第三章 线性系统的时域分析法-3-3——【南航 自动控制原理】
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《自动控制原理》课件第三章
h(t) 1
ent sin(
1 2
1 2nt arccos ) 1
1
1
2
e t
sin(dt
)
(3-13)
2) 无阻尼(ζ=0)二阶系统的单位阶跃响应
系统有两个共轭纯虚根s1=jωn，s2=－jωn 由式(3-10)可知系统的单位阶跃响应为
h(t)=1－cosωnt
(3-14)
这是一条平均值为1的正弦或余弦形式的等幅振荡，其振荡
2. 动态性能与稳态性能 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态 过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。 1) 动态性能 通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果 系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其 他形式函数的作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时 间t的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和 比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态， 而且输出量及其各阶导数均为零。
令
T1
n (
1
2
, 1)
T2
n (
1
2
1)
由式(3-12)可得此时二阶系统的单位阶跃响应为
h(t) 1 et T1 et T2 T2 T1 1 T1 T2 1
(3-15)
以上四种情况的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，其横 坐标为无因次时间ωnt。由图3-5可见，在过阻尼和临界阻尼 响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度 最快； 在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大， 上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜，此时超调量适度， 调节时间较短； 若二阶系统具有相同的ζ和不同的ωn，则其 振荡特性相同，但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。
自动控制原理 第三章
如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号， 则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突 变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何 种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统 特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制 系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便 于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的 输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等 输入信号作用下的输出响应。
为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信号的变化形 式。在工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系 统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是 如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计， 使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验 信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 常用的试验信号已作介绍，它们是阶跃函数、斜坡函数、抛物线 函数、脉冲函数及正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，并 且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。
为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前 处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数均等于零。对于 大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。控制系统 的典型单位阶跃响应曲线如下页图所示 一般认为，阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态， 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，在其他输入 形式作用下的动态性能也能满足要求。因此，通常在阶跃函数 作用下测定或计算系统的动态性能。而系统的动态性能指标就 用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系统的单位阶跃响应的 特征量来描述。
