2020年江苏省高考数学专项拔高训练专题16 数列问题(解析版)

江苏省2020年高考名师押题信息卷数 学2020.6.29Ⅰ卷一. 填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝__________．2．i 是虚数单位，则|2+i 1−i|的值为__________． 3．若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．4．（如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是__________5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为__________．6.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________.7．设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 2+a 5a 8的值为__________．8．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上，若直线x +y −√6=0上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是__________．10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为__________．11．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +3a ，g （x ）=2x−1．若对∀x 1∈[0，3]，总∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数a 的取值集合为__________． 12．在ABC ∆中，3,2,AB AC D ==为边BC 上一点．若25,3AB AD AC AD ⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB AC ⋅u u u v u u u v 的值为_________．13．已知向量()1,3a =v ，(),1b x y =-v 且//a b v v ，若实数,x y 均为正数，则31x y+最小值是______ 14．已知f （x ）是R 上的偶函数，且f(x)={3x ，0≤x ＜1(13)x +1，x ≥1，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）＝0有三个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题满分14分)已知函数()221()cos sin cos ()2f x x x x x x R =+-∈. (1)求()f x 的单调递增区间.(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，c =10，cosB =17，求ΔABC 的中线AD 的长.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAP ＝∠CDP ＝90°，E 为PC 中点． （Ⅰ）求证：AP ∥平面EBD ；（Ⅱ）若△P AD 是正三角形，且P A ＝AB ．（i ）当点M 在线段P A 上什么位置时，有DM ⊥平面P AB ；（ii ）在（i ）的条件下，点N 在线段PB 什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ．17. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q 的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u v u u u u v时，求直线BM 的方程．。

= − b n+1 ，其中S n 为数列{b n }的前 n 项和．专题 16 数列问题考情分析年份题号201319 201420 201520 201620 201719 201820 201920真题再现1.（2019· 江苏卷）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M −数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈ N ∗)满足：a 2a 4 = a 5，a 3 − 4a 2 + 4a 1 = 0，求证：数列{a n }为“M −数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈ N ∗)满足：b 1 = 1，1 2 2 S n b n①求数列{b n }的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M −数列”{c n }(n ∈ N ∗)，对任意正整数 k ，当k ≤ m 时，都有c k ≤ b k ≤ c k+1 成立，求 m 的最大值．2.（2018· 江苏卷）设{a n }是首项为a 1，公差为 d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为 q 的等比数列．(1)设a 1 = 0，b 1 = 1，q = 2，若|a n − b n | ≤ b 1对n = 1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围；(2)若a 1 = b 1 > 0，m ∈ N ∗ ，q ∈ (1， m √2]，证明：存在d ∈ R ，使得|a n − b n | ≤ b 1对n = 2，3，… ，m + 1均成立，并求 d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．3.（2017· 江苏卷）对于给定的正整数 k ，若数列{a n }满足：a nk + a nk+1 + ⋯ + a n1 + a n+1 + ⋯ a n+k1 + a n+k = 2ka n 对任意正整数n(n > k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”． (1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列．核心要点数列是刻划离散现象的数学模型，是高中代数的重要内容之一，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要意义。

江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为42，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o .（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲) 已知x ，y ，z 均为正数，且1113112x y y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3件进行检验，求至少有2 件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；L L满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：132 11．【答案】2或3【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥Q 平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆Q 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅， 求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+， AE ∵平面PBC 所成的角的正弦值为427， 223423sin 142mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3. 12．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ． 由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：013．【答案】(e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2tx e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++-142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3[2y z x =∈-， 又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +1334312≤-⨯-=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =； （2）由正弦定理得sin 23sin a B b B A ==，sin 23sin a Cc C A==ABC ∆周长：23232332323sin()3a b c B C B B π++=++=++- 33323sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1平方百米；（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==o在ABE V 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABE S AB BE ABE V =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin ,cos 77αα===，当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7百米.18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

绝密★启封前2020江苏省高考压轴卷数 学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC所成角的正弦值为7，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值；（2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x yC+=在矩阵1412A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C'的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242x cosy sinθθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且1113112x y y z++≤+++，求证：4910x y z++≥.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222n n n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y x = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：13211．【答案】2【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC所成的角的正弦值为7，sin 7AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2212．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC ABDC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：013．【答案】(),e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22S a bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 226B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈.因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9. 16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin 7αα===， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭=7百米. 18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k ，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

