二元一次方程组小结2

完整版)二元一次方程组知识点及典型例题二元一次方程组小结与复一、知识梳理一）二元一次方程组的有关概念1.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2.二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3.方程组和方程组的解1) 方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

2) 方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。

4.二元一次方程组和二元一次方程组的解1) 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

2) 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

二）二元一次方程组的解法：1.代入消元法2.加减消元法二、典例剖析题型一1.二元一次方程及方程组的概念。

二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成ax+by+c=(a,b,c为已知数，且a≠0，b≠0)的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。

练1：下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？A) 6x-2=5z+6xB) m/11+yx=7C) x-yD) xy+2x+y=1练2：若方程(m-1)x+3y5n-9=4是关于x、y的二元一次方程，求mn的值。

练3：若方程(2m-6)x|n|-1+(n+2)ym-8=1是二元一次方程，则m=_______，n=__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

一）代入消元法：1.直接代入例1：解方程组y=2x-3。

4x-3y=1.2.变形代入例2：解方程组x+y=90y=3x-75x+2y=8x=15-2y5x-y=9。

3x+4y=10.3.跟踪训练：1) {2x-y=-4。

4x-5y=-23.2) {3x+5y=13。

3x-2y=5.3) {3x+5y=20。

章末小结与提升类型1 二元一次方程(组)的概念与解 1.方程组{2x +y ＝□,x +y ＝3的解为{x ＝2,y ＝△,则被遮盖的两个数△和□分别为( C )A .1,2B .1,3C .1,5D .2,42.若{x ＝1,y ＝－2是关于x ,y 的二元一次方程mx +ny ＝3的解,则2m －4n 的值等于( B )A .3B .6C .－1D .－2 3.若方程组{y －(a －1)x ＝5,y |a |+(b －5)xy ＝3是关于x ,y 的二元一次方程组,则代数式ab 的值是 －5 .4.若关于x ,y 的方程组{2x +3y ＝m ,3x +5y ＝m +2的解满足x +y ＝12,求m 的值.解:{2x +3y ＝m , ①3x +5y ＝m +2, ②由②－①,得x +2y ＝2, ③ ③与x +y ＝12联立,得{x +y ＝12,x +2y ＝2,解得{x ＝22,y ＝－10,所以m ＝2x +3y ＝44－30＝14. 类型2 解二元一次方程组 5.解方程组:{x －4(y －14)＝3,3+x5－2y +33＝115.解:整理,得{x －4y ＝2, ①3x －10y ＝7. ②由②－①×3,得2y ＝1,解得y ＝12. 把y ＝12代入①,得x －2＝2,解得x ＝4. 所以方程组的解为{x ＝4,y ＝12.6.已知关于x ,y 的方程组{mx +ny ＝7,2mx －3ny ＝4的解为{x ＝1,y ＝2,求m －5n 的值.解:将{x ＝1,y ＝2代入方程组{mx +ny ＝7,2mx －3ny ＝4,得{m +2n ＝7,2m －6n ＝4,解得{m ＝5,n ＝1,所以m －5n ＝5－5×1＝0. 7.已知关于x ,y 的方程组{ax +by ＝3,5x －cy ＝1,甲同学正确解得{x ＝2,y ＝3,而乙同学粗心,把c 给看错了,解得{x ＝3,y ＝6.求abc 的值.解:将{x ＝2,y ＝3代入方程5x －cy ＝1,解得c ＝3.将{x ＝2,y ＝3和{x ＝3,y ＝6代入方程ax +by ＝3,得{2a +3b ＝3,3a +6b ＝3,解得{a ＝3,b ＝－1.所以abc ＝3×(－1)×3＝－9.8.已知关于x ,y 的方程组{x +y ＝3m +1,2x －y ＝8－6n(m ,n 为实数).(1)当m ＝－3,n ＝2时,求方程组的解;(2)当m +4n ＝5时,试探究方程组的解x ,y 之间的关系.解:(1)当m ＝－3,n ＝2时,原方程组为{x +y ＝－8,2x －y ＝－4,解得{x ＝－4,y ＝－4.(2){x +y ＝3m +1, ①2x －y ＝8－6n , ②由①+②,得x ＝m －2n +3,代入①,得y＝2m+2n－2,当m+4n＝5时,m＝5－4n,则x＝5－4n－2n+3＝8－6n,y＝2(5－4n)+2n－2＝8－6n,∴x＝y.类型3二元一次方程组的应用9.观察下表:我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”.例如,第1格的“特征多项式”为4x+y,第2格的“特征多项式”为8x+4y.若第1格的“特征多项式”的值为－10,第2格的“特征多项式”的值为－16,则x＝－3,y＝2.10.小明要用16元钱买A,B两种型号的口罩,两种型号的口罩必须都买,16元钱全部用完.