A s
2 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理课件 第三章线性系统的时域分析法
1 tA T
)
1 T tA e T
1
tB- tA=T
3-3二阶系统分析 1. 数学模型
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
C ( s) n ( s ) 2 2 R( s ) ( s 2n s n
。
ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根
ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1 称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的 共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特 征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。
1.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（2）上升时间 t r 的计算
h(t r ) 1 e ntr 1 2 sin( n 1 2 tr ) 1 sin( n 1 2 t r ) 0
tr d 1 2 n
（3）峰值时间 t p 的计算
( 2) n K
(3)
1 K 2 K
100%, ln( 1/ p ) 1 0.456 )2
p % e
/ 1 2
(ln
2
p
(4)
n Biblioteka t p 1 2 3.53 (rad / s)
(5) K n 12.46
3-2 一阶系统分析 1. 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
Φ （s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
自动控制原理第三章时域分析法
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统时域分析法
impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章 线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方 法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法 根轨迹法 频域分析法
数数数数
数数数数数数数 求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的 优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章 线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方 法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法 根轨迹法 频域分析法
数数数数
数数数数数数数 求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的 优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计
自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统的时域分析法
1.典型输入信号 在控制系统分析和设计中常用的典型输入信号有
单位脉冲函数
时域表达式 (t),t 0
复域表达式
1
单位阶跃函数 单位斜坡函数
单位加速度函数 正弦函数
1(t),t 0
t,t 0
1 t2 , t 0 2
Asint
1 s
1 s2
1 s3
A s2 2
应用时究竟采用哪一种典型输入信号, 取决于系统的 常见工作状态；
动态性能指标（阶跃输入）
振荡——第一次上升到终值所需时间；
上升时间 tr : 非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；
t 延迟时间 d: 第一次达到其终值一半所需的时间；
峰值时间 t p: 超过其终值后, 到达第一个峰值所需的时间；
调节时间 ts : 到达并保持在终值±5%(或±2%)的误差带内所需的最短时间。
讨论: 系统（闭环）传递函数与脉冲响应函数之间是拉氏变
换的关系，即:
G(s) Lg(t)
g(t) L1 G(s)
1）在初始条件为零的情况下, 一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间, 包含着 相同的动态过程信息。这一特点同样适用于其他各阶线性系统, 因此常以单位脉冲输 入信号作用于系统, 根据被测定系统的单位脉冲响应, 可以求得被测系统的闭环传递 函数。 2）工程上无法得到理想的单位脉冲函数, 常用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动 函数来代替。为了得到近似度较高的脉冲响应函数, 要求实际脉动函数的宽度b远小 于系统的时间常数T。一般规定b<0.1T。
impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
