山西省忻州一中等2014届高三第一次四校联考数学(理)试题

2014年高考数学（理）二轮复习精品资料-高效整合篇专题03 三角函数与解三角形（预测）解析版Word 版含解析（一） 选择题（12*5=60分）1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ）A ．13-B ．23-C ．13D ．232.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向 右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ）.A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 2θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ）B C 1811 D 29-【解析】4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】若sin()πα-=且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．B ． C得9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数10.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3())4g x x π=-D ．()4g x x =11.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ>B.(sin )(cos )f f αβ<C.(cos )(cos )f f αβ<D.(cos )(cos )f f αβ>12.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知方程sin x k x=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos 22sin ααα=C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ=（二）填空题（4*5=20分）13.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．14.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b15.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα.16.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos 22y x =的图象. ⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称． 其中正确说法的序号是 .（二） 解答题（10+5*12=70分）17. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知函数(sin cos )()2cos ,x f x x x x R -=∈．(I)求函数()f x 图像的对称中心；(Ⅱ)求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值故函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ1-，最小值为－2．18.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.试题解析：（1）由图象知，()max 2f x A ==，19.[山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.12cos 2sin(2)26x x x π=+=+…………………………………………3分20.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(,1)M π-． （1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =-，求()f C 的值．21.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅= ，求,AC BC 的长．由①②解得6,6AC BC ==． …………………12分22.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知函数2()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(,0)12M π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.由226222πππππ+≤-≤-k x k ，k Z ∈，得36ππππ+≤≤-k x k ，（四）附加题（15分）23.如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥. （1）设30MOD ∠= ，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【解析】。

山西省忻州一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B 等于( )A ．[2,4]B ．[0,2]C ．[)2,4 D ．[0,8]2.若命题“,0R x ∈∃使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[]6,2B ．[]2,6--C ．()6,2D ．()2,6--3.已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有( ) A ．相同的准线 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴 【答案】B 【解析】试题分析：曲线14922=+y x 中，229,4a b ==，25c =，所以准线为y =为(，离心率为3，长轴为6；14922=-+-k y k x 中，2229,4,5a k b k c =-=-=，所以焦点与k 无关，所以焦点相同，都是(.考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的准线、焦点、离心率、长轴长.4.设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S =( )A ．36B ．32C ．24D ．226.函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 ( ) A ．8π B ．4π C ．2πD ．π7.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．C ．3πD ．8.函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()3,1 C ．(]3,1 D ．[)+∞,3 【答案】B 【解析】试题分析：令()6g x ax =-，∵对数的底数0a >，∴()g x 在[]2,0上为减函数，又∵()f x 在[]2,0上为减函数，∴1a >且620a ->，即13a <<.考点：1.复合函数单调性；2.对数函数的定义域.9.已知函数9()41f x x x =-++，(0,4)x ∈，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图像为（ ）10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A BC ．12D ．12-【答案】C 【解析】试题分析：22222221cos 22442a b c c a b ab C ab ab ab ab +-+===≥=，当且仅当a b =时取等号. 考点：1.余弦定理；2.基本不等式.11.已知偶函数() ()y f x x R =∈在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,)+∞上单调递减，且满足(4)(1)0f f -==，则不等式3()0x f x <的解集是（ ） A ．(4,1)(1,4)-- B ．(,4)(1,1)(3,)-∞--+∞ C ．(,4)(1,0)(1,4)-∞-- D ．(4,1)(0,1)(4,)--+∞12.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．25 C ．2 D ．23 【答案】C 【解析】试题分析：∵'()2f x ax b =+，∵'(0)0f >，∴0b >，∵)(x f 的值域为),0[+∞，∴2404ac b a-=，∴24ac b =，∴b ='(1)112(0)f a b c a c f b b +++==+=≥+=. 考点：1.导数的运算；2.二次函数的顶点坐标；3.基本不等式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量的模为1，且,满足2||,4||=+=-，则在方向上的投影等于.15.在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于 . 【答案】-2013 【解析】试题分析：∵210121012=-S S ，∴11121110912102221210a d a d ⨯⨯++-=，∴2d =，∴20131201320122013201220132013(2013)2201322S a d ⨯⨯=+=⨯-+⨯=-. 考点：等差数列的前n 项和公式.16.设函数()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B A A b a sin 2co s 3sin ,=+≥．(1)求角C 的大小； (2)求a bc+的最大值．18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >.且1452a a a ，，分别是等比数列{}n b 的234,,b b b . (1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； (2)设数列{}n c 对任意自然数n 均有1212c c b b ++…1n n n ca b ++=成立，求12c c ++…2013c +的值.的检验，最后利用等比数列的求和公式求和.试题解析： (1) ∵25141,14,113,a d a d a d =+=+=+且2514,,a a a 成等比数列 ∴2(14)(1)(113)d d d +=++，即2d =， ∴1(1)221n a n n =+-⨯=-， 又∵22353,9b a b a ====， ∴113,1,3n n q b b -===. （2）∵1212c c b b ++…1n n n ca b ++=①∴121c a b = 即1123c b a ==，又1212c c b b ++ (11)(2)n n n ca nb --+=≥ ②①－②：12nn n nc a a b +=-= ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥ …10分 ∴ 13(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅⎩≥ …11分 则123c c c +++…12201332323c +=+⋅+⋅+…2013123-+⋅ 123201232(3333)=+⋅++++201220133(13)32313-=+⋅=- …12分考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项；3.等比数列的前n 项和公式.19.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AD PD PA 22==． (1)求证：面PAB ⊥平面PDC ； (2)求二面角B PD C --的余弦值．解法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =,∴PO ⊥平面ABCD ,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,向量,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,20.（本小题满分12分）如图已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．综上14ABOMNOSS∆∆=…12分考点：1.抛物线的标准方程；2.直线方程；3.根与系数关系；4.三角形面积公式.21.（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2)20(x -万本． (1)求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R .31≤≤m ， 123210332≤+≤∴m ．在m x 3210+=两侧L '的值由正变负．②当332m <≤即21110123m <+≤时()L x 在[9,11]上是增函数， 2max (11)(115)(2011)81(6)L L m m ==---=-所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-=323),6(81231,)35(4)(3m m m m m R22.（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--. （1）讨论函数()()f x h x x=的单调性； （2）若存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.'()0h x >⇒()h x（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立等价于：12max [()()]g x g x M -≥， …………7分 考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， …………9分 所以满足条件的最大整数4M =； …………10分（3）当1[,2]2x ∈时，因为max ()1g x =，对任意的1,[,2]2r s ∈，都有()()f s g t ≥成立，。