若A型口罩每个3元,B型口罩每个2元,则小明的购买方案有多少种?解:设可以购买x个A型口罩,y个B型口罩.根据题意,得3x+2y＝16,∴y＝8－32x.∵x,y均为正整数,∴{x＝2,y＝5或{x＝4,y＝2.答:小明有2种购买方案:购买2个A型口罩、5个B型口罩或购买4个A型口罩、2个B型口罩.11.某出租车公司有A,B两种不同型号的汽车,用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息,解答下列问题:(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?(2)请你帮该物流公司设计租车方案.(3)若A型车每辆需租金200元/次,B型车每辆需租金240元/次.请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案,并求出最少租车费.解:(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨.由题意,得{2x+y＝10,x+2y＝11,解得{x＝3,y＝4.答:1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨.(2)由题意,得3a+4b＝31.∵a,b均为正整数,∴{a＝1,b＝7或{a＝5,b＝4或{a＝9,b＝1,∴该物流公司共有3种租车方案:方案1:租A型车1辆,B型车7辆;方案2:租A型车5辆,B型车4辆;方案3:租A型车9辆,B型车1辆.(3)结合(2)知方案1的租车费用为200×1+240×7＝1880(元);方案2的租车费用为200×5+240×4＝1960(元);方案3的租车费用为200×9+240×1＝2040(元).∵1880<1960<2040,∴该物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆,B型车7辆,最少租车费为1880元.1.[长沙中考]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是( A )A.{y＝x+4.50.5y＝x－1B.{y＝x+4.5y＝2x－1C.{y＝x－4.50.5y＝x+1D.{y＝x－4.5y＝2x－12.[泰安中考]《九章算术》中记载:今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?其大意是:今有甲、乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其23的钱给乙,则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x,乙的钱数为y.根据题意,可列方程组为{x+12y＝5023x+y＝50.3.我国古代第一部数学专著《九章算术》中有这样一道题:今有上禾7束,减去其中之实1斗,加下禾2束,则得实10斗.下禾8束,加实1斗和上禾2束,则得实10斗.问上禾、下禾1束得实多少?译文为:今有上等禾7捆结出的粮食,减去1斗再加上2捆下等禾结出的粮食,共10斗;下等禾8捆结出的粮食,加上1斗和上等禾2捆结出的粮食,共10斗.问上等禾和下等禾1捆各能结出多少斗粮食?(斗为体积单位)解:设上等禾1捆能结出x斗粮食,下等禾1捆能结出y斗粮食.根据题意,得{7x－1+2y＝10,8y+1+2x＝10,解得{x＝3526,y＝4152.答:上等禾1捆能结出3526斗粮食,下等禾1捆能结出4152斗粮食.4.我国传统数学名著《九章算术》记载:今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何?译文:假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两?根据以上译文,提出以下两个问题:(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子?(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两须全部用完),请问商人有几种购买方法?将这些购买方法列举出来.解:(1)设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子.根据题意,得{5x+2y＝19,2x+5y＝16,解得{x＝3,y＝2.答:每头牛值3两银子,每只羊值2两银子.(2)设商人购买a头牛,b只羊.依题意,得3a+2b＝19,所以b＝19－3a2,因为a,b都是正整数,所以商人有3种购买方法:①购买1头牛,8只羊;②购买3头牛,5只羊;③购买5头牛,2只羊.。

8.3 实际问题与二元一次方程组-----小结教材处理：实际生活中常会遇到解决两个未知量的问题，这两个未知量之间存在数量关系，运用二元一次方程组可以解决这类问题。

分析问题中的数量关系→发现等量关系→列出二元一次方程组→解二元一次方程组→得到实际问题的答案，这一典型的建模过程，是数学应用的具体体现。

它对于应用其他数学模型（如不等式，函数等）解决实际问题具有很强的示范作用。

学习目标：1、使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用；2、通过实际问题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性；3、体会列方程组比列一元一次方程容易；4、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力。

学习重点、难点：重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；难点：正确找出问题中的两个等量关系。

