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04第4章膨胀波和激波-2011

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燃烧学—第4章3

燃烧学—第4章3
20
爆轰极限（体积％）
中国矿业大学能源学院安全与消防工程系
《燃烧学》--第四章
燃料空气弹
据报载，美国在对阿富汗的军事行动中使用了一种称为燃料空气 弹(fuel air explosive projectile，FAE)的新式武器，当被投掷或发 射到目标上空时，液体燃料连同雷管、定时器一起撒到地面，燃 料很快汽化成雾状，散布在空气中，经过预定的延迟时间，由雷 管引爆，产生威力强大的爆炸。燃料空气弹内装的炸药是容易汽 化的液态碳氢化合物，如环氧乙烷、环氧丙烷、甲基乙炔和丙二 烯等，本身不含氧或只含很少的氧，必须与空气混合才会爆炸。 由于它爆炸时几乎把附近空气中的氧消耗殆尽，在这个范围的人 即便不被炸死，也会因缺氧而窒息死，所以燃料空气弹又称窒息 弹。燃料空气弹爆炸时会产生2500℃左右的高温火球，并形成强 大的冲击波和热气浪，炸点附近的冲击波传播速度可达2200m/s， 超压达5~20MPa)。燃料空气弹的破坏威力较大，可使暴露的士 兵失去作战能力，使电子设备受到破坏，可大面积杀伤人员和摧 毁无防护的武器，如地面的和躲在普通工事或民房内的人员，停 机坪上的飞机，暴露的导弹、雷达和电台天线等。
dx V激 dt
2-2’ 截面间的距离为 质量守恒
2
2′
1
dx气＝Vdt
2
2′
1
1 Adx 2 Adx dx气
V激＝
dx气
2 2 1V源自dx中国矿业大学能源学院安全与消防工程系
12
1-2截面间气体的动量变化： 在激波通过前，气体的速度为0； 激波通过后，气体的速度由0增加到ΔV，所以1-2截面间在dt时间内的动 量变化为ρ1AdxΔV。 作用于这部分气体上的冲量为（p2-p1）Adt。 动量守恒定律

膨胀波与激波ppt

膨胀波与激波ppt
1. 逆时针偏转，右伸膨胀波系 2. 套公式
21(M 2)(M 1)
3. 查表
-
例4-4 设平面超声速喷管出口处气流马赫数Ｍ1=1.4，压 强p1=1. 25×105Pa，外界大气压强pa=1×105Pa。求气流经 膨胀波后的M数及气流外折的角度，以及膨胀波角μ1和μ2。
用到附表1：一维等熵流气动 函数表
第四章 膨胀波与激波
赵瑞
-
主要内容
弱扰动的传播规律 普朗特-迈耶流动 弱压缩波 膨胀波的反射与相交 激波的形成及传播速度 斜激波中气体参数的基本关系式 激波的相交与反射
-
弱扰动在气流中的传播
-
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。 超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般
-
膨胀波 与亚声速有何不同？
如果超声速来流速度沿y方向不均分布：
当地马赫角随当地的Ma数变化，马赫线成曲线形状
二维超声速流场中的马赫线
-
普朗特—迈耶流动
-
膨胀波的形成及其特点
AODsin A d A OsD in d ()
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由 微小外折角所引起的马赫波
普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
(M)1
max2(
k11) k1
右伸膨胀波
dV d
V M2 1
(M )1(M 1 ) C 2
v 与Ｍ 数之间的关系
21(M 2)(M 1)
2 1
-
超音速气流流过外凸壁流动
例4-1 一个马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨 胀，气流逆时针方向转折20°，计算膨胀波系后 的最终马赫数。