山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题（理科）A 卷命题： 康杰中学 临汾一中 长治二中 忻州一中【满分150分，考试时间120分】【试卷综析】本试题是一份质优量大的高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、复数、圆、数列、命题、频率分布直方图、概率、程序框图、分段函数、三角函数变换、三视图、解三角形、双曲线、离心率、导数极值、二项式定理、平面向量、直线与圆、线性规划、球、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标等高考核心考点，又涉及了概率统计、数列、立体几何、解析几何、导数应用等必考解答题型。

本题难易程度涉及合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从12,14,15,16等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考融合，考传统；从16,21两题可以看出，考拓展，考创新。

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1．集合{}{}220,2,0xA x x xB y y x =->==>，R 是实数集，则()RB AC ⋃等于（ ）A ．RB ．(-∞,0)∪1,+∞)C ．(]0,1D ．(](),12,-∞⋃+∞ 【知识点】不等式的解集，函数值域，补集，交集 【答案解析】D()()()(],02,,1,,,1R A B B C =-∞⋃+∞=+∞=-∞，则()(]()()(](),1,02,,12,RB AC ⋃=-∞⋃-∞⋃+∞=-∞⋃+∞【思路点拨】把每一个集合解对就好说了2. 已知z 是复数z 的共轭复数, 0g z z z z ++=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【知识点】复数与共轭复数，复数轨迹 【答案解析】A设(,)z x yi x y R =+∈则222,g z z x z z x y +==+所以0g z z z z ++=变为()22222011x y x x y ++=⇒++=故选A【思路点拨】设复数是关键，再化简。

