对数运算 学案

2.2.3 对数与对数运算（3）【学习目标】1.能熟练运用对数运算性质解决对数运算问题；2.会运用对数运算性质解决实际应用问题．【学习重点】运用对数运算和对数运算性质解决实际应用问题．【难点提示】对数运算性质的正确理解与运用；【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6469P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1. 上节课我们学习了对数运算及对数运算性质，请完成下列填空：如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，b>0那么：（1）log a MN = ；（2）log a M N= ；（3）log n a M = ． （4）对数的换底公式：log a b = ；（5）拓展公式知道吗？（链接1）2.预备练习 （1）计算：827log 9log 32∙．（2）已知12log 27＝a ，求6log 16的值（用a 表示）.3.对数运算及运算性质在实际生活中有哪些运用呢？在16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之际，苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．可见它对解决实际问题的作用非常巨大（请同学们认真阅读教材第68-69页），今天就来探究对数的实际应用．二、典例解析例1 （教材P66例5，请同学们先做，在看书上的解答）20世纪30年代，查尔斯．里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大． 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．(1) 假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0．001， 计算这次地震的震级（精确到0．1）；(2) 5级地震给人的振感已比较明显，计算7．6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）思路启迪：读懂题中的有用信息是解决数学应用问题的关键，本题中的有用信息有哪些，你能通过读题后能读出来吗？然后根据你的理解试一试．解:●解后反思 这是一道什么题型、求解它的一般步骤是什么？应注意哪些问题？例2（教材P66例6，请同学们先做，在看书上的解答）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76．7%，试推算古墓的年代？ 解:例3.log 1log log a a ab x b x=+(1)证明：. 24892(2)(log 3log 9log 27log 3)log .n n ++++ 化简：解后反思 证明恒等式有哪些方法？该题的证明用的什么方法？在（2）中化简的方向是什么？两个小题的入手点各在在哪里？变式练习 12121212).n na a a n a a a nb b λλ= 已知log b =log b ==log b =,求证:log (b三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：解决实际应用问题的基本步骤有哪几步? 利用换底公式解决有关对数问题应注意什么?(学习链接2)2.通过本节课的学习对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）．A ．－a ；B ．a 2；C ．｜a ｜；D ．a ．2.若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）．A ． 3 ；B ． ；C ． ；D ． ．3.已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）．A ．15；B ；C ．；D ．225．4.若32a=，则log 38－2log 36用a 表示为 ．5.化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5．6.若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．7.已知14log 2a =，用a 表示7．8.教材P74习题2.2A 组第6、9题、P75第12题.【学习链接】链接1：1log (0,1,0,1)log a b b a a b b a =>≠>≠；log log (0,1,0)n m a a m b b a a b n=>≠> 链接2. 解答应用问题的步骤是：审题、建模、化简、计算、下结论；其中审题、建模是关键；在解答有关对数应用题的过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用．。

4.2.1 对数运算【自主预习】1．对数的定义及相关概念 (1)对数的概念在表达式a b ＝N (a ＞0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为 的对数，记作b ＝ ，其中a 称为对数的 ，N 称为对数的 ． (2)对数恒等式＝ .(3)常用对数：以 为底的对数称为常用对数，并把log 10N 记为 .(4)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为 . 思考：如何准确理解指数式与对数式的关系？2．对数的性质【基础自测】1．把对数式x ＝lg 2化为指数式为( ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10D ．2x ＝102．若log 8x ＝－23，则x 的值为( )A.14B ．4C ．2D.123．＝________.4．若log 3(log 2x )＝0，则x 12＝________.【合作探究】【例1】(1)对数式lg(2x －1)中实数x 的取值范围是________。

(2)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是______．[思路探究] 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． 【规律方法】根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围． 【跟踪训练】1．对数式log (2x －3)(x －1)中实数x 的取值范围是________．【例2】 (1)将下列指数式与对数式互化： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64；④3－2＝19； ⑤lg 1 000＝3.(2)设a ＝log 310，b ＝log 37，求3a－b的值．[思路探究] (1)根据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)求解；(2)由于a ，b 是对数，所以可考虑用指数式表示出a ，b ，再把它们代入式子中．【规律方法】1．指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．2．互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．【跟踪训练】2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式．①10－3＝11 000；②ln 2＝x.(2)已知a>0且a≠1，log a2＝m，log a3＝n，求a2m＋n的值．[探究问题]1．是不是所有的实数都有对数？2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出log a1，log a a分别等于什么吗？3．你能推出对数恒等式＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？【例3】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln 6)＝() A．－ln 6＋6B．ln 6－6C．