优化设计-随机方向搜索法和模型安全性

优化设计数学必修一答案【篇一：高中数学作业优化设计】高中数学作业优化设计作者：何萍然摘要：作业是高中数学教学中一个重要的环节，是学生巩固所学知识，学以致用的一个保障，而且也是检测教师课堂教学效果的一个重要手段。

然而传统的高中数学作业以应试为出发点，布置作业就是为了拿题海战术加深学生理解，以达到在考试时取得高分。

试想，这样的题海战术势必会加大学生学习压力，甚至会使他们对数学产生厌倦感，而且千篇一律的作业也达不到让学生举一反三的作用，因此在课程改革不断深入的今天，改革、优化数学作业设计已成为摆在我们每个教师面前亟待解决的问题。

关键词：数学作业优化设计布置改革前言：数学作业是数学教学过程中的最后一个环节，也是比较重要的环节。

学生通过老师布置的作业，可以巩固课堂知识，教师通过学生的作业可以反馈教学的信息和效果。

因此作业在教学中的作用不可小觑，作为高中数学教师，我们应该认真地研究数学作业的优化与改革。

一、高中数学作业优化设计的重要性高中数学作业的重要地位在前文已经提及，想必教师朋友们都了如指掌。

然而传统的高中数学作业布置却存在着很大的弊端。

因为传统的高中数学作业主要是以教材为中心，以高考为参照，所布置的题目大多是统一的，类似的，大量的，试图以题海战术对知识进行轰炸，浪费了很多人力物力和学生的精力。

这样做的结果是学生对数学学习感到厌倦，做题时存在应付、敷衍的心理，甚至出现了大量的抄袭现象，而且对于不同程度的学生来说，统一的题目会让有些学生觉得比登天还难，有的学生觉得是小菜一碟，不值得做。

因此我们数学教师一定要努力研究数学作业的优化设计，改变这种状况，使数学作业达到其最终的目的。

二、如何优化高中数学作业设计1、作业布置要注重趣味性，开放灵活兴趣是最好的老师，学生听课需要兴趣，做作业更是需要兴趣。

因此我们的作业布置一定要注意引起学生的兴趣，注重趣味性，开放性，灵活性，这样才能使学生不至于厌倦数学作业。

那么，如何才能保证作业具有趣味性、开放性和灵活性呢？首先，在作业形式上要注意变化，实现作业形式的多样化，让学生从多种作业的过程中，体会到数学的趣味性，感觉到快乐，从而培养学生对数学作业的兴趣，进而培养数学兴趣。

1.优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。

解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述,用数学解析方法的求解方法.解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。

数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。

数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题.但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。

数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。

2.优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。

3.机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。

优化准则法：(为一对角矩阵）数学规划法:（分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4.机械优化设计问题一般是非线性规划问题,实质上是多元非线性函数的极小化问题。

重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件.5.对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。

函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。

梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。

6.多元函数的泰勒展开。

海赛矩阵：=（对称方阵）7.极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件.某点取得极值，在此点函数的一阶导数为零，极值点的必要条件：极值点必在驻点处取得.用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。

二阶倒数大于零,取得极小值。

二阶导数等于零时，判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点，奇次则为拐点。

二元函数在某点取得极值的充分条件是在该点出的海赛矩阵正定。

极值点反映函数在某点附近的局部性质。

对机械优化设计的认识我们知道机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的形态、几何尺寸关系以及其他因素的限制(约束)范围内，以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象，选取设计变量，建立目标函数和约束条件，并使目标函数获得最优值的一种现代设计方法。

而利用计算机进行机械最优化设计，是在70年代发展起来的一门新技术。

随着计算机的运算速度的提高和普及，以及软件设计水平的提高，最优化参量选择将由计算机来完成从而能找到十分接近于理想的最优设计点，这就足机械最优化的设计理念。

因此，我们可以说机械优化设计正在引起机械设计领域里的一场革命。

尽管计算机在机械优化设计中扮演着什么重要的角色，但是它还是必须经历以下四个分析设计阶段。

只要这样或许才可能让我们找到最满意的结果。

接下来我将对机械优化设计的一般过程进行说明，可将其分为四个阶段。

阶段一：确定设计目标、建立数学模型。

在了解机械优化没计的基本概念基础上，设计变量、目标函数、设计约束条件、了解优化设计的数学模型的规格化形式、以及数学模型的分类。

设计变量：相对于设计常量(如材料的机械性能)，在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量(齿轮的齿数)。