2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．2．（5分）复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和为（）A．0B．2﹣2i C．3﹣i D．1+3i3．（5分）如图程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n＞20时n的最小值，则输出框中应填（）A．i B．i+1C．i﹣1D．n4．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.55．（5分）已知对于正项数列{a n}满足a m+n=a m•a n（m，n∈N*），若a2=9，则log3a1+log3a2+…+log3a12=（）A．40B．66C．78D．1566．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．7．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．6C．D．8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，则向量在向量方向上的投影为（）A．3B．C．﹣3D．﹣10．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A．1B．C．D．211．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）展开式中有理项共有项．14．（5分）已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值．15．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．三、解答题（共70分）17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．（12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F 点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为为参数，0≤α＜π）射线与曲线C1交于极点O为的三点A、B、C（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；（2）当时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．2．（5分）复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和为（）A．0B．2﹣2i C．3﹣i D．1+3i【解答】解：复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和=2﹣2=0．故选：A．3．（5分）如图程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n＞20时n的最小值，则输出框中应填（）A．i B．i+1C．i﹣1D．n【解答】解：考察程序框图中条件结构，循环结构，循环次数计数问题，当S=1+2+3+…+5=15时，满足S≤20，进入循环，S=1+2+3+…+6=21，i=6，不满足条件S≤20，退出循环，应该输出i﹣1的值，即5．故选：C．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.5【解答】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．5．（5分）已知对于正项数列{a n}满足a m+n=a m•a n（m，n∈N*），若a2=9，则log3a1+log3a2+…+log3a12=（）A．40B．66C．78D．156=a m•a n（m，n∈N*），a2=9，【解答】解：∵正项数列{a n}满足a m+n∴a1=3，=a1•a n=3a n，∴a1+n∴数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴log3a1+log3a2+…+log3a12=log3a1a2•…•a12==78．故选：C．6．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．7．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．6C．D．【解答】解：∵a+b=2，∴a+（b﹣1）=1，则=，即的最小值为3+2，当且仅当：a=2﹣，b=时，取“=”，故选：A．8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，排除C，D，当x→+∞时，f（x）→0，当0＜x＜时，f（x）＞0，故选：A．9．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，则向量在向量方向上的投影为（）A．3B．C．﹣3D．﹣【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，∴=，∴OBAC为平行四边形．∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得||=||=||，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，因此，∠ACB=∠ACO=30°，∴向量在方向上的投影为：||•cos∠ACB=2cos30°=，故选：B．10．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2=4，当且仅当x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4时，P点的坐标为（，），点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，故选：D．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）【解答】解：由题意可得，函数f（x）=的图象和直线y=﹣x有且只有一个交点，如图所示：故a＜﹣1，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）展开式中有理项共有3项．==【解答】解：展开式通项公式为T r+1若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，故答案为：314．（5分）已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值﹣．【解答】解：∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜α＜，∴0＜2α＜；又＜β＜π，﹣π＜﹣β＜﹣；∴﹣π＜2α﹣β＜0，∵tan2α===，tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）===1，∴2α﹣β=﹣．15．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6π．【解答】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故答案为：6π．16．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（﹣2，）．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣sinx）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+cosx＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，所以，解得﹣2＜x＜，即x的取值范围是（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．三、解答题（共70分）17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）18．（12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：参考公式：K2=．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关． (4)分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件B为“甲被抽到”；事件A为“乙丙被抽到”，则P（A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．从而X的分布列为X012P…10分于是E（X）=0×+1×+2×==．…12分．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F、G分别是棱AB、AB1中点，∴FG∥BB1，又∵FG∥EC，，FG=EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG．∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB；（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）设E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB1的法向量．由，得，取z=2，得∵CA⊥平面C1CBB1，∴是平面EBB1的法向量，则平面EBB1的法向量∵二面角A﹣EB1﹣B的平面角余弦值为，则，解得m=1（0≤m≤4）．∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE=1．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．【解答】解：（1）∵∴令g（x）=则g′（x）==由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，又∵g（1）=0故当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）证明：原不等式就是，即[]＞0令h（x）=则h′（x）=∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）单调递增，又∵h（1）=0故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，＜0，此时[]＞0成立；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，＞0，此时[]＞0成立；∴当x＞0且x≠1时，f（x）＞2[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F 点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．【解答】解：（I）连接OF，∵OC=OF，∵∠OFC=∠OCF，∵DF是⊙O的切线，∴OF⊥DF，又∵OC垂直于弦AB，∴∠AEC=∠DFE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，∵DF2=DB•DA，∴（2x）2=3x（2x﹣1），解得2x=3，∴DF的长为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为为参数，0≤α＜π）射线与曲线C1交于极点O为的三点A、B、C（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；（2）当时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．【解答】解：（1）根据题意得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos （φ﹣），则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ=|OA|，∴λ=；（2）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣），∵C是经过点（m，0）且倾斜角为α的直线，且经过B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），∴m=2，α=．[选修：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x ≤3时，f （x ）≤3，求a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，f （x ﹣a ）+f （x +a ）≥1﹣2a 恒成立，求实数a 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=|x ﹣a |≤3，即a ﹣3≤x ≤a +3． 依题意，由此得a 的取值范围是[0，2]．…（4分）（Ⅱ）f （x ﹣a ）+f （x +a ）=|x ﹣2a |+|x |≥|（x ﹣2a ）﹣x |=2|a |．…（6分） 当且仅当（x ﹣2a ）x ≤0时取等号． 解不等式2|a |≥1﹣2a ，得a ≥． 故a 的最小值为．…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