ln 6＋6 D．－ln 6－6(2)有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④[思路探究](1)根据奇偶性先将f(ln 6)化为－f(－ln 6)再代入求解．(2)根据对数的性质逐一判断即可．【规律方法】1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．对数恒等式a log a N＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【跟踪训练】【课堂小结】1．本节课的重点是掌握对数的概念及性质、对数恒等式，难点是对数性质及对数恒等式的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)掌握指数式与对数式的互化关系． (2)对数性质的应用． (3)对数恒等式的应用．3．本节课的易错点是弄错对数恒等式的适用条件.【当堂达标】1．思考辨析(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log (－2)16＝4.( ) (2)对数式log 32与log 23的意义一样．( ) (3)因为1a ＝1，所以log 11＝a .( ) (4)log (－2)(－2)＝1.( ) 2．若3x ＝2，则x 等于( ) A ．log 23 B ．log 32 C ．32D ．233．计算＝________.4．求下列各式中的x . (1)log 2x ＝－23；(2)log 5(log 2x )＝0.【参考答案】【自主预习】1．(1)以a 为底N log a N底数真数(2) N (3) 10 lg_N (4) eln_N思考：[提示] (1)指数式和对数式的关系如图所示：(2)指数式和对数式各部分的名称：式子名称abN指数式 a b ＝N底数 指数 幂对数式 log a N ＝b 底数 对数 真数2．负数和零 0 011【基础自测】1．A [根据指数式与对数式的互化可知x ＝lg 2化为指数式为10x ＝2.] 2．A [∵log 8x ＝－23，∴x ＝8-23＝2－2＝14，故选A.]3．3 [由对数恒等式得，＝3.]4．2 [∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝30＝1，∴x ＝2，即x 12＝ 2.]【合作探究】类型一对数的概念【例1】 (1)⎝⎛⎭⎫12，＋∞ (2)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可知对数式lg(2x －1)中的真数大于0，即2x －1>0，解得x >12，所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]【跟踪训练】1．⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －3>0，2x －3≠1，解得x >32，且x ≠2，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞)．]【例2】[解] (1)①因为log 216＝4，所以24＝16. ②因为log3x ＝6，所以(3)6＝x .③因为43＝64，所以log 464＝3. ④因为3－2＝19，所以log 319＝－2.⑤因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.(2)因为a ＝log 310，b ＝log 37，所以3a ＝10,3b ＝7. 则3a －b＝3a 3b ＝107. 【跟踪训练】2．[解] (1)①因为10－3＝11 000，所以lg 11 000＝－3. ②因为ln 2＝x ，所以e x ＝2.(2)根据条件log a 3＝n 及对数的定义可得a n ＝3， 由log a 2＝m 及对数的定义可得a m ＝2， 所以a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.[探究问题]1．[提示] 负数和0没有对数．2．[提示] 因为a 0＝1，所以log a 1＝0；因为a 1＝a ，所以log a a ＝1. 3．[提示] 因为a x ＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x ＝N 可得a log a N ＝N . 【例3】(1)C (2)C [(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝－(－ln 6－e ln 6)＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.(2)因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确； 因为ln e ＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确； 由10＝lg x ，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误； 由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误．] 【跟踪训练】 3.4.【当堂达标】1．(1)× (2)× (3)× (4)× [(1)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，所以(1)错； (2)×.log 32表示以3为底2的对数，log 23表示以2为底3的对数，所以(2)错； (3)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，所以(3)错；(4)×.因为对数的底数a 应满足a >0且a ≠1，真数应大于0，所以(4)错．] 2．B [由指数式化为对数式可知x ＝log 32.] 3．20＝22·2log 25＝4×5＝20.]4．[解] (1)x ＝2-23＝⎝⎛⎭⎫1223. (2)log 2x ＝1，x ＝2.。

§2.2.1对数与对数运算学案（第一课时）【学习目标】 班级： 姓名：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；能够进行指数式与对数式的互化.【学习指导】重难点：对数的定义；指数式与对数式的互化.【学习过程】一.自主学习（一）自主探究（预习教材P62-P63，并找出疑惑之处）探究一.对数定义：一般地，如果ax =N （a>0,且a ≠1）,那么数x 叫做以a 为底N 的 ，记作b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做 ．例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；⇔ ； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 思考：1.对数的定义中，为什么规定“10≠>a a 且”？ 2.负数有对数吗？2.探究对数基本性质1.是不是所有的实数都有对数？ 中的N 可以取哪些值？2.根据对数的定义以及对数与指数的关系， , .3.底数的取值范围),1()1,0(+∞U ；真数的取值范围),0(+∞．探究二.对数与指数的间的关系当a>0,a ≠1时，请同学们填写下表中空白处的名称：探究三.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数N 10log ，简记为 ,如：（2）自然对数：以e 为底的对数N e log ，简记为 ,如：=1log a =a a log 212log 4=2421=b N a =log二.合作探究1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式: （1）54=625 （2） (3) (4)（5）lg0.01=-2 （6）ln10=2.303 （7）lg100=x (8)2.求下列各式中x 的值： (1) (2) log x 8=6 (3) lg100=x (4) -ln e 2=x三.交流展示1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式: （1） （2）3log 92= （3） （4）2.求下列各式的值：(1)log 525 (2)lg1000 (3)log 1515 (4)lg o.oo1(5)log 0.41 (6)log 981 (7)log 3243 (8)log 7343 四.达标检测A 组1.2log 510+log 50.5=2.解下列方程：（1）（2）log x 4=2 (3)lg 2x-lgx 2-3=03.若log 3(log 2x)=1，则 = .B 组1.log 3[log 4(log 381)]= .2.若log a 2=m,log a 3=n,则a 2m+n = .3.已知log[log3(log 4x)]=0，且log 4(log 2y)=1,求 的值.五.课后总结知识： 方法： 2327log =x 131273-=0)(log log 25=x 73.531=⎪⎭⎫ ⎝⎛m 416log 21-=64126-=5log 1253=32log 64-=x 21-x43y x ⋅32log 64-=x。