教学方法：通过学生尝试解决问题，以及生生之间讨论交流，是学生对数学建模思想的认识更深刻，对解决问题的策略把握的更灵活。

一、〈温〉：（6分钟）上节课我们解决了图表信息问题，那么学习目标验收单上留给大家的探究题-----能力升华，现在通过两个小组上黑板给大家展示。

设计意图：检验学生对上节课知识的掌握程度，进一步体会各知识点之间的联系，体会数学中建模思想。

二、〈引〉：（4分钟）目前，大家对于较复杂的方程组解起来还有一定的困难，那么，快速的解方程组是我们每一个同学需要掌握的最基本技能。

下面我给大家列一个方程组，各小组进行比拼，看看谁解的即准确，又快速。

设计意图：通过比拼，激发学生的学习兴趣，优化课堂的气氛。

三、〈探〉：（10分钟）环节：小组讨论，小组展示，小组对比，小组帮扶；某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？学生代表（主持人）对小组的展示进行点评并强调规范步骤。

《二元一次方程组》教学反思《二元一次方程组》教学反思 1本节课是第八章第一节的内容，主要学习二元一次方程（组）及其解的基本概念。

因为学生上学期已经学习了一元一次方程的知识，对方程已经有一定的了解，所以本节课学习起来相对来说难度不大。

同时，本节课在设计时力求由浅入深，同时对比一元一次方程组来学习，学生学习起来更容易接受和消化。

在教学环节设计时，我本着以学生为主体，老师是主导的原则，尽可能给学生提供充分的探索交流空间，使大多数同学融入到教学的每个环节中去，使学生在经历探究、思考、交流、归纳总结，及时练等活动中自然的获取知识。

首先，我通过引用学生感兴趣的篮球赛，赛后需要分析积分这样的事例自然的引出问题，同学们可以结合已有知识进行解决。

通过分析问题，引导学生通过交流寻找新的解决方法，这样更好的激发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维，而这一问题的解决更是成为了本节课的主线，为解决这一问题，引出二元一次方程、二元一次方程组、及它们的解等相关概念。

同时引导学生类比一元一次方程的研究思路进行探究。

而这些探究过程也是非常有效的，在探究过程中，老师积极组织课堂提问，更加充分的调动学生的学习积极性、主动性，进而提高课堂学习效率。

对于本节课重难点的处理，我注重将其分解，逐个突破。

通过设置一系列有针对性的问题，引导学生关注重点，而四个跟踪练习环节则更好的帮助学生分解了难点。

整个教学过程学生表现积极，各个环节都能有序进行，比较成功的完成了预设的教学目标。

但也有不足，个别学生因计算能力不足，理解能力不够，并不能准确及时的完成相关练习，在今后的教学过程中，还应加强学生基础知识，尤其是计算能力和理解能力的提升。

《二元一次方程组》教学反思 21、这节课的主要内容是用代入法解二元一次方程组。

这种代入消元法的关键是如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一个未知数。

所以在教学上要抓住这个关键来讲解。

2、在教学过程中，学生虽然学会了用代入法解二元一次方程组，但是在结构不同的方程组中，学生就有点不知所措，不懂选择哪个方程代入另一个方程，以至使运算简便。

第10章 二元一次方程组小结与复习学习目标：1. 进一步理解本章的有关内容，掌握二元一次方程组的解法；2. 能应用二元一次方程组解决实际问题.类型之一： 二元一次方程（组）及其解的概念问题例1. 方程是二元一次方程，则的取值为（ ）A 、≠0B 、≠－1C 、≠1D 、≠2变式：若2x |m|+（m+1）y=3m-1是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≠－1B 、m=±1C 、m=1D 、m=0 例2.下列方程组中，属于二元一次方程组的是 （ ）A 、B 、C 、D 、 变式： 写出一个以为解的二元一次方程组 例3.适合方程x+y=5且x 、y 绝对值都小于5的整数解有（ ）A.2B. 3C. 4D. 5变式1：若x+y=0,且|x|=2则y 的值为（ ）A . 0 B. 2 C .－2 D. ±2变式2：如果＝3，＝2是方程的解，则＝ .例4.已知二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 变式： 在下列方程组中，只有一个解的是（ ） （A ）; （B ）; （C ）;（D ） 类型之二： 二元一次方程组的解法1. 代入法：例5解方程组：变式： 解方程组 2.加减法： 例6.用加减法解方程组 设未知数,列方程组实际问题答案检验数学问题的解(二元一次方程组的解)代入法加减法(消元)解方程组数学问题(二元一次方程组)实际问题14-=-x y ax a a a a a ⎩⎨⎧==+725xy y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+043112y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=3434532y x y x ⎩⎨⎧=+=-12382y x y x ⎩⎨⎧==70y x ，x y 326=+by x b 225x y x y +=⎧⎨-+=⎩16x y =⎧⎨=⎩14x y =-⎧⎨=⎩32x y =-⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=⎩⎩⎨⎧=+=+0331y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2330y x y x ⎩⎨⎧=-=+4331y x y x ⎩⎨⎧=+=+3331y x y x 2328y x y x =⎧⎨+=⎩， ①．②2316412x y x y +=⎧⎨+=⎩①②20328x y x y -=⎧⎨+=⎩①②变式1：解方程组变式2： 已知：关于的方程组为的值为 （ ） A 、－1 B 、 C 、0 D 、1类型之三：二元一次方程组的综合应用1 .构造二元一次方程组解决问题例8. 已知|3x + y – 2 |+ (2x + 3y + 1)= 0 ,求x 、y 的值。

