复合周期运动是由两个或两个以上任意频率的正弦运动合成的解析

往复运动知识点总结一、往复运动的定义及特点1. 定义：往复运动是指物体在两个位置之间来回移动的运动。

比如，弹簧振子的来回摆动、活塞在气缸内的往复运动等都属于往复运动。

2. 特点：往复运动具有以下特点：（1）周期性：往复运动的物体在两个位置之间来回移动，具有明显的周期性，即物体在相同的时间间隔内来回移动。

（2）简谐运动：往复运动可以是简谐运动，也可以是非简谐运动。

简谐运动是指物体的位移与时间的关系呈正弦或余弦函数的运动，而非简谐运动则不满足这一条件。

（3）振幅和频率：往复运动的振幅和频率是描述其运动特征的重要指标，振幅是指往复运动物体在运动过程中的最大位移，频率是指往复运动的周期数。

二、往复运动的原理1. 弹簧振子原理：弹簧振子是一种常见的往复运动物体，其原理是当外力拉伸或压缩弹簧时，弹簧会产生恢复力，从而使得弹簧上的物体发生振动。

弹簧振子的振动规律符合简谐运动规律，可以用正弦或余弦函数描述其位移与时间的关系。

2. 活塞往复运动原理：活塞在气缸内的往复运动是一种常见的往复运动现象，其原理是通过外部力的作用，活塞在气缸内做来回移动，从而实现能量的传递和转换。

活塞在内燃机中起着非常重要的作用，通过往复运动将燃气压缩、燃烧、排出，从而驱动汽车等设备的运动。

3. 其他往复运动原理：除了弹簧振子和活塞的往复运动原理外，其他常见的往复运动物体还包括钟摆的来回摆动、摩擦力带动的来回运动等，其原理也都涉及到外部力的作用，能量的传递和转换。

三、往复运动的应用1. 工程应用：往复运动在工程领域有着广泛的应用，比如内燃机、液压机械、振动筛等都是利用往复运动原理实现工作的设备。

2. 医学应用：往复运动在医学领域也有着重要的应用，比如人的呼吸运动、心脏跳动等都是往复运动，而一些医疗设备如胸部振动按摩器、呼吸机等也是利用往复运动原理进行工作的。

3. 日常生活中的应用：往复运动在日常生活中也有一些应用，比如振动按摩器、手摇发电机等都是利用往复运动实现功能的设备。

—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式高中物理复合场问题分类总结高中物理复合场问题综合性强，覆盖的考点多（如牛顿定律、动能定理、能量守恒和圆周运动），是理综试题中的热点、难点。

复合场一般包括重力场、电场、磁场，该专题所说的复合场指的是磁场与电场、磁场与重力场、电场与重力场，或者是三场合一。

所以在解题时首先要弄清题目是一个怎样的复合场。

一、无约束1、 匀速直线运动如速度选择器。

一般是电场力与洛伦兹力平衡。

分析方法：先受力分析，根据平衡条件列方程求解1、 设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场．已知电场强度和磁感强度的方向是相同的，电场强度的大小E =4.0V/m ，磁感强度的大小B =0.15T ．今有一个带负电的质点以=υ20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量q 与质量之比q/m 以及磁场的所有可能方向．解析：由题意知重力、电场力和洛仑兹力的合力为零，则有22)()(Eq Bq mg +=υ=q 222E B +υ，则222E B g m q +=υ，代入数据得，=m q / 1.96C/㎏，又==E B /tan υθ0.75，可见磁场是沿着与重力方向夹角为75.0arctan =θ，且斜向下方的一切方向2、（海淀区高三年级第一学期期末练习）15.如图28所示，水平放置的两块带电金属板a 、b 平行正对。

极板长度为l ，板间距也为l ，板间存在着方向竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里磁感强度为B 的匀强磁场。

假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域。

一质量为m 的带电荷量为q 的粒子（不计重力及空气阻力），以水平速度v 0从两极板的左端中间射入场区，恰好做匀速直线运动。

求： （1）金属板a 、b 间电压U 的大小； （2）若仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，粒子将击中上极板，求粒子运动到达上极板时的动能大小；（3）若撤去电场，粒子能飞出场区，求m 、v 0、q 、B 、l 满足的关系；（4）若满足（3）中条件，粒子在场区运动的最长时间。

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

词汇第一章自动控制 ( Automatic Control) ：是指在没有人直接参与的条件下，利用控制装置使被控对象的某些物理量（或状态）自动地按照预定的规律去运行。