3.2.1 对数及其运算1．对数的概念在指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)中，对于实数集R 内的每一个值x ，在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值y ，在R 内都有唯一确定的值x 和它对应．因此，在式子y ＝a x 中，幂指数x 又叫做以a 为底y 的对数．例如：因为42＝16，所以2是以4为底16的对数；因为41＝4，所以1是以4为底4的对数；因为1214=2，所以－12是以4为底12的对数．一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 对数的定义可以从以下三个方面来理解：(1)对数式b ＝log a N 是指数式N ＝a b 的另一种表达形式，其本质相同．对数式中的真数N 就是指数式中的幂值N ，而对数式中的对数b 就是指数式中的指数b ，对数式与指数式中各个量的关系如图所示．(2)对于对数式b ＝log a N ，只有在a ＞0，且a ≠1，N ＞0时才有意义．①当a ＜0，N 为某些数值时，b 不存在，如(－2)x ＝3没有实数解，所以log (－2)3不存在，为此，规定a 不能小于0，并且由指数函数的定义也可知a 不能小于0. ②当a ＝0，且N ≠0时，log a N 不存在，为此，规定a ≠0.③当a ＝1，且N 不为1时，b 不存在，如log 12不存在；而a ＝1，N ＝1时，b 可以为任何实数，不能确定．为此，规定a ≠1.④在log a N ＝b 中，必须N ＞0.这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而在a b ＝N 中，N 总是正数；0和负数没有对数． (3)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：【例1－1】已知A ．3＝log 7mB ．7＝log 3mC ．m ＝log 73D ．m ＝log 37【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．【例1－3】求下列各式中(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34；(3)x ＝log 84.2．对数恒等式与对数的性质(1)根据对数的定义，可得对数恒等式log a Na N ＝.例如3log 535＝等．需注意，当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式log a NaN ＝才适用．(2)根据对数的定义，对数log a N (a ＞0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N ＞0； ②1的对数为0，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 【例2】已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x 等于( )A ．13B C ．4 D3．常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底数10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log 10N 记作lg N .①以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数．例如：100的对数是2，就是指100的常用对数是2，即lg 100＝2.②常用对数的性质：(ⅰ)lg 1＝0；(ⅱ)lg 10＝1；(ⅲ)10lg N ＝N (N ＞0)． (2)以e 为底的对数叫做自然对数(其中e ＝2.718 28…)．log e N 通常记作ln N . 自然对数有如下性质：①ln e ＝1；②e ln a ＝a (a ＞0)．【例3】有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④4．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N.对于(1)，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和(简言之：积的对数等于对数的和)．此性质可以推广到若干个正因数的积：log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k.(2)log a MN＝log a M－log a N.对于(2)，又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差)．(3)log a Mα＝αlog a M.对于(3)，又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．由(3)可推出对数的几个常用结论：①log a nM＝1n log a M；②log a1M＝－log a M；③log apM n＝np log a M，其中M＞0，n，p∈N＋，n，p＞1.谈重点牢记对数运算法则及其成立的条件1．要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆．注意：log a(MN)≠(log a M)(log a N)；log a(M＋N)≠log a M＋log a N；log a MN≠log a Mlog a N.2．指数与对数运算性质对比表：3积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．【例4－1】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5.【例4－2】已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求.点技巧 巧用常用对数的变形由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论． 5．换底公式(1)设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，得x log a b ＝log a N ，所以x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b .即换底公式：log b N ＝log a N log a b.(2)公式作用：利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，这是解决关于对数运算问题的基本思想方法． 【例5－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32C ．1D ．2 【例5－2】计算235111log log log 2589⋅⋅.6．对数定义中的隐含条件根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数．