1第六关 以数列为背景的填空题(解析版)【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值． 类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1．【2020江苏常州溧阳期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=．其中*m N ∈且2m ≥，则m =______．【答案】5 【解析】【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m ．【详解】因为0m S =，故设()n An n m S =-，因为12m S -=-，13m S +=，(1)(1)2,(1)13A m A m -⋅-=-⎧∴⎨+⋅=⎩，12,513m m m -∴==+，故答案为：5． 【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】【解析】由题可知： 恒成立，即{}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈M 6259()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++2恒成立，设t=n+1，则，因为函数在，，所以，所以M 的最小值是． 类型二 综合考查数列性质典例2．【2020江苏盐城上学期期中考试】若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________．【答案】1534【解析】由于121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，而12231,2a a a a ==，所以17344518194,8,,2a a a a a a ===L ，由此求得456782,4,8a a a a a =====，91011121314151616,32,64,128a a a a a a a a ========，171819256,512a a a ===，所以数列{}n a 的前19项和为11222562565121534+++++++=L ，故答案为：1534．【名师点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题． 【举一反三】数列为单调递增数列，且 ，则的取值范围是__________．【答案】 【解析】要使数列为单调递增数列，则．当n <4时，必须单调递增，∴2t －3>0，即t >．①．当n ≥4时，也必须单调递增，∴t >1 ②另外，由于这里类似()()1322n Mn n +≤++()()()()21131322311323132n t t n n t t t t t t+===++++++++31t t+(∞）递增()()5667565,6565f f ==<311259324366t t ++≥=6259{}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭{}n a 123a a a <<<⋅⋅⋅()23814n a t n t =--+32log n t a n =3于分段函数的增减性，因而，即3(2t －3)－8t ＋14<，化简得＋2t>5；③当时，＋2t >5；当时，＋2t >5；当时，＋2t >5，故③式对任意恒成立，综上，解的取值范围是．类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力 典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b 1b 2+1b 2b 3+．．．+1b 9b 10=________．【答案】17【解析】因为数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，所以na1+a 2+⋯+a n=12n+3∴a 1+a 2+⋯+a n =n(2n +3)，当n ≥2时a 1+a 2+⋯+a n -1=(n −1)(2n +1)，作差得a n =4n +1，因为a 1=1×(2×1+3)=5=4×1+1，所以a n =4n +1，b n =a n +12=2n +1，1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 9b 10=13×5+15×7+⋯+119×21=12(13−15+15−17+⋯+119−121)=12(13−121)=17．【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如{c a n a n+1} (其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(n+1)(n+3)或1n(n+2)．典例4．【2020江苏丹靖沭10月联考】已知列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =___________．【答案】2【解析】{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项即说明22n n a b n n b a b b =⇒=，当1n =时，211b b =；当2n =时，242b b =；当3n =时，293b b =；当4n =时，2164b b =；34a a <log 4t log 4t 322t <≤log 4t 522t <≤log 4t 52t >log 4t 32t >t 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4所以()()()221491612341491612341234=lg lg 2lg b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⇒==，即()()149161234lg 2lg b b b b b b b b =，故填2．【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④． 则上述四个命题中真命题的序号为____．【答案】②④【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有又，故数列为等差数列，且公差故故①错误；故②正确；由题意知若，则而此时，不成立，故③错误； ，故④成立．即答案为②④．【精选名校模拟】1．【2020江苏昆山调研】正项等差数列{}n a 中，31a =，则2413a a +的最小值为______．【答案】2【解析】由题得24322a a a +==，n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<()()5320172018,f x x x x f x =++Q ()()()()22017220172201722018.22018,220,4f a f a f a f a a a -=-=-∴-+-=∴+=()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥{}n a 0,d ≠()120172017201820172017,4034,2a a a a S +≠=≠()()12018220172018201820184036,22a a a a S ++===()22017201720182018112122,2,0,403644032,,a a d S S a a a S a a ><∴<=-=--=+=+20172S S <24032,a >()()()53222220172201822018a a a -+-+-=220172,2,a a ><∴Q 201720a a -<5所以2424242413131131=()2()()22a a a a a a a a ++⨯⨯=+⨯+⨯=4224131(4)(4222a a a a =++≥+=当且仅当241,3a a =时取等，所以最小值为2+，故答案为：2+．2．【2020江苏昆山调研】设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______．【答案】253,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n …把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-，18(1)4n n a a n -+=--，(3)n …再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n …，所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列．若1n n a a +<，*n N ∈恒成立，当且仅当1234a a a a <<<，解得，11322a -<<，即可求出答案．【详解】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n …把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-，18(1)4n n a a n -+=--，(3)n … 再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n …所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列． 若1n n a a +<，*n N ∈恒成立，当且仅当1234a a a a <<<，又125a S +=，所以2152a a =-， 所以3211272a a a =-=+，41132a a =-，所以11115272132a a a a <-<+<-，解得，11322a -<<，2121111(52)25a a a a a a =-=-+，113()22a -<<，所以12(3a a ∈-，25]8，故答案为：(3-，25]8．3．【2020江苏苏州五校联考】设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．6【答案】54【解析】由等比数列的性质可知312321a a a a ==-，21a ∴=-，243,,a a a Q 成等差数列，4232a a a ∴=+，22222a q a a q =+，2210q q ∴--=，解得：1q =（舍）或12q =-， 212a a q ∴==，()4414121121112a q S q⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭54=，故答案为：54． 4．【2020江苏盐城中学月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12， 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24．5．【2020江苏常州溧阳期中考试】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为______里． 【答案】12【解析】设这个人每天走的路程构成等比数列{}n a ，则61378,2S q ==， 所以661161[1()](1)23781112a a q S q --===--，解得：1192a =，所以44511192()122a a q ==⋅=． 故答案为：12．76．【2020江苏沭阳修远中学月考】在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则1a d的值为_______． 【答案】1【解析】设等差数列{a n }的公差为d ≠0，∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴23a =a 1•a 9，∴（a 1+2d ）2＝a 1×（a 1+8d ），解得d ＝a 1，∴11a d=，故答案为1． 7．【2020江苏淮阴中学上学期期中】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3，故答案为：3．8．【2020江苏淮安四校联考】若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．【答案】2-【解析】Q 等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则114a S c ==+．当2n ≥且n *∈N ，()()11122222n n n n n n n n a S S c c ++-=-=+-+=-=．14a c =+适合2n n a =，则42c +=，解得2c =-，故答案为：2-．9．【2020江苏淮安四校联考】《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两8多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文． 【答案】6【解析】设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文．10．【2020江苏南通调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____．【答案】【解析】由题意可得，0q >，10a >，2312a a q ==Q ，122a q ∴=， 42151122224a a a a q q q ∴+=+=+2224q q =+≥=2224q q =即142q -=时取等号，故答案为．11．【2020江苏苏州上学期期中考】等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________． 【答案】31【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q =，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．12．【2020江苏苏州上学期期中考】已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________． 【答案】9【解析】依题意，等差数列{}n a 各项都为正数，所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当373a a ==时等号成立，故答案为：9． 13．【2020江苏苏州上学期期中考】在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______．9【答案】-81【解析】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-，故答案为－81．14．【2020江苏无锡上学期期中考】若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______． 【答案】23-【解析】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，则{}12,4,3,8,18n a ∈---， ∵()212818-=⨯，n a 可取18，-12，8这三项，122183q -==-．故答案为23-．15．【2020江苏南京溧水区月考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是____．【答案】5-．【解析】设等差数{}n a 的公差为()d d ≠0，因为2345a a a a =，927S =，所以11111()(2)(3)(4)989272a d a d a d a d a d ++=++⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得15,2a d =-=，故答案为：5-．16．【2020江苏镇江八校联考】已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________． 【答案】17【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，2424351120a a a q a q q q +=+=+=，解得24q =，或25q =-（舍去），48444(1)17S q S S S +==，故答案为：17． 17．【2020江苏南京海门泗阳联考】已知等差数列{}n a 的公差为2﹣，且245a a a ，，成等比数列，则245a a a ，，10的公比为_____．【答案】12【解析】等差数列{}n a 的公差d 为2﹣，且245,,a a a 成等比数列，可得2425a a a ＝，即()()()211134a d a d a d +=++，即()()()2111628a a a -=--， 解得110a =，则245,,a a a 的公比为4210611022a a -==-，故答案为：12． 