精品课件-自动控制原理-第3章 线性控制系统的时域分析
• 1.二阶系统的数学模型
位置随动系统如图3.9所示，系统中的负载角位移能跟 随输入手柄角位移的变化。图中两个线性电位器分别把输入和 输出的角位移转变为与之成比例的电信号，并进行比较，其差 值经过电压和功率放大器放大后给直流伺服电机供电，使之带 动传动比为 的齿轮组合负载一起转动，力图使角位移的误差 减小到零。
c(s)
K
r (s) Js2 Fs K
其中：阻尼系F 数f0
CmC R
e
，开环增益 K
K p Ka
Cm R
j
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二
阶系统的标准形式C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
2020/12/14
第三章 线性控制
21
自动控制 原理
二阶系统时域分析
3）单位斜坡响应
设
，零初始条件下一阶系统单位斜坡响应的
C拉(s)氏 变1 换 R为(s) 1 1
Ts 1
Ts 1 s2
2020/12/14
第三章 线性控制
16
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 对上式取拉氏反变换，得 1t
c(t) t T (1 e T )
图3.8 一阶系统的单位斜坡响应
根据一阶系统对上述三种典型信号的时域响应，不难看出线
第三章 线性控制
10
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
（a）RC电 路
（b）一阶系统 框图
（c）等效 框图
图：一阶系统及结构 框图
2020/12/14
第三章 线性控制
11
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 一阶系统的时域响应
位置随动系统如图3.9所示，系统中的负载角位移能跟 随输入手柄角位移的变化。图中两个线性电位器分别把输入和 输出的角位移转变为与之成比例的电信号，并进行比较，其差 值经过电压和功率放大器放大后给直流伺服电机供电，使之带 动传动比为 的齿轮组合负载一起转动，力图使角位移的误差 减小到零。
c(s)
K
r (s) Js2 Fs K
其中：阻尼系F 数f0
CmC R
e
，开环增益 K
K p Ka
Cm R
j
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二
阶系统的标准形式C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
2020/12/14
第三章 线性控制
21
自动控制 原理
二阶系统时域分析
3）单位斜坡响应
设
，零初始条件下一阶系统单位斜坡响应的
C拉(s)氏 变1 换 R为(s) 1 1
Ts 1
Ts 1 s2
2020/12/14
第三章 线性控制
16
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 对上式取拉氏反变换，得 1t
c(t) t T (1 e T )
图3.8 一阶系统的单位斜坡响应
根据一阶系统对上述三种典型信号的时域响应，不难看出线
第三章 线性控制
10
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
（a）RC电 路
（b）一阶系统 框图
（c）等效 框图
图：一阶系统及结构 框图
2020/12/14
第三章 线性控制
11
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 一阶系统的时域响应
《自动控制原理》第3章线性系统的时域分析法
（3）当 1 时：相等负实根
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
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5 s2 (0.43) (5 0.8) 7 1
0.4
s1 7 0.8 0.41 =0.843 0
7
s0
1
空位处理方法：列 表计算时，若遇空 位，均以零赋值。
极点，系统闭环传递函数为
m
(s)
C(s) R(s)
q
(s
i 1
K * bi smi
i0
r
si )
(s2
k 1
2
kk s
k 2 )
系统的初始状态响应的拉氏变换与系统闭环传递函
数具有相似结构：分母多项式相同，分子多项式的系
数可能不同。
取 r(t) (t), R(s) 1,系统单位脉冲响应拉氏变换为
按稳定性定义，临界稳定属于不稳定。
三、劳斯(Routh)稳定判据
劳斯稳定判据是代数判据，可以判断系统的稳定 性，无需求出系统的特征根，还可以确定s右半平面
闭环极点数。
均为负数？
系统稳定的必要条件：特征方程的所有系数均为
正数。 a0 0或a0 1
同号、不缺项
必要条件－必须的条件，但不是充分的条件。满
闭环实极点对应的脉冲响应
闭环共轭复极点对应的脉冲响应
若要求系统单位脉冲响应趋于零，必须各闭环极点
对应的时间分量趋于零，即各闭环极点的实部应小于
零。
所有闭环极点均应位于s左半平面
闭环极点有重极点的情况：闭环极点对应的时间分
量出现 tkesit或tkeiit 的形式，结论仍成立。
线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程
系统平衡状态稳定性 系统初始偏差响应渐近趋 于零 系统初始状态响应渐近趋于零 系统脉冲响 应渐近趋于零 系统运动稳定性
系统稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影 响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零， 则称系统渐近稳定，简称稳定。