小结与思考1学习目标1.使学生熟练掌握二元一次方程组的解法.2.体会方程组的价值，感受数学文化. 学习难点掌握解二元一次方程组的基本思路. 教学过程 一． 复习引入：学生回忆解二元一次方程组的基本思路. （1）代入消元 （2）加减消元二．基础练习：1.下列各组x,y 的值是不是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+52243y x y x 的解？（1）⎩⎨⎧-==12y x （2）⎩⎨⎧=-=22y x （3）⎩⎨⎧==13y x2.已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-b y x a y x 22的解⎩⎨⎧-==53y x求a,b 的值.3.根据下表中所给的x 值以及x 与y 的关系式，求出相应的y 值，然后填入表内：根据上表找出二元一次方程组⎩⎨⎧-==x y xy 104的解.4.解二元一次方程（1）⎩⎨⎧=-=+1352y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+5.0259.243y x y x三．例题讲解：例1.写出一个二元一次方程，使得⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==22y x 都是它的解，并且求出x=3时的方程的解.例2.对于等式y=kx+b,当x=3时，y=5；当x=-4时，y=-9,求 当x=-1时y 的值.例3.已知方程组有相同的解，求a 、b 的值.四．巩固提高：1. 已知()032=+-++y x y x ，求x,y 的值.2.a 得解乙看错b 得解a 、b 的值3.已知代数式q px x ++2.(1)当l x =时,代数式的值为2;当2-=x 时,代数式的值为11,求p 、q 的值； (2)当25=x 时，求代数式的值. 五．归纳总结：解二元一次方程组的基本思路：1．代入消元法2. 加减消元法【课后作业】班级 姓名 学号 一．选择题：1、若1122=--+-b a b a y x 是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是 （ ） A 、1，0 B 、0，－1 C 、2，1 D 、2，－32、下列几对数值中哪一对是方程5414x y +=的解 （ ）A 、12x y =⎧⎨=⎩B 、21x y =⎧⎨=⎩C 、32x y =⎧⎨=⎩D 、41x y =⎧⎨=⎩3、下列二元一次方程组中，以为12x y =⎧⎨=⎩解的是 （ ） A 、135x y x y -=⎧⎨+=⎩ B 、135x y x y -=-⎧⎨+=-⎩ C 、331x y x y -=⎧⎨-=⎩ D 、2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩4、若2(341)3250x y y x +-+--=则 x 的值是 （ ） A 、-1 B 、1 C 、2 D 、-25、已知132x y-=，可以得到用x 表示y 的式子是 （ ）A 、223x y -=B 、2133x y =-C 、223x y =-D 、223xy =-二．填空题：6、在y k x b =+中，当1x =时，4y =，当2x =时，10y =，则k = ，b = . 7、在349x y +=中，如果26y =，那么x = .8、已知43x y =⎧⎨=⎩是方程组512ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则a b += .9、写出一个以02x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 .⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x 10、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-225453by ax y x 与⎩⎨⎧=--=+8432by ax y x 有相同的解，则()b a -= .三． 解答题：11、10325u v u v +=⎧⎨-=⎩12、13、 4253715x yx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 14、3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩16、甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩由于甲看错了方程（1）中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中（2）的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值.。