激波与膨胀波

激波与膨胀波
激波
一、波阻 二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线 三、锥面激波及乘波体飞行器 四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
2
一、波阻
物体受到一个与来流方向一致的力的作用，对物体来说，这个力是一个 阻力，它是由于激波存在而引起的，所以为波阻。 m（V2-V1）=Fe=-Dsh
3
二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线
8
3.乘波体飞行器
所谓乘波体 (Waverider)，是指一种外形是流线形， 其所有的前缘 都具有附体激波的超音速或高超音速的飞行器。
乘波体构型的特点： 1）乘波体的上表面通常与自由流怕平行，使得乘波体的压差阻力较小。 2）来流经激波压缩后，沿着压缩面的流动被限制在前缘激波内，形成较 均匀的下表面高压流场，可以消除发动机进口的横向流动，利于提高吸 气式发动机的进气效率。 3）由于飞行器上、下表面间没有压力沟通，也就不存在流动的互相干扰 问题，因此上下表面可以分开处理，大大简化了飞行器的初步设计和计 算过程。
7
2.超声速气ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绕锥形体的流动特点：
1）锥面激波波后流场不均匀。 2）锥面激波下游流场中的气流参数是不均匀的，锥形体表面压力不等于 激波后流场中的静压。 3）在已知来流马赫数和锥形体半顶角的条件下，也不能像平面激波那样 直接利用半顶角来确定激波角。 4）在相同来流马赫数下，锥面激波开始脱体时的半顶角比平面激波大， 即其更不容易脱体，在半顶角相同的条件下，锥形体产生脱体激波的最 小马赫数小于楔形体的。
9
四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
进气道的作用是把迎面来流的速度降低、压强提高、使气流均匀、总压 损失尽可能小地进入压气机，以满足发动机在不同来流条件下所需要的 空气流量。 按照气流的压缩形式，超声速进气道可以分为皮托式、外压式、内压式 和混压式。 外压式进气道是在进气道外，通过激波将气流从超声速滞止为亚声速气 流。

《膨胀波与激波》课件

《膨胀波与激波》课件
数学模型
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。

弹箭空气动力学11-12学年第45章

弹箭空气动力学11-12学年第45章

11V12

k
2
1
a12

2(k 1) k 1

V12 2

a12 k
1
V2 2

a2 k 1

k 1 2(k 1)
a*2
V1V2 a*2 12 1
5.2激波前后气流参数相互关系
5.2.2 激波前后气流参数关系式
2）激波前后密度关系式
由连续方程，可得
5.2激波前后气流参数相互关系
5.2.3 坐标转换
激波相对气流以超音速运动，研究不便，若将 坐标系建立在激波上，随激波运动，则激波相 对静止
激波前后气流物理参数（压强、温度、音速和 密度等）不随坐标系改变而变化
包含速度的量随坐标系变化
5.3 圆锥激波
5.3.1 圆锥激波 在圆锥体半顶角不太大或来流马赫数足够 高的情况下，超音速气流以零迎角绕圆锥 体流动所形成的激波圆锥面，通常称之为 圆锥激波。

p2
2

k
k
1

k 1 2(k 1)
a*2
V22n
2
Vt
2

(6)
5.2激波前后气流参数相互关系
5.2.2 激波前后气流参数关系式
1）激波前后速度关系式
由（1）和（3）式有
p2
2V2n

p1
1V1n
V1n
V2 n
(7)
（6）式代入（7）式，再整理得
dA Asin( d ) Asin() 0
超音速流 A V ， 气流加速
4.2 膨胀波的形成及其特点
4.2.1 膨胀波的形成