开环控制 ( open loop control )：开环控制是最简单的一种控制方式。

它的特点是，按照控制信息传递的路径，控制量与被控制量之间只有前向通路而没有反馈通路。

也就是说，控制作用的传递路径不是闭合的，故称为开环。

闭环控制 ( closed loop control) ：凡是将系统的输出量反送至输入端，对系统的控制作用产生直接的影响，都称为闭环控制系统或反馈控制 Feedback Control 系统。

这种自成循环的控制作用，使信息的传递路径形成了一个闭合的环路，故称为闭环。

复合控制 ( compound control ）：是开、闭环控制相结合的一种控制方式。

被控对象：指需要给以控制的机器、设备或生产过程。

被控对象是控制系统的主体，例如火箭、锅炉、机器人、电冰箱等。

控制装置则指对被控对象起控制作用的设备总体，有测量变换部件、放大部件和执行装置。

被控量 (controlled variable ) ：指被控对象中要求保持给定值、要按给定规律变化的物理量。

被控量又称输出量、输出信号。

给定值 (set value ) ：是作用于自动控制系统的输入端并作为控制依据的物理量。

给定值又称输入信号、输入指令、参考输入。

干扰 (disturbance) ：除给定值之外，凡能引起被控量变化的因素，都是干扰。

干扰又称扰动。

第二章数学模型 (mathematical model) ：是描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的数学表达式。

传递函数 ( transfer function) ：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。

零点极点 (z ero and pole) ：分子多项式的零点（分子多项式的根）称为传递函数的零点；分母多项式的零点（分母多项式的根）称为传递函数的极点。

高二物理带电粒子在复合场中运动规律分析鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：带电粒子在复合场中运动规律分析【基础知识】一、复合场1. 复合场一般包括重力场、电场和磁场，本专题所说的复合场指的是磁场与电场、磁场与重力场，或者是三场合一。

2. 三种场力的特点（1）重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与初、末位置的高度差有关。

（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与初、末位置的电势差有关。

（3）洛仑兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平f ；洛仑兹力的方向垂直于速度v 行时，f=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，qvB和磁感应强度B所决定的平面。

无论带电粒子做什么运动，洛仑兹力都不做功。

3. 注意：电子、质子、α粒子、离子等微观粒子在复合场中运动时，一般都不计重力，但质量较大的质点（如带电尘粒）在复合场中运动时，不能忽略重力。

二、带电粒子在复合场中运动的处理方法1、正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。

②当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛仑兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。