18．【2020江苏盐城上学期期中考】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________． 【答案】72-【解析】由于数列{}n a 是等差数列，所以1133510a d a d +=+，即127a d =-，由于0d ≠，所以172a d =-． 故答案为：72-． 19．【2020江苏常州上学期期中考试】已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=L ________．【答案】35【解析】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=L 7a 4＝35，故答案为：35．20．【2020江苏常州上学期期中考试】已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1n n a a+⋅是等比数列．11其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④【解析】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n n n n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列；11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④．21．【2020江苏南京9月调研】等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______． 【答案】20【解析】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =； 则5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，则20n =时，n S 有最大值，即20k =． 22．【2020江苏泰州中学开学考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是________． 【答案】16【解析】因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以()2nn a =-，()1223n n S +---=，12所以等式()31402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：()()22240n n m ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因此()()()()2216242424nn n nm --==--+-+-+， 因为m 为整数，所以()24161,2,3nn -+≤⇒=， 当1n =时，2482m m -=--+⇒=-； 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-； 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 从而m 的最大值是16．13第六关 以数列为背景的填空题（原卷版）【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值． 类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1．【2020江苏常州溧阳期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=．其中*m N ∈且2m ≥，则m =______．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．类型二 综合考查数列性质典例2．【2020江苏盐城上学期期中考试】若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________．【举一反三】数列为单调递增数列，且 ，则的取值范围是__________．类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力 典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b1b 2+1b2b 3+．．．+1b9b 10=________．{}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈M {}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t14典例4．【2020江苏丹靖沭10月联考】已知列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =___________．【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④． 则上述四个命题中真命题的序号为____．【精选名校模拟】1．【2020江苏昆山调研】正项等差数列{}n a 中，31a =，则2413a a +的最小值为______．2．【2020江苏昆山调研】设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______．n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<153．【2020江苏苏州五校联考】设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．4．【2020江苏盐城中学月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．5．【2020江苏常州溧阳期中考试】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为______里．6．【2020江苏沭阳修远中学月考】在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则1a d的值为_______．7．【2020江苏淮阴中学上学期期中】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．8．【2020江苏淮安四校联考】若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．9．【2020江苏淮安四校联考】《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．10．【2020江苏南通调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____．1611．【2020江苏苏州上学期期中考】等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________．12．【2020江苏苏州上学期期中考】已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________．13．【2020江苏苏州上学期期中考】在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______．14．【2020江苏无锡上学期期中考】若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______．15．【2020江苏南京溧水区月考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是____．16．【2020江苏镇江八校联考】已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________．17．【2020江苏南京海门泗阳联考】已知等差数列{}n a 的公差为2﹣，且245a a a ，，成等比数列，则245a a a ，，的公比为_____．18．【2020江苏盐城上学期期中考】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________．1719．【2020江苏常州上学期期中考试】已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=L ________．20．【2020江苏常州上学期期中考试】已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1n n a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．21．【2020江苏南京9月调研】等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______．22．【2020江苏泰州中学开学考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是________．。

专题16等差数列目录 (1)基础题型一：判断（证明）等差数列 ...................................................................................................................... 1 基础题型二：等差数列通项公式基本量计算 .......................................................................................................... 5 基础题型三：等差中项（下标和性质） .................................................................................................................. 7 基础题型四：等差数列前n 项和基本量计算 .......................................................................................................... 9 基础题型五：两个等差数列前n 项和比的问题 . (11) (14)提升题型一：等差数列单调性 ................................................................................................................................ 14 提升题型二：含绝对值的等差数列前n 项和 ........................................................................................................ 17 提升题型三：等差数列奇数项或偶数项和 ............................................................................................................ 21 提升题型四：n a 与n S的关系 ................................................................................................................................. 23 提升题型五：等差数列片段和性质 ........................................................................................................................ 26 提升题型六：等差数列前n 项和最值 .................................................................................................................... 27 提升题型七：根据等差数列前n 项和最值求参数 (31)基础题型一：判断（证明）等差数列1．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）若数列{an }的前n 项和为232n S n n a =++，则“0a =”是“数列{an }为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵232n S n n a =++，则115S a a ==+，n，1n=．112n，23=，3a=不是等差数列.基础题型二：等差数列通项公式基本量计算基础题型三：等差中项（下标和性质）【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为：116.7．（2022·上海市西南位育中学高二期末）等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +=_________ 【答案】180【详解】因为等差数列{}n a 中，3456755450++++==a a a a a a ， 所以590a =， 所以2852180+==a a a . 故答案为：180.基础题型四：等差数列前n 项和基本量计算【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为：116.2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）根据下列条件，求相应的等差数列基础题型五：两个等差数列前n 项和比的问题1．（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3542n n S n T n +=-，则88a b =（ ） A ．2528B ．3539C ．5558D ．25292．（2022·宁夏·银川二中高三阶段练习（理））设等差数列n 与等差数列n 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a a b b b b +++的值为（ ）A ．37B ．79C ．1941D ．1-3．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n S T =2703n n ++，则76a b 的值为（ ） A ．487B ．425C ．849D ．144．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且3n n T n =+，则220715a ab b ++的值为（ ）A ．