设计问题的维数，表征了设计的自由度。

每个设计问题的方案(设计点)为设计空间中的一个对应的点。

设计空间：二维(设计平面)、三维(设计空间)、更高维(超设计审问)。

设计目标函数：如没计变量的函数。

单目标、多目标函数。

等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面(等值线、等值而、超等值面)。

几何意义：等值线(等值线的公共中心既是元约束极小点)、等值面。

约束条件：等式约束(约数个数小于设计问题的维数)，不等式约束，满足约束条件的设计点的集合构成可行域D：可行点、非可行点、边界没计点。

几何意义(二维)：对于设计空间不满足不等式约束的部分，用阴影表示。

至于数学模型的一般形式：寻找一个满足约束条件的没计点。

使得目标函数值最小。

选择或设计算法，如一维搜索法，坐标轮换法。

优化设计：跨领域提升产品性能、效率与创新智慧的利器优化设计是一种提高产品或系统性能、减少资源消耗、提高效率的方法。

它广泛应用于各种领域，如工程设计、生产计划、物流管理、金融投资等。

优化设计方法是一种系统性的方法，它通过数学建模、计算机模拟等技术手段，对设计参数进行优化，以实现最优的设计方案。

一、优化设计的基本概念优化设计是一种以数学建模为基础，利用计算机科学和工程学理论和方法，通过迭代和数值计算，寻找最优设计方案的技术手段。

它以目标函数的形式表达设计问题的优化目标，并利用约束条件限制设计变量的取值范围，从而找到满足所有约束条件的最优解。

二、优化设计的数学模型优化设计的数学模型通常由目标函数、设计变量和约束条件三部分组成。

目标函数是衡量设计方案优劣的标准，它可以是产品的重量、成本、性能等；设计变量是影响目标函数的参数，如材料的厚度、形状、尺寸等；约束条件是限制设计变量取值的条件，如强度、刚度、稳定性等。

三、优化设计的方法优化设计的方法主要包括传统优化方法、现代优化方法和混合优化方法。

传统优化方法主要包括梯度法、牛顿法、惩罚函数法等；现代优化方法主要包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等；混合优化方法则是将传统优化方法和现代优化方法进行结合，以实现更好的优化效果。

四、优化设计的实现步骤优化设计的实现步骤通常包括问题定义、建立模型、选择优化方法、编写程序、运行程序和结果分析。

问题定义是指明确设计问题的目标、约束条件和设计变量；建立模型是指根据问题定义建立数学模型；选择优化方法是指根据问题特点选择合适的优化方法；编写程序是指将优化方法编写成计算机程序；运行程序是指将程序运行得到最优解；结果分析是指对最优解进行分析，以验证其可行性和优越性。

五、优化设计的应用优化设计广泛应用于各种领域，如机械设计、建筑设计、电子设计、金融投资等。

在机械设计中，优化设计可以用于提高机械部件的性能和效率，如发动机、减速器等；在建筑设计中，优化设计可以用于提高建筑物的空间利用率和结构安全性；在电子设计中，优化设计可以用于提高电子产品的性能和降低成本；在金融投资中，优化设计可以用于制定最优的投资策略和风险控制方案。

随机结构可靠性分析和优化设计研究随机结构可靠性分析和优化设计研究随机结构可靠性分析和优化设计是结构工程领域中的一项重要研究内容，它与结构的安全性、可靠性密切相关。

