对称性与守恒定律PPT课件

对称性与守恒律物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界起作用。

后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。

而守恒律和对称性有紧密联系。

了解对称性的概念、规律及其分析方法，对于深入地认识自然有重要意义。

一、什么是对称性对称的概念日常生活中就有，如人体外部器官的左右对称，紫禁城建设布局的东西对称，不带任何标记的球的中心对称等。

对称性的定义如下。

若某个体系（研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。

简言之，对称性就是某种变换下的不变性。

二、物理学中几种常见的（对称）变换1.空间变换1）平移：即对位矢作的变换，相应的对称性谓之平移对称性。

例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。

2）转动：绕某定点或轴线的转动前述球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。

一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称……3）镜像反射（反演）：俗称照镜子。

指对镜面作物像变换。

紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。

●物理矢量的镜面反射——极矢量和轴矢量按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。

一类，以位移为例，其镜像为，如图1(a)所示。

它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。

，，等都是极矢量。

另一类矢量，如图1(b)中右侧所示一沿圆轨道运动的质点的角速度。

保持角速度方向与轨道旋向成右手关系的规定不变，则其镜像为左侧的。

和沿镜面的平行分量反向，而垂直分量方向相同。

这类矢量叫轴矢量，又称赝矢量。

对称性和守恒定律按照对称的定义来讲，对称就是指物体相对而又相称，或者说它们相仿，相等。

所谓对称性是指：某种变化下的不变性。

自然界中的事物的对称性表现在两方面。

第一：物体的形状或几何形体的对称性。

例如：五角星的旋转对称，正方体的中心对称性。

这是根据对称性的定义，我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°，在这样的变换下，变换后图形具有不变性。

第二：事物进程或物理规律的对称性。

所谓物理规律的对称性是指：物理规律在某种变换下的不变性。

例如：一个物体做平抛运动，水平初速度为V，抛出时离水平地面的高度为H，空气阻力忽略不计。

在其他外部条件都相同的情况下，在不同的地方使该物体做如上所述的运动，该物体的运动状况是否相同呢？我们知道，平抛运动可以看成两种运动的合成：水平方向上是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。

在其他条件相同的情况下，水平方向上都是以速度V作匀速直线运动。

在竖直方向上，下落的时间可以由公式T=（g为重力加速度）求出，我们知道重力加速度在不同的地方是不相同的，也就是说上述例子中的物体在不同地方的下落时间是不相同的。

这就说明了自由落体运动在不同的地方并不具有不变性，但是，我们不可否认的是下落时间和高度以及加速度它们之间的相互关系是并不会因为地点的不同而不相同，所以它的物理规律始终是保持不变的。

对物质运动基本规律的探索中，对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。

从历史发展过程来看，无论是经典物理学还是近代物理学，一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。

质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。

它们的出现也不是偶然的，而是因为物理规律具有多种对称性的必然结果。

这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。

物理学中关于对称性探索的一个重要进展是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律。

简单的说就是：物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。

第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2即得待证式。

［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。

（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

运动积分：拉格朗日函数为广义坐标q α、qα 和t 的函数，一个力学体系在t 时刻由2S 个量S q 和S q 来决定。

广义坐标：其中：122,,,S C C C 为拉格朗日方程通解的2S 个积分常数。

他们存在于q α、qα 的函数中，而且在运动过程中保持不变。

这种函数称为运动积分。

如果体系的自由度为S 我们可以从上述方程中消去t ，保留21S-个方程组，解得：21S -个(,)i C q qαα 都是相互独立的，都是拉格朗日方程的运动积分。

原则上我们可以用运动积分运动积分：H 的物理意义：设：12(,,,)i i S r r q q q守恒量：运动积分的分类：（1）具有可加性。

有几个部分组成，而各个部分之间的相互作用可以忽略不计，它的值等于各个部分之和（2）具有不可加性：守恒量。

（a）时间的均匀性----------能量守恒（b）空间的均匀性----------动量守恒（c）空间的各向同性-------角动量守恒（b ）+（c ） 空间的均匀性和各向同性： 在空间做一个无限小的平移：或无限小的转动：拉格朗日函数不变。

即：令(,,)L L q qt αα= ，坐标轴方向可以任意转动，dJdt111111N N N NN N J r m v r m v m r V r m v Vt m v m r V ααααααααααααααααααααα======'=⨯=⨯+⨯''=⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑其中第一项1N J r m v αααα='''=⨯∑ 质点系在K '系中的总角动量，质心系中第二项：10N o J Vt m v ααα==⨯=∑第三项：1NC C m r V MR V R P ααα=⨯=⨯=⨯∑C J J R P '=+⨯。