高级宏观经济学讲义第二讲丶索罗增长模型

高级宏观经济学第二讲课程体系01 宏观经济学分析框架与索洛增长模型02无限期界与世代交叠模型03新增长理论04RBC模型不完全名义调整的微观基础•与索洛模型相似：•本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。

•与索洛模型不同：•模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再是外生的。

•在这两个模型中，经济总量的动态学由微观层次的决策决定。

θρg t r t c t c −−=)()()( θρ−=)()()(t r t C t C 3、家庭最优化家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效用(通过构造拉格朗日函数计算)。

每单位有效劳动消费的最优增长率： 每个工人的消费C(t)等于A(t)c(t)，其增长率为： 欧拉方程 该式意味着，如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。

三、经济的动态学θθρg t r t c t c −−=)()()( )()()())(()(t k g n t c t k f t k+−−= 消费的动态学 资本的动态学k=k k* c 与k 的动态学：系统是鞍点路径稳定k*小于资本的黄金律水平：由ρ-n-(1-θ)g>0得到：ρ+θg >n+g稳定臂 要求：推导相位图和上述结论。

非稳定臂稳态 k G c*四、平衡增长路径•经济行为一旦收敛于稳态点，它就等同于处于平衡增长路径上的索洛经济的行为。

•每单位有效劳动的资本、产出与消费不变；总量以n+g的速率增长；每工人产出、资本与消费以g的速率增长。

•索洛模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在后者不可能出现动态无效率。

五、贴现率下降k c E E’ =0=kρ下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。

c在冲击时刻发生向下跳跃，然后与k一起逐渐上升到其初始水平之上。

与索洛模型不k*。

宏观经济学索洛增长模型名词解释
宏观经济学是研究整个经济体系的产出、就业、价格和政策等方面的学科。

它主要关注国民经济总体运行规律和政府应对宏观经济波动的政策。

索洛增长模型是一种描述经济增长的数学模型，由美国经济学家罗伯特·索洛于1956年提出。

该模型认为，技术进步是推动经济增长的主要因素。

在该模型中，技术进步被视为一种外生变量，即与其他因素无关，对于经济增长有直接而持续的影响。

同时，该模型还考虑了人口增长、资本积累等因素对于经济增长的影响。

在索洛增长模型中，经济增长被分解为两个部分：一个是由技术进步所带来的效应，另一个则是由资本积累所带来的效应。

其中，技术进步所带来的效应可以通过提高生产率来实现，而资本积累则可以通过投资来实现。

总之，宏观经济学和索洛增长模型都是研究整个经济体系运行规律和推动经济发展的重要学科和理论。

它们对于经济政策制定和实践具有重要的指导意义。

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1.1增长率的基本性质。

利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若Z t X t Y t，贝y（b）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若Z t X t Y t，贝yg g（c）如果Z t X t ，则zt/zt xt/xt证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b）的结果。

（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于ln X t ln X t ，其中是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。

1.2假设某变量X的增长率为常数且在0 7时刻等于a 0,在1时刻下降为0, 在t i〜t2时刻逐渐由0上升到a，在t2时刻之后不变且等于a o（a）画出作为时间函数的X的增长率的图形。

（b）画出作为时间函数的lnX的图形。

答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。

从0时刻到t时刻X的增长率为常数且等于a （ a 0 ），为图形中的第一段。

X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。

从t2时刻之后，X的增长率再次变为a o图1-1 时间函数X 的增长率（b）注意到InX关于时间t的导数（即InX的斜率）等于X的增长率，即:因此，InX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到b时刻，InX的斜率为a（a 0），在1时刻，X t的增长率出现不连续的变化，因此InX的斜率出现扭曲，在1时刻至t2时刻，InX的斜率由0逐渐变为a ;从t2时刻之后，InX的斜率再次变为a （ a 0）。

第二节 索洛增长模型变量定义：Y ：总产出；K ：总资本，L:劳动力总量，A ：技术进步参数，C ：总消费，S:总储蓄， s ：储蓄率， I:总投资，d ：折旧率。

增长的解释框架索洛（R.Solow,1957）从生产函数入手分析决定经济增长的决定因素。

建立总量生产函数：产量（Q ）是资本存量(K)、劳动投入(L)和技术状态(T)的函数： Q=Q(K,L,T)假定：技术变化引起K 和L 边际产量的同等增加，因此，上式可以改写为Q=TF(K,L)产量变化：(,)K L Q TF K L TF K TF L ∆=∆+∆+∆在生产函数为规模报酬不变和完全竞争条件下，一、假设1. 生产一种产品2. 简单比例的储蓄函数：,01S sY s =<<（储蓄率s ：外生不变）3. 资本存量的变化：K I dK ∆=-,（折旧率d ：外生不变）假设储蓄全部转化为投资，则资本存量的变化：K sY dK ∆=-4. 劳动力按一个外生的不变比率n 增长：L n L∆= 5. 生产函数的技术进步是劳动增进型技术进步（Harrod Neutral ）：技术进步参数A 与L 结合，AL 称为有效劳动（effective labors ），技术进步使劳动者工作效率的提高可视为技术进步使得劳动者的数量增加。