3219,423.x y x y ⎧⎨⎩+=+=26,4327.x y x y ⎧⎨⎩+=+=211,4322.x y x y ⎧⎨⎩+=+=211,4327.x y x y ⎧⎨⎩+=+=图2图1 第十章二元一次方程组小结与思考2班级 姓名 成绩一． 复习引入：利用方程组解决实际问题的方法和步骤：1．理解题意，明确数量关系 2．找相等关系3．设未知数 4．列出二元一次方程组 5．解这个二元一次方程组 6．检验并作答 二．基础练习：1.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y ⎧⎨⎩+=+=类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A ． B ．C ．D ． 2.有甲、乙两种铜银合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%，现在要熔成含银30%的合金100千克，这两种合金各取多少千克？3.甲、乙两地之间路程为20km,A,B 两人同时相对而行，2小时后相遇，相遇后A 就返回甲地，B 仍向甲地前进，A 回到甲地时，B 离甲地还有2km,求A,B 两人速度.三．例题讲解：例1.小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是两位数；1h 后看到里程碑上的数与第一次看到的两位数恰好颠倒了数字顺序；再过1h 后，第三次看到的里程碑上的数字又恰好是第一次见到的数字的两位数的数字之间添加一个0的三位数，这3块里程碑上的数各是多少？例2．七年级（2）班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景，根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额.四．巩固提高：1.某船在静水中的速度为4千米/时，该船于下午1点从A 地出发，逆流而上，下午2点20分到达B 地，停泊1小时后返回，下午4点回到A 地.求A 、B 两地的距离及水流的速度.2.某乐园的价格规定如下表所列,某校七年级(1)、(2)两个共104人去游乐园,其中(1)班人数较少,不足50人,(2)班人数较多,超过50人,经估算,如果两班都以班为单位分别购票,则一共应付1240元;问两班各有多少名学生? 如果两班联合起来,3、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力为：如制成酸奶，每天可加工3吨，制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？王老师的教学反思：今天第一节是数学课，课代表没有按老师的要求在早读课前及时把家作收集交老师办公室处，我很失望，所以我当面批评了邵宇程同学，作为课代表，你不仅要对自己负责，而且更要对王老师和所有同学们负责。

八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析对于初中学生朋友，学习是一个循序渐进的过程，需要日积月累。

下面是店铺帮大家整理的社八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析，仅供参考，大家一起来看看吧。

1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如（x—m）2=n（n≥0）的方程，其解为x=±根号下n+m。

例1。

解方程（1）（3x+1）2=7（2）9x2—24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x—4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：（3x+1）2=7×∴（3x+1）2=5∴3x+1=±（注意不要丢解）∴x=∴原方程的解为x1=，x2=（2）解：9x2—24x+16=11∴（3x—4）2=11∴3x—4=±∴x=∴原方程的解为x1=，x2=2、配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）先将常数c移到方程右边：ax2+bx=—c将二次项系数化为1：x2+x=—方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+（）2=—+（）2方程左边成为一个完全平方式：（x+）2=当b^2—4ac≥0时，x+=±∴x=（这就是求根公式）例2。

用配方法解方程3x^2—4x—2=0（注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边3x^2—4x=2将二次项系数化为1：x2—x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2—x+（）2=+（）2配方：（x—）2=直接开平方得：x—=±∴x=∴原方程的解为x1=，x2=。

3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2—4ac的值，当b2—4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式x=[—b±（b^2—4ac）^（1/2）]/（2a），（b^2—4ac≥0）就可得到方程的根。

二元一次方程（小结与复习）
学习目标：、①熟练的解二元一次方程组及其的应用。

② 培养综合解题能力、归纳能力、知识迁移能力。

③ 培养建模的思想，通过学习数学文化，感受数学魅力， 养成数学素养。

一、课前演练：
1.下列方程是二元一次方程的是（ ）
A.xy +8=0
B. 1123x y
+= C.x 2-2x -4=0 D.2x +3y =7
2.已知x =2，y =1是方程kx -y ＝3的解，则k ＝ .
3.已知方程x -2y ＝4,用含x 的式子表示y 为_______;用含y 的式子表示x 为__________.
专题一 二元一次方程与二元一次方程组
【例1】若x 2m -
1+5y 3n -2m =7是二元一次方程，则m = ， n = .
专题二
【例2】已知x =1,y =-2的解，求a,b 的值.
专题三 求含参数的二元一次方程组中的参数值
【例3】已知关于x 、y 的方程组 中,且x+y=2，
ax -2y =3
x -by =4
3x+2y=7k -2 ① 2x+3y=6 ①
求k的值.
专题四二元一次方程组的实际应用
【例4】六一儿童节，小明、小亮等同学随家人一同到嵩山游玩．下图是购买门票时，小明与他爸爸的对话：
问题：（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？
（2）用哪种方式买票更省钱？并说明理由；
3）学生人数比大人人数多，我们买票共花了105元，
你能说出我们一共去了几个成人？几个学生？”
聪明的你，请再帮小明算一算．
、
二元一次方程组小结与复习
教
案
李艳。