第四章膨胀波与激波1

第四章膨胀波与激波1
arcsin 1 π <β < M 2
基本方程式
连续方程： ρ1V1n = ρ 2V2 n 动量方程：
( ρ1V1n )V1t = ( ρ 2V2 n )V2 t
p1 − p2 = ρ 2V22n − ρ1V12 n
能量方程： V12 V22n n c p T1 + = c p T2 + 2 2 经过斜激波，气流平行于波面 的速度分量不变，而法向速度 分量减小，气流向着波面转折 激波前后参数关系用图
波阻分析
经过斜激波气流的转折角
V1t = V2 t
V2 n tg ( β − δ ) ρ1 = = V1n tg β ρ2
M 12 sin 2 β − 1 tgδ = k +1 − sin 2 β ) + 1]tgβ [ M 12 ( 2
tgβ − tgδ tg ( β − δ ) = 1 + tgβtgδ
A = OD sin μ A + dA = OD sin( μ − dθ )
各压缩波的波角是逐渐加大； M1 > M 2 > M 3 >
μ1 < μ 2 < μ 3 <
各压缩波将会相交； 在压缩波未相交之前，气流穿过弱 压缩波系的流动为等熵压缩过程； 激波：熵增加 应用：扩压进气道内壁；压气机超 音速级的叶栅剖面
激波前后的密度比、压强比、温度比的关系式
ρ2 (k + 1) M 12 sin 2 β = ρ1 2 + (k − 1) M 12 sin 2 β
T2 = T1 (1 +
p2 k −1 2k = M 12 sin 2 β − k +1 p1 k + 1

无人机空气动力学-激波、波阻和膨胀波

激波、波阻和膨胀波
2.5 高速空气动力特性
3.激波、波阻和膨胀波
1）激波和波阻 飞机静止时，飞机发出的小扰动会以扰动源为中心， 以同心圆形的波面向四周传播。 飞机以小于音速的速度向前飞行时，扰动在飞机前进 的方向分布较密，反方方向分布较疏。
v0
(a)
2c 3c 4c
o
vc
4c 3c 2c
o
(b)
激波特点： 1.速度下降，温度、压
力、和密度上升。 2.激波的强度越大，传
播的速度越快。
2.5 高速空气动力特性
3.激波、波阻和膨胀波
1）激波和波阻
激波角：激波与气流方向之间的夹角 。 激波分类：正激波、斜激波。
因正激波波面正对着气流，所以正激波波阻大于斜激波。
超音速气流通过正激波后，转化为亚音速气流；通过斜 激波后，可能减速为亚音速气流，也可能仍为超音速气流。
(d)
2
3
4
B
2.5 高速空气动力特性
3.激波、波阻和膨胀波
1）激波和速时，通过飞机机头做各扰动波波 面的切线，切线形成的圆锥体。
激波：气流以超音速流过带有内折 角物体表面时，受到强烈压缩而形 成的强扰动波。
2.5 高速空气动力特性
3.激波、波阻和膨胀波
1）激波和波阻
2.5 高速空气动力特性
3.激波、波阻和膨胀波
1）激波和波阻
激波形状影响因素：
飞行马赫数和飞机的外形 。
2.5 高速空气动力特性
3.激波、波阻和膨胀波
2）膨胀波 膨胀波：由于物面外折角对超音速气流的扰动，引起气 流膨胀加速的扇形波。 结论：超音速气流是通过激波压缩减速，通过膨胀波膨胀 加速。
2 4
2.5v 高0 速空2c气3c 4c动力特性 v c

《气体动力学》课件-膨胀波与激波


及波AB、BC、A’B、B’C 的波角
气体动力学基础_1
29
3.5 弱波的反射与相交
膨胀波在自由边界的反射
自由边界：运动介质和其它介质之间的切向交界面
边界特性：接触面两边的压强相等
C’
A’
⑤
p2 p3 pa p4 pa p5 p6 pa
Ma1
②
max
()
2
k k
1 1
1
Ma=1 O
k 1.4, max 13027
气体动力学基础_1
20
13027
3.3 弱波的普朗特-迈耶流动解
Prandtl-Meyer 流动——超声速气流流过外凸壁
右伸波： (Ma) C2
(Ma) 1 (Ma1 ) C2
➢ 对于任意两个马赫数Ma1和Ma2 的膨胀过程，有
➢ 超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、马赫 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化
➢ 把原来的连续膨胀分得愈细，数目愈多，计算出来的结果就
气体愈动准力学确基础_1
27
3.5 弱波的反射与相交
膨胀波在直固壁上的反射
B
①
i
②
Ma1
Ma2
1 2
③
Ma3
3
A
C
➢ 膨胀波在固壁上反射为膨胀波，一般反射角 γ 并不等于入射角i
7
3.1 弱扰动的传播规律
4. 气流运动——超声速
➢马赫角 μ 的大小，反映了受扰
4c
动区域的大小
V>c
3c 2c c
sin1 1
Ma
O
O1
O2
O3
O4
Vn Vt
V

