人教版八年级数学上册单元测试：轴对称

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题（含答案）一、单选题1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(3,2)-B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(3,2)-3．下列黑体字中，属于轴对称图形的是（ ）A ．善B ．勤C ．健D ．朴4．如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若4AC =，10AB =，则ACD 的周长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．145．图1是光的反射规律示意图．其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线KO ⊥MN ，∠POK 是入射角，∠KOQ 是反射角，∠KOQ ＝∠POK ．图2中，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点6．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠AED '＝50°，则∠EFC 等于( )A ．65°B ．110°C ．115°D ．130°7．如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．188．如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒9．如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形10．如图，在等边ABC 中，BC 边上的高6AD =，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，EB EF +存在最小值，则这个最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BAF =∠CAG =90°，AB =AF ，AC =AG ，连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ， 则下列结论：①BG =CF ；②BG ⊥CF ；③∠EAF =∠ABC ；④EF =EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 12．如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④二、填空题13．已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．14．如图，,AC BD 在AB 的同侧，2,8,8AC BD AB ===，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=，则CD 的最大值是_____．15．如图，△ABC 的边CB 关于CA 的对称线段是CB '，边CA 关于CB 的对称线段是CA '，连结BB '，若点A '落在BB '所在的直线上，∠ABB '＝56°，则∠ACB ＝___度．16．如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．17．如图，在等边△ABC 中，点E 是边AC 上一点，AD 为BC 边上的中线，AD 、BE 相交于点F ，若∠AEB ＝100°，则∠AFB 的度数为_____．18．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，PQ 垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边,AC AB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；⑤作射线AF ．若AF 与PQ 的夹角为α，则α=________°．三、解答题19．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．（1）若2a =，3b =，求c 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若c 为奇数，试判断ABC 的形状，并说明理由．20．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)当点D 在AC 上时，如图①，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的ADE 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，如图②，线段BD ，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．(3)拓展应用：已知等边ABC 和等边ADE 如图③所示，求线段BD 的延长线和线段CE 所夹锐角的度数．21．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE AE ⊥，延长AE 交BC 的延长线于点F ．(1)请判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB ＝6，AD ＝2，求BC 的长度．22．已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上．(1)如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE +AD ；(2)如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE +BC ．23．（1）如图1，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 与CE 相交于点O ．求证：OA =2DO ；（2）如图2，若点G 是线段AD 上一点，CG 平分∠BCE ，∠BGF =60°，GF 交CE 所在直线于点F ．求证：GB =GF ．（3）如图3，若点G 是线段OA 上一点（不与点O 重合），连接BG ，在BG 下方作∠BGF =60°边GF 交CE 所在直线于点F ．猜想：OG 、OF 、OA 三条线段之间的数量关系，并证明．24．如图，在ABC 中，AD BC ⊥,AD BD =；点F 在AD 上，DF DC =．连接BF 并延长交AC 于E ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：BE AC ⊥；（3）若AB BC =，BF 与AE 有什么数量关系？请说明理由．25．如图，在Rt ABC 中，9030C A ∠=︒∠=︒，．点D 是AB 中点，点E 为边AC 上一点，连接CD DE ，，以DE 为边在DE 的左侧作等边三角形DEF ，连接BF ．△的形状为______；（1）BCD（2）随着点E位置的变化，DBF∠的度数是否变化？并结合图说明你的理由；AC=，请直接写出DE的长．（3）当点F落在边AC上时，若626．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF度数．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.(1)求证:AE=2CE;(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.28．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长。

人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案一．选择题（共10小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC ＝6，则DC为（）A．5B．8C．9D．103．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，若∠BAC＝100°，则∠ADC的度数为（）A．60°B．50°C．65°D．70°5．下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC一定与△A′B′C′全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（）A．10B．11C．12D．10或117．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（）A．6B．4C．3D．28．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．49．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°10．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（）A．4B．1.5或2C．2D．4或2二．填空题（共8小题）11．等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度．12．已知点P（1﹣a，3+2a）关于x轴的对称点落在第三象限，则a的取值范围是．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则顶角为．14．如图，等腰三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝40°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为度．15．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．16．如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB ＝12，AC＝10，则△ADE的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为．三．解答题（共7小题）19．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示：（1）分别写出点A，C的坐标：A的坐标：，C的坐标：；（2）请在这个坐标系内画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．20．已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm．（1）求x的取值范围．（2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．21．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．