(,)Y F K AL =，技术的增长率为g ：A g A∆=，因此，有效劳动的增长速度为（n+g ）。

6. 假设生产函数规模报酬不变，因此，生产函数的集约形式为： ()/,/y f k y Y AL k K AL = ==y :单位有效劳动产出；k ：单位有效劳动资本生产函数满足下列条件：（1） 资本的边际产量记为：()f k ' ，()f k ' >0，()f k '' <0 (0)0f =，()f ∞=∞（2） 稻田条件（Inada Conditions ）: 0lim ()k f k →'=∞，lim ()0k f k →∞'= 二、新古典经济增长模型 该模型描绘出在整个时期中资本-有效劳动比的轨迹。

第2章 索洛模型与收入决定理论相比，经济增长理论研究的主题、内容和分析方法与之显著不同。

收入决定理论研究均衡产出如何被决定，以总需求和总供给的分析为内容，属于短期分析、静态分析。

经济增长理论则研究均衡产出随时间的变化，以生产率的动态变化及其速度问题为内容，属于长期分析、动态分析。

索洛模型为研究经济增长提供了一个恰当的逻辑框架。

追寻索洛模型能够清楚地知道哪些事情才是经济增长研究需要考虑的，避免把属于收入决定的问题错误地当成经济增长问题。

本章先介绍索洛模型的框架体系，随后围绕该框架体系展开讨论。

§1 索洛模型的假设考虑一个国家的经济总量（总产出）变化，自然要从资本总量和劳动总量如何变化入手。

资本总量变化取决于投资、折旧，总投资与总储蓄相联系，总储蓄又来自于总产出，是收入中未被消费的部分。

从这里应该知道增长理论不可回避一些经济总量关系，具体包括：产出-储蓄，储蓄-投资，投资-资本，资本-产出，这些关系的总和代表了增长问题研究应当遵循的一个逻辑框架，这个框架以产出-资本-产出之间的关系为核心。

劳动总量由总人口决定，但是，人口-劳动-产出之间的关系要比产出-资本-产出之间的关系简单得多。

以下是索洛模型中对上述涉及到的经济总量关系的假设。

1.1 生产函数用()Y t 代表t 时期经济中的总产出， ()K t 代表资本总量，()L t 代表劳动总量，生产函数是：)](),([)(t L t K F t Y = （2.1） 这个函数的古典假设是：1）规模报酬不变，生产函数是一次齐次函数。

即对任意非负常数λ，[][])(),()(),(t L t K F t L t K F λλλ= （2.2）2）边际报酬递减。

也就是：/0F K ∂∂>，22/0F K ∂∂< /0F L ∂∂>，22/0F L ∂∂<3）稻田条件成立。

即：lim lim KL K L F F →→''==∞，lim lim 0K L K L F F →∞→∞''== （2.3）1.2 资本()K t资本K 是存量。

4．solow 模型4。

1框架与假定经济增长率：国民收入Y 的增长率离散时间下：绝对增长率：1--=∆t t Y Y Y 相对增长率：111----=∆t t t t Y Y Y Y Y连续下Y 的增长率为：变量对时间的导数为该变量的变化率Y；变量的增长率为其自然对数的变化率 两变量积的增长率为各自增长率的和;两变量商的增长率为各自增长率的差生产函数：Yt =F（Kt,AtLt)Yt：在时点t的产出Kt：在时点t的资本存量Lt：在时点t的劳动力存量At：在时点t的知识或劳动有效性或技术存量知识存量以劳动力强化型进入生产函数,索罗中性。

人均产出：Y/L=A （Y/AL ）=Af(k)假设f(0）=0，0)k ("f ,0)k ('f <>)AL /K (ALf )AL ,K (F =)k ('f )AL1)(AL K ('ALf K )AL /K (ALf (K )AL ,K (F ==∂∂=∂∂∴ 所以，假设含义是：资本的边际产出〉0，但随着资本的增加而下降。

Inada 条件：0)('f ,)0('f ,0)0(f (.)f =∞∞==严格凹，Cobb-DouglasPF ：αα-=1)AL (K )AL ,K (F规模报酬不变。

αk )k (f =研究其性质。

..。

进一步研究:)t (d )t (dlnL )t (L )t (Ln == ,积分得：nt )]0(lnL [)t (lnL +=nt )]0(ln [)t (ln +=。

取指数得：nt e )0(L )t (L =nte )0(A )t (A =经济含义：劳动和技术进步都以指数形式增长。

4。

2索罗模型的动态学单位有效劳动拥有的资本存量的变化:基本公式实际投资持平投资三种情况：为常数递增即k递减平衡增长路径：动态模型的变量常常趋向某些长期值，我们称这些值为“稳定状态"；经济倾向于回复到变量保持固定增长率的路径,称为“平衡增长路径”,k=k*，0k 。