14924B ．7914C ．165D ．51105．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知等差数列n a 、n b ，其前项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T = A ．1517B ．2532C ．1D ．26．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列,n n a b 的前n 项和分别为132,,,221n n n n S n S T a T n -==+，则{}n b 的公差为___________. 【详解】32n n S n T n -=又112a S k ===⨯2(21)4=+=n T n n 116420=+==b 即{}n b 的公差为8. 故答案为：8.7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列n 、n 均为正项等比数列，n 、n 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项积，且ln 57ln 2n n P n Q n-=，则33ln ln a b 的值为___________.53,21n n A n B n +=-求这两个数列的第9项之比99.a b9．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为n 和n ，311n n A n B n +=+，求25837a a a b b +++的值．提升题型一：等差数列单调性1．（2022·全国·高二课时练习）设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由题意可得公差21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立； 若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立． 故选：C ．【详解】∵等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，∴21,0a d ≤>，又∵()731113863228a a a d a d a -≤=+-+=-≤，∴14a ≥-，2105d a a <=-≤，4134a a d =+>-，42211011a a d =+≤+=，即4a 的取值范围为(]4,11-，故答案为(]4,11-.提升题型二：含绝对值的等差数列前n 项和2678,(6,N*)(+),(7,n n a a n n a a a a n n +++≤∈++-++≥∈2252=-n n n S ， 78，N*)，||.n a +27+，前,19216,10n n ，n ∈）设等差数列{}n a 的公差是是递减数列，因为512a a +舍去)，3d =-，解得d 9，则当9n 时，0n a ；当n >3)108=； 21)351(3)22n n ⨯-=-+9n 时，n T 235122n n -+，9n >时，T 11a ++…a +235122n n -+综上可得，19216,10n T n ，n ∈昆明一中高三阶段练习）已知数列12220n n a -++-.求数列{}n a 的通项公式；求数列{}n a 的前【答案】(1)16n a =22214,214n n n n -+-+12n n a -++12220+-=(2126n n a --++=-()12062n n +---+164n n =-，(1212162n n n a a a a +++=+++=0n a <，易知112a =，28a =，234523415n na a a a a a a a a a a +++++=+++---)()32314n a a a a a +-+++()()121642128402n n +-=⨯+++-2214n n =-4>. 高二期中）已知数列{}a 的前n 项和为{}a 的前n 项和为S n a ++，求(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.综2,171498,7n n n n -≤≤+> 山西省浑源中学高二阶段练习）表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和，且4S S =的通项n a 及n S ； n a ++14，n S n =78n ≤≥）解：设等差数列{综上所述，2213,171384,8nn n nTn n n⎧-≤≤=⎨-+≥⎩.提升题型三：等差数列奇数项或偶数项和23na-+++23n a -+++531a a -+++)(2321n n a a --++++上海南汇中学高二期末）在等差数列9960a ++=100a ++=__________.145【详解】等差数列{n a 12， 10013599246100a a a a a a a a a ++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.5．（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列{}n a 中，前m （m 为奇数）项的和为中偶数项之和为33，且323=-+n提升题型四：na 与nS 的关系(2)90-(1)解：由题意可得()()22142132a S S k k k =-=---=-=，解得1k =，所以，2n S n n =-. 当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 10a =也满足22n a n =-，故对任意的N n *∈，22n a n =-.(2)解：()221010222120n n S a n n n n n -=---=-+，所以，当10n =或11时，n S 取得最小值，且最小值为90-.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，n ∈*N ，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n ∈N ．求,n n a b ；【答案】41n a n =-；12n n b -=【详解】由于n S =22n n +，当n ≥2时，1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，*n ∈N ．当n =1时，113a S ==；41n a n ∴=-， 由24log 3n n a b =+， 12n n b -∴=，*n ∈N ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()1131n n n S n S n ++-+=+．（1）求证：{}n a 为等差数列； 【答案】（1）证明见解析；【详解】证明：（1）∵()()1131n n n S n S n ++-+=+， ∴()()12,2n n nS n S n n --+=≥，两式做差得：()()()1112321n n n n S n S n S +-+-+++=， ∴()()()()1111221n n n n n S n S n S n S +-+-+++-+=， ∴()()1121n n n a n a ++-+= ∴()111n n na n a --+=，两式做差得：()()()1112210n n n n a n a n a +-+-+++=， ∴1120n n n a a a +--+=， 即：112n n n a a a -+=+， ∴{}n a 为等差数列．n a ++，求77>(2N*n n -∈(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.2,171498,7n n n n n -≤≤-+> 重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，)2112n n S nS n n --=+-．的通项公式;提升题型五：等差数列片段和性质4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列的前n 项和为48,8,20n S S S ==若，则9101112a a a a +++= . 【答案】16【详解】由等差数列性质知：484128,,S S S S S --也成等差， 所以1288,12,S S -成等差，即12816S S -=， 因此910111212816a a a a S S +++=-=,故答案为16.5．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，3090S =，则20S =___________ 【答案】50【详解】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列， 所以20101030202()S S S S S -=+-，则20103033150S S S =+=， 所以2050S =. 故答案为：50提升题型六：等差数列前n 项和最值提升题型七：根据等差数列前n 项和最值求参数1．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知678125a a a a ++=，且10a >，当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】C【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，12n na n -++的前n 项和为解得1202a≤≤，由于1a是整数，所以1a的可能取值是18,19,20.。

1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是 ．3．已知一组数据4，2a ，3a -，5，6的平均数为4，则a 的值是 ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ．7．已知()y f x =是奇函数，当0x 时，23()f x x =，则(8)f -的值是 ．8．已知22sin ()43πα+=，则sin 2α的值是 ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 3cm ．10．将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．11．设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是 ．12．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是 ．13．在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =．若3()(2PA mPB m PC m =+-为常数），则CD 的长度是 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(2P ，0)，A 、B 是圆221:()362C x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．16．（14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3a =，2c =，45B =︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上）．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h （米)与D 到OO '的距离a （米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h （米)与F 到OO '的距离b （米)之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米．（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价32k （万元）(0)k >，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标．19．（16分）已知关于x 的函数()y f x =，()y g x =与()(h x kx b k =+，)b R ∈在区间D 上恒有()()()f x h x g x ．（1）若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(,)D =-∞+∞，求()h x 的表达式；（2）若2()1f x x x =-+，()ln g x k x =，()h x kx k =-，(0,)D =+∞，求k 的取值范围； （3）若42()2f x x x =-，2()48g x x =-，342()4()32(0||2)h x t t x t t t =--+<，[D m =，][2n ⊂2]，求证：7n m-．20．（16分）已知数列{}(*)n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列． （1）若等差数列{}n a 是“1λ-”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是“32-”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）平面上的点A (2,1)-在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点B (3,4)-． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知1(A ρ，)3π在直线:cos 2l ρθ=上，点2(B ρ，)6π在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ，02)θπ<． （1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．设x R ∈，解不等式2|1|||4x x ++<．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）在三棱锥A BCD -中，已知5CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．25．（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ． （1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）．2020年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则A B = {0，2} ．【思路分析】运用集合的交集运算，可得所求集合． 【解析】：集合{0B =，2，3}，{1A =-，0，1，2}，则{0A B =，2}，故答案为：{0，2}．