幂的乘方和积的乘方(整理版)

幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：〔1〕同底数幂的乘法中，首先要找出一样的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.〔2〕 在进展同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为一样的底数，再按法那么进展计算.例1： 计算列以下各题 〔1〕 34a a ⋅； 〔2〕 23b b b ⋅⋅ ； 〔3〕 ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 以下计算正确的选项是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 以下计算错误的选项是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 以下四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 以下各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的选项是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

2、 b 2·b ·b 7=________。

3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。

5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。

幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方：底数不变，指数相乘
(a^n)^m=a^(m·n)，m个a^n相乘
(a^n)^(1/m)=a^(n/m)，1/m个a^n相乘
2、积的乘方：
(a·b)^n=a^n·b^n
(m^a·n^b)^c=m^(a·c)·n^(b·c)
2、同底数幂的乘法：既然底数相同，指数就可以相加
a^m·a^n=a^(m+n)
扩展资料
数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

《幂的乘方与积的乘方》典型例题例1 计算：（1）199********.08⨯；（2）3014225.01⨯-例2 计算题：（1）43)(b -； （2）n m 24)(； （3）5])[(m y x -； （4）3542)()(x x ⋅； （5）32)4(n m ⋅； （6）43)32(ab -．例3 计算题（1）33326)3()5(a a a ⋅-+-；（2）5335654)()2(a a a a a -+--⋅⋅；（3）1232332312)()(3)()(4--⋅+⋅-n n n n a b b a ；（4）))(2()3(24232xy y x xy --+-。

例4 计算题。

（1）20012001125.08⨯； （2）199910003)91(⨯-； （3）2010225.0⨯。

例5 比较5553，4444，3335的大小。

参考答案例1 解：（1）原式199********.088⨯⨯=8181997=⨯=；（2）原式15214)2(25.01⨯-= 1514425.01⨯-= 4425.011414⨯⨯-=4)425.0(114⨯⨯-=41114⨯-=41-= 说明：（1）逆用了积的乘方性质；n n n ab b a )(=；（2）先后逆用幂的乘方n m mn a a )(=和同底数幂的乘法n m n m a a a ⋅=+的运算性质。

例2 分析：运算中同底数幂相乘和幂的乘方要注意加以区分，同底数幂相乘指数相加 ，而幂的乘方是指数相乘。

在积的乘方运算中要注意以下的错误，如333)2()2(y a y a -=-。

解：（1）43)(b -;)()1(12434b b =⋅-=（2）n n n m m m 84242)(=⨯=；（3）m m y x y x 55)(])[(-=-；（4）231583542)()(x x x x x =⋅=⋅；（5）363264)4(n m n m =⋅；（6）1244344438116)()32()32(b a b a ab =⋅⋅-=-。

幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。

用式子表示为：nm nma a a -=÷。

(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。

) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。

学习资料收集于网络，仅供参考 【幕的乘方和积的乘方】3、计算:5、下列等式，错误的是(6、计算(-a 3)2 (-a 2)3的结果为7、下列等式，成立的是(9、 已知P =(-ab 3)2，那么-P 2的正确结果是( )A. a 4b 12B.-a 2b 6c.-a 4b 8D.-a 4b 1210、 已知：2x • 3y - 4 = 0 ,求 4x 8y 的值.11计算:12、计算:⑴(_2a 2b)3 8(a 2)2 (-a)2 (-b)3； ⑵ a 4 (-3a 3)2 -(-4a 5)2 ;1 计算：(3a 3)2=23、2，(_3x y )=2、计算: (a n b n1)3 =2 2 2；-3a b (ab)4n、右x=2, y n =3 贝y (xy)n =，(x )n =A. (x 2y 3)2 = x 4y 6“ 、33B. (_xy) = xy 2 2、2C. (3m n ),2, 3、24 6D. (-a b ) a bA. -2a 6B. -2a 5C.2a 6D.02 2A. (a -b)二 a-b 2 2 B. (a b) 2 2-a b C. (ab)2 二a 2b 2 D. (ab 3)2-a 2b 58、下列式子结果为 1210的是75A.10109B. (259)35 6C.(2 5 10 ) 103 9D.(10 ).⑴(-xy)4⑵(-2pq 2)3 ⑶(5a 2bc 3)3 ⑷(2 102)2 (3 103)3⑶UM)2；⑷疔亨.［来源］⑵ 2(a ) (a ) -(a ) (a )13、计算：⑴ a3+ a8a4；5、2 / 2、2 / 2、4 / 3、24、5 2 3、4 2、10 2、5 3、3⑷(_a )…(_a a ) (_a )…a・(_a ) (_a ).14、若10x =5，10y =3，求102x3y的值.15、已知：9n1 -32n=72，求n 的值.16、若a = 255，b =344，c =433，比较a、b、c 的大小.17、 已知4 8m 16m =29，则m 的值是 __________________18、 已知:x n =5,y n =3,求（xy ）2n的值. 19、计算:(-8) 2009.1、2008 心8)20、计算：（丄 --...10 9 821)1010• (10 9 8 …2 1).幕的运算 单元检测（A ） 1、 m 、3 n 计算(a ) a的结果是 ( )m 33m n 3( m* n) A . a B . a C . a2、下列运算不正确 的是（ )A. a 52』 c 2B. 2a -3a 3 =-6a 5 ^565 5 25 C. b b 二 b D.b b 二 b3、下列计算结果正确的是（ ） 3mnD .a(2x 5)3=6x 15B . (-X 4)3=-x 12C . (2x 3)2=2x 6D . [(-x) 3]4 =x4、下列运算正确的是（ ） 3 八 3 •a 3a4 八 59C . 2a 3a 6aD .-a 3 4 二 a 723n5、已知2 8=2，则n 的值为（）学习资料收集于网络，仅供参考A. 18 B . 86、下面计算中，正确的是（）A.G一（-护护尸=-疋护& 计算：—a (-a)= ____________ ；(x - y) (y - x)9、已知3^a , 3^b，则3m n 1二10氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529cm,用科学记数法表示这个距离为cm .= ；当用’时，=12、若（X -2）=1，贝y x应满足条件 _________13、计算：（1）X3jx2“x 1(2)需""10410015 计算：(X3" X2斗X + X3•(- X「(-X2)m n2m-3 n17、若3一6,3 - 2，求3 的值.7、计算: (-2ab3)2C. 7D. 11B.(帼 + w)3(m + «)2 = 5 +D. - Ldr°i a3 63m 4X14、计算：(x -y)2(x - y)(y -X)3a b18、 如果 a — 4= — 3b ，求 3 x 27 的值.119、 先化简，再求值，x 2・x 2n ・（y 「1）2，其中x =— 3, y = 3.20.已細◎・=$求（P 结严的值•2 22X 十V 21、已知x （x — 1— （x — y ）= — 2,猜想： 一xy 的值是多少？2(a 3)2 = a 2 3 D . a a 5 = a 6幕的运算 单元检测（B ）1、 F 列运算正确的是（2、 我国神州六号"载人飞船， 按预定轨道饶地球70多周，共飞行300多万千米后成功着陆，用科学记数法表示300万千米为（ B. 3 X104千米C.3X106 千米D. 3 X1011 千米4、A. 3 X1c f 千米-x 8等于(2A. ( -x)m2 = 3, 23 ,、5B. -X(-x)23m-2n 等于()C. -x (-x)74, 、4D. -X (-X )(2a)3 =2a 3 C .2n 1 2n；a ■- a10、30 £1= ______ ____ ;若(x-2 ) 0=1，则 x 满足条件 ______________ b 5 11卄 3 x 4 山11 256 =2 2，则 b=____.若(―)=—则 x=.2 912、已知 a m =3, a n =9，则 a 3m 'n =_ __•13、计算3、2 2、3(1) (- a ) (- a )432(3) (p — q)讯q — p) (p — q)3 4 5(2)— t (— t) (— t)32(4) (— 3a) — (— a) (—3a)14、要使(x — 1)0— (x + 1)-2有意义，x 的取值应满足什么条件?B . 982727 D .165、1000 x 100心的结果是A . 1000002x 1B . 10 2003 20026、计算 (0.5) (-2) 的结果是 A . -0.5 B . 0.57、已知 - (0.3) 2 , b = - 3-2( 5x 2 < ”连接a 、b 、 用c 、d 为C . C . 102x2D . 105X3,c = (-1)"2, d =(-看)° , 9、填空32(2x -3y)3 (3y - 2x)210= (2x _3y)&计算(ab)10“(ab)315、求220 - 321 - 720的末位数字。

