下载文档原格式
高一上学期专题5 函数的恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量别离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,那么f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=〔 〕.A .1B .-1C .2D . -2.策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如下列图〕 可得上述结论等价于ⅰ〕⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ〕⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有⎨⎧<0)(m f例3a,x 的取值范围.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4． 假设函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例5.函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式1：假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式2：假设[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.策略四、变量别离型——别离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：假设对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x)min ;假设对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值例6.三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，假设12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
与函数有关的恒成立问题最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型: （1）二次函数在R 上的恒成立问题; （2）二次函数在给定区间上的恒成立问题. 对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y : ①若c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则⎩⎨⎧≤∆>0a ;②若c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则⎩⎨⎧≤∆<00a .函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法 函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①a ≤)(x f 恒成立a ⇔≤min )(x f ; ②a ≥)(x f 恒成立a ⇔≥max )(x f .在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法. 结论 二次函数的给定闭区间上的最值问题求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.求二次函数()0)(2>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:（1）对称轴在区间的左侧 若m abx <-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内若m ≤a b2-≤n ,则)(x f 的最小值为a b ac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的较大者（或区间端点n m ,中与直线abx 2-=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a bac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧若n abx >-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤ab2-≤n 时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的确定需要分为两种情况:区间[]n m ,的中点为2nm +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2nm +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;②当a b n m 22-<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间 类型二 动轴定区间 类型三 定轴动区间 类型四 动轴动区间 二次函数的最值的图象说明对称轴在区间的左侧对称轴在区间的右侧对称轴在区间内靠近左端点对称轴在区间内靠近右端点例题讲解例1. 函数a ax x x f -++=3)(2,当∈x R 时,)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. 分析:这是与二次函数有关的恒成立问题,也是二次函数对应的一元二次不等式恒成立的问题.解决本题需要理解并掌握下面的结论:对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ,)(x f ≥0恒成立恒成立的条件是:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a 也即一元二次不等式c bx ax ++2≥0)0(≠a 恒成立的条件是⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a . 解:由题意可得:()a a --=∆342≤0,解之得:6-≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是[]2,6-.例2. 若不等式0122>++mx mx 的解集为R ,则实数m 的取值范围是_________. 分析:设函数12)(2++=mx mx x f ,则不等式0122>++mx mx 的解集为R 就转化为了函数0)(>x f 恒成立的问题.注意,这里函数)(x f 不一定是二次函数,它的二次项系数含有参数,要对二次项系数进行分类讨论. 解:当0=m 时,无论x 取任何实数,01>恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有()⎩⎨⎧<-=∆>04202m m m ,解之得:10<<m .综上所述,实数m 的取值范围是[)1,0.例3. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围.