初始扰动—为外界扰动，只在初始时刻作用与系统， 使系统偏离零状态产生初始偏差。
ca221
ca341
ca461
……
sn-1 ca112
ca232
ca352
ca472
……
sn-2
c c c c c1133
a1a2 a0a3 a1
c 2233
a1a4 a0a5 a1
c3333
a1a6 a0a7 a1
43
……
sn-3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c c c2244
c13a5 a1c33 c13
c3344
c13a7 a1c43 c13
c44
……
…… s1 c1n
s0 ca1nn+1
… c2n
c13 c…23a1ca32a3a1a1a4a0a1a1aa360aa15a0a7
c14 c2c41c33ac431c31a3ca51c131ca32a73c11c33a31c43
i 1
k 1
dk k 1 k 2
系统的初始状态响应一定具有上述相似形式，只是 各时间响应分量的系数不同。
j
i 0 k(t) ci 0
j
0
k(t) ci
t
0
j
j
i
0 i
k(t) ci
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
i
k(t)
t
0
t
0
j
i
0
i
k(t)
j
i
0
i
i
k(t)
t0
t
0
t
稳定
临界稳定
不稳定
衰减振荡－稳定 等幅振荡－临界稳定 发散振荡－不稳定
C(s) K (s) (s)
设闭环极点均为单极点，展开为部分分式之和的形式
K (s) (s)
q i 1
Ai s si
r k 1
Bk (s kk ) Ck 1 k 2k
(s
kk
)2
（1
2 k
)k
2
系统的单位脉冲响应为
q
r
k (t) Aiesit + e kkt Bk cos dkt +Ck sin dkt
3.3 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
A
C
B
(a)
(b)
图示系统，在无外力作用时
小球可在 A、B 点保持静止
平衡状态
小球在平衡状态 A 附近的运动 越来越偏离 A
小球在平衡状态 B 附近的运动 渐近趋向于B
平系衡统状(态a)A不不稳稳定定 平衡系状统态(bB)稳稳定定
单摆系统：球质量为 m ，
的所有根均具有负实部，即闭环传递函数的极点均位
于s左半平面。
渐近稳定性
负实部—对任一闭环极点Si，Re(Si)<0 ~闭环传递函 数的所有极点均位于s左半平面（开左半平面）
不稳定—闭环传递函数有极点位于s右半平面(闭右 半平面)。
临界稳定—闭环传递函数有极点位于s平面的虚轴， 其余极点均位于s左半平面。
劳斯稳定判据 系统稳定的充要条件是劳斯表的第一
列元素均为正。若第一列元素出现负值，系统不稳定。
第一列元素符号改变的次数，等于特征方程正实部根
的数量。
例3.3-1 已知系统特征方程，判定系统稳定性。
6s5 5s4 4s3 3s2 2s 1 0
解：s5
6
42
s4
5
31
s3 (5 4) (6 3) 0.4 0.8 0
足必要条件，系统并不一定稳定。
若系统特征方程的系数中有负数或零（缺项)，则 系统一定不稳定。但所有系数均大于零，系统也有
可能不稳定。 充要条件－劳斯稳定判据。
1.系统稳定性判据——劳斯判据
劳斯表的列写 系统闭环特征方程为 a0sn a1sn1 an1s an 0 (a0 0)
sn ca101
杆长 l ，杆的质量相对球可 忽略，中心轴摩擦系数为 f
AC
m
mgl sin
mg
l
系统有两个平衡点：A、B
f
单摆的运动轨迹为圆。考虑
平衡点附近的运动。
外力为零时，球的运动方程为
mgl sin
f
d
dt
ml
d 2
dt 2
B
D
mgl sin mg
直观判断，由于阻尼的存在，球的摆动逐渐减弱，最
终会停留在 B 点，一般不会停留在 A 点。
平衡点 A ：不稳定 平衡点 B ：稳定
平衡点附近运动的稳定性称为平衡状态稳定性， 分为大范围稳定和小范围稳定。
线性系统的平衡状态—在无输入作用时，系统输 出的各阶导数为零；在输入作用下，系统处于某一 平衡的工作状态。
线性系统在平衡状态附近的运动—在外界扰动的 影响下，系统偏离平衡状态，产生偏差；外界扰动 消失时，为系统运动的初始时刻。系统在该初始偏 差的作用下的运动反映线性系统的稳定性。
动态过程—系统输出及其各阶导数在初始偏差作用 下的运动过程。
渐近稳定—系统稳定性能的一种定义。此外还有： Lyapunov稳定、BIBO稳定、一致稳定等等。
二、线性系统稳定的充分必要条件
稳定条件 稳定性是系统的固有特性，线性系统的 稳定性只取决于系统本身的结构和参数，而与外作用 及初始条件无关。
设n阶线性定常系统有q个实数极点、r对共轭复数
0.4
s1 7 0.8 0.41 =0.843 0
7
s0
1
空位处理方法：列 表计算时，若遇空 位，均以零赋值。
极点，系统闭环传递函数为
m
(s)
C(s) R(s)
q
(s
i 1
K * bi smi
i0
r
si )
(s2
k 1
2
kk s
k 2 )
系统的初始状态响应的拉氏变换与系统闭环传递函
数具有相似结构：分母多项式相同，分子多项式的系
数可能不同。
取 r(t) (t), R(s) 1,系统单位脉冲响应拉氏变换为
按稳定性定义，临界稳定属于不稳定。
三、劳斯(Routh)稳定判据
劳斯稳定判据是代数判据，可以判断系统的稳定 性，无需求出系统的特征根，还可以确定s右半平面
闭环极点数。
均为负数？
系统稳定的必要条件：特征方程的所有系数均为
正数。 a0 0或a0 1
同号、不缺项
必要条件－必须的条件，但不是充分的条件。满
