、相似等基本几何定理等。

7.课堂实践让学生到校园或社区等公共场所进行有关平行线的探索和实践，让学生进一步认识平行线的概念及应用。

五、教学扩展1.将平行线的应用与生活结合，如城市规划中道路和建筑物的规划等等。

2.让学生撰写小论文并进行展示，践行探究的习惯。

3.学生自主探索平行线的相关内容，进行家长报告等形式的汇报。

六、教学评估1.布置相关作业，检查学生是否理解平行线的概念及性质，是否能熟练掌握平行线的判定方法。

2.检查实践课堂的成果，了解学生对于平行线知识点的掌握情况。

3.课下进行总结归纳，查看学生的实践总结，通过总结让学生掌握平行线相关知识。

专题一证明平行的方法一、借助对顶角转化进行证明如图，∠1=∠2，求证：AB∥CD.二、借助邻补角转化进行证明如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,.证明:三、转化角度关系进行证明1.已知：如图，∠DAB=∠DCB，AE，CF分别平分∠DAB，∠DCB，∠2+∠AEC=180°，试判定AB 与CD是否平行？2.如图,∠B=∠C,B、A、D在同一条直线上,∠DAC=∠B+∠C,AE是∠DAC的平分线,试说明AE 与BC的位置关系.四．添加辅助线转化角度关系进行证明1.如图，∠EAB-∠ECD=∠AEC，求证：AB∥CD.2.如图，已知∠BFM=∠1+∠2，求证：AB∥CD.五、借助平行公理及推论进行证明如图，已知∠A+∠B=180°，∠EFC=∠DCG，求证：AD∥EF.专题二角度计算一、运用对顶角及邻补角的性质计算1.如图，O为直线AB与直线CF的交点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，求∠EOF 的度数.2.如下图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠AOD，且∠EOD = 50°，求∠BOC的度数.二、与垂直有关的计算1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（ ）A．56°B．66°C．24°D．34°2.如图,直线AB经过点O,OA平分∠COD,OB平分∠MON,若∠AON=150°,∠BOC=120°.(1)求∠COM的度数;(2)判断OD与ON的位置关系,并说明理由.3.（2016春•西华县期末）如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O．（1）若∠1=∠2，求∠NOD；（2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD．三、运用方程思想计算1.如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11．（1）求∠COE的度数．（2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数．2.如图,直线AB,CD相交于点O,,OF平分,,求的度数.四、运用平行线性质进行计算1.如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数.2.（2016•陕西）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（ ）A．65°B．115°C．125°D．130°五、利用三角形外角定理及平行线性质1.（2016•毕节市）如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（ ）A．85°B．60°C．50°D．35°2.（2016•营口）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC 与OB交于点E，则∠DEO的度数为（ ）A．85°B．70°C．75°D．60°六、利用三角形内角和1.（2016•江西模拟）如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数．2.（2016•江西模拟）如图，在△ABC中，∠B+∠C=110°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，求∠ADE的度数．专题三折叠问题1.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）2.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE= 度．3.将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B=∠C．（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．专题四辅助线添加（过拐点作平行线）一、作平行线求角度1.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，求∠1的度数.2.如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED的度数.二、作平行线证平行1.如图，已知∠1+∠2+∠3=360°，证明：AB∥CD.2.如图，AB∥CD，∠B＝∠C.求证：BE∥CF.三、作平行线证角度关系1.如图，，，则、、的关系为 . EF AB //︒=∠90C αβγ2.如图(a)，木杆EB 与FC 平行，木杆的两端B 、C 用一橡皮筋连接.现将图(a)中的橡皮筋拉成下列各图的形状，试解答下列各题：(1)图(b)中，∠A 、∠B ，∠C 之间有何关系？(2)图(c)中，∠A 、∠B 、∠C 之间有何关系？(3)图(d)中，∠A 、∠B 、∠C 之间有何关系？(4)图(e)中，∠A 、∠B ，∠C 之间有何关系？拔高题1.如图，已知∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.2.如图，已知，，，求证：。

