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中科大运筹学研究生考试样题运筹学一．某投资者有30000元可供为期四年的投资。
现有下列五项投资机会可供选择：A ：四年内，投资者可在每年年初投资，每年每元投资可获到0.2元，每年获利后将本利重新投资。
B ：在四年内，投资者应在第一年年初或第三年年初投资，每两年每元投资可获利润0.5元，两年后获利。
然后可将本利再重新投资。
C ：在四年内，投资者应在第一年年初投资，三年后每元投资可获利0.8元。
获利后可将本利重新投资。
这项投资最多不超过20000元。
D ：在四年内，投资者应在第二年年初投资，两年后每元投资可获利0.6元。
获利后可将本利重新投资。
这项投资最多不超过15000元。
E ：在四年内，投资者应在第一年年初投资，四年后每元投资可获利1.7元。
这项投资最多不超过20000元。
投资者在四年内应如何投资，使他在四年后所获利润最大？写出这个问题的线性规划模型，不用求解。
二．证明：若线性规划问题有界，则该问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点达到最优。
三．设有如下线性规划问题123123123123ax 2351771.251071007M Z x x x x x x s t x x x x x x =+-?++=-+≥??≥≥≥??，，中国科学院——中国科学技术大学招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试题一试求：（1）该问题的对偶问题；（2）该问题的最优解；（3）若目标函数中的1x 的系数由2变为2+θ，试讨论最优解的变化；（4）若增加一个新的约束条件：12314837x x x --≤，问题的最优解有无变化，为什么？四．分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成各项任务时间如表所示。
由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每五．用动态规划的方法求下列网络图从起点到终点的最短路线及长度。
运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。
下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。
以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。
公司总共有40个工时可用。
如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。
根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。
也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。
2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。
它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。
以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。
每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。
为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。
首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。
然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。
关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。
根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2x1+x2解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.43用图解法求解线性规划：Max z=5x1+6x2解：由图可得：最优解Max z=5x1+6x2, Max z= +4用图解法求解线性规划：Maxz = 2x 1 +x 2 由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.6将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x1+2x2+3x3解：令Z’ = -z，引进松弛变量x4≥0,引进剩余变量x5≥0,得到一下等价的标准形式。
x2’=-x2 x3=x3’-x3’’Z’ = -min Z = -x1-2x2-3x39用单纯形法求解线性规划问题：Max Z =70x1+120x2解： Max Z =70x1+120x2单纯形表如下Max Z =3908.11.解：（1）引入松弛变量X4，X5，X6，将原问题标准化，得max Z=10X1+6X2+4X3X1+X2+X3+X4=10010 X1+4X2+5X3+X5=6002 X1+2X2+6X3+X6=300X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学题库及详解答案1. 简述线性规划的基本假设条件。
答案：线性规划的基本假设条件包括目标函数和约束条件都是线性的，所有变量的取值范围都是连续的，并且目标函数和约束条件都是确定的。
2. 解释单纯形法的基本原理。
答案：单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。
它从一个初始可行解开始，通过迭代的方式，每次选择一个非基变量，通过行操作将其变为基变量，同时保持解的可行性，直到达到最优解。
3. 什么是对偶问题？请给出一个例子。
答案：对偶问题是指一个线性规划问题与其对应的另一个线性规划问题之间的关系。
它们共享相同的技术系数矩阵，但目标函数和约束条件互换。