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山西四校高三上学期数学第一次联考试卷2014
高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理了山西四校高三上学期数学第一次联考试卷，希望大家喜欢。

 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
 1. 已知集合，，则
 A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2)
 2. 若为虚数单位，则
 A. B. C. D.
 3. 集合，从集合中各任意取一个数，则这两个数的和等于的
 概率是
 A. 23 B. 12 C. 13 D. 16
 4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为
1。

一．基础题组1. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定积分=-⎰-dx x x 2222（ ） A.5B.6C.7D.83. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 . 【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：∵'2sin cos ()()x xx xe xe f x e --=，∴1k =-，(0)1f =，∴1y x -=-，即10x y +-=. 考点：利用导数求曲线的切线.4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】已知0a >，函数32f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--.（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.6. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。

该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若1=a ，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案.二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】2 【解析】3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知函数ln(1)()2x x f x x -=-.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()23g x x x =++,证明：对任意1(1,2)(2,)x ∈+∞ ,总存在2x R ∈,使得12()()f x g x >.试题解析：（1）''2212ln(1)1[ln(1)]ln(1)1()(2)(2)x x x x x x x f x x x --+------==-- .................1分设1()2ln(1)11h x x x x =--+---, 22'22(1)2(1)1(2)()0(1)(1)x x x h x x x ---+-==≥--∴()h x 在(1,)+∞是增函数，又(2)0h = ………………3分 ∴当(1,2)x ∈时, ()0h x < ,则'()0f x <,()f x 是单调递减函数; 当(2,)x ∈+∞时, ()0h x > ,则'()0f x >,()f x 是单调递增函数. 综上知：()f x 在(1,2)单调递减函数，()f x 在(2,)+∞单调递增函数 ……………………6分三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 .∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.考点：1.对数函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数求函数最值.2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知函数(x)1x x e f xe =+.（1）证明：0(x)1f <≤； （2）当0x >时，21(x)1f ax >+，求a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设(x)xe 1x g =+，则'(x)(x 1)e xg =+．当(,1)x ∈-∞-时，'(x)0g <，(x)g 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'(x)0g >，(x)g 单调递增． 所以1(x)g(1)1e0g -≥-=->．又0xe >，故(x)0f >．…2分'2(1e )(x)(xe 1)x x x e f -=+ 当(,0)x ∈-∞时，'(x)0f >，(x)f 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，'(x)0f <，(x)f 单调递减． 所以(x)f(0)1f ≤=． 综上，有0(x)1f <≤．…5分3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知)0()(>-=a e x x f ax．（1）曲线y=f （x ）在x=0处的切线恰与直线012=+-y x 垂直，求a 的值；（2）若x ∈[a ，2a]求f （x ）的最大值； （3）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：．【答案】（1）13a =；（2）当ln a a a >，即a e <时，max ()()f x f a a e ==-，当ln 2a a a a ≤≤，即2e a e ≤≤时，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，当2ln a a a <，即2a e >时，2max ()(2)2f x f a a e ==-；（3）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对()f x 求导，将0x =代入得到切线的斜率，由已知切线与直线210x y -+=垂直得出方程，解出a 的值；第二问，先对()f x 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知[,2]x a a ∈和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出max ()ln f x a a a =-，因为12()()0f x f x ==，所以数形结合，得max ()0f x >，解得a e >，数形结合得出两组点的横坐标的关系21ln x x a a a ->-，又利用12()()0f x f x ==，得出11x a x e =，22x ax e =，进行转换得到所求证的不等式.（3）由（2）知，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，∵12()()0f x f x ==，∴max ()(ln )ln 0f x f a a a a a ==->， ∴ln 1a >，得a e >，∴()0f a a e =->，且(ln )0f a a >. 得21ln x x a a a ->-，又11x a x e =，22x ax e =，∴1211()(ln )12x x a a a a a x e e e x a--=<=. 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()(1)g x k x =-.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；（2）若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >，方程''()()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1x k x =？若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由. 试题解析：⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分5. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()一个交点，所以关键是()y f x =的图像，对()f x 求导，令'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定k 的位置；第二问，先将2=a 代入，得到()f x 解析式，作差法比较大小，得到新函数()h x ，判断()h x 的正负即可，通过对()h x 求导，可以看出()h x 在(0,)+∞上是增函数且(1)0h =，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式1211ln+>+k k k ，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当1n =时不等式成立，再假设当n k =时不等式成立，然后利用假设的结论证明当1n k =+时不等式成立即可.①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分。