专题06 幂的乘方与积的乘方知识网络重难突破知识点一 幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ， 注意：①a 可以表示数，也可以表示单项式或多项式；②多重乘方也具备上述性质：()()pnpm m nmnp a a a ⋅⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（m ，n ，p 都是正整数）③不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．2、幂的乘方法则的逆用()()=nmmn mna a a =（m ，n 都是正整数）．即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算． 典例1（2021•鼓楼区校级模拟）计算223()a a -⋅的结果是( )()mn a n mm nm m m m m mmna a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个A ．8aB ．8a -C ．7aD ．7a -【解答】解：223268()a a a a a -⋅=-⋅=-． 故选：B ． 典例2（2021春•邗江区月考）下列计算正确的是( ) A ．2323a a a +=B ．224a a a +=C ．326a a a ⋅=D ．326()a a =【解答】解：A 、a 与22a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B 、2222a a a +=，故本选项不合题意；C 、325a a a ⋅=，故本选项不合题意；D 、326()a a =，故本选项符合题意．故选：D ． 典例3（2021春•邗江区月考）已知552a =，443b =，335c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：因为55511112(2)32a ==，44411113(3)81b ===，33311115(5)125c ===， 554433235∴<<，即a b c <<． 故选：D ．知识点二 积的乘方1、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ， 注意：①三个或三个以上的数的积的乘方，也具有这一性质，如()nn n n abc a b c =②进行积的乘方运算时，不要漏掉数字因数的乘方，如()323622ab a b -≠-()()()()n abn n an bn nab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个③表达式中的a ，b 可以表示一个数或一个单项式或一个多项式； ④底数的系数是-1时，首先应确定结果的符号，一般有：()222nn n ab a b -=，()2+12121n n n ab a b ++-=-（n 为正整数）2、积的乘方法则逆用()=nn n a b ab （n 为正整数）即几个因式的乘方（指数相同）的积，等于它们积的乘方．典例1（2020春•盐城月考）下列计算正确的是( ) A ．22a a -=B ．224a a a +=C ．222()ab a b =D ．235()a a =【解答】解：A 、2a a a -=，故原题计算错误；B 、2222a a a +=，故原题计算错误；C 、222()ab a b =，故原题计算正确；D 、236()a a =，故原题计算错误；故选：C ．典例2（2020秋•澄海区期末）计算：20202020(0.25)4(⨯= ) A ．0.25B ．4C ．1D ．2020【解答】解：202020202020(0.25)4(0.254)⨯=⨯ 20201=1=．故选：C ．典例3（2019春•丹阳市期中）已知10x a =，5x b =，求： （1）50x 的值； （2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示） 【解答】解：（1）50105x x x ab =⨯=；（2）10102()55x xx x a b ===；（3）2101020(10)1055x x x xx a b=⨯=⨯=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020•盐城模拟）计算23()xy -的结果是( ) A ．36x y -B ．36x yC ．35x y -D ．35x y【解答】解：2336()xy x y -=-． 故选：A ．2．（2020•北京模拟）下列运算中，正确的是( ) A ．22456x x x +=B ．326x x x =C ．236()x x =D ．33()xy xy =【解答】解：A 、22256x x x +=，错误；B 、325x x x =，错误；C 、236()x x =，正确；D 、333()xy x y =，错误；故选：C ．3．（2020春•锡山区期中）下列计算正确的是( )A ．6612a a a +=B ．22144m m -=C ．778222+=D ．3339(3)9xy x y =【解答】解：A 、原式62a =，错误；B 、原式2244m m -==，错误； C 、原式78222=⨯=，正确；D 、原式3927x y =，错误，故选：C ．4．（2020•玄武区二模）计算323()a a -结果是( ) A ．8a -B ．9aC ．9a -D ．8a【解答】解：原式332639()a a a a ⨯+=-=-=-． 故选：C ．5．（2020春•淮阴区期中）比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<<B ．334455432<<C ．553344243<<D ．443355342<<【解答】解：55511112(2)32==，44411113(3)81==， 33311114(4)64==，326481<<，553344243∴<<．故选：C ．6．（2020春•张家港市校级月考）已知2n a =，3n b =，24n c =，那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是( )A ．c ab =B ．3c ab =C ．3c a b =D ．2c a b =【解答】解：2n a =，3n b =，24n c =，333324(83)(23)(2)3(2)3n n n n n n n c a b ∴==⨯=⨯===，即3c a b =． 故选：C ．二、填空题（共5小题）7．（2020春•江都区月考）计算：42()()p p -⋅-= ． 【解答】解：42426()()()p p p p p -⋅-=⋅-=-． 故答案为：6p -．8．（2020春•灌云县校级月考）2020201912()2⨯= ．【解答】解：2020201912()2⨯2019201912()22=⨯⨯20191(2)22=⨯⨯201912=⨯12=⨯ 2=．故答案为：2．9．（2020春•天宁区期中）计算：23x x ⋅= ；231()2a b -= ．【解答】解：23235x x x x +⋅==； 23323363111()()()228a b a b a b -=-⋅⋅=-． 故答案为：5x ；6318a b -．10．（2020春•南京期末）已知23a =，45b =，则22a b +的值是 ． 【解答】解：23a =，45b =， 22222243515a b a b a b +∴===⨯=．故答案为：15．11．（2020春•姜堰区期末）已知92781m n ⨯=，则646m n --的值为 ． 【解答】解：92781m n ⨯=， 234333m n ∴=，234m n ∴+=， 646m n ∴--62(23)m n =-+624=-⨯68=-2=-．故答案为：2-．三、解答题（共2小题）12．（2021春•东台市月考）计算： （1）32()x x x ⋅⋅-；（2）323()a a ⋅-；（3）20111()2021()32----÷；（4）2018201931()(1)43-⨯．【解答】解：（1）32()x x x ⋅⋅- 32x x x =⋅⋅ 312x ++= 6x =；（2）323()a a ⋅-36()a a =⋅-9a =-；（3）20111()2021()32----÷912=-÷192=- 172=；（4）2018201931()(1)43-⨯2018344()()433=-⨯⨯20184(1)()3=-⨯41()3=⨯43=． 13．（2021春•宝应县月考）若(0m n a a a =>，1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果32232x ⋅=，求x 的值；（2）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（3）若52m x =-，325m y =-，用含x 的代数式表示y ． 【解答】解：（1）32232x ⋅=， 3522x +∴=，35x ∴+=， 2x ∴=；（2）528162x x ÷⋅=， 3452222x x ∴÷⋅=， 134522x x -+∴=，15x ∴+=，4x ∴=；（3）52m x =-，52m x ∴=+，325m y =-， 23(5)m y ∴=-， 23(2)y x ∴=-+．。

