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D.ax+bx+c=x(a+b)+c 解析:由因式分解的定义知,左边是多项式,右 边是因式分解乘积的形式.故选C.
2.若6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),则a=
19
.
解析:根据因式分解与整式乘法是互逆运算
的关系,本题可先将(3x+2)(2x+5)展开,得到一
个二次多项式,再与6几个整式乘积的形式,叫做多项式
的因式分解,也叫做将多项式分解因式,其中每个整式都叫做这 个多项式的因式.
活动2
整式的乘法与因式分解的关系
1.感知整式的乘法和因式分解的关系 计算下列式子.
(1)3x(x-1)=
(2)m(a+b-1)= (3)(m+4)(m-4)=
;
; ;
(4)(y-3)2=
七年级数学· 下 新课标[冀教]
第十一章
因式分解
学习新知
检测反馈
问题思考
ma+mb=m(a+b)
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
学习新知
观察下面几个多项式的乘法算式(教材章前内容):
思考:多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项 式.反过来,你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形 式吗?
根据上面的算式填空.
; ;
; ;
(1)3x2-3x=
(2)ma+mb-m= (3)m2-16=
(4)y2-6y+9=
.
思考:因式分解与整式的乘法有什么关系?举例说明.
2.总结多项式的乘法和因式分解的关系 (1)多项式相乘的结果是什么? (两个多项式相乘的结果是一个多项式,相乘的过程是多项式中 的单项式与单项式相乘.) (2)一个多项式进行因式分解的结果是什么? (将一个多项式进行因式分解的结果是若干个整式的乘积,因式分解

解： (5a-3b)(4a+7b) =5a×4a+5a×7b-3b×4a-3b×7b =20a2+35ab-12ab-21b2 =20a2+23ab-21b2
三、乘法公式
知识点
公式
注意
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
字母a、b既可 以是数，也可
以是“式”
（a b)2=a2 中间项的符号
只在被除式里 出现的字母
1）符号 2）不要漏项
计算： (1)(a3)2÷a3 =a3×2÷a3 =a6÷a3 =a6-3 =a3
(2)(b2)3·(b3)2÷b4 =b2×3·b3×2÷b4 =b6+6-4 =b8
(3)(a-2b)3·(a-2b)4÷(a-2b)5 =(a-2b)3+4-5 =(a-2b)2 =a2-4ab+4b2
(4)将4x2 看作是中间项， 所以加上4x4即可。
综上所述：可以添加： 4x, -4x, -1, -4x2, 4x4.
例：设m2+m-1=0,
求m3+2m2+2003的值。
解：因为m2+m-1=0, 所以m2+m=1 故m3+m2=m m3+2m2+2003 =m3+m2+m2+2003 =m2+m+2003 =1+2003 =2004
求（1）a2+b2 (2)ab
解（1）a2+b2=
1 2
[(a+b)2+(a-b)2]
= 1 (324+16) =170
2
(2)ab =
1 4
[(a+b)2-(a-b)2]

知1－导
知识点
1. 计算：
1
平方差公式的特征
(1) (x+1)(x－1)=_______.
(2) (a+2)(a－2)=_______.
(3) (2x+1)(2x－1)=________. (4) (a+b)(a－b)=________.
知1－导
2. 上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？
3. 乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么
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第八章
整式的乘法
8.5
乘法公式
第1课时
平方差公式
1
课堂讲解
平方差公式的特征 平方差公式
利用平方差公式简便计算
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
用一个多项式的每一项 多项式乘法法则： 乘另一个多项式的每一
项，
再把所得的积相加． (m+a)(n+b)= mn+mb+na+ab
如果m=n，且都用x表示，那么上式就成为： (x+a)(x+b)= x2+ (a+b)+ab 这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的二项式的乘积.
如果(x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系，又将得
到
什么特殊结果呢？ 这就是从本课起要学习的内容.
知1－练
2 下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过
来.
(1)(－m－2n)(m－2n)＝m2－2n2 (2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2. 解：(1)不正确，应为(－m－2n)(m－2n)＝－(m＋2n)(m －2n)＝－[m2－(2n)2]＝4n2－m2. (2)不正确，应为(－a＋b)(－a－b)＝－(b－a)(b＋a) ＝－(b2－a2)＝a2－b2.