【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题． 2．已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是 3 ． 【思路分析】利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．【解析】：复数(1)(2)3z i i i =+-=+，所以复数(1)(2)z i i =+-的实部是：3．故答案为：3． 【总结与归纳】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3．已知一组数据4，2a ，3a -，5，6的平均数为4，则a 的值是 2 ． 【思路分析】运用平均数的定义，解方程可得a 的值． 【解析】：一组数据4，2a ，3a -，5，6的平均数为4， 则42(3)5645a a ++-++=⨯，解得2a =．故答案为：2．【总结与归纳】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 19． 【思路分析】分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．【解析】：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6636⨯=种， 而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．【总结与归纳】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 3- ．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：由题意可得程序框图表达式为分段函数2,01,0x x y x x ⎧>=⎨+⎩，若输出y 值为2-时，由于20x >，所以解12x +=-，即3x =-，故答案为：3-， 【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y =，则该双曲线的离心率是 32．【思路分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．【解析】：双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y ，55=，所以2a =， 所以双曲线的离心率为：4532c e a +==，故答案为：32．【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7．已知()y f x =是奇函数，当0x 时，23()f x x =，则(8)f -的值是 4- ．【思路分析】由奇函数的定义可得()()f x f x -=-，由已知可得f （8），进而得到(8)f -． 【解析】：()y f x =是奇函数，可得()()f x f x -=-，当0x 时，23()f x x =，可得f （8）2384==，则(8)f f -=-（8）4=-，故答案为：4-． 【总结与归纳】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．8．已知22sin ()43πα+=，则sin 2α的值是 13 ．【思路分析】根据二倍角公式即可求出．【解析】：因为22sin ()43πα+=，则21cos(2)1sin 222sin ()4223παπαα-+++===， 解得1sin 23α=，故答案为：13【总结与归纳】本题考查了二倍角公式，属于基础题．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 1232π-3cm ．【思路分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解析】：六棱柱的体积为：1622sin 6021232⨯⨯⨯⨯︒⨯=圆柱的体积为：2(0.5)22ππ⨯⨯=，所以此六角螺帽毛坯的体积是：3(123)2cm π， 故答案为：1232π-．【总结与归纳】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．10．将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 524x π=- ．【思路分析】利用三角函数的平移可得新函数()()6g x f x π=-，求()g x 的所有对称轴7242k x ππ=+，k Z ∈，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解析】：因为函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度可得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈， 当0k =时，724x π=，当1k =-时，524x π=-， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-，故答案为：524x π=-， 【总结与归纳】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．11．设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是 4 ．【思路分析】由{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，由{}n a 是公差为d 的等差数列，设首项为1a ；求出等差数列的前n 项和的表达式；{}n b 是公比为q 的等比数列，设首项为1b ，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得1q ≠，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d q +的值．【解析】：因为{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，因为{}n a 是公差为d 的等差数列，设首项为1a ；{}n b 是公比为q 的等比数列，设首项为1b ， 所以{}n a 的通项公式1(1)n a a n d=+-，所以其前n项和2111[(1)]()222n a n a a n d d d S n a n ++-==+-，当{}n b 中，当公比1q =时，其前n 项和1n b S nb =， 所以{}n n a b +的前n 项和2211()21(*)22n n n n a b d dS S S n a n nb n n n N =+=+-+=-+-∈，显然没有出现2n ，所以1q ≠，则{}n b 的前n 项和为111(1)111n n n b b q b q b S q q q -==+---， 所以22111()21(*)2211n n n n n a b b q b d dS S S n a n n n n N q q =+=+-+-=-+-∈--， 由两边对应项相等可得：111212211dd a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪-⎩解得：2d =，10a =，2q =，11b =， 所以4d q +=，故答案为：4．【总结与归纳】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是45． 【思路分析】方法一、由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；方法二、由2224(5)4x y y =+，运用基本不等式，计算可得所求最小值． 【解析】：方法一、由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =， 可得22x y +的最小值为45； 方法二、222222222254254(5)4()()24x y y x y yx y ++=+=+，故2245x y +， 当且仅当222542x y y +==，即212y =，2310x =时取得等号，可得22x y +的最小值为45．故答案为：45．【总结与归纳】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13．在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =．若3()(2PA mPB m PC m =+-为常数），则CD 的长度是 0或185．【思路分析】以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA 的坐标用m 表示．由9AP =列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．【解析】：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则(4,0)B ，(0,3)C ，由3()2PA mPB m PC =+-，得3()()()2PA m PA AB m PA AC =++-+，整理得：2(23)PA mAB m AC =-+-2(4m =-，0)(23)(0m +-，3)(8m =-，69)m -．由9AP =，得2264(69)81m m +-=，解得2725m =或0m =．当0m =时，(0,9)PA =-，此时C 与D 重合，||0CD =；当2725m =时，直线PA 的方程为968m y x m -=，直线BC 的方程为143x y +=，联立两直线方程可得83x m =，32y m =-．即72(25D ，21)25，22722118||()(3)25255CD ∴=+-=．CD ∴的长度是0或185．故答案为：0或185．【总结与归纳】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(P ，0)，A 、B 是圆221:()362C x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是 105 ．【思路分析】求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．【解析】：圆221:()362C x y +-=的圆心1(0,)2C ，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA PB =，6CA CB R ===，所以PC AB ⊥，EF 为垂径， 要使面积PAB S ∆最大，则P ，D 位于C 的两侧， 并设CD x =，可得13144PC =+=，故1PD x =+，22236AB BD x ==-， 可令6cos x θ=，21||||(1)36(16cos )6sin 6sin 18sin 22PAB S AB PD x x θθθθ∆==+-=+=+，02πθ<， 设函数()6sin 18sin 2f θθθ=+，02πθ<，2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f θθθθθ'=+=+-，由2()6(12cos cos 6)0f θθθ'=+-=，解得23cos (cos 034θθ==-<舍去），显然，当20cos 3θ<，()0f θ'<，()f θ递减；当2cos 13θ<<时，()0f θ'>，()f θ递增，结合cos θ在(0,)2π递减，故2cos 3θ=时，()f θ最大，此时25sin 1cos θθ=-=，故552()6361053max f θ=⨯+⨯⨯=，则PAB ∆面积的最大值为105．故答案为：105．【总结与归纳】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．【思路分析】（1）证明1//EF AB ，然后利用直线与平面平行的判断定理证明//EF 平面11AB C ；（2）证明1B C AB ⊥，结合AB AC ⊥，证明AB ⊥平面1AB C ，然后证明平面1AB C ⊥平面1ABB ．【解答】证明：（1）E ，F 分别是AC ，1B C 的中点． 所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以//EF 平面11AB C ；（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面1ABB ， 所以1B C AB ⊥， 又因为AB AC ⊥，1AC B C C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，所以AB ⊥平面1AB C ， 因为AB ⊂平面1ABB ， 所以平面1AB C ⊥平面1ABB ．【总结与归纳】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16．（14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3a =，2c =，45B =︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【思路分析】（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；（2）三角形的内角和为180︒，4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，可得DAC ∠与ADC C ∠+∠互为补角，所以sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开可得sin DAC ∠及cos DAC ∠，进而求出tan DAC ∠的值．【解析】：（1）因为3a =，2c =，45B =︒．，由余弦定理可得：2222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 由正弦定理可得sin sin c bC B =，所以225sin sin 455c C b =︒==， 所以5sin C =； （2）因为4cos 5ADC ∠=-，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得225cos 1sin C C =-=， 所以在三角形ADC中，25sin sin()sin cos cos sin DAC ADC C ADC C ADC C ∠=∠+∠=∠∠+∠∠=， 因为(0,)2DAC π∠∈，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠．【总结与归纳】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上）．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h （米)与D 到OO '的距离a （米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h （米)与F 到OO '的距离b （米)之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米．