（1）求∠EDC的度数；（2）若AD＝2，求△AED的面积．22．如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC 于F，交BC于M．（1）求∠BDE的度数；（2）证明△ADF是等边三角形；（3）若MF的长为2，求AB的边长．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．：D．4．A．5．B．6．D．7．A．8．C．9．B．10．C．二．填空题（共8小题）11．60．12．a＞1．13．48°或132°．14．250．15．15．16．22．17．4．18．10．三．解答题（共7小题）19．解：（1）A（0，3），C（﹣2，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；点B1（﹣4，﹣4）；故答案为：（﹣4，﹣4）；（3）△A1B1C1的面积＝．20．解：（1）根据三角形三边关系得，8﹣4＜x＜8+4即4＜x＜12；（2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形两条边长分别为4cm，8cm，且4＜x＜12∴等腰三角形第三边只能是8cm∴等腰三角形周长为4+8+8＝20cm．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°AB＝AC＝BC∵AD为中线∴AD⊥CD∵AD＝AE∴∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；（2）解：过D作DH⊥AC于H∴∠AHD＝90°∵∠CAD＝30°∴∵AD＝AE＝2∴．22．证明：∵AB∥CD∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE．∵DC平分∠ACE∴∠ACD＝∠DCE∴∠B＝∠A∴AC＝BC∴△ABC为等腰三角形．23．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形∴∠BAE＝60°∵∠BAD＝15°∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°∵∠DAE＝80°∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．24．（1）证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵FE⊥BC∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°∴∠F＝∠BDE∵∠BDE＝∠FDA∴∠F＝∠FDA∴AF＝AD∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵DE⊥BC∴∠DEB＝90°∵∠F＝30°∴∠BDE＝30°∵BD＝4∴∵AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴AC＝AB＝BE+EC＝825．（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝30°在△BDE中，BD＝BE∴∠BDE＝∠BED＝×（180°﹣∠B）＝75°；（2）证明：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M ∴DF＝CF，∠FMC＝90°∴∠FDC＝∠C＝30°∴∠AFD＝∠FDC+∠C＝60°在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°∴∠CAD＝∠AFD＝60°∴△ADF是等边三角形；（3）在Rt△FMC中，∠C＝30°，MF＝2∴CF＝2MF＝4∴DF＝CF＝4由（2）可知：△ADF是等边三角形∴AF＝DF＝4∴AB＝AC＝AF+CF＝4+4＝8．。

人教版数学八年级上学期《轴对称》单元测试满分120分时间100分钟一．选择题(每题3分,共计30分)1．(2020•泰兴市一模)如图,四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分,其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．(2020•大丰区期末)如图,∠A＝30°,∠C′＝60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B 度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．(2020•顺德区四模)若点A(﹣3,2)与点B关于x轴对称,则点B的坐标是() A．(﹣3,2) B．(﹣3,﹣2) C．(3,2) D．(3,﹣2)4．(2020•忻州期末)如图,保持△ABC的三个顶点的横坐标不变,纵坐标都乘﹣1,画出坐标变化后的三角形,则所得三角形与原三角形的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位5．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,BC＝8,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,△BCE的周长为18,则AC的长等于()A．12 B．10 C．8 D．66．(2020•碑林区模拟)如图,AB∥CD,点E在AD上,且CD＝DE,∠C＝75°,则∠A的大小为()A．35°B．30°C．28°D．26°7．(2020 •北镇市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝60°,CD是斜边AB上的高,若AD＝3cm,则斜边AB的长为()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．(2020•上城区二模)若等腰三角形的一个外角度数为100°,则该等腰三角形顶角的度数为()A．80°B．100° C．20°或100°D．20°或80°9．(2020•方城县期末)如图,ABC是一钢架的一部分,为使钢架更加坚固,在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°,那么添加这样的钢管的根数最多是()A．7根 B．8根C．9根D．10根10．(2020•射阳县期末)如图,弹性小球从P(2,0)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1,第二次碰到正方形的边时的点为P2…,第n次碰到正方形的边时的点为P n,则P2020的坐标是()A．(5,3) B．(3,5) C．(0,2) D．(2,0)二．填空题(每题3分,共计15分)11．(2020•萧山区期末)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣3,2)与点(3,2)关于(填写x或y)轴对称．12．(2020•厦门模拟)如图,AB＝AC,AD∥BC,∠DAC＝50°,则∠B的度数是．13．(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点．分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是．14．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,AB＝10,AC＝8,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为．15．(2020•平潭县期末)已知A(0,2)和B(4,2),点P在x轴上,若要使PA+PB最小,则点P的坐标为．三．解答题(共75分)16．(8分)(2020 •南岗区期中)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．(1)若等腰三角形有一条边长为4,它的其它两边是多少？(2)若等腰三角形的三边长都为整数,请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．17．(9分)(2020•平谷区期末)如图,已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直角尺DEMN 如图所示摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P．(1)猜想△DOP是三角形；(2)补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝18．(9分)(2020•沙坪坝区自主招生)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD平分∠ABC 交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE．(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)求∠BDE的度数．19．(9分)(2020黑河期末)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,A(2,3),B(1,1),C(4,2)．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)直接写出△ABC的面积；(2)请在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；(3)在(2)的条件下,若M(x,y)是△ABC内部任意一点,请直接写点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标．20．(9分)(2020•兴化市期中)△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F．(1)求证：EF＝BE+FC；(2)若△ABC的周长比△AEF的周长大10,试求出BC的长度．21．(10分)(2020•曹县期末)如图,已知△ABC,点B在直线a上,直线a,b相交于点O．(1)画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1；(2)在直线b上画出点P,使BP+CP最小．22．(10分)(2020•永安市期末)已知,△ABC是等边三角形,D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点,且∠DEF＝60°．(1)如图1,若∠1＝50°,求∠2；(2)如图2,连接DF,若∠1＝∠3,求证：DF∥BC．23．(11分)(2020•济源期末)如图,在等边△ABC中,AB＝AC＝BC＝10厘米,DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发,若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后,△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形？