例如，如果原问题是最大化目标函数 \( c^T x \) 受约束\( Ax \leq b \)，对偶问题则是最小化 \( b^T y \) 受约束 \( A^T y \geq c \)。
4. 如何确定一个线性规划问题的最优解？答案：确定线性规划问题的最优解通常需要满足以下条件：(1) 所有约束条件都得到满足；(2) 目标函数的值达到可能的最大值（最大化问题）或最小值（最小化问题）；(3) 存在至少一个基解，使得所有非基变量的值都为零。
5. 解释灵敏度分析在运筹学中的作用。
答案：灵敏度分析用于评估当线性规划问题中的参数发生变化时，对最优解的影响。
它可以帮助决策者了解哪些参数的变化对结果影响最大，从而在实际应用中做出更灵活的决策。
6. 什么是运输问题，它与一般线性规划问题有何不同？答案：运输问题是线性规划的一个特例，它涉及将一种或多种商品从一个地点运输到另一个地点，以满足不同地点的需求，同时最小化运输成本。
与一般线性规划问题不同，运输问题通常具有特定的结构，可以通过特定的算法（如西北角法或最小元素法）来求解。
7. 描述网络流问题的基本特征。
答案：网络流问题涉及在网络中流动的资源或商品，目标是最大化或最小化流的总价值或成本。
网络由节点和边组成，节点代表资源的供应点或需求点，边代表资源流动的路径。
因此模型⑶的最优解为（3,4,0）T，目标函数值为z 3 14模型（1）的最优解为（3,29/7,0）T，目标函数值为z 3 14 5/ 7（4）变化第一个约束条件时：此时最优解为（空仝,0, 口）丁，目标函数最大值为z 1°^-S7 7 7变化第二个约束条件时:5 7 t，即t 2T此时最优解为（竺』,0, 1）T，目标函数最大值为z7 7 7很明显当扩大第二项约束时最有利。
3、已知线性规划问题： （ 2000,2004 ）Min z 2x 1 x 2 2x 3x 1 x 2 x 3 4 s.t. x 1 x 2 kx 3 6X i 0,X 20,X 3 无约束其最优解为： x 1* 5;x 2* 0;x 3*1（1） 写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解； （2） 求出 k 的值 解：（1）MaX w 4y 1 6y 2y 1y 22 y 1y 21s.t. 1y 1ky 2 2%无约束，y 2由 z * w * 及互补松弛性质得y 1 y 2 2 4y 1 6y 212得到 y 1 0,y 22，得到 k=1.4、设有线性规划问题（ 2002）Min z 2X 1 2X 2 4X 3s.t.MaX s.t.2X 1 3X 25X 3 2 3X 1X27X 3 3 X 14X 2 6X 3 5 X20,X 30,x 1无约束1）该问题的对偶问题（2）写出该问题的标准型，w 2y 13y 2 5y 3 2y 1 3y 2y 3 23y 1 y2 4y3 2 5y 1 7y 2 6y 34 y10,y 2 0, y 3无约束 并写出单纯性法求解的初始单纯型表。
试求解：Max w 2y1 3y2 5(y4 y5) 0y6 0y7 My8 My92y1 3y2 y4 y5 y8 23y1 y2 4(y4 y5) y6 y9 2s.t.5y1 7y2 6(y4 y5) y7 4y1,y2, y4,y5,y6, y7 05、设有线性规划问题： ( 2002)MaxZ 2x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6s.t. x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x j 0,( j 1,2,3,4)*T已知该问题的最优解为：X * [2, 2, 4,0] T，试根据对偶理论直接求出其对偶问题的最优解。
解：对偶问题为Min W 8y1 6y2 6y3 9y4y1 2y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4s.t. y3 y4 1y1 y3 1 y i 0(i 1,2,3, 4)*由互补松弛性得y4* 0 ，y1 y3 1，8y1 6y2 6y3 16 ，y3 1解的y1 0,y2 5/3,y3 1,y4 0四、指派问题1、一个公司要分派5 个推销员去5 个地区推销某种产品，5 个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润如下表所示，问应如何分派这5 个推销员才能使得公司总的利润最大。
(2003，2005)A B C D E甲15 10 12 10 12乙11 12 9 9 9丙10 20 15 17 13丁18 17 9 9 13戊7 13 10 13 12解：引入变量 x ij ，并令1当第i 个推销员去第j 个地区推销产品 0当第i 个推销员不去第j 个地区推销产品 则该问题的数学模型为： max z c ij x ijij x ij 1,j 1,2,...,5 x ij 1,i j 1,2,...,5 x ij 1或0 该模型的目标函数可变化为minz b ij x ij ijx ij i 1,j 1,2,...,5x ij j x ij 1,i 1,2,...,51或0其中 b ij20 c ij 。
然后采用匈牙利法求解。
5 10 8 10 850 59 8 11 11 11 81 0 (b ij ) 10 0 5 3 7 010 02 311 7 11 23 7 10 78 30 45 3 5 ◎50 13 3110 ◎ 5 3 410 02 1 2 ◎ 345◎ 4 7 4 244因此相应的解矩阵为：0 0 1 0 00 0 0 0 11 0 0 00 0 0 1 01 00 0 0i 35 30 535 0 33 3133 0 537 10 0 534 00 61 20 3 745474232 05◎20 01◎0 410◎ 240 64 5◎61 2◎ 44121、分配甲乙丙丁四个人去完成五项任务，每人完成各项任务的时间如下表所示，由于任务 数多于人数，故规定其中一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花 费时间最小的指派方案。
