18-19 第1章 阶段复习课

第一课 统计案例
[核心速填]
1．线性回归方程
对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，回归直
线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
^＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a
^＝y －b ^x ，其中(x ，y )称为样本点的 中心．
2．线性回归模型为y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 为随机误差． 3．残差e ^i ＝y i －y ^i
. 4．刻画回归效果的方法 (1)残差平方和法
残差平方和∑i ＝1n
(y i －y
^)2越小，模型拟合效果越好． (2)残差图法
残差图形成的带状区域的宽度越窄，模型拟合效果越好． (3)相关指数R 2法
R 2越接近1，模型拟合效果越好． 5．K 2公式
K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
[题型探究]
线性回归分析
年份201x(年)0123 4 人口数y(十万)5781119
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；
(3)据此估计2022年该市人口总数.
【导学号：48662025】[解](1)散点图如图：
(2)因为x＝0＋1＋2＋3＋4
5
＝2，
y＝5＋7＋8＋11＋19
5
＝10，
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30，
所以b^＝132－5×2×10
30－5×22
＝3.2，
a^＝y－b^x＝3.6.
所以线性回归方程为y^＝3.2x＋3.6.
(3)令x＝8，则y^＝3.2×8＋3.6＝29.2，
故估计2020年该城市人口总数为29.2(十万)．
[规律方法]解决回归分析问题的一般步骤
(1)画散点图.根据已知数据画出散点图.
(2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程.
1．在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：
效果的好坏．
[解]
x ＝1
5×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
y ＝1
5×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
∑i ＝1
5
x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
∑i ＝1
5
y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
∑i ＝1
5
x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以b
^＝∑i ＝1
5
x i y i －5 x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x 2
＝
620－5×18×7.41 660－5×182
＝－1.15，
所以a
^＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－1.15x ＋28.1，
列出残差表为
y i －y ^
i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以∑i ＝1
5
(y i －y ^i
)2＝0.3，
∑i ＝1
5
(y i －y )2＝53.2，
R 2＝1－
∑i ＝15
(y i －y ^
i )2∑i ＝1
5
(y i －y )2
≈0.994.
所以R 2≈0.994，拟合效果较好.
独立性检验
是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计 男性 5 女性 10 总计
50
已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35. (1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
(参考公式：K2＝n(ad－bc)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中
n＝a＋b＋c＋d)
【导学号：48662026】[解](1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率
是3
5
，
所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：
(2)该公司男员工人数为25÷50×650＝325(人)，则女员工有325人．
(3)K2的观测值k＝50×(20×15－10×5)2
30×20×25×25
≈8.333>7.879，所以在犯错误的概
率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．
2．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有
88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断．
[解]建立性别与态度的2×2列联表如下：
肯定否定总计男生2288110
女生223860
总计44126170
根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22
110
＝0.2，女
生中作肯定态度的频率为22
60≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．
根据列联表中的数据得到K2的观测值
k＝170×(22×38－22×88)2
110×60×44×126
≈5.622>5.024.
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系．
转化与化归思想
如下：
x 123510203050100200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数1
x之间是否具有线性相关关系．如
有，求出y对x的回归方程．
思路探究：令z＝1
x
，使问题转化为z与y的关系，然后用回归分析的方法，
求z 与y 的回归方程，进而得出x 与y 的回归方程．
[解] 把1x 置换为z ，则有z ＝1
x ， 从而z 与y 的数据为
因此可以用线性回归方程来拟合．
z ＝1
10×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1，
y ＝1
10×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，
∑i ＝110
z 2i ＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052
≈1.415， ∑i ＝1
10
z i y i ＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15
＝15.221 02，
所以b
^＝∑i ＝1
10
z i y i －10z y
∑i ＝1
10
z 2i －10z 2
≈8.976，
a
^＝y －b ^z ＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，
所以所求的z 与y 的回归方程为y ^＝8.976z ＋1.120. 又因为z ＝1x ，所以y
^＝8.976x
＋1.120.
3．在某化学试验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．
0.001)；
(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1).
【导学号：48662027】[解](1)在y＝cd x两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，lnd＝b，则z＝a ＋bx.由已知数据，得
由公式得a≈3.905 5，b≈－0.221 9，则线性回归方程为z＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，lnD＝－0.221 9，
故c≈49.675，d≈0.801，
所以c，d的估计值分别为49.675和0.801.
(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．
所以，化学反应进行到10 min时未转化物质的质量约为5.4 mg.。