强化训练、应用新知：
如图,哪两个角相等能判定
直线AB∥CD ?
A
B
1
C
D
思考：
. 我们遇到一个新 的问题时，常常怎样 去解决呢？
20
合作交流、探究状元新成才知路 ： 同一平面内，同垂直于第三条直线的两 直线平行
例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同 一条直线，那么两条直线平行吗？为什么？
已知条件：b⊥a，c⊥a. 要说明的结论：b∥c ？
a∥b .
(同旁内角互补，两直线平行)
a
2 4
15
强化训练、应用新知：
如图，BE是AB的延长线．
（1）由∠CBE=∠A可以判定哪 两条直线平行?根据是什么?
（2）由∠CBE=∠C可以判定哪 两条直线平行?根据是什么?
（3）由∠D +∠A = 180°可以
判定哪两条直线平行？根据是 什么？
（4）由∠D +∠C = 180°可以
判定哪两条直线平行？根据是 什么？
合作交流、探究新知：
（１）现在要判定两条直线平行，关键 要找什么条件？ （２）同位角是在怎样的几何图形中才会出现？
（２）这种类型的角是在怎样的几何图 形中才会出现？
总结归纳、获得状元新成才知路 ：
平行线的判定
判定方法1 同位角相等，两直线平行． 判定方法2 内错角相等，两直线平行． 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行．
拓展应用：
BD平分∠ABC，∠ABC=140°，若 ∠CDB=70°，求CD∥AB.
课堂小结
状元成才路
平行线 的判定
①平行的定义. ②平行公理的推论：如果两条直线都与第三 条直线平行，那么这两条直线也互相平行. ③判定方法1：同位角相等，两直线平行. ④判定方法2：内错角相等，两直线平行. ⑤判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. ⑥同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平 行.

导引：先将单项式相乘，再根据同类项的定义得到
关于m、n 的方程组．
解：(6a n＋1b n＋2)(－3a 2m－1b)＝－18a 2m＋nb n＋3，
因为－18a 2m＋nb n＋3与2a 5b 6是同类项，
所以
2m＋n＝5， n＋3＝6.
解得
m＝1， n＝3.
总结
本题运用方程思想解题．若两个单项式是同类 项，则它们所含的字母相同，并且相同字母的指数 相等，利用相等关系列方程(组)求解．
那么这两个单项式的积是( B )
A．－2x 6y 16
B．－2x 6y 32
C．－2x 3y 8
D．－4x 6y 16
5 计算：(1)p 2·p 3＝___p__5___； (2) 1 xy 3·(－4x 2y )2＝_8_x__5_y__5_．
2
知识点 2 单项式的乘法法则的应用
例3 已知6a n＋1b n＋2与－3a 2m－1b 的积与2a 5b 6是同类项， 求m、n 的值．
归纳
一般地，我们有： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相 乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式．
(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数 幂的乘法法则的综合运用．
(2)单项式的乘法步骤：①积的系数的确定，包括符号 的计算；②同底数幂相乘；③单独出现的字母．
(3)有乘方运算的先乘方，再进行乘法运算． (4)运算的结果仍为单项式．
A．－3a 5
B．3a 6
C．－3a 6
D．3a 5
5 下列运算正确的是( C )
A．3x 2＋4x 2＝7x 4 C．a÷a－2＝a 3
B．2x 3·3x 3＝6x 3
D.
1 2

2, 3
或

x y

4, 0.
总结
知4－讲
求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形：把x看 成常数，把方程变形为用x表示y的形式；(2)划界：根据 方程的解都是整数的特点，划定x的取值范围；(3)试值： 在x的取值范围内逐一试值；(4)确定：根据试值结果得 到二元一次方程的整数解．其求解流程可概述为： 变形 用x表示y 划界 确定x的范围 试值 逐一验证 确定．
A．a≠0
B．a≠－1
C．a≠1
D．a≠2
知1－练
6 若xa＋2＋yb－1＝－3是关于x，y的二元一次 方程，则a，b应满足(C ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝2 D．a＝1，b＝2
知1－练
7 方程(m2－9)x2＋x－(m＋3)y＝0是关于x，y
的二元一次方程，则m的值为(B )
知2－练
3 下列各组数中，不是二元一次方程2x＋y＝6
的解的是( C )
x＝－2
C.

y＝10
x＝－3

y＝0
B.
D.
x＝1

y＝4
x＝5

y＝－4
知3－导
知识点 3 用含一个未知数的式子表示另一个未知数
二元一次方程x＋y=6， (1)用含有x的代数式表示y为__________; (2)用含有y的代数式表示x为__________.
2
因为x，y都是非负整数，
知4－讲
所以必须保证12-3x能被2整除，
所以x必为偶数．
而由
y

12 - 3x 2
≥ 0，
x≥0，得0≤x≤4，

七年级数学下（JJ） 教学课件
第六章 二元一次方程组
6.1 二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点） 2.会根据实际问题列二元一次方程组，并检验一组数是 不是某个二元一次方程组的解．（难点）
导入新课
情境引入 某酒厂有大小两种存酒的木桶.
二元一次方程需满足以下三个条件： ①含有两个未知数； ②未知所在项的次数都是1； ③方程左右两边都是整式.
二 二元一次方程组的相关概念
互动探究 问题1：已知甲数的2倍和乙数的3倍之和是12，甲 数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(1) 列一元一次方程求解； 解：设甲数为x，则乙数为
1
(12
哦……我忘了！只记得
先后买了两次，第一次 买了5支笔和10本笔记 本花了42元钱，第二次 买了10支笔和5本笔记 本花了30元钱．
小红，你上周买的笔和 笔记本的价格是多少？
解：设笔的单价为x元， 笔记本的单价为y元.依题 意可得：
5x 10y 42, 10x 5y 30
能力提升
4.如果 xm1 3yn2 6 是二元一次方程，则
想一想：一个大桶和 一个小桶分别可盛酒 多少升？
×＋5×＋
=280升
大大桶桶
小小桶桶
讲授新课
一 二元一次方程的相关概念
观察与思考
问题1：题目中有几个未知数？ 两个.
问题2：题目中有哪些等量关系？ (1) 5个大桶的盛酒量+1个小桶盛酒量=28升. (2) 1个大桶的盛酒量+5个小桶盛酒量=20升.
2
42
…
33
x… 2