③当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成。

2、灵活选用力学规律是解决问题的关键①当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。

第二章机械振动第一节简谐运动.......................................................................................................... - 1 - 第二节简谐运动的描述.............................................................................................. - 7 - 第三节单摆................................................................................................................ - 12 - 第四节用单摆测量重力加速度................................................................................ - 17 - 第五节受迫振动共振............................................................................................ - 22 -第一节简谐运动知识点一认识简谐运动1．机械振动物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动．2．弹簧振子把一个有孔的小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上，使其能在杆上自由滑动，小球和水平杆之间的摩擦可以忽略不计，小球的运动视为质点的运动，这样的系统称为弹簧振子．3．回复力(1)方向：总是指向平衡位置．(2)作用效果：使振子能返回平衡位置．(3)公式：F＝－kx，负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．4．简谐振动物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动．5．振幅物体振动时离开平衡位置的最大距离．6．周期物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示．7．频率物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比，用f表示．周期和频率的关系为f＝1 T．知识点二简谐运动的能量特征对水平弹簧振子，当振子在位移最大处时，弹簧弹性势能最大，振子动能为零；当振子在平衡位置时，弹簧弹性势能为零，振子动能最大．弹簧振子在振动过程中，机械能守恒．考点1平衡位置与回复力竖直方向的弹簧振子模型如图所示，请思考以下问题：(1)在平衡位置处，弹簧的弹力等于零吗？(2)该弹簧振子的回复力是由什么力提供的？提示：(1)不等于零．(2)由小球重力和弹簧的弹力的合力提供．(1)从物体受力特点看：物体在平衡位置所受合力不一定为零，而是沿振动方向的合力为零．(2)从速度角度看：平衡位置是振动中速度最大的位置．2．机械振动的特点(1)物体在平衡位置附近做往复运动．(2)机械振动是一种周期性运动．3．回复力的理解(1)回复力的方向总是指向平衡位置．总与简谐运动位移的方向相反．(2)回复力的效果是使偏离平衡位置的物体返回到平衡位置，是产生振动的条件．(3)回复力可以是振动物体所受的某一个力，也可以是物体所受几个力的合力．【典例1】如图所示，对做简谐运动的弹簧振子M的受力情况分析正确的是()A．重力、支持力、弹簧的弹力B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力C．重力、支持力、回复力、摩擦力D．重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力A[弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，C、D错；回复力为效果力，受力分析时不分析此力，B错；故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力，A对．]考点2简谐运动的物理量的变化规律1．简谐运动中相关量的变化规律(1)变化规律：当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能E k、势能E p及振动能量E，遵循一定的变化规律，可列表如下：物理量x F a v E k E p E远离平衡位置增大增大增大减小减小增大不变运动最大位移处最大最大最大零零最大不变靠近平衡位置减小减小减小增大增大减小不变运动平衡位置零零零最大最大最小不变(2)两个转折点．①平衡位置是速度大小、位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点；②最大位移处是速度方向变化的转折点．(3)一个守恒：简谐运动过程中动能和势能之间相互转化，但总的能量守恒．2．简谐运动的对称性如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，任取关于O点对称的C、D两点，则有：(1)时间对称．(2)位移、回复力、加速度大小对称．(3)速率、动能对称．【典例2】如图所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中，A、B之间无相对滑动，设弹簧的劲度系数为k，求当物体离开平衡位置的位移为x时，B对A的摩擦力大小．[思路点拨](1)应用整体法、隔离法思考．(2)B对A的摩擦力是A做简谐运动的回复力．[解析]A、B两物体组成的系统做简谐运动的回复力由弹簧的弹力提供，当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力大小F＝kx，A和B的共同加速度大小a＝FM＋m＝kxM＋m，而物体A做简谐运动的回复力由A受到的静摩擦力提供，由此可知B对A的摩擦力大小f＝ma＝mkxM＋m．[答案]mkxM＋m分析简谐运动应注意的问题(1)位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．(2)回复力是变力，大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化．(3)要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况．考点3振幅、周期和频率如图所示，思考探究下面两个问题(1)振子振幅与位移最大值有什么关系？(2)图乙中振子振幅为多少？提示：(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是振动物体相对平衡位置的位置变化；位移的最大值等于振幅．(2)10 cm．1．对全振动的理解(1)振动特征：一个完整的振动过程．(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同．(3)时间特征：历时一个周期．(4)路程特征：振幅的4倍．2．振幅和振动系统能量的关系对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．3．振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是：(1)一个周期内的路程为4倍的振幅．(2)半个周期内的路程为2倍的振幅．4．振幅与周期的关系在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．【典例3】如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC ＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是()A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1 s，振幅是10 cmC ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm [思路点拨] (1)振子从B 经O 到C 的时间为12T ．(2)振子的振幅是5 cm ，完成一次全振动的路程为振幅的4倍．D [振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s ＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ．弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ．故D 正确，A 、B 、C 错误．]振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为振幅的4倍，半个周期内的路程为振幅的2倍．(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅．(2)若从一般位置开始计时，14周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．训练角度2 振动物体的路程4．一个物体做简谐运动时，周期是T ，振幅是A ，那么物体( ) A ．在任意T4内通过的路程一定等于A B ．在任意T2内通过的路程一定等于2A C ．在任意3T4内通过的路程一定等于3A D ．在任意T 内通过的路程一定等于2AB [物体做简谐运动，是变加速运动，在任意T4内通过的路程不一定等于A ，故A 错误；物体做简谐运动，在任意T2内通过的路程一定等于2A ，故B 正确；物体做简谐运动，在任意3T4内通过的路程不一定等于3A ，故C 错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D错误．]第二节简谐运动的描述知识点一简谐运动的函数描述1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝A cos(ωt＋φ)．式中A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．2．ω与T、f的关系为：ω＝2πT＝2πf．知识点二简谐运动的图像描述1．相位、初相位移—时间函数x＝cos(ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位φ叫作初相．2．相位差对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．3．图像信息如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．考点1简谐运动的表达式某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？(2)写出该振动的正弦函数表达式．提示：(1)周期T＝0.4 s频率f＝2.5 Hz．(2)x＝4sin(5πt＋π2) cm．(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πΤ＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．2．简谐运动的表达式x＝A sin(ωt＋φ0)的理解(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．【典例1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动，求：(1)初相位；(2)t＝0.5 s时物体的位置．[思路点拨]①关键条件是：t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动．②先假设函数表达式，由t＝0时x＝6 cm求出初相φ．[解析](1)设简谐运动的表达式为x＝A sin(ωt＋φ)，A ＝12 cm ，T ＝2 s ，ω＝2πT ，t ＝0时，x ＝6 cm ， 代入上式得，6 cm ＝12sin(0＋φ) cm ， 解得sin φ＝12，φ＝π6或56π，因这时物体向x 轴正方向运动，故应取φ＝π6，即其初相为π6． (2)由上述结果可得：x ＝A sin(ωt ＋φ)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π6cm ，所以x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6 cm ＝12sin 46π cm ＝6 3 cm ．[答案] (1)π6 (2)6 3 cm 处初相位的两种求解方法(1)确定振幅A 、角频率ω及t ＝0时刻的位移x ，然后利用x ＝A sin(ωt ＋φ)，求出初相位φ．(2)设平衡位置处的质点向正方向运动n (n <1)个周期可到达t ＝0时刻质点所在处，则初相位φ＝n ·2π．考点2 简谐运动的图像如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P ，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹．讨论：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？ (2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？ 提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段． (2)是一条正弦曲线．正(余)弦曲线．2．物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．3．图像应用(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．甲(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻沿x轴正方向振动．乙(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化．如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；质点在t0时刻到t2时刻这段时间内，质点远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大．