（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价32k （万元）(0)k >，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【思路分析】（1）由题意可令40b =，求得2h ，即O O '的长，再令1||h OO '=，求得a ，可得||AB a b =+；（2）可设O E x '=，则80CO x '=-，040x <<，求得总造价23311[160(80)][160(6)]240800y k x k x x =--+--，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．【解析】：（1）3216800h b b =-+，点B 到OO '的距离为40米，可令40b =，可得32140640160800h =-⨯+⨯=，即为||160O O '=，由题意可设1160h =， 由2116040a =，解得80a =， 则||8040120AB =+=米；（2）可设O E x '=，则80CO x '=-，由04008080x x <<⎧⎨<-<⎩，可得040x <<，总造价为23311[160(80)][160(6)]240800y k x k x x =--+--32(30160800)800k x x =-+⨯， 23(360)(20)800800k k y x x x x '=-=-，由0k >，当020x <<时，0y '<，函数y 递减；当2040x <<时，0y '>，函数y 递增，所以当20x =时，y 取得最小值，即总造价最低．答：（1）桥||AB 长为120米；（2）O E '为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【总结与归纳】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标．【思路分析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△12AF F 的周长22a c =+，代入计算即可．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．【解析】：（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以12AF F ∆的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t =--，椭圆的右准线为：24ax c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||3||22AB d AB d ⨯⨯=⋅⨯⨯，即213d d =， 3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m=-或12，当6m=-时，直线l为3460x y--=，即3(2)4y x=-，联立223(2)4143y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x-+=，即2MNxy=⎧⎨=⎩或27127MMxy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以(2,0)M或2(7-，12)7-．当12m=时，直线l为34120x y-+=，即3(4)4y x=+，联立223(4)4143y xx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解，综上所述，M点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．【总结与归纳】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19．（16分）已知关于x的函数()y f x=，()y g x=与()(h x kx b k=+，)b R∈在区间D上恒有()()()f x h xg x．（1）若2()2f x x x=+，2()2g x x x=-+，(,)D=-∞+∞，求()h x的表达式；（2）若2()1f x x x=-+，()lng x k x=，()h x kx k=-，(0,)D=+∞，求k的取值范围；（3）若42()2fx x x=-，2()48g x x=-，342()4()32(0||2)h x t t x t t t=--+<，[D m=，][n⊂，求证：7n m-．【思路分析】（1）由()()f xg x=得0x=，求导可得(0)(0)2f g'='=，能推出函数()h x的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得()2h x x=，再进行检验即可．（2）由题可知()()(1)h x g x k x lnx-=--，设()1x x lnxϕ=--，求导分析单调性可得，()()10xϕϕ=，那么要使的()()0h x g x-，则0k；令()()()p x f x h x=-为二次函数，则要使得()0p x，分两种情况，当10x k=+时，当10k+>时进行讨论，进而得出答案．（3）因为42()2f x x x=-，求导，分析()f x单调性及图象得函数()y f x=的图象在x x=处的切线为：3420000(44)32y x x x x x=--+，可推出直线()y h x=为函数()y f x=的图象在(0||2)x tt=<处的切线．进而()()f x h x在区间D上恒成立；在分析()()0g x h x-=，设234244()3280x t t x t t--+--=，两根为1x，2x，由韦达定理可得12x x+，12x x，所以12||n m x x-=-=【解析】：（1）由()()f xg x=得0x=，又()22f x x'=+，()22g x x'=-+，所以(0)(0)2f g'='=，所以，函数()h x的图象为过原点，斜率为2的直线，所以()2h x x=，经检验：()2h x x=，符合任意，（2）()()(1ln)h x g x k x x-=--，设()1ln x x x ϕ=--，设11()1x x x xϕ-'=-=， 在(1,)+∞上，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，在(0,1)上，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()()10x ϕϕ=，所以当()()0h x g x -时，0k ， 令()()()p x f x h x =-所以22()1()(1)(1)0p x x x kx k x k x k =-+--=-+++，得， 当10x k =+时，即1k -时，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)10p x p k >=+，1k -，所以1k =-，当10k +>时，即1k >-时，△0，即2(1)4(1)0k k +-+， 解得13k -<，综上，[0k ∈，3]．42()2f x x x =-，所以3()444(1)(1)f x x x x x x '=-=+-，0x x =处的切线为：343342000000000(44)()(2)(44)32y x x x x x x x x x x x =--+-=--+，可见直线()y h x =为函数()y f x =的图象在(0||2)x t t =<处的切线．由函数()y f x =的图象可知，当()()f x h x 在区间D 上恒成立时，||[1t ∈，又由()()0g x h x -=，得234244()3280x t t x t t --+--=，设方程()()0g x h x -=的两根为1x ，2x ，则312x x t t +=-，42123284t t x x --=，所以12||x x -==2t λ=，则[1λ∈，2]，由图象可知，12||n m x x -=-=设32()538ϕλλλλ=-++，则2()3103(3)(31)ϕλλλλλ'=-+=--， 所以当[1λ∈，2]时，()0ϕλ'<，()ϕλ单调递减， 所以()max ϕλϕ=（1）7=，故12()||max max n m x x -=-=7n m -．【总结与归纳】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20．（16分）已知数列{}(*)n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列． （1）若等差数列{}n a 是“1λ-”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【思路分析】（1）由“1λ-”数列可得1k =，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值； （22”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；（3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，则11133311n n n S S a λ++-=，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．【解析】：（1）1k =时，111n n n n a S S a λ+++=-=，由n 为任意正整数，且11a =，0n a ≠，可得1λ=； （2=则111113()(3n n nn n n n n a S S S S a S S +++++=-=+=+，13n a +=，即11144()33n n n n S a S S +++==-， 从而14n n S S +=，又111S a ==，可得14n n S -=，2134n n n n a S S --=-=，2n ， 综上可得21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⎩，*n N ∈；（3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列， 则11133311n n n S S a λ++-=，则21123333331111133()n n n n n n n n n S S S S S S a S S λλ+++++-+-==-， 由11a =，0na ，且0n S >，令113()0n n nS p S +=>， 则3323(1)33(1)0nn n p p p λλ--+--=， 1λ=时，2n np p =， 由0n p >，可得1n p =，则1n n S S +=，即10n a +=，此时{}n a 唯一，不存在三个不同的数列{}n a ， 1λ≠时，令331t λ=-，则3210n n n p tp tp -+-=，则2(1)[(1)1]0n n n p p t p -+-+=， ①1t 时，2(1)10nn p t p +-+>，则1n p =，同上分析不存在三个不同的数列{}n a ； ②13t <<时，△2(1)40t =--<，2(1)10nn p t p +-+=无解， 则1n p =，同上分析不存在三个不同的数列{}n a ；③3t =时，3(1)0n p -=，则1n p =，同上分析不存在三个不同的数列{}n a ．④3t >时，即01λ<<时，△2(1)40t =-->，2(1)10nn p t p +-+=有两解α，β， 设αβ<，12t αβ+=->，10αβ=>，则01αβ<<<， 则对任意*n N ∈，11n n S S +=或31n n S S α+=或31n n SS β+=，此时1n S =，31,1,2n n S n α=⎧=⎨⎩，31,1,2,3n n S n β=⎧=⎨⎩均符合条件．对应1,10,2n n a n =⎧=⎨⎩，31,11,20,3n n a n n α=⎧⎪=-=⎨⎪⎩，31,11,30,2,4n n a n n n β=⎧⎪=-=⎨⎪=⎩，则存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ， 综上可得01λ<<．【总结与归纳】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）平面上的点A (2,1)-在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点B (3,4)-． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【思路分析】（1）由123114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，列方程组，求出a 、b 的值； （2）设矩阵M 的逆矩阵为1m n M p q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001M M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列方程组求出m 、n 、p和q 的值即可．【解析】：（1）由题意，知122131124a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得2a =，2b =；（2）由（1）知，矩阵2112M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 设矩阵M 的逆矩阵为1mn M pq -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1212210122201m n m pn q M M p q m p n q -++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴21202021m p n q m p n q +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25m =，15n =-，15p =，25q =，121551255M -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 【总结与归纳】本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知1(A ρ，)3π在直线:cos 2l ρθ=上，点2(B ρ，)6π在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ，02)θπ<． （1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【思路分析】（1）直接根据点A 在直线l 上，列方程求出1ρ的值，点B 在圆C 上，列方程求出2ρ的值；（2）联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可． 【解析】：（1）1(A ρ，)3π在直线:cos 2l ρθ=上，∴1cos23πρ=，解得14ρ=．