在现代工程设计中，为了确保结构的可靠性和承载能力，必须进行充分的可靠性分析和优化设计。

本文将探讨随机结构可靠性分析和优化设计的基本原理与方法。

一、随机结构可靠性分析在随机结构可靠性分析中，我们首先需要了解随机变量、概率分布和可靠度等基本概念。

1. 随机变量随机变量是描述结构参数的一种数学抽象，如荷载、材料强度等。

它的值是随机的，服从某种概率分布。

2. 概率分布概率分布描述了随机变量的取值情况。

常见的概率分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。

通过选取适当的概率分布，我们可以对随机变量进行精确的描述。

3. 可靠度可靠度是描述结构在给定的工作时间内不发生失效的概率。

可靠度分析的目标就是通过对结构参数的概率分布进行分析，确定结构的可靠度。

对于随机结构，我们通过构建数学模型，考虑各个随机变量之间的相互影响，可以得到结构的可靠度评估方法。

1. 单变量可靠性分析单变量可靠性分析是指在考虑一个随机变量的情况下，计算结构的可靠度。

常见的方法有基于分位数和基于极限状态函数的方法。

2. 多变量可靠性分析多变量可靠性分析是指在考虑多个随机变量的情况下，计算结构的可靠度。

常见的方法有蒙特卡洛模拟、极值理论方法和相关向量法等。

二、随机结构优化设计随机结构优化设计是在已知结构函数和可靠度要求的基础上，通过调整结构参数，使结构在满足设计要求的同时具有最佳性能和经济性。

1. 可靠性约束优化设计可靠性约束优化设计是指在满足结构可靠度约束条件的前提下，寻找最优的设计方案。

常见的方法有静态法、动态法和基于遗传算法等。

2. 可靠性敏感性分析与优化可靠性敏感性分析是指在已知结构可靠度要求的情况下，通过对设计参数进行敏感性分析，找到最敏感的参数，从而进行进一步的优化设计。

随机结构可靠性分析和优化设计在工程实践中具有重要的应用。

第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量 、 目标函数 、 约束条件。

2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。

5.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例递增的方法。

7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较 慢 。

8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无 约束优化问题，这种方法又被称为升维法。

10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为单变量的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。

13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。

14.数学规划法的迭代公式是1k k k k X X d α+=+，其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

二、名词解释1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤(1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。

利用ANSYS进行优化设计时的几种优化算法优化技术理解计算机程序的算法总是很有用的，尤其是在优化设计中。

在这一部分中，将提供对下列方法的说明：零阶方法，一阶方法，随机搜索法，等步长搜索法，乘子计算法和最优梯度法。

(更多的细节参见ANSYS Theory Reference 第20章。

)零阶方法零阶方法之所以称为零阶方法是由于它只用到因变量而不用到它的偏导数。

在零阶方法中有两个重要的概念：目标函数和状态变量的逼近方法，由约束的优化问题转换为非约束的优化问题。

逼近方法：本方法中，程序用曲线拟合来建立目标函数和设计变量之间的关系。

这是通过用几个设计变量序列计算目标函数然后求得各数据点间最小平方实现的。

该结果曲线(或平面)叫做逼近。

每次优化循环生成一个新的数据点，目标函数就完成一次更新。

实际上是逼近被求解最小值而并非目标函数。

状态变量也是同样处理的。

每个状态变量都生成一个逼近并在每次循环后更新。

用户可以控制优化近似的逼近曲线。

可以指定线性拟合，平方拟合或平方差拟合。

缺省情况下，用平方差拟合目标函数，用平方拟合状态变量。

用下列方法实现该控制功能：Command: OPEQNGUI: Main Menu>Design Opt>Method/ToolOPEQN同样可以控制设计数据点在形成逼近时如何加权;见ANSYS Theory Referenc e。

转换为非约束问题状态变量和设计变量的数值范围约束了设计，优化问题就成为约束的优化问题。

ANS YS程序将其转化为非约束问题，因为后者的最小化方法比前者更有效率。

转换是通过对目标函数逼近加罚函数的方法计入所加约束的。

搜索非约束目标函数的逼近是在每次迭代中用Sequential Unconstrained Minimization Technique(SUMT) 实现的。

收敛检查在每次循环结束时都要进行收敛检查。

当当前的，前面的或最佳设计是合理的而且满足下列条件之一时，问题就是收敛的：& #61548; 目标函数值由最佳合理设计到当前设计的变化应小于目标函数允差。

优化设计方法介绍优化设计方法是一种以提高产品性能、降低成本、缩短研发周期为目标的设计理念。

在现代制造业和工程技术领域，优化设计方法发挥着越来越重要的作用。

本文将为您详细介绍优化设计方法的概念、分类及其应用。

一、优化设计方法的概念优化设计方法是指在满足一定约束条件的前提下，通过数学模型和算法，寻找产品设计参数的最优解，从而使产品在性能、成本、可靠性等方面达到最佳状态。

优化设计方法的核心在于寻求设计空间中的最优解，提高产品设计质量。

二、优化设计方法的分类1. 确定性优化设计方法确定性优化设计方法主要包括线性规划、非线性规划、整数规划等。

这类方法适用于目标函数和约束条件均为确定性的问题。

2. 随机优化设计方法随机优化设计方法主要针对目标函数或约束条件中含有随机因素的问题，如遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等。

3. 混合优化设计方法混合优化设计方法是将确定性优化方法和随机优化方法相结合，以解决复杂工程问题。

例如，将遗传算法与非线性规划相结合，可以更好地处理非线性约束问题。

三、优化设计方法的应用1. 结构优化设计结构优化设计是指在保证结构强度、刚度、稳定性等性能的前提下，对结构尺寸、形状、拓扑等进行优化，以达到减轻重量、降低成本的目的。