二元一次方程组应用问题归纳知识要点分析一：列二元一次方程组解应用题的步骤：( 审设列解答 )(1) 审：审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；(2) 设：找出能够表示题意的两个相等关系并设出方程；(3) 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；(4) 解：解方程组，求出两个未知数的值；(5) 答：写出答案（包括单位名称），注意求出的方程组的解要合理符合实际。

二：常见问题中的数量关系（重点、难点）㈠鸡兔同笼问题等量关系：鸡头+兔头=头数鸡脚+兔脚=足数㈡增收节支问题增（减）后的数量=基数×（1±增加（减少）后的百分数）；百分率问题：百分率=×100％；折扣问题：打折后的价格=原价×打折数；存（贷）款问题：利息=本金×利率×时间，本息和=本金+利息；盈利问题：销售额=售价×数量；总利润=销售额－总成本=每件的利润×数量=（售价－进价）×数量。

㈢里程碑上的数（1）数字问题1、用字母表示两位或两位以上的数．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b+a；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a+b．2、数的位置变换后怎样表示多位数．（1）两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，而两位数y 在四位数中数位没有变化．因此用x 、y 表示这个四位数为100x+y ．同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y+x ．（2）一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100，0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m ．3、年龄问题：遇年龄问题时，注意两人年龄同时增长相同岁数．（2）行程问题行驶路程 = 行驶速度•行驶时间①相遇问题：甲乙相向而行，则甲走的路程+乙走的路程 = 总路程；②追及问题：甲乙同向不同地而行，则追者走的路程 = 被追者走的路程 + 两人最初相距的距离；小结：设总路程为S ，甲路程为甲S ，乙路程为乙S ，则相遇问题中的等量关系：甲S +乙S =S. 若甲、乙两人相距S ，甲速度快，在后面追乙，追及问题中的等量关系：甲S =乙S +S.③环形跑道问题：同时同地同向而行，首次相遇，路程差等于一圈；同时同地相背而行，首次相遇，路程和等于一圈；④飞行问题：顺风速度 = 无风速度 + 风速； 逆风速度 = 无风速度 — 风速；⑤航行问题：顺水速度 = 静水速度+水速；逆水速度 = 静水速度—水速；顺水速度—逆水速度 = 2水速.【典型例题】考点一：二元一次方程组与鸡兔同笼问题例 1. 鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半.八鸭展翅飞，六鸡在下蛋，再点鸡鸭数，鸭为鸡倍三，请你算一算，鸡鸭各多少 如果设有鸡x 只，鸭有y 只，则由诗意可列二元一次方程组：_________________.例2.（2014辽宁）八年级学生开会，若每条长凳坐5人，则少10条长凳，若每条长凳坐6人，则多两条长凳，问学生多少长凳多少例3.（2013吉林）吉林人参是保健佳品，某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵树.考点二：二元一次方程组与增收节支问题例1.（2013•乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元例2.（2014•泰州）今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．例3.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：我乘这种出租车走了11千米，付了17元；乙说：我乘这种出租车走了23千米，付了35元.请你算一算这种出租车的起步价是多少元以及超过3千米后，每千米的车费是多少元考点三：用二元一次方程组解决数字问题—里程碑上的数例1.有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则得到的数比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数.例年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．例3.(2014山西)甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数（列出方程组即可）例4.（2014陕西）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.考点四：二元一次方程组与行程问题—里程碑上的数例1.(2011恩施州)小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12:0013:0014:30碑上的数是一个两位数，数字之和为6十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了比12:00时看到的两位数中间多了个0则12:00时看到的两位数是：A、24B、 42C、51D、15例2. (2013四川) 甲、乙二人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程组求解）例3.某体育场的一条环形跑道长400米，甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不同的速度练习长跑和自行车，如果背向而行，每隔21分钟他们相遇一次，如果同向而行，每隔321分钟甲追上乙一次，问甲、乙每分钟各行多少米。