(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25秒点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是厘米/秒．(直接写出答案)参考答案一．选择题(每题3分,共计30分)1．(2020•泰兴市一模)如图,四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分,其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解析】D【解答】A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．2．(2020•大丰区期末)如图,∠A＝30°,∠C′＝60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B 度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】C【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∴△ABC≌△A′B′C′,∴∠C＝∠C′＝60°,∵∠A＝30°,∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°,故选：C．3．(2020•顺德区四模)若点A(﹣3,2)与点B关于x轴对称,则点B的坐标是() A．(﹣3,2) B．(﹣3,﹣2) C．(3,2) D．(3,﹣2)【解析】B【解答】∵点A(﹣3,2)与点B关于x轴对称,∴点B的坐标是(﹣3,﹣2)．故选：B．4．(2020•忻州期末)如图,保持△ABC的三个顶点的横坐标不变,纵坐标都乘﹣1,画出坐标变化后的三角形,则所得三角形与原三角形的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位【解析】A【解答】∵纵坐标乘以﹣1,∴变化前后纵坐标互为相反数,又∵横坐标不变,∴所得三角形与原三角形关于x轴对称．故选：A．5．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,BC＝8,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,△BCE的周长为18,则AC的长等于()A．12 B．10 C．8 D．6【解析】B【解答】∵DE是AB的垂直平分线,∴EA＝EB,由题意得,BC+CE+BE＝18,则BC+CE+AE＝18,即BC+AC＝18,又BC＝8,∴AC＝10,故选：B．6．(2020•碑林区模拟)如图,AB∥CD,点E在AD上,且CD＝DE,∠C＝75°,则∠A的大小为()A．35°B．30°C．28°D．26°【解析】B【解答】∵CD＝DE,∴∠DEC＝∠C＝75°,∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣75°﹣75°＝30°,∵AB∥CD,∴∠A＝∠D＝30°；故选：B．7．(2020 •北镇市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝60°,CD是斜边AB上的高,若AD＝3cm,则斜边AB的长为()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解析】D【解答】∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC＝90°,∵∠A＝60°,∠ACB＝90°,∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°,∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝30°,∵AD＝3cm,∴AC＝2AD＝6cm,∴AB＝2AC＝12cm,故选：D．8．(2020•上城区二模)若等腰三角形的一个外角度数为100°,则该等腰三角形顶角的度数为()A．80°B．100° C．20°或100°D．20°或80°【解析】D【解答】当100°的角是顶角的外角时,顶角的度数为180°﹣100°＝80°；当100°的角是底角的外角时,底角的度数为180°﹣100°＝80°,所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故顶角的度数为80°或20°．故选：D．9．(2020•方城县期末)如图,ABC是一钢架的一部分,为使钢架更加坚固,在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°,那么添加这样的钢管的根数最多是()A．7根 B．8根C．9根D．10根【解析】B【解答】∵添加的钢管长度都与BD相等,∠ABC＝10°,∴∠DBE＝∠DEB＝10°,∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°,∵DE＝EF,∴∠EDF＝∠EFD＝20°,∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°,…由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,第四个是40°,第五个是50°,第六个是60°,第七个是70°,第八个是80°,第九个是90°(与三角形内角和为180°相矛盾)就不存在了．所以一共有8个,∴添加这样的钢管的根数最多是8根．故选：B．10．(2020•射阳县期末)如图,弹性小球从P(2,0)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1,第二次碰到正方形的边时的点为P2…,第n次碰到正方形的边时的点为P n,则P2020的坐标是()A．(5,3) B．(3,5) C．(0,2) D．(2,0)【解析】D【解答】由题意得,点P1的坐标为(5,3),点P2的坐标为(3,5),点P3的坐标为(0,2),点P4的坐标为(2,0),点P5的坐标为(5,3),2020÷4＝505,∴P2020的坐标为(2,0),故选：D．二．填空题(每题3分,共计15分)11．(2020•萧山区期末)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣3,2)与点(3,2)关于(填写x或y)轴对称．【解析】y【解答】∵点(﹣3,2)与点(3,2)的横坐标互为相反数,纵坐标相同,∴点(﹣3,2)与点(3,2)关于y轴对称,故答案为y．12．(2020•厦门模拟)如图,AB＝AC,AD∥BC,∠DAC＝50°,则∠B的度数是．【解析】50°【解答】∵AD∥BC,∠DAC＝50°,∴∠C＝∠DAC＝50°,∵AB＝AC,∴∠B＝∠C＝50°,故答案为：50°．13．(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点．分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是．【解析】6【解答】∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF＝2,∵DE∥AB,DF∥AC,∴△DEF是等边三角形,∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．14．(2020•宿豫区期中)如图,在△ABC中,AB＝10,AC＝8,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为．【解析】18【解答】∵在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∴∠ABO＝∠OBC,∵MN∥BC,∴∠MOB＝∠OBC,∴∠ABO＝∠MOB,∴BM＝OM,同理CN＝ON,∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案为：18．15．(2020•平潭县期末)已知A(0,2)和B(4,2),点P在x轴上,若要使PA+PB最小,则点P的坐标为．【解析】(2,0)【解答】如图,∵A(0,2)∴点A关于x轴的对称点A′(0,﹣2),∵B(4,2),连接A′B交x轴于点P, ∵AB＝4,AB∥x轴,O是AA′中点,∴P是A′B的中点,∴OP是△A′AB的中位线,∴OP=12AB＝2,若要使PA+PB最小,则点P的坐标为(2,0)．故答案为(2,0)．三．解答题(共75分)16．(8分)(2020 •南岗区期中)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．(1)若等腰三角形有一条边长为4,它的其它两边是多少？(2)若等腰三角形的三边长都为整数,请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．解：(1)当等腰三角形的腰长为4,∴底边长为18﹣4×2＝10,∵4+4＜10,∴4、4、10不能组成三角形,当等腰三角形的底边长为4,∴腰长为(18﹣4)÷2＝7,∵4+7＞7,∴4、7、7能组成三角形,综上所述,其他两边分别为4和7．(2)设等腰三角形的三边长为x、x、y,由题意可知：2x+y＝18,且2x＞y,∴y＜9,∵x=18−y2=9−y2,x与y都是整数,∴y是2的倍数, ∴y＝2时,x＝8, y＝4时,x＝7,y＝8,x＝5．17．(9分)(2020•平谷区期末)如图,已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直角尺DEMN 如图所示摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P．(1)猜想△DOP是等腰三角形；(2)补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴∠DOP＝∠BOP∵DN∥EM∴∠DPO＝∠BOP∴∠DOP＝∠DPO∴OD＝PD解：(1)我们猜想△DOP是等腰三角形；(2)补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB,∴∠DOP＝∠BOP,∵DN∥EM,∴∠DPO＝∠BOP,∴∠DOP＝∠DPO,∴OD＝PD．故答案为：等腰,∠DOP,∠BOP,∠DPO,∠BOP,∠DOP,∠DPO,OD,PD．18．(9分)(2020•沙坪坝区自主招生)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD平分∠ABC 交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE．(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)求∠BDE的度数．证明：(1)∵AB＝AC,∠A＝36°,∴∠ABC＝∠C＝72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC＝36°,∠A＝36°,∴BD＝AD,即△ABD是等腰三角形；(2)∵点E是AB的中点,∴AE＝EB,∴∠DEB＝90°,∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．