点2(B ρ，)6π在圆:4sin C ρθ=上，∴24sin6πρ=，解得22ρ=．（2）由直线l 与圆C 得，方程组cos 24sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，则sin21θ=．[0θ∈，2]π，∴22πθ=，∴4πθ=．∴4sin4πρ=⨯=．故公共点的极坐标为)4π．【总结与归纳】本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．设x R ∈，解不等式2|1|||4x x ++<．【思路分析】先将2|1|||x x ++写为分段函数的形式，然后根据2|1|||4x x ++<，利用零点分段法解不等式即可．【解析】：32,02|1|||2,1032,1x x x x x x x x +>⎧⎪++=+-⎨⎪--<-⎩．2|1|||4x x ++<，∴3240x x +<⎧⎨>⎩或2410x x +<⎧⎨-⎩或3241x x --<⎧⎨<-⎩， ∴203x <<或10x -≤≤或21x -<<-，223x ∴-<<，∴不等式的解集为2{|2}3x x -<<．【总结与归纳】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）在三棱锥A BCD -中，已知5CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．【思路分析】（1）由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO BD ⊥，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到(1,0,2)AB =-，(1,1,1)DE =，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）由14BF BC =，得14BF BC =，设(F x ，y ，)z ，由向量等式求得3(4F ，12，0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cos θ，再由同角三角函数基本关系式求解sin θ．【解析】：（1）如图，连接OC ，CB CD =，O 为BD 的中点，CO BD ∴⊥．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2BD =，1OB OD ∴==，则22512OC BC OB =-=-=．(1B ∴，0，0)，(0A ，0，2)，(0C ，2，0)，(1D -，0，0)，E 是AC 的中点，(0E ∴，1，1)，∴(1,0,2)AB =-，(1,1,1)DE =．设直线AB 与DE 所成角为α， 则||15cos ||||14111AB DE AB DE α===+++，即直线AB 与DE； （2）14BF BC =，∴14BF BC =， 设(F x ，y ，)z ，则(1x -，y ，1)(4z =-，12，0)，3(4F ∴，12，0)． ∴(1,1,1)DE =，71(,,0)42DF =，(1,2,0)DC =． 设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z =，由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩，取12x =-，得(2,7,5)m =--； 设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z =， 由22222020n DE x y z n DC x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩，取22x =-，得(2,1,1)n =-． |||cos |||||44925411m nm n θ∴===+++． sin θ∴= 【总结与归纳】本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25．（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ．（1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）．【思路分析】（1）利用已知条件求出113p =，123q =，推出2p ；2q 即可． （2）推出11239n n n p p q +=+，11293n n q q +=-+，得到11122(2)33n n n n p q p q +++=++，推出11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，说明数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可． 【解析】：（1）由题意可知：113p =，123q =，则211121733327p p q =+⨯=； 2112221116()3333327q p q =+⨯+⨯=． （2）由题意可知：11211233339n n n n n p p q p q +=+⨯=+， 122211212()(1)33333393n n n n n n q p q p q q +=+⨯+⨯+--=-+， 两式相加可得11212122(2)33333n n n n n n p q p q p q +++=++=++， 则：11122(2)33n n n n p q p q --+=++，所以，11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-， 因为111213p q +-=，数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列， 所以121()3n n n p q +-=， 即12()13n n n p q +=+， 所以1()20(1)()13n n n n n n E X p q p q =++⨯--=+． 【总结与归纳】本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。

数列新定义问题1(2024·甘肃定西·一模)在n个数码1,2,⋯,n n∈N,n≥2构成的一个排列j1j2⋯j n中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2>j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T j1j2⋯j n，例如，T312=2，(1)计算T(51243)；(2)设数列a n满足a n+1=a n⋅T51243-T3412,a1=2，求a n的通项公式；(3)设排列j1j2⋯j n n∈N,n≥2满足j i=n+1-i i=1,2,⋯,n,b n=T j1j2⋯j n,S n=1b2+1b3+⋯+1b n+1，求S n，【答案】(1)5(2)a n=5n-1+1(3)S n=2nn+1【分析】(1)利用逆序数的定义，依次分析排列51243中的逆序个数，从而得解；(2)利用逆序数的定义得到a n+1=5a n-4，从而利用构造法推得a n-1是等比数列，从而得解；(3)利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到b n，再利用裂项相消法即可得解.【详解】(1)在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以T(51243)=4+0+0+1+0=5.(2)由(1)中的方法，同理可得T(3412)=4，又T(51243)=5，所以a n+1=5a n-4，设a n+1+λ=5a n+λ，得a n+1=5a n+4λ，所以4λ=-4，解得λ=-1，则a n+1-1=5a n-1，因为a1-1=1≠0，所以数列a n-1是首项为1，公比为5的等比数列，所以a n-1=5n-1，则a n=5n-1+1.(3)因为j i=n+1-i(i=1,2,⋯,n)，所以b n=T j1j2⋯j n=n-1+n-2+⋯+1+0=n-1n2，所以1b n+1=2(n+1)n=21n-1n+1，所以S n=21-12+12-13+⋯+1n-1n+1=21-1n+1=2n n+1.2(2024高三下·全国·专题练习)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n}为4，3，1，2，数列{b n}为1，2，6，24，分别判断{a n},{b n}是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列{c n}的通项公式为c n=2n-1+1，判断{c n}是否为“等比源数列”，并说明理由；【答案】(1){a n}是“等比源数列”，{b n}不是“等比源数列”，理由见解析(2){c n}不是“等比源数列”，理由见解析【分析】(1)根据等比中项，结合列举法即可求解，(2)假设是“等比源数列”得c2n=c m c k，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.【详解】(1){a n }是“等比源数列”，{b n }不是“等比源数列”．{a n }中“1，2，4”构成等比数列，所以{a n }是“等比源数列”；{b n }中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以{b n }不是“等比源数列”．(2){c n }不是“等比源数列”．假设{c n }是“等比源数列”，因为{c n }是单调递增数列，即{c n }中存在的c m ，c n ，c k (m <n <k )三项成等比数列，也就是c 2n =c m c k ，即(2n -1+1)2=(2m -1+1)(2k -1+1)，22n -2+2n =2m +k -2+2m -1+2k -1，两边时除以2m -1得22n -m -1+2n -m +1=2k -1+1+2k -m ，等式左边22n -m -1+2n -m +1为偶数，等式右边2k -1+1+2k -m 为奇数．所以数列{c n }中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得{c n }不是“等比源数列”．3(23-24高二下·吉林四平·阶段练习)在数列a n 中，若存在常数t ，使得a n +1=a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +t (n ∈N *)恒成立，则称数列a n 为“H t 数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“H 1 数列”；(2)若c n =1+1n，试判断数列c n 是否为“H t 数列”，请说明理由；(3)若数列a n 为“H t 数列”，且a 1=2，数列b n 为等比数列，满足∑ni =1a 2i =a n +1+log 2b n -t 求数列b n 的通项公式和t 的值．【答案】(1)是(2)不是，理由见解析(3)b n =2n +1，t =-1【分析】(1)根据H t 数列的定义判断(2)根据已知条件求出c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n 即可判断；(3)根据数列a n 为“H t 数列”，化∑i =1n a 2i =a n +1+log 2b n -t 为∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n ，进而求得∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1，作差有a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n，根据已知条件化为t +1 a n +1-t +log 2q =0，解得t =-1q =2，由此求出b 1=4，即可求出数列b n 的通项公式.【详解】(1)由题意可得2=1+1，3=1×2+1，7=1×2×3+1，43=2×3×7+1，所以1，2，3，7，43是“H 1 数列”；(2)数列c n 不是“H t 数列”，理由如下：c n =1+1n =n +1n (n ∈N *)，则c n +1=n +2n +1(n ∈N *)，又c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =21⋅32⋅43⋅⋅⋅n +1n=n +1(n ∈N *)，所以c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =n +2n +1-n +1 =1n +1-n (n ∈N *)，因为1n +1-n 不是常数，所以数列c n 不是“H t 数列”．(3)因为数列a n 为“H t 数列”，由∑i =1na 2i =a n +1+log 2b n -t (n ∈N *)，有∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n (n ∈N *)①，所以∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1(n ∈N *)②，两式作差得a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n(n ∈N *)，又因为数列a n 为“H t 数列”，所以a n +1-t =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n (n ∈N *)，设数列b n 的公比为q ，所以a 2n +1=a n +1-1 a n +1-t +log 2q (n ∈N *)，即t +1 a n +1-t +log 2q =0对∀n ∈N *成立，则t +1=0t +log 2q =0⇒t =-1q =2，又a 1=2，a 21=a 1+log 2b 1，得b 1=4，所以b n =4×2n -1=2n +1，t =-1．4(23-24高二下·四川南充·阶段练习)给定数列a n ，称a n +1-a n 为a n 的差数列(或一阶差数列)，称数列a n +1-a n 的差数列为a n 的二阶差数列，若a n =3n .(1)设a n 的二阶差数列为b n ，求b n 的通项公式.(2)在(1)的条件下，设c n =log 3b n 4+b n ，求c n 的前n 项和为T n 【答案】(1)b n =4⋅3n (2)T n =2⋅3n +1+n 22+n2-6【分析】(1)借助定义计算即可得；(2)借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】(1)a n +1-a n =3n +1-3n =2⋅3n ，则b n =2⋅3n +1-2⋅3n =4⋅3n ；(2)c n =log 3b n 4+b n =log 34⋅3n 4+4⋅3n =n +4⋅3n ，则T n =121-3n1-3+n n +1 2=2⋅3n +1+n 22+n 2-6.5(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k ∈N *,k ≥2,a k -1+a k +1≤2a k 恒成立，则称数列a n 为“上凸数列”．