膨胀波与激波

24
膨胀波的反射与相交
25
计算处理方法
把超声速气流经过膨胀波系时连续的无数的无限微弱膨 胀，用若干有限数目但仍是很微弱的膨胀步骤来代替。
超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化。
把原来的连续膨胀分得愈细．数目愈多，计算出来的结 果就愈准确。
压缩波
r**V*rsinV
rsin*V* 1
r*
V q(M)
1 1 [ 2 (1k1M2)k k] 1 1 q(M ) M k1 2
sin 1
M
确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线
r [ 2 (1k1M2)]kk 11 r* k1 2
18
勾画流线的步骤
根据已知条件，确定要计算的膨胀波的数目； 计算每一区间的M数 计算每条膨胀波的r值 勾画流线
26
膨胀波在直固壁上的反射
膨胀波在固壁上反射为膨胀 波，一般反射角r并不等于入 射角i；
压缩波在固壁上反射为压缩 波；
膨胀波的消失 应用
在超声速风洞的喷管设计中，在接近喷
管出口处，特别需要壁面投射到壁面上
的波的反射
27
例4-7 如图所示，设空气流的 1 1 .2 ,10 , 1
求 2 及 3 。
会出现激波。
a V
a V
4
aV0 扰动不再往后传播
局限在以o点为 顶点的圆锥里
马赫锥 马赫角：受扰动区域 马赫面 马赫波
sin
o1c1 oo1
a V
1 M
sin 1 1
M
VnVsin a
5
亚音速直匀流流过机翼
无限小的折角
压缩波
超音速直匀流流过锥体和楔形物

九膨胀波和激波

V
cos d cos cos d sin sin d
cos
d
1
,
sin d d
tan 1
Ma2 1
sin 1
Ma
Ma
1

这就是普朗特－迈耶流动的控制微分方程。对有限大小流动偏转角δ， 通过积分可得膨胀波后流速，但积分前须知道V与Ma的关系。
VT
dδ
逆时针偏转为正。
偏转前流动参数：p、V、Ma等；
无摩擦表面
二维定常超声速流绕
偏转后流动参数：p+dp、V+dV、Ma+dMa等。 无限小凸角的膨胀流动
按马赫线方向及其法向分解流速