19．(9分)(2020黑河期末)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,A(2,3),B(1,1),C(4,2)．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)直接写出△ABC的面积；(2)请在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；(3)在(2)的条件下,若M(x,y)是△ABC内部任意一点,请直接写点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标．解：(1)△ABC的面积为2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3=52；(2)如图所示,△A'B'C'即为所求．(3)点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标为(x,﹣y)．20．(9分)(2020•兴化市期中)△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F．(1)求证：EF＝BE+FC；(2)若△ABC的周长比△AEF的周长大10,试求出BC的长度．解：(1)∵EF∥BC,∴∠EOB＝∠OBC,∠FOC＝∠OCB,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∴∠EBO＝∠OBC,∠OCB＝∠FCO,∴∠EBO＝∠EOB,∠FOC＝∠FCO,∴BE＝OE,OF＝FC；∴EF＝BE+FC；(2)由(1)证得BE＝OE,OF＝CF,∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+OF+AF＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC,∵△ABC的周长比△AEF的周长大10,∴BC＝AB+AC+BC﹣AB+AC＝10．21．(10分)(2020•曹县期末)如图,已知△ABC,点B在直线a上,直线a,b相交于点O．(1)画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1；(2)在直线b上画出点P,使BP+CP最小．解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求；(2)如图所示,点P即为所求．22．(10分)(2020•永安市期末)已知,△ABC是等边三角形,D、E、F分别是AB、BC、AC 上一点,且∠DEF＝60°．(1)如图1,若∠1＝50°,求∠2；(2)如图2,连接DF,若∠1＝∠3,求证：DF∥BC．解：(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B＝∠A＝∠C＝60°,∵∠B+∠1+∠DEB＝180°,∠DEB+∠DEF+∠2＝180°,∵∠DEF＝60°,∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB,∴∠2＝∠1＝50°；(2)∵∠B+∠1+∠DEB＝180°,∠FDE+∠3+∠DEF＝180°,又∵∠B＝60°,∠DEF＝60°,∠1＝∠3,∴∠FDE＝∠DEB,∴DF∥BC．23．(11分)(2020•济源期末)如图,在等边△ABC中,AB＝AC＝BC＝10厘米,DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发,若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后,△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形？(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25秒点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是厘米/秒．(直接写出答案)解：(1)①△BMN≌△CDM．理由如下：∵V N＝V M＝3厘米/秒,且t＝2秒,∴CM＝2×3＝6(cm)BN＝2×3＝6(cm)BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4(cm)∴BN＝CM∵CD＝4(cm)∴BM＝CD∵∠B＝∠C＝60°,∴△BMN≌△CDM．(SAS)②设运动时间为t秒,△BMN是直角三角形有两种情况：Ⅰ．当∠NMB＝90°时,∵∠B＝60°,∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BN＝2BM,∴3t＝2×(10﹣3t)∴t=209(秒)；Ⅱ．当∠BNM＝90°时,∵∠B＝60°,∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∴BM＝2BN,∴10﹣3t＝2×3t∴t=109(秒)．∴当t=209秒或t=109秒时,△BMN是直角三角形；(2)分两种情况讨论：I．若点M运动速度快,则3×25﹣10＝25V N,解得V N＝2.6；Ⅱ．若点N运动速度快,则25V N﹣20＝3×25,解得V N＝3.8．故答案是3.8或2.6．。

第十三章　轴对称时间:60分钟　满分:100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·辽宁盘锦双台子区期末)下列由黑白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是( )　A B C D2.(2022·福建福州鼓楼区期中改编)在平面直角坐标系中,若点(2,m)与点(n,3)关于x 轴对称,则(m+n)2 023的值为( )A.0B.-1C.1D.32 0233.如图是3×3的正方形网格,其中已有2个小方格被涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出1个也涂成黑色,使黑色部分依然是轴对称图形,不能选择的是( )A.①B.②C.③D.④4.(2022·四川遂宁期末)若等腰三角形的一个外角等于70°,则它的底角的度数为( ) A.35° B.70° C.110° D.55°5.(2022·河南周口期末)元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点,那么凳子应该放在△ABC的( )A.三边中线的交点处B.三边垂直平分线的交点处C.三边上高的交点处D.三条角平分线的交点处6.(2022·山东菏泽期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ABE的度数为( ) A.20° B.35° C.40° D.70°(第6题) (第7题)7.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b 上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.(2022·广东广州天河区期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是( )A.AD=BDB.∠BDC=72°C.S△ABD∶S△BCD=BC∶ACD.△BCD的周长=AB+BC9.(2022·山东烟台期末)如图,∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=22,点M,N在射线OB上(点M在点N的左侧),且PM=PN.若MN=4,则OM的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.11(第9题) (第10题)　10.(2022·辽宁大连期末)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内部的一点,连接BD.若BD=1m,点E,F分别是边BA,BC上的动点,则△DEF的周长的最小值为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.新风向开放性试题汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形,请再写出两个这样的汉字: .12.(2022·安徽合肥庐阳区期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.若CE=3,则AE= .(第12题) (第13题)13.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=24°,则∠C的度数为 .14.新风向新定义试题(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的优美比.若在等腰三角形ABC中,∠A=36°,则它的优美比为 .15.(2022·河南济期末)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 023次变换后,点A所对应的坐标是 .16.(2021·北京西城区期末)如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于三、解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2022·湖北十堰期末节选)如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图.(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称;(2)在直线l上找一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.(要求:不写作法,保留作图痕迹)18.(8分)(2022·湖北十堰郧阳区期中改编)某市发生地震后,为了抢救伤员,一架救援直升机从该市A地起飞,运送一批地震伤员沿正北方向到机场N,如图.上午8时,直升机从A地出发,以200 km/h的速度向正北方向飞行,9时到达B地,此时,机场的导航站传来信息:在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80 km内能见度低,飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°,∠NBC=30°.问该直升机继续向机场N飞行是否有危险,请说明理由.19.(8分)新风向开放性试题(2022·江苏南京鼓楼区期中)证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中, .求证: .证明:20.(8分)如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC=15°,求∠AEB的度数;21.