分析:先把不等式化为标准形式,根据不等式与0的大小关系将问题转化为对应的函数的函数值与0的关系.如果二次项系数中含有参数,不要忘记对参数进行分类讨论.对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ,<)(x f 0恒成立恒成立的条件是:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 也即一元二次不等式c bx ax ++2≥0)0(≠a 恒成立的条件是⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a . 解:∵()1122+<+++x m mx x m ∴012<-++m mx mx .当0=m 时,01<-,对∈x R 恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆<01402m m m m ,解之得:0<m . 综上所述,m ≤0,即实数m 的取值范围是(]0,∞-.例 4. 已知()422)(2+-+=a x x f ,如果对∈x R ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值范围.解:由题意可得:()[]044222<⨯--=∆a ,解之得:40<<a .∴实数a 的取值范围是()4,0.例5. 函数a ax x x f -++=3)(2,当[]2,2-∈x 时,)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.分析:这是关于二次函数在给定闭区间上恒成立的问题,解决的方法是把恒成立问题转化为函数的最值问题:)(x f ≥0恒成立,只需函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值min )(x f ≥0即可.函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①a ≤)(x f 恒成立a ⇔≤min )(x f ; ②a ≥)(x f 恒成立a ⇔≥max )(x f .另外,本题中二次函数的对称轴中含有参数,给定的区间是确定的,为动轴定区间问题.在求函数)(x f 的最小值时,要结合抛物线的开口方向,对对称轴与区间的相对位置关系进行讨论.解:函数a ax x x f -++=3)(2的图象的开口向上,对称轴为直线2ax -=.当22-<-a,即4>a 时,函数)(x f 在区间[]2,2-上为增函数∴()()732min +-=-=a f x f ,解不等式73+-a ≥0得:a ≤37,显然不符合题意;当2-≤2a -≤2,即4-≤a ≤4时,()34122min +--=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a f x f解不等式3412+--a a ≥0得:6-≤a ≤2.∴4-≤a ≤2; 当22>-a,即4-<a 时,函数)(x f 在区间[]2,2-上减函数 ∴()()72min +==a f x f ,解不等式7+a ≥0得:a ≥7-. ∴7-≤4-<a .综上所述,实数a 的取值范围是[)[][]2,72,44,7-=--- .注意:在求解的过程中,为避免出错,可为每种讨论的情况画成简图.例 6. 设函数1)(2--=mx mx x f ,若对于∈x []3,1,4)(+-<m x f 恒成立,则实数m 的取值范围为【 】（A ）(]0,∞- （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡75,0（C ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,00, （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,分析:使用分离参数法: 在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.本题有一个地方要特别注意,就是二次项系数含有参数,题目所给函数不一定是二次函数,所以要对参数m 进行讨论. 解:∵对于∈x []3,1,4)(+-<m x f 恒成立∴412+-<--m mx mx ,即052<-+-m mx mx 对∈x []3,1恒成立. 当0=m 时,05<-成立,符合题意; 当0≠m 时,()512<+-x x m ∵对∈x []3,1,012>+-x x 成立 ∴152+-<x x m 恒成立,只需min215⎪⎭⎫⎝⎛+-<x x m 即可. 设43211)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x g ,其图象开口向上,对称轴为直线21=x .∴函数)(x g 在[]3,1上为增函数,∴()73)(max ==g x g∴75)(515max min 2==⎪⎭⎫⎝⎛+-x g x x ,∴75<m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,.选择【 D 】.例7. 已知函数xx x f 4)(-=. （1）证明:)(x f 在()+∞,0上单调递增;（2）若不等式0)(>-a x f 在[)+∞,1上恒成立,求实数a 的取值范围. 分析:可以用单调函数的运算性质说明函数)(x f 的单调性. 实际上,x x x x x f 44)(-+=-=,因为函数x y =与函数xy 4-=在()+∞,0均为增函数,所以函数)(x f 在()+∞,0上为增函数,即在()+∞,0上单调递增. （1）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-21211221221121414444x x x x x x x x x x x x x f x f . ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴041,02121>+<-x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增;（2）解:∵0)(>-a x f 在[)+∞,1上恒成立 ∴)(x f a <[)+∞,1上恒成立,只需()min x f a <即可. 由（1）可知,函数)(x f 在[)+∞,1上为增函数 ∴()341)1(min -=-==f x f ,∴3-<a ∴实数a 的取值范围为()3,-∞-.例8. 已知函数bx x x f +=2)(,若)(x f ≤1在区间(]1,0上恒成立,试求b 的取值范围.分析:本题虽然简短,但难度较高.条件)(x f ≤1的作用是1-≤)(x f ≤1.分离参数法求解. 解:∵)(x f ≤1∴1-≤)(x f ≤1,1-≤bx x +2≤1∵∈x (]1,0,∴x x 1--≤b ≤x x 1+- 设x x x g 1)(--=,x x x h 1)(+-=,只需()max x g ≤b ≤()min x h 即可.∵x x x g 1)(--=在(]1,0上为增函数,x x x h 1)(+-=在(]1,0上为减函数∴()2)1(max -==g x g ,0)1()(min ==h x h ∴2-≤b ≤0,即实数b 的取值范围为[]0,2-.。