（新课标I 版01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题04三角函数与三角形（含解析）理一．基础题组1. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，则b 等于( )A ．5B ．25C ．41D ．252. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知1sin 23α=，则2c o s ()4πα-=（ ） A ．13-B ．23-C ．13D ．233. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A. 31 B. 31- C. 97 D. 97-【答案】A. 【解析】试题分析：212cos ()1cos()sin[()]sin()6232363παππππααα+-=+=-+=-=，选A. 考点：三角函数的倍角公式、诱导公式.4. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】将函数))(6sin(R x x y ∈+=π图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（ ） A.)32sin(π+=x y B.)32sin(π+=x y C.2sin xy = D.2cosx y =5. 【河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】已知sin()sin 0,32ππααα++=-<<则2cos()3πα+等于（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．456. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】设函数()sin cos 2f x x x =图象的一个对称轴是（ ）A ．B ．0x = C7. 【河北衡水中学2013～2014学年度高三上学期二调高三数学试卷】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移π6个长度单位B.向右平移π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位D.向左平移π12个长度单位【答案】A 【解析】试题分析：由图像知1A =，724()123T ππππω=-==，∴2ω=，又∵23πϕπ⨯+=，∴3πϕ=，∴()sin(2)3f x x π=+将图像向右平移π6个长度单位可得到()sin 2g x x =. 考点：1.由图像确定函数解析式；2.图像变换.8. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】函数x x y sin 2cos 2+= (656ππ≤≤-x )的值域是_______________。