闭环实极点对应的脉冲响应
闭环共轭复极点对应的脉冲响应
若要求系统单位脉冲响应趋于零，必须各闭环极点
对应的时间分量趋于零，即各闭环极点的实部应小于
零。
所有闭环极点均应位于s左半平面
闭环极点有重极点的情况：闭环极点对应的时间分
量出现 tkesit或tkeiit 的形式，结论仍成立。
线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程
系统平衡状态稳定性 系统初始偏差响应渐近趋 于零 系统初始状态响应渐近趋于零 系统脉冲响 应渐近趋于零 系统运动稳定性
系统稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影 响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零， 则称系统渐近稳定，简称稳定。
初始扰动—为外界扰动，只在初始时刻作用与系统， 使系统偏离零状态产生初始偏差。
ca221
ca341
ca461
……
sn-1 ca112
ca232
ca352
ca472
……
sn-2
c c c c c1133
a1a2 a0a3 a1
c 2233
a1a4 a0a5 a1
c3333
a1a6 a0a7 a1
43
……
sn-3
cc1144
c13a3 a1c23 c13
c c c2244
c13a5 a1c33 c13
c3344
c13a7 a1c43 c13
c44
……
…… s1 c1n
s0 ca1nn+1
… c2n
c13 c…23a1ca32a3a1a1a4a0a1a1aa360aa15a0a7
c14 c2c41c33ac431c31a3ca51c131ca32a73c11c33a31c43
i 1
k 1
dk k 1 k 2
系统的初始状态响应一定具有上述相似形式，只是 各时间响应分量的系数不同。
j
i 0 k(t) ci 0
j
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t
0
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i
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临界稳定
不稳定
衰减振荡－稳定 等幅振荡－临界稳定 发散振荡－不稳定
C(s) K (s) (s)
设闭环极点均为单极点，展开为部分分式之和的形式
K (s) (s)
q i 1
Ai s si
r k 1
Bk (s kk ) Ck 1 k 2k
(s
kk
)2
（1
2 k
)k
2
系统的单位脉冲响应为
q
r
k (t) Aiesit + e kkt Bk cos dkt +Ck sin dkt
3.3 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
A
C
B
(a)
(b)
图示系统，在无外力作用时
小球可在 A、B 点保持静止
平衡状态
小球在平衡状态 A 附近的运动 越来越偏离 A
小球在平衡状态 B 附近的运动 渐近趋向于B
平系衡统状(态a)A不不稳稳定定 平衡系状统态(bB)稳稳定定
单摆系统：球质量为 m ，
的所有根均具有负实部，即闭环传递函数的极点均位
于s左半平面。
渐近稳定性
负实部—对任一闭环极点Si，Re(Si)<0 ~闭环传递函 数的所有极点均位于s左半平面（开左半平面）
不稳定—闭环传递函数有极点位于s右半平面(闭右 半平面)。
临界稳定—闭环传递函数有极点位于s平面的虚轴， 其余极点均位于s左半平面。
劳斯稳定判据 系统稳定的充要条件是劳斯表的第一
列元素均为正。若第一列元素出现负值，系统不稳定。
第一列元素符号改变的次数，等于特征方程正实部根
的数量。
例3.3-1 已知系统特征方程，判定系统稳定性。
6s5 5s4 4s3 3s2 2s 1 0
解：s5
6
42
s4
5
31
s3 (5 4) (6 3) 0.4 0.8 0
足必要条件，系统并不一定稳定。
若系统特征方程的系数中有负数或零（缺项)，则 系统一定不稳定。但所有系数均大于零，系统也有
可能不稳定。 充要条件－劳斯稳定判据。
1.系统稳定性判据——劳斯判据
劳斯表的列写 系统闭环特征方程为 a0sn a1sn1 an1s an 0 (a0 0)
sn ca101
杆长 l ，杆的质量相对球可 忽略，中心轴摩擦系数为 f
AC
m
mgl sin
mg
l
系统有两个平衡点：A、B
f
单摆的运动轨迹为圆。考虑
平衡点附近的运动。
外力为零时，球的运动方程为
mgl sin
f
d
dt
ml
d 2
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B
D
mgl sin mg
直观判断，由于阻尼的存在，球的摆动逐渐减弱，最
终会停留在 B 点，一般不会停留在 A 点。
平衡点 A ：不稳定 平衡点 B ：稳定
平衡点附近运动的稳定性称为平衡状态稳定性， 分为大范围稳定和小范围稳定。
线性系统的平衡状态—在无输入作用时，系统输 出的各阶导数为零；在输入作用下，系统处于某一 平衡的工作状态。
线性系统在平衡状态附近的运动—在外界扰动的 影响下，系统偏离平衡状态，产生偏差；外界扰动 消失时，为系统运动的初始时刻。系统在该初始偏 差的作用下的运动反映线性系统的稳定性。
动态过程—系统输出及其各阶导数在初始偏差作用 下的运动过程。
渐近稳定—系统稳定性能的一种定义。此外还有： Lyapunov稳定、BIBO稳定、一致稳定等等。
二、线性系统稳定的充分必要条件
稳定条件 稳定性是系统的固有特性，线性系统的 稳定性只取决于系统本身的结构和参数，而与外作用 及初始条件无关。
设n阶线性定常系统有q个实数极点、r对共轭复数