【典例2】如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2．(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；(3)小球运动到最高点时加速度的大小．甲乙[解析](1)由振动图像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s，则ω＝2πT＝5π3rad/s，小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：y＝A cos ωt(cm)＝5cos 5π3t(cm)．(2)12.9 s＝1034T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程：43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置：y＝0，即在平衡位置．(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则：k＝mgΔx＝100.1N/m＝100 N/m，小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则mg－kΔx′＝ma，解得a＝5 m/s2．[答案](1)y＝5cos 5π3t(cm)(2)215 cm平衡位置(3)5 m/s2简谐运动图像的应用技巧(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向．由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．第三节单摆1．单摆模型如果悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以忽略不计，绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点，这样的装置可以看作单摆，单摆是实际摆的理想模型．2．单摆的运动若单摆的摆角小于5°，单摆的摆动可看成简谐运动．3．单摆的回复力重力mg沿圆弧切线方向的分力F为单摆摆球的回复力．4．单摆的固有周期(1)特点：单摆的简谐运动周期与装置的固有因素有关，和外界条件无关，故称固有周期．(2)公式：T＝2πLg，式中L为单摆的摆长，g为重力加速度．考点1单摆模型的回复力及运动情况如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后释放．讨论：(1)小球受到哪些力的作用？(2)向心力和回复力分别是由什么力提供的？提示：(1)小球受重力和细线的拉力．(2)细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力．小球重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力．(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用．(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力．(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力．2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin θ≈xL，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－mgLx(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．【典例1】振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是()A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线C．合力不为零，方向沿轨迹的切线D．回复力为零，合力也为零[思路点拨](1)考虑摆动情况，小球在平衡位置回复力为零．(2)考虑圆周运动情况，小球在平衡位置所受合外力不为零．A[单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)．]单摆中的回复力(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力．(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零．考点2单摆的周期央视新闻2019年3月1日消息，“嫦娥四号”着陆器已于上午7点52分自主唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，目前正在进行状态设置，按计划开始第三月昼后续工作．假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？并说明原因．提示：变大，月球表面的重力加速度比地球表面小．1．单摆的周期公式：T＝2πL g2．对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．(2)公式中L是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即L＝l线＋r球．(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．(4)周期T只与L和g有关，与摆球质量m及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期．3．摆长的确定(1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为L sin α，这就是等效摆长，其周期T＝2πL sin αg．图(b)中，乙在垂直于纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效．(2)如图(c)所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2πR g．4．公式中重力加速度g的变化与等效(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝GMR2，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g ＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．如图所示，球静止在平衡位置O时，F T＝mg sin θ，等效加速度g′＝F Tm＝g sin θ．【典例2】一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．[思路点拨](1)左边和右边摆长不同．(2)单摆的周期等于两个摆周期之和的一半．[解析]摆球释放后到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．小球在左边的周期为T1＝2πl g，小球在右边的周期为T2＝2π0.81l g，则整个单摆的周期为：T＝T12＋T22＝πlg＋π0.81lg＝1.9πlg．[答案] 1.9πlg求单摆周期的方法(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件．(2)在运用T＝2πLg时，要注意L和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同L和g时的运动时间．(3)改变单摆振动周期的途径是：①改变单摆的摆长．②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)．(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．训练角度2单摆的振动图像3．(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图像，则()A．由图像可知两单摆周期之比为2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1 C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1 D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1AC[由题中图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4．]第四节 用单摆测量重力加速度一、实验器材长约1 m 的细线、球心开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、长约1 m 的毫米刻度尺、秒表、游标卡尺．二、实验原理与设计单摆做简谐运动时，由周期公式T ＝2πL g ，可得g ＝4π2LT 2．因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度．用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期．三、实验步骤1．取长约1 m 的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示．实验装置示意图2．用刻度尺测摆线长度L 0，用游标卡尺测小球的直径d ．测量多次，取平均值，计算摆长L ＝L 0＋d 2．3．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动．待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N 次全振动的时间t ，则周期T ＝tN ．如此重复多次，取平均值．4．改变摆长，重复实验多次．5．将每次实验得到的L 、T 代入g ＝4π2LT 2计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度．四、数据处理1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的L 和T 代入公式g ＝4π2LT 2中求出g 值，最后求出g 的平均值．设计如表所示实验表格．实验次数摆长L /m周期T /s加速度g /(m·s －2)g 的平均值1 2 3g ＝g 1＋g 2＋g 332．图像法：由T ＝2πL g 得T 2＝4π2gL ，作出T 2-L 图像，即以T 2为纵轴，以L 为横轴，其斜率k ＝4π2g ．由图像的斜率即可求出重力加速度g ．五、注意事项1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m ，小球应选用密度较大的金属球，直径最好不超过2 cm ．2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时摆线下滑、摆长改变．3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°．4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆． 5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次全振动的时间，用取平均值的办法求周期．六、误差分析1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动，以及测量哪段长度作为摆长等．2．本实验的偶然误差主要来自时间(单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，最好采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可，时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．【典例1】(1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)．①把单摆从平衡位置拉开约5°释放．()②在摆球经过最低点时启动秒表计时．()③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期．()(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图，该球的直径为________mm．根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大．数据组编号摆长/mm摆球质量/g周期/s 1999.332.2 2.02999.316.5 2.03799.232.2 1.84799.216.5 1.85501.132.2 1.46501.116.5 1.4[解析]单摆做简谐运动要求摆角小，单摆从平衡位置拉开约5°释放满足此条件；因为最低点位置固定、容易观察，所以在摆球经过最低点时启动秒表计时；摆球一次全振动的时间太短，不易读准，误差大，应测多个周期的时间求平均值；由表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大．[答案](1)①是②是③否(2)20.685(20.683～20.687均正确)摆长【典例2】在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T 计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2 s，单摆摆动周期是________．为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以L为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．(2)试根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2．(结果取两位有效数字)[解析]由T＝2πLg，可知g＝4π2LT2．由图可知：摆长L＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m．T＝t40＝1.88 s．(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°．(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如答案图所示，则直线斜率k＝ΔT2ΔL．由g＝4π2ΔLΔT2＝4π2k，可得g＝9.8 m/s2(9.9 m/s2也。