(10分)新风向探究性试题(2022·河北石家庄裕华区期末)【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC 于点E,交BC于点F,连接AD,AF.若∠B=30°,∠BAF=90°,求∠DAC的度数.【探究】如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会变吗?请说明理由.22.(12分)如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N 第一次到达点B时,M,N同时停止运动.(1)当点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)当点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能,请求出此时M,N运动的时间.第十三章　轴对称选择填空题答案速查12345678910D B D A B B A C C B11.甲,本(答案不唯一)12.613.39°14.215.(-a,b)16.181.D高分锦囊判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到这样一条直线,使这个图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.2.B　∵点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,∴m=-3,n=2,∴(m+n)2 023=(2-3)2 023=-1.3.D　图示速解如图,将编号为④的小方格涂成黑色,黑色部分不是轴对称图形.4.A　由题意可得,与等腰三角形的这个外角相邻的内角等于110°.∵三角形的内×(180°-110°)=35°.角和为180°,∴底角不可能等于110°,∴底角度数为125.B　∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点处.6.B　∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,【关键】等腰三角形的“三线合一”∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=1×(180°-40°)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,2∴∠ABE=1∠ABC=35°.2一题多解∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴AD⊥BC,∴∠C=90°-20°=70°,∴∠ABC=∠C=70°.又BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=1∠ABC=35°.27.A　图示速解如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA 的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选A.8.C　∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,【关键】由尺规作图可以得出BD平分∠ABC∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD,∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.【关键】两三角形同高不同底故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.7.C　如图,过点P作PC⊥OB于点C,∵∠AOB=60°,∴∠OPC=90°-∠AOB=30°.∵OP=22,∴OC=1OP=11.∵2MN=2,∴OM=OC-MC=11-2=9.PM=PN,MN=4,∴MC=1210.B　(转化思想)如图,作点D关于AB的对称点G,作点D关于BC的对称点H,连接GH交AB于点E,交BC于点F,此时△DEF的周长有最小值,连接GB,BH.由线段垂直平分线的性质可得,GE=ED,DF=FH,由轴对称的性质得BG=BD,BD=BH,∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH,此时△DEF的周长最小值为GH.∵∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH,BD=m,∴∠GBH=2∠ABC=2×30°=60°,∴△GBH是等边三角形,∴GH=BG=BD=m,∴△DEF的周长的最小值为m.【关键】发现△GBH是等边三角形11.甲,本(答案不唯一,只要是轴对称图形即可)12.6　∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°.∵∠C=90°,CE=3,∴BE=2CE=2×3=6,∴AE=6.13.39°　∵AB=AD,∠BAD=24°,∴∠B=∠ADB=1×(180°-24°)=78°.2又AD=DC ,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=12×78°=39°.14.2　(分类讨论思想)当∠A 为顶角时,则底角∠B=∠C=72°,此时,优美比=72°36°=2;当∠A 为底角时,则顶角为108°,此时,优美比=36°108°=13(不合题意,舍去).15.(-a ,b )　第1次变换后,点A 在第四象限;第2次变换后,点A 在第三象限;第3次变换后,点A 在第二象限;第4次变换后,点A 在第一象限,回到原始位置,…,以此类推,每4次变换为一组循环.因为2 023÷4=505……3,所以第2 023次变换后,点A 在第二象限,坐标为(-a ,b ).16.18　∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°.∵AD ⊥BC ,∴BD=CD ,∠DAC=12∠BAC=30°.∵AD=12,∴DE=12AD=6.∵DE ⊥AC ,∴∠EDC=90°-∠C=90°-60°=30°,∴EC=12DC ,∴BC=4EC.∵S △EDC =12ED ·EC=12×6×EC=3EC ,S △ABC =12AD×BC=12×12×BC=6BC=24EC ,∴S △EDCS △ABC =3EC24EC =18.17.【参考答案】(1)如图,△A 1B 1C 1即为所求作.(3分)(2)如图,点P 即为所求作.(6分)18.【参考答案】该直升机继续向机场N 飞行无危险.(1分)理由:如图,过点C 作CD ⊥AN 于点D ,∵∠NAC=15°, ∠NBC=30°,∴∠ACB=15°,CD=12BC ,∴∠ACB=∠NAC ,∴BC=AB.(5分)由题意可得,AB=200 km,∴BC=200 km,∴CD=100 km.∵100>80,∴该直升机继续向机场N飞行无危险.(8分)19.【参考答案】已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.(2分)求证:△ABC是等腰三角形.(4分)证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(8分)20.【参考答案】(1)补全图形如图所示. (3分) (2)在等边三角形ABC中,AC=AB ,∠BAC=60°.由对称可知AD=AC ,∠PAD=∠PAC=15°,∴∠BAD=90°,AB=AD ,∴∠ABD=∠D=45°,∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.(8分)21.思路导图【参考答案】【问题】∵AB=BD ,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADB=180°―30°2=75°.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-30°=60°.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=30°,∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.(5分)【探究】不变.(6分)理由:∵AB=BD ,∴∠BAD=∠ADB=180°―∠B 2=90°-12∠B.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-∠B.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=45°-12∠B ,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-12∠B-(45°-12∠B )=45°.(10分)22.【参考答案】(1)设当点M ,N 运动x s 时,M ,N 两点重合,由题意,可得x×1+12=2x ,解得x=12.故当点M ,N 运动12 s 时,M ,N 两点重合.(2分)(2)设当点M ,N 运动t s 时,可得到等边三角形AMN ,此时AM=t ,AN=AB-BN=12-2t ,∴t=12-2t ,解得t=4.(4分)故当点M ,N 运动4 s 时,可得到等边三角形AMN.(5分)(3)当点M ,N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰三角形.(6分)若△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,则AN=AM ,∴∠AMN=∠ANM ,∴∠AMC=∠ANB.∵在△ABC 中,AB=BC=AC ,∴△ACB 是等边三角形,∴∠C=∠B=60°.(8分)在△ACM 和△ABN 中,∠AMC =∠ANB ,∠C =∠B ,AC =AB ,∴△ACM ≌△ABN ,∴CM=BN.(10分)设当点M ,N 运动时间为y s 时,△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y ,∴y-12=36-2y ,解得y=16.故能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ,此时M ,N 运动的时间为16 s .(12分)。