高中数学平行线解题技巧在高中数学中，平行线是一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

解题时，我们常常需要运用一些技巧来判断线段是否平行，或者利用平行线的特性来推导出其他结论。

本文将介绍一些高中数学中常见的平行线解题技巧，并通过具体的例题来说明。

一、平行线的判断判断线段是否平行是解题的第一步。

在实际操作中，我们可以运用以下几种方法来判断两条线段是否平行。

1. 利用线段的斜率对于两条线段，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判断它们是平行线。

例如，已知直线L1过点A(2, 3)和B(4, 7)，直线L2过点C(1, 1)和D(3, 5)，我们可以计算出L1的斜率为(7-3)/(4-2)=2，L2的斜率为(5-1)/(3-1)=2，由此可知L1与L2是平行线。

2. 利用线段的比例关系在某些情况下，我们可以通过线段的比例关系来判断它们是否平行。

例如，已知线段AB与线段CD的长度比为3:4，线段AC与线段BD的长度比为2:5，我们可以发现线段AB与线段CD的长度比与线段AC与线段BD的长度比相等，因此可判断AB与CD平行。

二、平行线的性质应用在解题过程中，我们还可以利用平行线的性质来推导出其他结论，从而解决问题。

下面举例说明。

例题1：已知平行线L1和L2分别与直线L相交于点A、B和C、D，证明三角形ABC与三角形ABD的面积之比等于线段AD与线段BC的长度之比。

解析：首先，我们可以利用平行线的性质得到∠CBA=∠BDA（对应角相等），∠ABC=∠ADB（同位角相等）。

然后，我们可以利用三角形面积之比的性质，即面积之比等于底边之比乘以对应高之比，来证明题目中的结论。

设线段AD与线段BC的长度分别为a和b，线段AB的长度为c，则三角形ABC的面积为S1=1/2 * a * c，三角形ABD的面积为S2=1/2 * b * c。

由于∠CBA=∠BDA，所以三角形ABC和三角形ABD的底边AB相等，即c相等。

初中三年级探索平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是初中数学中的重要概念，对于学习几何知识和解题非常重要。

在初中三年级，学生将进一步探索平行线和垂直线的性质，理解其定义和关系，并能够应用到具体的题目中。

本文将深入分析平行线和垂直线的性质，以及相关的解题技巧。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。

初中三年级的学生需要通过观察和实践，进一步了解平行线的性质。

1.1 充分条件首先，我们来探究平行线的充分条件。

平行线存在的一个充分条件是：若两条直线与第三条直线相交时，所形成的内错角和外错角相等。

这个条件被称为同位角相等定理。

同位角相等定理可以帮助我们判断两条直线是否平行，可以结合具体的题目进行分析和解答。

1.2 必要条件接下来，我们来探索平行线的必要条件。

平行线存在的一个必要条件是：若两条直线被一条截线所交，那么所形成的内错角和外错角相等。

这个条件被称为内错角和外错角定理。

内错角和外错角定理在解决平行线相关题目时非常有用，我们可以根据该定理来解决具体的问题。

二、垂直线的性质垂直线是指与平行线相交，且相交角度为90度的两条直线。

在初中三年级，学生将继续深入理解垂直线的性质和应用。

2.1 垂直线的判断首先，我们来探讨如何判断两条直线是否垂直。

当两条直线的斜率之积为-1时，这两条直线互为垂直线。

利用斜率判断垂直线的方法在解题时非常重要，我们可以通过计算斜率来判断两条直线是否垂直。

2.2 垂直线的性质垂直线的性质包括：两条互相垂直的直线会产生四个垂直的直角。

垂直线的这个性质被称为垂直线性质定理。

学生需要理解和应用该定理，将其运用到具体的题目中去解决问题。

三、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线的性质在解题时非常有用，学生需要灵活运用这些性质来解决各种问题。