(1)若a n =n 2-1，判断a n 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n 为“上凸数列”，则当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．(ⅰ)若数列S n 为a n 的前n 项和，证明：S n ≥n2a 1+a n ；(ⅱ)对于任意正整数序列x 1,x 2,x 3,⋯,x i ,⋯,x n (n 为常数且n ≥2,n ∈N *)，若ni =1x 2i-1 ≥ni =1x i-λ 2-1恒成立，求λ的最小值．【答案】(1)是，证明见解析(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)n -1【分析】(1)构造函数f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；(2)(ⅰ)利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令a n =n 2-1，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.【详解】(1)a n 是“上凸数列”，理由如下：因为a n =n 2-1,a n +1-a n =(n +1)2-1-n 2-1，令f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，则fx =x +1(x +1)2-1-xx 2-1=(x +1)3x -1 -x 3x +2(x +1)2-1⋅x 2-1．当x ≥1时，(x +1)3x -1 -x 3x +2 =-2x -1<0，所以(x +1)3x -1 <x 3x +2 ，所以f x <0,f x 在区间1,+∞ 上单调递减，所以f n >f n +1 ,a n +1-a n >a n +2-a n +1，所以a n +2+a n ≤2a n +1，所以a n 是“上凸数列”．(2)(ⅰ)证明：因为a n 是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤i ≤n i ∈N * ，a i +a n -i +1≥a i -1+a n -i +2≥a i -2+a n -i +3⋅⋅⋅≥a 2+a n -1≥a 1+a n ，所以2S n =a 1+a n +a 2+a n -1 +⋅⋅⋅+a n -1+a 2 +a n +a 1 ≥n a 1+a n ，所以S n ≥n2a 1+a n ．(ⅱ)解：令a n =n 2-1，由(1)可得当a n =n 2-1时，a n 是“上凸数列”，由题意可知，当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．因为ni =1x 2i -1 =x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+x 2n -1，即∑ni =1x 2i -1=x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+∑ni =1x i -x 1-x 2-⋯-x n -1 2-1．所以∑n i =1x 2i -1≥x 1-x 1+12-1+x 22-1+⋅⋅⋅+∑n i =1x i-x 1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 1-1 2-1≥12-1+x 2-x 2+12+⋯+∑ni =1x i-1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 2-1 2-1⋯≥0+0+0+⋯+∑ni =1x i -n +1 2-1≥∑ni =1x i -λ 2-1，当且仅当x 1=x 2=⋅⋅⋅=x n -1时等号成立，所以λ≥n -1．综上所述，λ的最小值为n -1．6(2024·江西南昌·一模)对于各项均不为零的数列c n ，我们定义：数列c n +kc n为数列c n 的“k -比分数列”.已知数列a n ,b n 满足a 1=b 1=1，且a n 的“1-比分数列”与b n 的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若b n 是公比为2的等比数列，求数列a n 的前n 项和S n ；(2)若b n 是公差为2的等差数列，求a n .【答案】(1)S n =13×4n -1 ；(2)a n =13×4n 2-1 .【分析】(1)利用已知求出通项公式，再求前n 项和即可.(2)利用累乘法求通项公式即可.【详解】(1)由题意知an +1a n =b n +2b n，因为b 1=1，且b n 是公比为2的等比数列，所以a n +1a n=4，因为a 1=1，所以数列a n 首项为1，公比为4的等比数列，所以S n =1×1-4n 1-4=13×4n -1 ；(2)因为b 1=1，且b n 是公差为2的等差数列，所以b n =2n -1，所以a n +1a n =b n +2b n=2n +32n -1，所以a n a n -1=2n +12n -3,a n -1a n -2=2n -12n -5,⋯⋯,a 2a 1=51，所以a n a 1=2n +1 2n -1 3×1，因为a 1=1，所以a n =13×4n 2-1 .7(2024·黑龙江·二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G 型数列”．(1)若数列a n 满足2a n =S n +1，判断a n 是否为“G 型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列a n 为“G 型数列”，a 1=1，数列b n 满足b n =a n +2，n ∈N *，b n 是等比数列，公比为正整数，且不是“G 型数列”，求数列a n 的通项公式．【答案】(1)不是“G 型数列”，理由见解析；(2)a n =3n -2【分析】(1)计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；(2)利用a n 为“G 型数列”和b n 是等比数列，且不是“G 型数列”可求得b n 的公比为3，即可求出数列a n 的通项公式为a n =3n-2.【详解】(1)易知当n =1时，可得2a 1=S 1+1=a 1+1，即a 1=1；而当n =2时，2a 2=S 2+1=a 1+a 2+1，可得a 2=2；此时a 2a 1=21=2<3，不满足“G 型数列”定义，猜想：数列a n 不是“G 型数列”，证明如下：由2a n =S n +1可得，当n ≥2时，2a n -1=S n -1+1，两式相减可得2a n -2a n -1=S n -S n -1=a n ，可得a n =2a n -1，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为an a n -1=2<3，因此a n 不是“G 型数列”；(2)设数列b n 的公比为q ，易知q ∈N *，又因为数列b n 不是“G 型数列”，可得q ≤3可得b n +1b n=a n +1+2a n +2=q ，即得a n +1=qa n +2q -2；又数列a n 为“G 型数列”，可得an +1a n =q +2q -2a n>3；易知“G 型数列”为递增数列，因此当n 趋近于正无穷大时，q +2q -2a n趋近于q ，即可得q ≥3；综上可得q =3，即a n +1=3a n +4，可得a n +1+2=3a n +2 ；所以数列a n +2 是以a 1+2=3为首项，公比为3的等比数列；即可得a n +2=3×3n -1=3n ，可得a n =3n -2；所以数列a n 的通项公式为a n =3n -2.8(2015高二·全国·竞赛)设数列a n 满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N ∗；③1=a 1<a 2<⋅⋅⋅<a n <a n +1<⋅⋅⋅.设集合A m =n |a n ≤m ,m ∈N ∗ ，将集合A m 中的元素的最大值记为b m .换句话说，b m 是数列a n 中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值.我们称数列b n 为数列a n 的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；(2)设a n =3n -1，求数列a n 的伴随数列b n 的前20之和；(3)若数列a n 的前n 项和S n =n 2+c (其中c 常数)，求数列a n 的伴随数列b m 的前m 项和T m .【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3(2)50(3)T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *【分析】(1)由数列的新定义直接写出即可；(2)由数列的新定义结合对数的运算求出即可；(3)先由S n 求出a n ，再由数列新定义求出b m ，再分m 为奇数和偶数时分别求出T m .【详解】(1)数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，(后面加3算对)(2)由a n =3n -1≤m ，得n ≤1+log 3m m ∈N * ∴当1≤m ≤2,m ∈N *时，b 1=b 2=1 当3≤m ≤8,m ∈N *时，b 3=b 4=⋅⋅⋅=b 8=2 当9≤m ≤20,m ∈N *时，b 9=b 28=⋅⋅⋅=b 20=3 ∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 20=1×2+2×6+3×12=50(3)∵a 1=S 1=1+c =1 ∴c =0 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1∴ a n =2n -1n ∈N *由a n =2n -1≤m 得：n ≤m +12m ∈N *因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，所以 b 1=b 2=1,b 3=b 4=2,⋅⋅⋅，b 2t -1=b 2t =t ，t ∈N * 当m =2t -1t ∈N * 时：T m =2⋅1+(t -1)2⋅(t -1)+t =t 2=14(m +1)2当m =2t t ∈N * 时：T m =2⋅1+t 2⋅t =t 2+t =14m (m +2)所以T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *9(23-24高二下·上海闵行·阶段练习)若有穷数列a 1，a 2,⋯,a n ,(n 是正整数)，满足a 1=a n ，a 2=a n -1,⋯,a n =a 1即a i =a n -i +1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1=2，b 4=11，试写出{b n }的每一项；(2)对于确定的正整数m >1，写出所有项数不超过2m 的“对称数列”，使得1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项；当m =10时，求其中一个“对称数列”前19项的和S 19【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2(2)答案见解析【分析】(1)由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；(2)由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.【详解】(1)设{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d =2+3d =11，解得d =3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2．(2)若1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项，且是对称数列，则至少有1+2m -1 =2m -1项，从而所有项数不超过2m 的“对称数列”有：1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，共有4个这样的数列(2个2m 项的，2个2m -1项的)；当m =10时，求数列1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1的前19项，则S 19=1+2+22+⋯+28+29+28+⋯+22+2+1=1-2101-2+1-291-2=210-1+29-1=1534.10(23-24高二下·江西·阶段练习)将数列a n 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为a n 的一个分群数列，a n 称为这个分群数列的原数列．如a 1,a 2,⋯,a r ，a r +1,a r +2,⋯,a t ，a t +1,a t +2,⋯,a s ⋯，a m +1,a m +2,⋯,a n 是a n 的一个分群数列，其中第k 个括号称为第k 群．已知a n 的通项公式为a n =2n -1．(1)若a n 的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k 群的中间一项为b k ，求数列b n 的通项公式；(2)若a n 的一个分群数列满足第k 群含有k 项，A k 为该分群数列的第k 群所有项构成的数集，设M =m a m ∈A k ,a m +7∈A k +2 ，求集合M 中所有元素的和．【答案】(1)b n =6n -3(2)54【分析】(1)由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.(2)根据该数列第k 群含有k 项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M 中的所有元素，求和即可.【详解】(1)由题意知该分群数列第k 群的中间一项为b k =a 3k -1．因为a n =2n -1，所以b k =a 3k -1=23k -1 -1=6k -3，即b n =6n -3．(2)由题意知该分群数列第k 群含有k 项，所以该分群数列前7群为a 1 ，a 2,a 3 ，a 4,a 5,a 6 ，a7,a 8,a 9,a 10 ，a 11,a 12,a 13,a 14,a 15 ，a 16,a 17,a 18,a 19,a 20,a 21 ，a 22,a 23,a 24,a 25,a 26,a 27,a 28 ．又a m∈A k，a m+7∈A k+2，所以k≤5．当k=5时，m=15，当k=4时，m=10或9，当k=3时，m=6或5或4，当k=2时，m=3或2，所以M=2,3,4,5,6,9,10,15，故集合M中所有元素的各为2+3+4+5+6+9+10+15=54．。