13.5轴对称（单元检测）一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知A、B是两个定格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．具体如图所示：故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．，连结BF，2．(本题3分)如图，AD是ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE DFCE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C∆≅∆，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判【分析】根据“SAS”可证明CDE BDF断；由于AE与DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠=∠，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．ECD FBD∆的中线，【详解】AD是ABCCD BD∴=，∠=∠，=，CDE BDFDE DF∴∆≅∆，所以④正确；()CDE BDF SAS∴=，所以①正确；CE BF∵与DE不能确定相等，AE∆面积不一定相等，所以②错误；ACE∴∆和CDE∆≅∆，CDE BDF∴∠=∠，ECD FBD∴，所以③正确；BF CE//故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5种判定方法是解题的关键．3．(本题3分)如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（）A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋【答案】B【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．【详解】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：∴最后落入2号球袋,故选B.【点评】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．4．(本题3分)下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；③等腰三角形的两底角相等；④等腰三角形两底角的平分线相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；③等腰三角形的两底角相等；正确；④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．故选D．点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．，D是BC中点，下列结论，不一定正确的是（）5．(本题3分)如图，△ABC中，AB ACA ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．【详解】∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．(本题3分)等腰三角形ABC 中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【分析】根据已知条件中的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，则需分两种情况讨论．【详解】根据题意，如图所示：①当AC+12AC=15，解得AC=10，所以底边长=12-12×10=7； ②当AC+12AC=12，解得AC=8， 所以底边长=15-12×8=11． 所以底边长等于7或11．故选：B ．【点评】考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键抓住在已知条件没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，需采用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形．7．(本题3分)如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1，P 2交 OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 的周长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】 试题分析：根据对称图形的性质可得：PM=1P M ，PN=2P N ，则△PMN 的周长=PM+MN+PN=1P M+MN+2P N=1P 2P =6．考点：对称的性质8．(本题3分)如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ） A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【分析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A ，利用“等角对等边”可得其为等腰三角形．【详解】如图，DC 平分∠ACE ，且AB ∥CD ，∴∠ACD =∠DCE ，∠A =∠ACD ，∠B =∠DCE ，∴∠B =∠A ，∴△ABC 为等腰三角形．故选B ．【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 9．(本题3分)将点A (2，3)向左平移2个单位长度得到点A’，点A’关于x 轴的对称点是A’’，则点A’’的坐标为（ ）A ．(0，－3)B ．(4，－3)C ．(4，3)D ．(0，3)【答案】A【详解】试题解析：∵点A （2，3）向左平移2个单位长度得到点A′，∴点A′的横坐标为2-2=0，纵坐标不变，即点A′的坐标为（0，3）．点A ′关于x 轴的对称点是A ″，则点A ″的坐标为（0，-3）.故选A ．10．(本题3分)已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ； （2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BCD ．ABDC S AD BC =【答案】D 【分析】根据作图过程及所作图形可知BD BC CD ==，得出△BCD 是等边三角形；又因为AB AC =，,BD CD AD AD ==，推出ABD ACD ≅，继而得出BAD CAD ∠=∠；根据，BAD CAD ∠=∠，可知AD 为BAC ∠的角平分线，根据三线合一得出AD 垂直平分BC ；四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和，为12AD BC ⋅． 【详解】∵BD BC CD ==∴△BCD 是等边三角形故选项B 正确；∵AB AC =，,BD CD AD AD ==∴ABD ACD ≅∴BAD CAD ∠=∠故选项A 正确；∵BAD CAD ∠=∠，AB AC =∴据三线合一得出AD 垂直平分BC故选项C 正确；∵四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和 ∴12ABCD S AD BC =⋅ 故选项D 错误．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．11．(本题3分)如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．7D ．6【答案】D【分析】延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.【详解】如图，延长AD 、BC 交于点G∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒∴BAD G ∠=∠AB BG ∴=，D 是AG 的中点∵//DE BG∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线 ∴12,22EF BC BG DE === 又∵2EF DF =∴1DF =∴3DE EF DF =+=∴26BG DE ==∴6AB =故选：D.【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.12．(本题3分)如图，AB ⊥AC ，CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG ∥BC ，AG ⊥BG ，下列结论：①∠BAG ＝2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG ＝∠ACB ；④∠CFB ＝135°，其中正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题目(共12分)13．(本题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．【答案】12【分析】根据平移的性质得2BB '=，4A B AB ''==，=60A B C B ∠''∠=︒，则可计算624B C BC BB '=-'=-=，则4A B B C ''='=，可判断A B C ''△为等边三角形，继而可求得A B C ''△的周长．【详解】ABC 平移两个单位得到的A B C '''，2BB ∴'=，AB A B =''，4AB =，6BC =，4A B AB ∴''==，624B C BC BB '=-'=-=，4A B B C ∴''='=，又60B ∠=︒，60A B C ∴∠''=︒，A B C ∴''是等边三角形，A B C ∴''的周长为4312⨯=．故答案为：12．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．(本题3分)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∠A =25°，D 是AB 上一点，将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于_____．【答案】40°．【详解】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．15．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．【答案】18【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．【详解】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠MOB，∴BM＝OM，同理CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案为：18．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．16．(本题3分)如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若，则BC的长是_____．【解析】【分析】由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．【详解】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=180362︒-︒=72°，∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴，【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．