（2001，2004）^-12加上假设的第五牛人区戊.他完琳各项工柞时间聪甲、乙、丙.丁中晓凸着•禺造表为5A-4.SA-4对表5A-1再用倒牙利法求解■得最优分配力袈为甲-乩乙山和＜?炳&丁 ―总汁 需要131汇五、非线性规划问题1、设有如下的非线性规划问题：（2000，2004，2009）Min f （X ） （x , 2）2 （x 2 1）22g 1（X ） x 2 X 1 0stg 2（X ） 2 X 1 X 2 0（1） 用图解法求上述问题的最优解（2） 简述库恩-塔克条件，并用（1）的结果说明其几何意义 解：2/1010s1010*161/510*24/52(x 1 2)f(X)2(x 2 1)2x 1g 1(X) 11g 2(X) 112(x 1 2) 2x 1 1r 1r 22(x 2 1) 1 1 2 1r 1(x 2 x 12) 0r 2(2 x 1 x 2) 0r 1,r 2 02 2r 1 x 1 r 2 40 2x 22 r 1 r 20 r 1(x 2 x 12 ) 0r 2(2 x 1 x 2) 0r 1,r 2 0解得r 1 r 22/3,x 1 x 2 12、 试用动态规划方法求解下面的非线性规划问题(2001， 2000)102 Min f (Z)x i 2i110x i 16s.t. i 1 ix i 0,(i 1,2, (10)解：具体计算过程参考 p207 或 p208f 1 s 12 f 2 2s 22/32/4 3s2六、简答及建模问题（新的题型方向）一简答题1. 简述对偶问题的对称性定理、弱对偶性定理、对偶定理。
对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性定理：若X是原问题的可行解，丫是对偶问题的可行解，则存在C冷Ybo 对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数数值相等。
2. 为什么排队论中假定顾客到达服从泊松发布，而服务时间服从负指数分布？顾客到达服从泊松分布：（1）在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的（顾客到达是随机的）（2）对充分小的t ，在时间区间[t,t t ）内有一个顾客到达的概率与t 无关，而约与区间长t 成正比；（3）对于充分小的t，在时间区间[t,t t）内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略。
这三个条件是符合实际情况的，由此推出的概率分布为泊松分布。
服务时间服从负指数分布：对一顾客的服务时间定义为在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间。
相继到达相继离开的间隔时间与输入过程为泊松流是一致的，可以推出为独立且同负指数分布。
3. 概括中国邮递员问题的解决思路：问题是：在一个有奇点的图中，要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且重复边的总权为最小。
思路：找奇点，增加重复边，确定第一个可行方案；调整方案，去掉偶数条重复边，使重复边总权下降到最小。
二分析解答题1. 设备更新问题（动态规划）某车间生产过程中必须使用某台设备，每年年初，车间领导决定是购置新设备还是通过维修继续使用旧设备。
若购置新设备，需支付购置费，购买单价如下表第二行所示，旧设备报废无残值；设备在使用的生命周期内每年需支付一定的维修费用，且年度维修费用随着设备使用年限的增长而增长，如下表第四行所示。
请制定2011-2015 年的设备更新计划，使得总费用最小。
（忽略货币的时间价值）r 0r n 1答案：{ 1, 0, 1,0, 0}2.报童通过订购报纸进行零售以获利。
已知，报童订购报纸的单位成本为c .销售单价p ，若报纸未卖出，则低价处理的单价为 q 。
已知p c q 。
根据过 去的售卖经验得知，报童每日卖出r 份报纸的概念为P(r)。
请问，为使得收 益最大化，报童每天的最佳订购量 Q 为多少？答案：记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为 G(n)，如果这天的需求量r < n ，到需求量为r 的概率是f(r)，所以(0,18)(1,12)(1,25)(0,40)(0,28)(1,43)(0,38)(1,32)(1,47)(0,41)(0,31)(1,46)(0,45)(1,39)(1,54)(0,56) (1,56) (0,49) (1,59) (0,48) (1,54) (0,53) (1,63) (0,53) (1,57) (0,52) (1,62) (0,55) (1,61) (0,60) (1,70)则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出.考虑G(n)a b r bcnr f ra b nf r 1问题归结为在f(r) , a , b , c 已知时，求n 使G(n)最大.通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)，(1)式变成G nna b rb cn r p r dra b np r dr 2n计算dGna b np nb c pr dr a b np na b p r drdnnn boc p r dr a bp r drn式又可表为p r dr根据需求量的概率密度p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作P 2n因为当购进n 份报纸时，R ° p(r)dr 是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概 率：P 2p(r)dr是需求量r 超过n 的概率n即卖完的概率，所以(3)式表明，购进的份 数应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同 使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多令dGdnnp r 0.得到0np rdra b 3dr b cn 应满足⑶式.因为° p(r)dr 1，所以⑶使报童日平均收入达到最大的购进量3. 某投资公司邀请你出资一万元参加如下游戏，游戏规则如下：首先，提供给 你 100 万元的原始资本， 该游戏分为 50 轮。