三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解1. 引言1.1 简谐振动的定义简谐振动是指物体围绕平衡位置以恒定的频率和幅度振动的运动状态。

简谐振动是一种最基本的振动形式，如弹簧振子、单摆等都是简谐振动的典型例子。

在简谐振动中，物体受到一个恢复力的作用，该恢复力与物体离开平衡位置的距离成正比，方向相反。

简谐振动的周期与它的频率成反比，即频率越高，周期越短。

简谐振动的特点包括：振动的周期是恒定的，且与振幅无关；物体在达到最大位移时速度为零，在平衡位置时加速度最大；物体的振动是围绕平衡位置做线性振动；振动可以用正弦函数或余弦函数表示。

简谐振动在自然界和工程领域都有着广泛的应用，如天体运动、机械振动等。

研究简谐振动的基本规律对于理解物体振动的本质及其相互关系具有重要意义。

通过对简谐振动的深入研究，可以更好地控制和应用振动现象，提高各种设备和系统的性能和稳定性。

1.2 三角函数法的基本概念三角函数法是一种数学工具，用于描述和分析周期性现象。

在振动学中，三角函数法被广泛应用于解决同方向同频率简谐振动合成的问题。

三角函数是一种周期函数，可以描述周期性运动的特征。

在振动学中，振动可以用正弦函数或余弦函数来表示，这是因为正弦函数和余弦函数具有周期性和振幅的特性。

三角函数法的基本概念包括振动的频率、振动的振幅、振动的相位等。

通过对周期性现象进行三角函数分解，可以将复杂的振动问题分解为简单的振动成分，从而方便分析和求解。

三角函数法在同方向同频率简谐振动合成中起着重要作用，通过对振动信号进行频谱分析和合成，可以得到系统的整体振动情况，为工程设计和振动控制提供重要参考。

在实际应用中，三角函数法可以帮助工程师解决振动问题，优化系统设计，提高系统性能。

掌握三角函数法的基本概念对于理解和分析同方向同频率简谐振动合成问题具有重要意义。

2. 正文2.1 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成是指将两个或多个同频率、同方向的简谐振动合并成一个新的复合振动。