3.1 应用举例首先，我们来看一个应用举例。

已知一条直线与两条平行线相交，求证交角相等。

解决该问题时，我们需要利用平行线的性质来推导证明，通过观察和推理，学生可以得到交角相等的结论。

∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=1/2∠AOC=1/2×80°=40°； （2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；
（3）存在.由（1）可知∠AOC=180°，∴∠AOC+∠OAB=180°，∴OC∥AB．∴∠OBA=∠COB.又 BC∥OA，
二、拔高探究
探究点一：探究平行线中常见模型中的角度关系 例 1：1 已知如图，AB∥CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2= ______；
AP、 CP 分 别 为 角 3.∠BAP1：∠BAP2=
平分线，∠P 的度数 ∠DCP1：∠DCP2=
是_90°.
m： n， 求 ∠ P1:∠ P2.
= m：n.
【变式训练】2.（2015•宜春期末）如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.
（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系并说明理由； （2）如图 2，当∠E=90°且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点 E，使 ∠MCE= ∠ECD，当直角顶点 E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD 否存在确定的数量关
个角的和是 180°（n-1）．
答案：（1）180°；（2）360°；（3）540°；180°（n-1）．
【变式训练】1.（2015•汉阳区期中）已知：如图，AB∥CD，E，F 分别是 AB，CD 之间的两点，且∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠
EDF．
（1）判定∠BAE，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并证明你的结论；
∴∠BAE+∠CDE= 3 ∠BAF+ 3 ∠CDF，∴∠AED= 3 ∠AFD.

胡老师讲数学探索平行线的性质胡老师1、知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。

2、数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。

3、解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。

4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。

四、案例教学重、难点1、重点：对平行线性质的掌握与应用2、难点：对平行线性质1的探究五、案例教学用具1、教具：多媒体平台及多媒体课件2、学具：三角尺、量角器、剪刀六、案例教学过程（一）创设情境，设疑激思1、播放一组幻灯片。

内容：①供火车行驶的铁轨上；②游泳池中的泳道隔栏；③横格纸中的线。

2、提问温故：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？3、学生活动：针对问题，学生思考后回答——①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；4、教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题：探索平行线的性质(板书)数形结合，探究性质 1、画图探究，归纳猜想教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线（ a ∥ b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。

（统一采用阿拉伯数字标角）教师提出研究性问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：教师提出研究性问题二：将画出图中的同位角任先一组剪下后叠合。

学生活动一：画图 ----度量----填表----猜想学生活动二：画图 ----剪图----叠合让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：两直线平行，同位角相等。

教师提出研究性问题三：再画出一条截线 d，看你的猜想结论是否仍然成立？学生活动：探究、按小组讨论，最后得出结论：仍然成立。

平行线的性质知识点总结、例题解析知识点1【平行线的性质】（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．∵AB∥CD∴∠2=∠3（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．∵AB∥CD∴∠2+∠4=180°（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等。

∵AB∥CD∴∠1=∠2【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。

【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°【例题2】如图，平行线AB。

CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）A、70B、80C、90D、110【答案】A【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______【答案】30°【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______【答案】35°【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°【答案】50 ，50 ；【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________【答案】10°【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，∴∠BAE=∠DCF．【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。

高中数学解平行线问题的常见方法和实例分析在高中数学学习中，平行线问题是一个非常常见且重要的题型。

解决平行线问题需要掌握一些基本的方法和技巧，本文将介绍一些常见的解题方法，并通过实例分析来说明这些方法的应用。

一、平行线的定义和性质在解决平行线问题之前，我们首先需要了解平行线的定义和性质。

平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

根据平行线的性质，我们可以得出以下结论：1. 平行线与同一条直线的交线上的对应角相等；2. 平行线的两个内错角互补；3. 平行线的两个同旁内角互补；4. 平行线的两个同旁外角相等。