幂的乘方与积的乘方篇一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方练习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方1、同底数幂的乘法法则：a·amnmnmn?am?n（m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意：①底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式、相反数。

②逆用am?n?am?an mnmnnm2、幂的乘方法则：(a)?a （m，n都是正整数）。

即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

逆用：a?(a)?(a)3. 积的乘方法则：(ab)?a·b（n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

逆用：ambm?(ab)m nnn 练习：1.10m?1?10n?1=_____,?64?(?6)5，32m·3m=_______，23·(－2)4=_____，x·(－x)4·x7=_____，1 000×10m-3=_______，xx?xx=______，(x?y)(x?y)=______，10?100?10?100?100?100?10000?10?10=___________. 2342532. (－23xy)=_________；a·(a)·a=_________.32322343. 若?2ambm?n??8a9b15成立，则m=,n=4. ①若am?a3a4,则②若x4xa?x16,则③若xx2x3x4x5?xy,则④若ax(?a)2?a5,则⑤若64×8＝2，则x＝_________.5. ①若x＝4，则x＝________;②a＝(_________)＝(________);③若2x?1?16,则x=________; ④若x=2，y=3，则(xy)=_______;⑤若x·x2 43x2nn6n1263 n3nn-3n+3=x，则n=_________.10.?10cm，则它的表面积是_________. 6. 一个正方体的边长是117.下面计算正确的是( )A．b3b2?b6；B．x3?x3?x6；C．a4?a2?a6；D．mm5?m68.81×27可记为( )A.93;B.37;C.36;D.31222339.若x?y,则下面多项式不成立的是() A(y?x)?(x?y);B.(y?x)??(x?y)C.(?y?x)?(x?y);D.(x?y)?x?y10.下列说法中正确的是( )A. ?a和(?a) 一定是互为相反数B. 当n 为奇数时, ?a和(?a)相等C. 当n为偶数时, ?a和(?a)相等D. ?a和(?a)一定不相等计算11、⑴(⑹－(a3-m)2⑺ (－2x5y4z) 5⑻ 0.12516×(－8)17⑼ (513110)?(622222nnnnnnnn110)⑵a?a?a⑶?a?(?a)⑷(?x)?x?(?x)⑸y874333 24m?1?y?y23?m（m是正整数）)199×(－235)199 ⑽0.299×5101⑾(?2)1999?(?2)200012、⑴(2x?3y)5?(2x?3y)2⑵(a?b)2?(b?a)3 ⑶(a?b)2n?(a?b)n?(a?b)2（n是正整数）.⑷(x?y)2?(x?y)3?(y?x)2?(y?x)3⑸（-2a2b）3+8（a2）2·（-a）2·（-b）3；⑹(?x)2?(?x)3?2x?(?x)4?(?x)?x4⑺x?xm?1?x2?xm?2?3?x3?xm?313、⑴已知am?8，an?32，求a⑶xn=5,yn=3,求(x2y)2n的值。