三、解答题(共72分)17．(本题8分)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．【答案】（1）其他两边分别为4和7；（2）y ＝2时，x ＝8，y ＝4时，x ＝7，y ＝8时，x ＝5．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出答案．（2）设等腰三角形的三边长为x 、x 、y ，根据题意可知y ＜9，y 是2的倍数，从而可求出答案．【详解】（1）当等腰三角形的腰长为4，∴底边长为18﹣4×2＝10，∵4+4＜10，∴4、4、10不能组成三角形，当等腰三角形的底边长为4，∴腰长为（18﹣4）÷2＝7，∵4+7＞7，∴4、7、7能组成三角形，综上所述，其他两边分别为4和7．（2）设等腰三角形的三边长为x 、x 、y ，由题意可知：2x +y ＝18，且2x ＞y ，∴y ＜9，∵x ＝18y 2-＝9﹣y 2，x 与y 都是整数， ∴y 是2的倍数，∴y ＝2时，x ＝8，y ＝4时，x ＝7，y ＝8，x ＝5．【点评】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 18．(本题8分)如图，一个四边形纸片ABCD ，90B D ∠=∠=︒，把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边上的'B 点，AE 是折痕．（1）判断'B E 与DC 的位置关系，并说明理由；（2）如果130C ∠=︒，求AEB ∠的度数．【答案】（1）B′E ∥DC ，理由见解析；（2）65°【分析】（1）由于AB '是AB 的折叠后形成的，可得90AB E B D ∠'=∠=∠=︒，可得B′E ∥DC ； （2）利用平行线的性质和全等三角形求解．【详解】（1）由于AB '是AB 的折叠后形成的，90AB E B D ∠'=∠=∠=︒，//B E DC ∴'；（2）折叠，ABE ∴∆≅△AB E '，AEB AEB ∴∠'=∠，即12AEB BEB ∠=∠'， //B E DC '，130BEB C ∴∠'=∠=︒，1652AEB BEB ∴∠=∠'=︒． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边上的B ′点，则ABE ∆≅△AB E '，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．19．(本题8分)如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE.【答案】见解析【分析】如图，过点 A 作 ⊥AP BC 于 P ，根据等腰三角形的三线合一得出BP=PC ，DP=PE ，进而根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出BD=CE ．【详解】如图，过点A 作⊥AP BC 于 P ．∵AB AC =，∴BP PC =；∵AD AE =，∴DP PE =，∴BP DP PC PE -=-，∴BD=CE ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．20．(本题8分)如图所示，一个四边形纸片ABCD ，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在AD 边上的B′点，AE 是折痕．（1）试判断B′E 与DC 的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB 的度数．【答案】（1）B 'E//DC ；（2）∠AEB=65°【分析】（1）先由折叠性质可知90AB E B '∠=∠=︒，再由∠D=90°可得AB E D ∠'=∠，进而求解即可； （2）先运用平行线的性质可得130B EB C ∠=∠='︒，再由折叠的性质可得AEB AEB '∠=∠，进而求解即可．【详解】（1）B 'E ∥DC由折叠可知∠A B 'E=∠B=90°∵∠D=90°∴∠A B 'E=∠D∴B 'E ∥DC（2）∵B′E ∥DC∴∠B'EB=∠C=130°由折叠可知∠AEB=∠AE B'，∴∠AEB=12∠B'EB=12×130°=65°故答案为：65°【点评】本题主要是折叠的性质以及平行线的判定和性质，根据折叠的性质，找到折叠后相等的角和边；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．21．(本题8分)如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR 分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．【答案】（1）4，1；（2）5【分析】（1）利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题；（2）利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．【详解】（1）∵P，Q关于OA对称，∴OA垂直平分线段PQ，∴MQ＝MP＝4，∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．（2）∵P，R关于OB对称，∴OB垂直平分线段PR，∴NR＝NP＝4，∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握轴对称的性质属于中考常考题型． 22．(本题10分)如图，点O 是等边ABC 内一点，AOB 110∠=，BOC α∠=．将BOC 绕点C 逆时针旋转60得ADC ，连接OD ．()1求证：DOC 是等边三角形；()2当AO 5=，BO 4=，α150=时，求CO 的长； ()3探究：当α为多少度时，AOD 是等腰三角形．【答案】()1证明见解析；()23CO =；()3125α=、110α=或140α=．【分析】()1由旋转的性质可以知道CO CD =，D 60OC ∠=，可判断COD 是等边三角形； ()2由()1可知D 60OC ∠=，当α150=时，90ADO ADC CDO ∠∠∠=-=，可判断AOD 为直角三角形； ()3?根据AOD 是等腰三角形，推出两腰相等，分三种情况进行讨论，利用旋转和全等的性质即可得出答案. 【详解】()1∵将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC ，∴BOC ADC ≅，D 60OC ∠=，∴CO CD =．∴COD 是等边三角形；()2∵ADC BOC ≅，∴4DA OB ==，∵COD 是等边三角形，∴60CDO ∠=，又150ADC ∠∠α==，∴90ADO ADC CDO ∠∠∠=-=，∴AOD 为直角三角形．又5AO =，4AD =，∴3OD =，∴3CO OD ==；()3若AOD 是等腰三角形，所以分三种情况：①AOD ADO ∠∠=②ODA OAD ∠∠=③AOD DAO ∠∠=，∵110AOB ∠=，60COD ∠=，∴36011060190BOC AOD AOD ∠∠∠=---=-，而BOC ADC ADO CDO ∠∠∠∠==+，由①AOD ADO ∠∠=可得60BOC AOD ∠∠=+，求得125α=；由②ODA OAD ∠∠=可得11502BOC AOD ∠∠=-求得110α=；由③AOD DAO ∠∠=可得2402BOC AOD ∠∠=-，求得140α=； 综上可知125α=、110α=或140α=．【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰（边）三角形的判定与性质，掌握图形的关系是解题的关键.23．(本题10分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC=125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数.【答案】70°、40°.【详解】试题分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ⊥BC ，再求出∠CDE ，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE ，根据角平分线的定义求出∠ACB ，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．试题解析：∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∵∠ADC=125°，∴∠CDE=55°，∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=70°，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．24．(本题12分)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．【详解】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形．∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形．∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD．∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∠AFB是△ADF的外角．∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°．∴∠AFB=90°．如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．∴∠ACE=∠DCB．又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°．∴∠AFB=60°．故填120°，90°，60°．（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．∴∠ACE=∠DCB．∴∠CAE=∠CDB．∴∠DFA=∠ACD．∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．（3）∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中，则△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路．祝福语祝你考试成功!。