V VN VT



V dV VN dVN VT dVT
• 对于光滑凸面，可以将其看成连续的多个微小尖凸角，于 是每一个微小尖凸角产生一道膨胀波；
9.1.4 有限大小凸角上的膨胀波
• 如果超声速流在光滑无摩擦表面上遇到一个有限大小的尖 凸角，则同样可以将其看成连续的无限多个微小尖凸角， 每一个微小尖凸角产生一道膨胀波；
• 由于所有膨胀波都是从同一个尖凸角发出的，所以无限多 道膨胀波形成一个扇形区，称为膨胀波扇。
9.1.5 膨胀波流动特点
• 气流每经过一道膨胀波，发生一次微小膨胀
p ↓ dp ， T ↓dT ， ρ↓dρ ， v↑dv ， Ma↑dMa
• 气流经过膨胀波扇时，流动参数发生连续变化，压强、温 度和密度连续下降，速度和马赫数连续增加。在无黏性和 没有热交换时，这种膨胀是等熵的，沿每一道马赫波气流 参数不变，均匀来流条件下马赫波都是直线；
1
1
－称为普朗特－迈耶角。
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发散膨胀波束 收敛压缩波束
k 1 2 k 1 1 M 2
膨胀波 弱压缩波 任一马赫线 所有气流参数均相同 外凸壁 马赫线为直线 V与有关
内凹壁
1
激波
外折壁 有限折转角 内折壁
扇形膨胀波组 激波
内折壁 外折壁
4
学时1
普朗特—迈耶函数
超音速气流流动微分方程
不失一般性取M1=1 M 1 M 0
左伸波 右伸波
壁面折转角
M1查表(M1) 膨胀或压缩(M1)与(M2) (M2)查表M2 波前参数
p1 , T1 , M1
M C1 M C2
任意M1和M2 2 1 M 2 M1 0 2 1 M 2 M1 0
p2 2k k 1 M 12 sin 2 p1 k 1 k 1 p2 2k k 1 M 12 p1 k 1 k 1
M1
lim
p2 p1
10
温度
k 1 2 2 2k 2 2 M1 sin M1 sin 1 1 T2 p2 2 k 1 1 2 T1 p1 2 k 1 M 2 sin 2 1 2 k 1
2
Vs a1
激波相对于波前气体的传播是超音速的 p2/p11Vsa1即激波退化为弱压缩波
Vs VB 激波速度>气流运动速度
8
学时2
激波前后参数关系
斜激波基本方程 正激波基本方程
1 V1n 2 V2 n m V2t V1t 0 V2t V1t p1 p2 2 V22n 1 V12 n
k 1 M12 sin 2 2 1 2 k 1 M 12 sin 2
k 1 M1 2 1 2 k 1 M 12
2
2 k 1 M k 1 1
lim
1
压力 V V 1V12 2V22n p2 2 2 n p1 p2 2 V2 n 1 V1n 1 1 1 V12 sin 2 1 2 n 1 kM 12 sin 2 1 2 n p1 p1 p1 V1n V1n
p2 1 2 1 弱压缩波为等熵压缩过程 p1 1 p2 k 1 超音速气流经激波压缩增加有限值 2 p1 1 k 1 ∵熵增过程T即限制增加
压缩至同样p2/p1
激波压缩2/1<等熵压缩2/1 等熵压缩更有效
9
p1 k 1 2 k 1 2 c V 1 2k cr 2k 1 k k 1 2 k p1 V12 k p2 V22 RT acr p2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 k 1 1 2 k 1 2 2 k 1 2 2 ccr V2 V1nV2 n ccr Vt 2 2k 2k k 1 2 正激波 VV2 acr 12 1 p2 p 1 V1n V2 n 1 2 V2 n 1 V1n 超音速气流经正激波必为亚音速 k 1 2 V 必为亚音速 2 2 V1nV2 n ccr Vt ccr 1n 2 n 1 超音速气流经斜激波 n 斜激波 V不一定为亚音速 k 1
加速运动
活塞
0V
弱压缩波积聚激波，等熵过程非等熵突变过程 弱膨胀波远离等熵过程 第1道 第2道 …… …… ……
v2 kR T T v ……
压缩波
波面运动参数 v1 a1 kRT 扰动流体参数 v,T+T v,TT
2v,T+2T 2v,T2T
3
膨胀波、弱压缩波
膨胀波、弱压缩波的形成
超音速来流 气流折转角d 微外凸壁 微内凹壁 x轴正向
mK
p T

Aq d微小转角
参数变化无限小 绝能等熵过程
Aq const
逆时针+ 顺时针
1 1 2
A OD sin OD sin d A dA A OD sin OD sin d A dA
2
M
dV 1 dM V k 1 2 M M 1 2 dV d 左伸波 V M 2 1