了解了平行线的定义和性质后，我们就可以利用这些性质来解决平行线问题了。

二、平行线问题的解题方法1. 利用平行线的性质求解角度对于给定的平行线问题，我们可以利用平行线的性质来求解角度。

例如，已知两条平行线L1和L2，线段AB与线段CD分别是这两条平行线上的两个点，我们需要求解∠ABC和∠CDE的大小。

根据平行线的性质，我们知道∠ABC与∠CDE是同旁内角，因此它们互补，即∠ABC + ∠CDE = 180°。

如果我们已知∠ABC的大小，就可以通过180° -∠ABC来求解∠CDE的大小。

2. 利用平行线的性质求解线段比例在一些平行线问题中，我们需要求解线段的比例。

例如，已知平行线L1和L2上的两个点A、B，以及平行线L3上的一个点C，我们需要求解线段AB与线段AC的比值。

根据平行线的性质，我们知道线段AB与线段AC的比值等于线段BD与线段CD的比值，即AB/AC = BD/CD。

如果我们已知BD的长度，就可以通过BD/CD来求解AB/AC的比值。

三、实例分析为了更好地理解平行线问题的解题方法，我们来看一个实例。

例题：已知平行线L1和L2上的两个点A、B，以及平行线L3上的一个点C，若已知AB = 6 cm，BC = 4 cm，求解线段AC的长度。

解析：根据平行线的性质，我们知道线段AB与线段AC的比值等于线段BD与线段CD的比值，即AB/AC = BD/CD。

平行线判定定理与性质一、引言平行线是几何学中常见的概念之一。

在平面几何中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。

平行线的判定和性质是几何学中的重要内容之一，对于理解和解决几何问题具有重要意义。

本文将介绍平行线的判定定理和其相关的一些性质。

二、平行线判定定理2.1 垂线判定定理垂线是与给定直线相交，且与该直线的两个点之间的线段垂直的直线。

我们有如下垂线判定定理：定理 1：如果两条直线同时与第三条直线垂直，那么这两条直线是平行的。

2.2 反证法判定定理反证法是一种常用的证明方法，可以用来证明平行线的存在性。

对于两条直线平行的问题，我们有如下反证法判定定理：定理 2：如果一条直线与一组既离开它又不相交的直线相交（点 O），但却不是这组直线上所有直线的交点，则这条直线与这组直线平行。