因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．【例6】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是________． 7．对数的化简、求值问题 (1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如log 395＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2.二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数． 如，log 395＋log 35＝log 3⎝⎛⎭⎫95×5＝log 39＝2. 三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式．通常是先分别换底，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等． 【例7】求下列各式的值：；(2)2log 32－332log 9＋log 38－log 5125；(3)log 2(1＋log 2(1．点技巧 对数运算法则的灵活运用利用对数运算法则计算时，通常要将底数、真数进行质因数分解，将不同底数化为同底数，在计算过程中常常会逆用运算法则． 8．利用已知对数表示其他对数用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b .解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式． 对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a MN ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；N ＞0)．【例8－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A ．a b a + B ．a b b + C ．a a b + D ．ba b+ 【例8－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)点技巧 巧用换底公式巧用换底公式是解决本题的关键，其中“log 182＝log 18189＝1－log 189＝1－a ”是点睛之笔．9．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程log 64⎝⎛⎭⎫x －1516＝－23，将其化为指数式为2315=6416x --，又223233164=(4)=4=16---，则x －1516＝116，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式[f (x )]b ＝n ，这样解关于x 的方程[f (x )]b ＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1.第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根． 【例9－1】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0.辨误区lg2x与lg x2的区别本题中，易混淆lg2x和lg x2的区别，lg2x表示lg x的平方，即lg2x＝(lg x)2，而lg x2＝2lg x.c的值．【例9－2】设log a c，log b c是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logab【参考答案】【例1－1】 D【解析】由于a x ＝N ⇔x ＝log a N ，则3m ＝7⇔m ＝log 37. 【例1－2】(1)log 101 000＝3；(2)32＝9；(3)2x ＝10. 【解析】(1)103＝1 000⇔log 101 000＝3； (2)log 39＝2⇔32＝9； (3)log 210＝x ⇔2x ＝10.【例1－3】解：(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1.∴x ＝51＝5.(2)∵log x 27＝34，∴34x ＝27.∴x ＝43(27)＝34＝81.(3)∵x ＝log 84，∴8x ＝4.∴23x ＝22.∴3x ＝2，即2=3x . 【例2】 C【解析】由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8.∴124x -. 【例3】 C【例4－1】解：(1)原式＝log 1222＋log 123＝log 124＋log 123＝log 1212＝1. (2)原式＝500lg5＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.【例4－2】解：∵121lg 45=lg 452＝12lg(5×9)＝12(lg 5＋lg 9) ＝12210lg lg 32⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)， 又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴lg 45＝12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6.【例5－1】 A【解析】思路一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8===lg 3log 33lg 2lg 33lg 2⋅. 思路二：将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32===log 3log 33log 33. 【例5－2】解：原式＝111lglg lg2lg53lg 22lg312lg5lg 2lg32589==lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝－12.【例6】 (－2,0)∪(0,1)【解析】根据对数的定义，得20,10,11,a a a +>⎧⎪->⎨⎪-≠⎩解得－2＜a ＜0或0＜a ＜1.【例7】解：(1)原式＝33322333lg33lg2(lg32lg21)lg3lg2lg103222===34lg32lg21lg32lg212lg 10+-+-+-⨯+-+-.(2)原式＝2log 32－(log 325－log 332)＋log 323－log 553＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(3)log 2(1＋log 2(1＝log 2[(1＝log 2[(12－)2]＝2log ＝322log 2＝32. 【例8－1】 B【解析】由换底公式得3lg 6lg(23)lg 2lg 3log 6====lg 3lg 3lg 3a bb⨯++. 【例8－2】解：∵18b ＝5，∴b ＝log 185. ∴1818181836181818181818log 45log (59)log 5log 9log 45======18log 36log (218)log 2log 181log 221log 9a b a b a ba ⨯++++⨯++-+【例9－1】解：原方程可化为lg2x－2lg x－3＝0. 设lg x＝t，则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3，∴lg x＝－1或3，解得1=10x或x＝1 000，经检验1=10x，x＝1 000均符合题意，所以原方程的根是1=10x，或x＝1 000.【例9－2】解：∵log a c，log b c是方程x2－3x＋1＝0的两根，∴log log=3,log log=1.a ba bc cc c+⎧⎨⋅⎩∴11=3,log loglog log=1,c cc ca ba b⎧+⎪⎨⎪⋅⎩即log log=3,log log=1.c cc ca ba b+⎧⎨⋅⎩∴11log==log loglogac cbcca a bb-5±.。