d
k 1 1 k 1 tg M 2 1 tg 1 M 2 1 C k 1 k 1 k 1 1 k 1 tg M 2 1 tg 1 M 2 1 k 1 k 1
2 1 Vs 2
c p p1 Vs2 c p p2 Vs VB R 1 2 R 2 2 p2 p1 1 Vs2 2 Vs VB
2
k 1 p2 1 2 k 1 p1 k 1 k 1 p2 Vs a1 p2 k 1 1 2k 2k p1 1 2 1 Vs 1 p1 k 1 2
h*或T*不变 构造积分方程 控制体包含激波宏观绝热流动 强间断无限薄激波面 穿越激波微观流动非等熵 微观结构考虑稀薄效应
激波的形成
驻激波
凹曲面/内折面/楔型物
弱压缩波 脱体曲线激波 激波 激波 激波
附体斜激波
钝头体/楔型体
7
运动激波 活塞在半无限长等截面直园管中右向 减速运动
分解 若干v过程
沿波面取控制体
∵沿波面压力不变
m Vt / Vt 0 Vt / Vt
V d +d
/2d
左伸膨胀波
平行波面方向Vt不变
Avn d A vn dvn dvn vn d
dp 2 a 2 vn a dp vn pA p dp A Avn vn dvn vn dvn d 左伸压缩波 vn
膨胀波
波面运动参数 v1 a1 kRT
扰动流体参数
v2 kR T T v ……
控制体取运动波面
1 AVs 2 A Vs VB VB
V p1 p2 11 1 B 1 p1 2 p2 p1 p1 p2 p1 1 VB A p2 p1 1 AVs Vs VB Vs VsVB Vs , 1 1 1 1 1 1 1 2 Vs 2
p0
2
M2
2 0

6
突变
驻点附近m不守恒 扰动逆向超音速传播
激波
超音速气流绕流物体
驻点扰动V=0 强扰动即激波
渐变
驻点前突变面亚音 m=0
流场中出现强压缩波/激波
T , p , V
参数突跃变化 须计及粘性、导热性 结构复杂 不可逆熵增过程
厚度2.510-5cm~分子自由行程 小距离内剧烈的强压缩过程
气流折转角d
tan d
x轴正向
逆时针+ 顺时针
dV dV dV d tan Vd Vd V M 2 1 dV d V M 2 1
右伸膨胀波
对右伸波做类似推导
左伸膨胀波d<0dV>0加速膨胀过程 左伸压缩波d>0dV<0减速压缩过程 右伸膨胀波d>0dV>0加速膨胀过程 右伸压缩波d<0dV<0减速压缩过程
空 气 动 力 学
第四章 膨胀波、压缩波和激波
授课教师：陈浮
哈尔滨工业大学 能源科学与工程学院 推进理论与技术研究所
1
8学时
教材：气体动力学基础（修正版）潘锦珊
1.第三章p86~139。
2
弱扰动的传播
未受扰动流场
亚音速 弱扰动波为球面且可传遍全流场 马赫角表征受扰动区域大小
a 1 1 sin arcsin V M M
2
A M A M

2 1
D

2 1
p, T , p, T ,
k k 1
微弱膨胀波
A A+dA


微弱压缩波
O
T k 1 2 p k 1 2 1 M , 1 M T 2 p 2
右伸压缩波 5
普朗特—迈耶函数
V M a k 1 M 2 a T k 1 2 da 2 1 M dM 2 k 1 2 a T 2 a 1 M 2 dV dM da V M a M 1 dM k 1 2 M M 1 M 2
普朗特关系式
斜/正激波前后参数关系
密度
2 V1nV2 n acr
k 1 2 Vt 2 2 k 1 2 k 1 2 2 2 k 1 2 k 1 a1 1 M1 Vt a1 V1n V1nV2 n k 1 2 k 1 k 1 2k 2 2 T k 1 2 acr RT a1 k 1 k 1 T V2 n 2 a12 k 1 2 1 k 1 , 2V2 n 1V1n V1n k 1 V12 k 1 k 1 M 12 sin 2 k 1 n
k 1.4 M max
k 1
1 130.45 2 k 1
波后参数 p2 p p1 M1 T2 M1 , p1 p p2 M 2 T1 M 2
M1=1 max
V1t2 V12 V22t V22n n c pT1 c pT2 2 2
1 V1 2 V2 p1 p2 2 V22 1 V12