三、平行线的性质3.1 平行线的对应角性质当一条直线与两条平行线相交时，所形成的相应角是相等的。

这是平行线的一个重要性质，我们有如下定理：定理 3：在一对平行线所切割出的两组对应角中，任一组对应角都是相等的。

3.2 平行线的转角性质当两条平行线被一条横截线切割时，所形成的转角之和为180度。

这是平行线的另一个重要性质，我们有如下定理：定理 4：当两条平行线分别与一条横截线相交时，相交角之和为180度。

3.3 平行线的平行截线性质平行线上的平行截线与被平行线所截的线段成等比例关系。

我们有如下定理：定理 5：如果一条直线平行于一个已知直线，那么它与这个已知直线所截取的那些其他直线段与已知直线所截取的那些线段之间有着相同的比例关系。

3.4 平行线的倾斜性质如果两条直线都平行于同一直线，那么它们互相平行。

我们有如下定理：定理 6：如果直线 l // 直线 m，并且直线 n // 直线 m，那么直线 l // 直线 n。

四、总结平行线在几何学中有着重要的地位，平行线的判定定理和性质也为解决几何问题提供了有力的工具。

通过垂线判定定理和反证法判定定理，我们可以判定两条直线是否平行。

平行线动点问题解题技巧探究平行线动点问题是数学中的一个经典问题，通常出现在几何学的相关考题中。

该问题要求解决在平行线上，一个点沿着这两条平行线移动，如何确定其轨迹或者运动路线。

在本文中，我将会探究一些解答这类问题的技巧和方法，并分享我对这个问题的观点和理解。

1. 了解基本概念在解答平行线动点问题之前，需要先了解一些基本概念。

平行线是指在同一平面上且永不相交的两条直线。

动点是指在给定条件下运动的点。

这两个概念是解决平行线动点问题的基础。

2. 分析问题并设定参数在解答平行线动点问题时，需要仔细分析问题并设定参数。

可以考虑两条平行线之间的距离、动点的起始位置以及动点的运动速度等因素。

通过设定参数，可以更清晰地理解问题并找到解决方案。

3. 利用相似三角形在解决平行线动点问题时，常常需要利用到相似三角形的性质。

相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

通过观察和运用相似三角形的性质，可以得到一些关键的结论，帮助解决问题。

4. 使用平行线的性质平行线有一些独特的性质，可以在解答平行线动点问题时起到关键作用。

其中一条重要的性质是平行线上的对应角相等。

利用这个性质，可以得到一些与角度相关的等式，从而推导出动点的运动轨迹或运动方程。

5. 考虑特殊情况在解答平行线动点问题时，可能会遇到一些特殊情况。

这些特殊情况可能包括平行线的倾斜程度、动点的特殊位置等。

考虑这些特殊情况时，需要灵活运用已有的知识和技巧，并可能需要使用一些额外的几何知识来解决问题。

总结:通过对平行线动点问题解题技巧的探究，我们了解到了一些基本的解题思路和方法。

在解答平行线动点问题时，我们首先需要了解基本概念，然后分析问题，设定参数。

接下来，可以通过利用相似三角形和平行线的性质，得到一些关键结论。

考虑特殊情况，并灵活运用已有的知识和技巧来解决问题。

对于平行线动点问题，我认为关键在于观察和分析。

通过观察不同的角度和情况，我们可以发现一些有用的特性和关系。

教案：画平行线及探索规律2023-2024学年数学四年级上册-青岛版一、教学目标1. 让学生理解平行线的概念，能够识别平行线和相交线。

2. 培养学生运用直尺和量角器准确地画出平行线的能力。

3. 通过探索规律，培养学生的观察力、思考力和创新能力。

二、教学内容1. 平行线的概念2. 画平行线的方法3. 探索平行线的规律三、教学重点与难点1. 教学重点：平行线的概念，画平行线的方法。

2. 教学难点：准确地画出平行线，探索平行线的规律。

四、教学过程1. 导入通过生活中的实例，引导学生思考平行线的概念。

例如，让学生观察教室里的墙壁、地板等，找出平行线和相交线。

2. 新课导入（1）平行线的概念引导学生用自己的语言描述平行线的特点，然后给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

（2）画平行线的方法首先，让学生尝试用直尺和量角器画出平行线。

然后，教师讲解正确的方法：先画出一条直线，再在这条直线上任取一点，过这个点画一条与已知直线垂直的线，最后在这条垂线上任取一点，过这个点画一条与已知直线平行的线。

3. 探索规律（1）观察平行线的特点让学生观察平行线的特点，如：平行线之间的距离相等，平行线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。

（2）探索平行线的规律分组讨论，让学生尝试找出更多的平行线规律。

例如：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

4. 巩固练习让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平行线的概念、画平行线的方法以及探索到的规律。

五、作业布置1. 让学生回家后，观察家里的物品，找出平行线和相交线，并说明理由。

2. 完成练习册上有关平行线的题目。

六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

同时，关注学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养他们的数学素养。

七、附录1. 教学课件2. 练习题及答案3. 学生作品展示注：本教案根据2023-2024学年数学四年级上册-青岛版教材编写，实际教学时可根据学生情况进行适当调整。

中考数学压轴题，平行线这样解答一定得高分！
初中数学所有知识点中，有一种类型的题目虽然不太容易引起人的注意，但是无论你在乎或者不在乎，它就在试卷上不增不减，占比分数不高不低，那就是平行线这类题目。