例如，汽车车身、飞机机翼等部件的结构优化设计。

2. 参数优化设计参数优化设计是指通过调整产品设计参数，使产品性能达到最佳。

如发动机燃烧室几何参数优化、控制器参数优化等。

3. 工艺优化设计工艺优化设计是指通过对生产工艺参数的优化，提高生产效率、降低能耗、改善产品质量。

如热处理工艺参数优化、焊接工艺参数优化等。

4. 优化设计方法在多学科领域的应用优化设计方法不仅应用于单一学科领域，还可以跨学科解决复杂问题。

如多物理场耦合优化、多目标优化、动态优化等。

四、优化设计方法的实施步骤1. 明确设计目标在进行优化设计之前，要明确设计目标，这可能是提高产品的某一性能指标、降低成本、减少重量等。

常见的试验优化设计方法对比试验优化设计是科学研究中不可或缺的一部分，它可以帮助我们有效地探索变量之间的关系，优化实验条件并提高实验效率。

本文将介绍几种常见的试验优化设计方法，并对其进行对比分析，以便更好地了解各种方法的优缺点和使用范围。

试验优化设计是指通过合理地选择实验设计，有效地控制实验条件，以最小的代价获得最有价值的信息。

试验优化设计的主要目的是在实验中找出变量之间的因果关系，并通过对实验数据的统计分析，得出可靠的结论。

在试验优化设计中，常见的方法包括完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计和正交设计等。

完全随机设计是将试验单元完全随机地分配到不同的处理组中，以消除系统误差对实验结果的影响。

但是，完全随机设计的缺点是它无法控制多个处理组之间的均衡性，因此需要较大的样本量来增加统计的把握度。

随机区组设计是将试验单元按照某种特征进行分组，并在每个组内随机分配处理和对照。

随机区组设计的优点是可以更好地控制组间的均衡性，减少样本量。

但是，它对实验者的要求较高，需要准确地判断实验单元之间的相似性。

拉丁方设计是一种用于平衡不完全区组设计的统计技术，它可以将实验单元按照两个或多个特征进行分层，并在每个层内随机分配处理和对照。

拉丁方设计的优点是可以更好地控制组间的均衡性，并且可以灵活地确定实验的重复次数。

但是，它对实验者的要求也很高，需要准确地判断实验单元之间的相似性。

正交设计是一种基于正交表设计的实验方法，它可以用于多因素、多水平的实验设计。

正交设计的优点是可以同时探索多个因素对实验结果的影响，并且可以减少实验的次数。

但是，正交设计的缺点是它不适用于某些非线性关系的探索。

通过对比分析，我们可以发现各种试验优化设计方法都有其独特的优点和适用范围。

在实际应用中，我们需要根据具体的研究目的、实验条件和样本量等因素来选择最合适的方法。

例如，在进行单因素实验时，完全随机设计和随机区组设计是常用的方法；在进行多因素实验时，正交设计是比较合适的选择。

关于随机方向法简述及几点改进方法试探随机方向搜索法是约束优化设计问题的一种较为流行的直接求解方法, 对于设计变呈数及约束条件不很多时采用随机方向搜索法可达较高的计算效率, 且其计算精度能满足一般: 程设计问题的要求。

随机方向搜索法的优点是对目标函数的性态无特殊要求, 特别适川于目标函数和约束函数数值计算较复杂的数学模型, 程序框图结构简单, 使用方便、其搜索方向是从许多方向中优选出的函数值下降的最好方向, 加之随机变更步氏, 所以收敛速度较快。

在优化设计中, 约束随机方向法计算程序简短, 使用简便, 对约束条件数量不太多的优化设计问题十分有效, 受到很多科技人员喜爱。

此法的不足之处主要是计算效率偏低。

为便于编程计算, 现行优化设计方法多用数值迭代计算法进行一维搜索, 并在已定方向上求目标函数f ( X ) 的极小值取其步长:X ( k+ 1) = X ( k) + A(k ) ·S ( k)f (X (k+ 1) ) = m inA(k ) f (X (k ) + A( k) ·S ( k) )式中: X ——设计变量, X = [ x 1, x 2, ⋯, x n] T ; X ( k )、X ( k+1) ——分别为第k 次一维搜索始点、终点, 一般将本次搜索终点用作下一次搜索始点; S (k ) ——第k 次一维搜索方向, S = [ S 1,S 2, ⋯, S n] , 每次搜索至终点后调整搜索方向, 用作下次搜索方向; A( k) ——第k 次一维搜索求得的步长因子。

对于约束优化设计问题, 一维搜索始点、终点均应为满足全部约束条件的可行点( 可行域内点或边界点) 。

由上式很自然地使人想到: 欲提高约束随机方向法的计算效率, 可从一维搜索初始点和搜索方向上想办法。

一、快速取一维初始点现行各种约束优化设计方法多用如下二法取一维搜索可行初始点: 一种方法是人工输入初始点数据, 当输入的初始点为非可行点时就重新输入, 直至输入可行点止。