第十三章《轴对称》章节测试卷一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．下列交通安全标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）A．30°B．50°C．90°D．100°3．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A．三条角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条中线的交点4．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）A．20°B．40°C．50°D．60°5．若等腰三角形有两条边的长度为5和8，则此等腰三角形的周长为（ ）A．18或21B．21C．24或18D．186．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，AB，CB分别交直线m于点D 和点E，且DB＝DE，若∠1＝65°，则∠BDE的度数为（ ）A．115°B．120°C．130°D．145°7．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知等腰三角形其中一个内角为70°，那么这个等腰三角形的顶角度数为（ ）A．70°B．70°或55°C．40°或55°D．70°或40°9．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜32C．−32＜a＜1D．a＞3210．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）A．4B．6C．8D．1011．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）A．10B．8C．6D．412．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）A．16B．19C．20D．21二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．若点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，则2m+3n的值为 ．14．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 ．15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′＝70°，则∠B′OG的度数为 ．16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A n B n A n+1的边长为 ．三．解答题（共8小题，共86分）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为 ；（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）20．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB＝2，求△AFD的面积．21．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．22．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC 的高为h．（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．23．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N 运动的时间；若不存在，请说明理由．24．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．答案一．选择题1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：D．3．【解答】解：∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，∵OC＝OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，故选：B．4．【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．5．【解答】解：根据题意，①当腰长为5时，周长＝5+5+8＝18；②当腰长为8时，周长＝8+8+5＝21．故选：A．6．【解答】解：如图，∵DB＝DE，∴∠2＝∠B，∴∠3＝2∠B，∵∠C＝90°，∴∠5＝90°﹣∠B，∵m∥n，∴∠1+∠5+∠3＝180°，∴65°+90°﹣∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝25°，∴∠BDE＝130°，故选：C．7．【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．故选：C．8．【解答】解：分两种情况：当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；当70°的角是顶角时，则顶角为70°．故选：D．9．【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，∴点P在第四象限，，∴{a+1＞0①2a−3＜0②解不等式①得，a＞﹣1，，解不等式②得，a＜32，所以，不等式组的解集是﹣1＜a＜32故选：B．10．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．11．【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，{∠ABP=∠EBPBP=BP∠APB=∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC=12×12＝6，故选：C．12．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值为19，故选：B．二．填空题13．【解答】解：∵点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，∴m＝2，n＝﹣3，∴2m+3n＝2×2+3×（﹣3）＝﹣5．故答案为：﹣514．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19cm．15．【解答】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110°∴∠B′OG=1×110°＝55°．216．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A n B n A n+1的边长为 2n﹣1．故答案是：2n﹣1．三．解答题17．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝30°；（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，∴AD＝DB，∵AC＝EC，∠ACB＝90°，∴AD＝DE，∴DE＝DB．18．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE=12BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．19．解：（1）S△ABC＝3×4−12×2×2−12×1×4−12×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．故答案为：5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）如图，点P即为所求．20．解：（1）∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF＝EF＝DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE＝AF，则AE＝AF＝EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG＝30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°，∵AB＝2，∴BE＝1、DF＝AF＝AE=3，则EH=12AE=32、AH=32，∴S△ADF=12×3×32=334．21．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．22．解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PF即12BC•h=12AB•h1+12AC•h2又∵△ABC是等边三角形∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1+h2；（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PE+12BC•PF即12BC•h=12AB•h1+12AC•h2+12BC•h3又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC．∴h＝h1+h2+h3；点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．理由如下：如图3，连接PB，PC，PA由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，即12BC∙AM=12AB•PD+12AC•PE−12BC•PF，∵AB＝BC＝AC，∴h1+h2﹣h3＝h，即h1+h2﹣h3＝h．23．解：（1）由题意，t×1+12＝2t，解得：t＝12，∴当t＝12时，M，N两点重合，此时两点在点C处重合；（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，{∠C=∠B∠AMC=∠ANB，AC=AB∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，∵CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．24．（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．（2）解：GE＝BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠ECD+∠ECB＝∠ECD+∠FCD．即∠ECF＝∠BCD＝90°．又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG＝GF．∴GE＝DF+GD＝BE+GD．（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC＝12．已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG，设DE＝x，则DG＝x﹣4，∴AD＝AG﹣DG＝16﹣x，AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8．在Rt△AED中∵DE2＝AD2+AE2，即x2＝（16﹣x）2+82解得：x＝10．∴DE＝10．。