虽然平行线知识点远没有函数这类知识点惹人重视，但是在中考试卷中也占有一定的比例，因此在复习平行线知识的时候，我们要掌握解题技巧，这样才能考到高分。

平行线的题目往往结合求角度的问题出现在试题中，而解答这类题目需要技巧，巧作辅助线是这类题目最常见的解法。

这道例题可谓是平行线知识点的一个经典例题了，求三个角的度数之和。

一起来看看除了常规解法，深本数学还有哪些新的解法呢？如何用运动的角度是思考问题，发散思维？
解法一：过C点作一条平行于直线AB和ED的平行线。

解法二：如图所示，连接BD。

解法三：如图所示过B点作一条相交于ED的线。

解法四：如图所示，任意作一条线
解法五：如图，过点C作平行线CF
解法六：如图延长BC与ED交于F
一道题目，深本数学用了6种方法解出来了，这六种方法你是否都掌握了呢？看了不同的解法后，是否恍然大悟了？
其实任何题目都有解题规律，只要掌握了解题规律，就能够快速地找到答案。

深本数学的老师认为，平行线有如下规律：已知两直线平行，则用平行线性质定理解题；如果已经有平行线定理的形状，直接用性质解题即可；如果没有定理的形状，就造一个解题，怎么造都行。

欢迎大家在评论处留言讨论数学题目！。

平行线与垂直线的性质及推导平行线与垂直线是几何学中常见的线段关系，它们在解决实际问题和证明几何定理中起着重要的作用。

本文将介绍平行线与垂直线的性质，并通过推导来进一步理解它们之间的关系。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。