@@复合周期运动是由两个或两个以上任意频率的正弦运动合成的。

(× )@@随机误差和系统误差最本质的区别是系统误差的出现是有一定规律的，而随机误差单个出现无规律性。

(√ )@@系统误差单个的出现无规律性，而误差总体符合统计规律。

(× )@@当应力在一定极限范围内时，应力与应变成正比，该极限值称为弹性极限。

(× ) @@当应力在一定极限范围内时，卸除载荷后应变能恢复到零，该极限值称为屈服极限。

×@@金属材料所表现的力学性能是由金属的内部组织结构所决定的。

(√ )@@随机误差的抵偿性是指绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等。

(× )@@随机误差的单峰性是指绝对值很大的误差出现的概率趋近于零。

(× )@@两根同一种材料的导体连接成回路，如果材料性质不均匀，当两接点温度不相同时，也会产生热电势。

(√ )@@使用补偿导线时，热电极与补偿导线连接的两个接点的温度不必相同。

(× )@@为了使负载变化时负载上得到的电压稳定，放大器的输出电阻应尽量小。

( √ )@@热电偶的热惯性小，适合于测量快速变化的温度。

(√ )@@热电偶测量电路中，热电极与补偿导线连接处的温度必须恒定或已知其变化规律。

×@@热敏电阻的精度高、性能稳定。

(× )@@电阻温度计测温系统的电校准，通常采用精密电阻模拟温度变化产生的传感器电阻变化来完成( √ )@@隔离放大器是输入电路、输出电路与供电电源之间完全隔离的一种放大器。

(× ) @@当一个不接地的信号源与一个接地的放大器连接时，屏蔽体应接至信号源的公共端。

×@@信噪比是输入为额定电压时的输出电压有效值与输入为零时的输出电压有效值之比。

√@@发动机工作过程中产生的振动是复合运动。

(× )@@多个电路在同一点接地时，若各电路电平相差很大则不能采用并联接地。

姓名，年级：时间：第二节运动的合成与分解一、分运动与合运动以及运动的独立性1．分运动与合运动（1)如图1。

2­1所示,小球从抛出点A沿曲线AD运动到落地点D，在效果上相当于水平方向从A点运动到B点,以及竖直方向从A点运动到C点。

(2）在物理学上，如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动,这两个运动叫做这一实际运动的分运动。

图1.2。

12．运动的独立性(1)如图1.2.2所示,用小锤击打弹性金属片，球1沿水平方向飞出，同时球2做自由落体运动。

不论球1水平抛出的初速度如何，两球总是同时落地。

球1的运动包括竖直方向的运动和水平方向的运动,且这两个方向的运动是独立进行的，彼此互不影响.（2）一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动。

(3）合运动和分运动是同时发生的，它们所经历的时间相同。

1.一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动，各分运动相互独立，互不影响，合运动与分运动是同时发生的,经历的时间相同.2．研究曲线运动的方法是运动的合成与分解，其中已知分运动求合运动叫做运动的合成;已知合运动求分运动叫做运动的分解。

3．合运动与分运动的位移、速度、加速度都遵从矢量运算法则。

图1。

2。

2二、运动的合成与分解1．已知物体的几个分运动求其合运动叫运动的合成，已知合运动求其分运动叫做运动的分解。

2．运动的合成实际上就是已知分运动的位移、速度、加速度,求合运动的位移、速度、加速度，而运动的分解则相反。

由于这些物理量都是矢量，所以都遵循平行四边形定则，合运动是平行四边形的对角线，而分运动是平行四边形的两邻边。

1．自主思考——判一判(1)合运动位移、速度、加速度等于各分运动的位移、速度、加速度的代数和。

（×)(2）合运动位移、速度、加速度与各分运动的位移、速度、加速度间遵循平行四边形定则。

(√）(3）一个物体，同时参与的两个分运动方向必须相互垂直.（×)(4）合运动的时间一定比分运动的时间长。