山西省忻州一中14-15高三第一次四校联考数学试题（文）【满分150分，考试时间120分】第Ⅰ卷 客观卷 共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1. 已知集合{}12≥=xx M ，{}2≤=x x N ，则=N MA. [1,2]B. [0,2]C. [-1,1]D. (0,2) 2. 若i 为虚数单位 ，则=+-+-iii 11 A. i 2- B. 0 C.i 21D. i 2 3. 集合{}{}3,2,1,3,2==B A ，从集合B A ,中各任意取一个数，则这两个数的和等于4的 概率是 A. 23 B. 12 C. 13 D. 164. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A.y=±2xB. y=±2xC. y=±22xD. y=±12x5. 已知等差数列{}n a 的前13项之和为39，则=++876a a a A. 6 B. 9 C. 12 D. 186. 下列说法正确的是A. 命题“∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋xB. “x =－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件;C. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题是：若x 2=1，则x ≠1;D. 命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题. 7. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时， 输入x 的值为A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－38. 函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是A. (18，14)B. (14，12)C. (12，1) D. (1，2)9. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为π9，则=p A. 2 B. 4 C.6 D. 8 10. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为A.29B. 3C. 4D.2103 11. 已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,)(5.02x x x x x x f ， 若对于任意R x ∈,不等式14)(2+-≤t t x f 恒成立，则实数t 的取值范围是A. (][)+∞∞-,21,B. (][)+∞∞-,31,C.[]3,1D. (][)+∞∞-,32, 12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为a 63，则cbb c + 的最大值是 A. 8 B. 6 C. 23 D. 4第Ⅱ卷 主观卷 共90分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 若实数,x y 满足102x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则目标函数y x z +=的最大值是 14. 已知,m n 是夹角为120的单位向量，向量(1)a tm t n =+-，若n a ⊥，则实数t = 15. 三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 为等边三角形，PA ABC ⊥平面，22PA AB a ==,则该球的体积是16.已知函数2()2sin cos f x x x x =+()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =在[,]a b 上至少含有1012个零点，则b a -的最小值为三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．（本小题满分12分）在公差不为零的等差数列{n a }中，32=a ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }的前n 项和为n S ，记nn S b 31=. 求数列}{n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）如图五面体中，四边形11C CBB 为矩形，N ABB C B 111平面⊥,四边形N ABB 1为梯形, 且1BB AB ⊥,4211====BB AN AB BC . （1）求证：BN 11C B N ⊥平面； （2）求此五面体的体积. 19.（本小题满分12分）近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量2K ，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分） 已知函数xax x x f --=ln )(，其中a 为常数，且0>a .（1）若曲线()y f x =在点())1(,1f 处的切线与直线1+=x y 垂直，求函数)(x f 的单调递减区间；（2）若函数()f x 在区间[]3,1上的最小值为31，求a 的值.21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为23，两焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆C 于N M ,两点，且△MN F 2的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P ()0,m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于B A ,两点,求弦长AB 的最大值.22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 为点D ,E ，若102==PB PA . （1）求证：AB AC 2=; （2）求DE AD ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲 已知直线l ：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知正实数b a ,满足：ab b a 222=+.P22题图MB 1C 1NCBA（1）求ba 11+的最小值m ； （2）设函数)0(1)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使2)(mx f =成立，说明理由.2015届高三年级第一次四校联考数学试题（文）答案一、1-6.BACCBD 7-12. DCBABD 二、13.3 14.323a 16.15163π 三、17.解：①设{n a }的公差为d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=+0)6()2(311211d d a a d a d a ，………3分解得 21=a ，1=d …………………5分 ∴ 1)1(2⨯-+=n a n 即 1+=n a n . …………………6分 ② .2)1(92)132(32)(3313+=++=+=n n n n a a n S n n)111(92)1(9213+-=+==n n n n S b n n ………………9分 )1(92)]111()3121()211[(9221+=+-++-+-=+++=n nn n b b b T n n故 T n =)1(92+n n. ……………………12分18.解：（1）证明：连BN ，过N 作1BB NM ⊥，垂足为M ， ∵N ABB C B 111平面⊥，N ABB BN 1平面⊂， ∴BN C B ⊥11， ………………………2分 又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，AN BA ⊥， ∴ 244422=+=BN ，22212144+=+=M B NM N B =24，∵643232,64822121=+=+==BN N B BB ，∴N B BN 1⊥，……………… 4分 ∵N C B N B N C B C B 1111111,平面平面⊂⊂，1111B C B N B =⋂∴BN 11C B N ⊥平面 ………………………………… 6分（2）连接CN ，332442143131=⨯⨯⨯⨯=⋅⨯=∆-ABN ABN C S BC V , ……………… 8分又N ABB C B 111平面⊥，所以平面⊥11C CBB 平面N ABB 1，且平面11C CBB 11BB N ABB =，1BB NM ⊥，CB C B NM 11平面⊂，∴ CB C B NM 11平面⊥， ……………………9分312884431311111=⨯⨯⨯=⋅⨯=-CB C B CB C B N S NM V 矩形 …………………11分 此几何体的体积3160312833211=+=+=--CB C B N ABN C V V V ……………………12分 19.……………3分在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为41369= ∴女性应该抽取34112=⨯人. …………………6分 （2）∵24363030)1261824(6022⨯⨯⨯⨯-⨯=K ……………8分879.710>=， ……………10分那么，我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．……………12分 20．解：22)(1)(xa x x a x x x x f -=---=' (0x >) …………………2分 （1）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线1+=x y 垂直，，所以1)1(-='f ，即11-=-a 解得2=a ……………………4分 当2=a 时，x x x x f 2ln )(--=，22)(x x x f -='。