平行线的性质主要包括以下几点：1. 平行线定理：如果有一条直线与两条平行线相交，则这两条平行线之间的对应角相等。

这个定理也可以理解为平行线产生的错角相等。

2. 平行线的判定：在平面上，如果两条直线的所有对应角均相等，则这两条直线是平行线。

这个判定可以通过测量角度来进行验证。

3. 平行线的性质1：两条平行线与第三条直线相交时，对应角相等。

这个性质是平行线定理的反向推论，也可以用来证明两条直线平行的方法之一。

4. 平行线的性质2：在同一平面内，如果一条直线与两个平行线相交，则这两个平行线上的对应角相等。

这个性质可以解决一些与平行线相关的问题。

通过以上的性质，我们可以更加深入地理解平行线的特点，并在实际问题中应用它们。

二、垂直线的性质垂直线是指两条直线在相交处所成的四个相邻角中，相邻两角的和为90度（或称为直角）。

垂直线的性质如下：1. 垂直线定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。

这个定理可以用来判定两条直线是否垂直。

2. 垂直线的判定：在平面上，如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线互相垂直。

这个判定可以通过计算斜率来验证。

3. 垂直线的性质1：垂直线与平行线相交时，所产生的对应角为直角。

这个性质可以用来判定两条直线是否垂直。

4. 垂直线的性质2：如果一条直线与两条互相垂直的直线相交，则这两条垂直直线上的对应角相等。

这个性质也可以用来证明两条直线垂直的方法之一。

垂直线的性质可以帮助我们解决很多与垂直线相关的问题，对于平面几何的研究和应用都非常重要。

三、平行线与垂直线的推导在实际问题中，我们常常需要根据已知条件来推导出平行线或垂直线的关系。

难点探究专题：平行线的判定方法的变化规律(选做)难点探究专题：平行线的判定方法的变化规律简介本文探究平行线的判定方法的变化规律。

平行线在几何学中起着重要的作用，准确判定平行线的方法对于解决几何问题至关重要。

随着几何学的发展，平行线的判定方法也在不断演变和改进。

本文将讨论平行线的判定方法从古至今的变化规律。

古代的平行线判定方法古代几何学家在判定平行线时主要依靠直觉和经验。

他们观察并总结了平行线的一些性质，从而提出了一些判定方法。

例如，古希腊几何学家欧几里得提出的平行线判定方法，通过证明一组角相等来得出线段平行的结论。

近代的平行线判定方法随着几何学的发展，数学家们提出了更为精确和严谨的平行线判定方法。

以近代数学家哈尔夫·清克拉夫提出的清克拉夫平行线判定定理为例，其判定平行线的方法是通过证明两条直线对第三条直线的两个内角对称，从而得出平行关系。

现代的平行线判定方法现代数学借助更为深入的数学理论和工具，提出了更加完善和多样化的平行线判定方法。

例如，利用向量的概念和操作，我们可以通过向量的平行关系来判定线段的平行性。

同时，利用解析几何中方程的性质，我们也可以通过方程的形式判定平行线。

变化规律总结随着几何学的发展，平行线的判定方法经历了从直觉和经验到更加严谨和精确的转变。

古代几何学家主要依靠观察和总结，提出了一些判定方法。

近代数学家通过引入新的概念和定理，提出了更为严密的判定方法。

而现代数学更加注重理论和应用的结合，提出了更加多样化的判定方法。

结论平行线的判定方法的变化规律体现了几何学的发展和进步。

从古代几何学家的直觉和经验，到近代数学家的严密证明，再到现代数学的理论和应用结合，平行线判定的方法逐渐变得更加完善和多样化。

对于几何学的研究和应用，熟练掌握各种平行线判定方法至关重要。

通过进一步研究和发展，我们可以期待未来更加高效准确的平行线判定方法的诞生。

以上就是对平行线的判定方法的变化规律的探究，希望对读者有所帮助。

平行线中的探索题赏析探索性数学题能够培养大家的发散思维能力，提高分析问题和解决问题的能力.在一些试题中常常出现这种试题.为帮助大家学习平行线的有关特性，现就有关的探索性试题例析如下.一、探索条件例1 如图1，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2.… ，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：______,使a//b.图1解析:本题只要是考查平行线的三种识别方法.(1)从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8中的任意一个条件；（2）从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3=∠6，∠4=∠5中的任意一个；（3）从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3+∠5=180°，∠4+∠6=180°中的一个条件.（4）从其他方面考虑，也可填∠1=∠8，∠2=∠7，∠1+∠7=180°，∠2+∠8=180°，∠4+∠7=180，∠3+∠8=180°，∠2+∠5=180°，∠1+∠6=180°中的任意一个条件.二、探索结论例2如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则A.只能求出其余3个角的度数B.只能求出其余5个角的度数C.只能求出其余6个角的度数D.只能求出其余7个角的度数图2解析：若具体地已知哪个角是几度的角，随后设问其他的角怎样求，大家是熟悉的，但如此题这样的设问，则需要有牢固的知识基础和基本技能来支持才行.如图2，假设∠1已知，通过对顶角相等，知道∠4，通过互补角，求出∠2，∠3，再通过平行线的性质确定∠5，∠6，∠7，∠8的大小，所以选（D）.三、探索解法例3 如图3，过已知直线AB外一点C，作直线CD，使CD//AB，你能想到几种画法？分析：本题考查平行线的特征及判断.重点考查大家的动手操作能力.本题的画法较多，如：作法1.根据“同位角相等，两直线平行”(1)过点C画直线EF,交AB与G;(2)作∠ECD=∠EGA,则直线DC即为所求的直线.如图4.图3 图4 图5作法2.根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，（2）过点C作直线CD⊥CG.则直线CD就是所求作的直线.如图5 .。

探索平行和垂直线的奥秘线是我们日常生活中非常常见的事物，而平行线和垂直线则是线的特殊形态。

它们被广泛应用于几何学和数学中，对于建筑、设计和工程学等多个领域也具有重要意义。

本文将深入探索平行线和垂直线的奥秘，揭示它们的定义、性质以及在实际应用中的价值。

1. 平行线的奥秘平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

它们在数学中具有独特的性质和定义。

我们先来探索平行线的定义和相关定理。

1.1 定义平行线的定义是：如果两条直线在同一个平面内，且它们不相交，则称这两条直线为平行线。

1.2 平行线的性质在平行线的定义基础上，平行线还具有以下重要性质：1) 平行线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们一定是平行线。

2) 平行线的内角和定理：当一条直线与两条平行线相交时，它们之间的对应内角是相等的。

3) 平行线的外角和定理：当一条直线与两条平行线相交时，它们之间的对应外角是相等的。

1.3 平行线的实际应用平行线在实际应用中有着广泛的应用价值。

以下是一些例子：1) 建筑设计：在建筑设计中，平行线被用于确定大厅、房间等空间的布局。

平行线的使用能够提供稳定的基础和美观的视觉效果。

2) 交通规划：平行线被应用于道路和铁路的设计。

它们帮助提供直观且高效的路线规划，减少交通拥堵和事故率。

3) 图像处理：在计算机图形学中，平行线被用于绘制透视图像。

这种技术可以提供更真实、更逼真的图像效果。

2. 垂直线的奥秘垂直线是指两条线段或直线之间的夹角为90度的直线。

垂直线在几何学和数学中有着重要的地位。

我们来揭示垂直线的定义、性质及其应用。

2.1 定义垂直线的定义是：两条直线之间的夹角为90度的直线称为垂直线。

2.2 垂直线的性质垂直线具有以下性质：1) 垂直线的斜率互为负倒数：如果两条直线的斜率互为负倒数，那么它们一定是垂直线。

2) 垂直线的内角和定理：当一条直线与另一条直线垂直相交时，它们之间的内角和为90度。

2.3 垂直线的应用垂直线在很多领域都有着广泛的应用，下面是一些例子：1) 建筑测量：在建筑测量中，垂直线被用于确定墙壁的直立性。

七年级数学-平行线——压轴拔高(带答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平行线压轴拔高一．解答题（共17小题）1．阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF ＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．2．若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β．（1）如图1，若AE∥BF，则α与β有何关系？（直接写出结果）；（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，判断α与β的关系，并说明理由；（3）若∠EAC的平分线与∠FBC平分线交于点P，试探究∠APB与α、β的关系（直接写出结果，用含α、β的代数式表示∠APB）；（4）如图3，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2…依此类推，则∠P4＝（用含α、β的代数式表示）；∠P n＝（n 是整数，且n≥2，用含α、β、n的代数式表示）．3．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．4．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP的度数；（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为．5．（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°．∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．6．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．7．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x＝；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．8．已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．9．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B 作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．10．如图，a∥b∥c，∠1＝40°，∠2＝100°，BD平分∠ABC，求∠DBE的度数．11．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．12．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．13．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E与F，点Q 在PM上，且∠EPM＝∠FQM，求证：∠DFQ＝∠BEP．14．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．15．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．16．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．17．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°（1）求证：EF∥AD．（2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数．一．解答题（共17小题）1．阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．2．若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β．（1）如图1，若AE∥BF，则α与β有何关系？α＝β（直接写出结果）；（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，判断α与β的关系，并说明理由；（3）若∠EAC的平分线与∠FBC平分线交于点P，试探究∠APB与α、β的关系∠APB＝α﹣β（直接写出结果，用含α、β的代数式表示∠APB）；（4）如图3，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2…依此类推，则∠P4＝α﹣β（用含α、β的代数式表示）；∠P n＝β（n是整数，且n≥2，用含α、β、n的代数式表示）．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义、角的计算、三角形外角的性质的运用．解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键．3．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线．4．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP的度数；（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为∠EPG+2∠EHG＝180°．．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°．∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．6．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．7．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是20°，当DP⊥OE时，x＝70；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．8．已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．9．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B 作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，准确识图并理清图中各角度之间的关系是解题的关键，难点在于利用三角形外角性质进行计算．10．如图，a∥b∥c，∠1＝40°，∠2＝100°，BD平分∠ABC，求∠DBE的度数．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．11．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝70°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON＝∠NOC是解题的关键．13．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E与F，点Q 在PM上，且∠EPM＝∠FQM，求证：∠DFQ＝∠BEP．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．14．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．15．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．16．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题．17．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°（1）求证：EF∥AD．（2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．21。