5 x y 28 x 5 y 20
① ②
由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组， 叫二元一次方程组. 练习3：下面哪些是二元一次方程组？

2 x 3 y 2 x 4 y 5

xy3 x y 2
一起探究
1.对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你 能求出满足方程的未知数y的值吗？填写下表.
x y 35
2 x 4 y 94
是怎样得出方程④的？
（2）你会解方程 ④ 吗？由 ④ 解出x的值以后，怎样求
出y的相应的值？
（3）从中你能体会到怎样解二元一次方程组吗？
例题解析
例1 求二元一次方程组的解.
y x 6， x 2y 9
解: 将 ①代入 ②，得
① ②
x+2（x-6）=9. 解这个一元一次方程，得 x=7.
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二元一次方程组
观察与思考 某酒厂有大小两种存酒的木桶，已知5个大桶加上1 个小桶可以盛酒28升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2 升.那么，1个大桶和1个小桶分别可盛酒多少升？ 观察下面解决问题的过程： 设1个大桶盛酒x升，则1个小桶盛酒（28-5x）升. 根据题意，列方程，得 x+5(28-5x)=20. 解这个一元一次方程,得x=5. 从而，得28-5x=3. 即1个大桶盛酒5升，1个小桶盛酒3升.
⑶
1 x; x
⑷
8 x y 3.
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值， 叫做这个二元一次方程的一组解. 如： y 3

x 5
练习2：写出2x+y=4的三组解

b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) 992. 992 = (100 –1)2
=13;1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．

√
×
×
E. 2a3b=a2•2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9 × 提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.
二 因式分解与整式乘法的关系
问题：因式分解与整式乘法的关系是什么？
因式分解 整式乘法
多项式
(整式)×(整式)×果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9， 所以b=9， 因此a+b=15．
课堂小结
定义：把一个多项式分解成几个整式_____ 乘积 的 形式，叫做多项式的因式分解，也叫将多项 分解因式 式___________. 因 式 分 解 其中，每个整式叫做这个多项式的_______. 因式 相反 的变形过程. 与多项式乘法 运算的关系 前者是把一个多项式化为几 乘积 ，后者是把 个整式的_____. 乘积 化为一个 几个整式的______ 多项式 _________.
再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) B. a2-a-2=aa-1)-2 D.
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区 别和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.

导引：图中△CEF 的三边的延长线只有EF 的延长线FA， CE 的延长线EB，延长线FA 与边FC 构成的角为 ∠AFC；延长线EB 与边EF 构成的角为∠BEF.由三 角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF 是△CEF 的外角.
总结
判定一个角是三角形的外角的三个条件：一 是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角 形的一条边；三是另一边是三角形的另一条边的 延长线．
∠A 等于( A )
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
7 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C 等于( C )
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
知识点 2 三角形内角和的应用
例2 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC
的形状，并说明理由．
导引：引用辅助量x °，用x °表示出△ABC 的三个内角， 在△ABC 中，运用三角形内角和定理构造方程，解 方程后，求出△ABC 中各角的度数，再判断△ABC
5 直角三角尺和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( C ) A．60° B．50° C．40° D．30°
6 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE，CD 相交于 点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( C )
A．118° B．119° C．120° D．121°
解：(1)如图，过A 作AF∥BD，∴∠BAF＝∠ABD＝40°. 显然AF∥EC，∴∠CAF＝∠ECA＝50°.∴∠BAC＝ ∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°.∴△ABC 为直
角三角形．
(2)∵∠DBC＝75°，∠DBA＝40°，∴∠ABC＝ ∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.∴在Rt△ABC 中，∠BCA＝90°－∠ABC＝90°－35°＝55°.

第六章 二元一次方程组
6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入法解有一个未知数系 数为1的二元一次方程组
1 利用代入法解二元一次方程组 2 利用方程组的解的关系求字母的值
3 利用方程组解天平平衡问题 4 利用方程组中的解的定义解决方程组中的错解问
为8张，淘汰赛的球票为2张．
13．【阅读理解题】阅读下面的情境：甲、乙两人共同
ax＋5 y＝15，① 解方程组 由于甲看错了方程① 4 x－by＝－2，② x＝－3， 中的a，得到方程组的解为 乙看错了方程 y＝－1； x＝5， ②中的b，得到方程组的解为 试求出a，b y＝4.? 1 2 017 的正确值，并计算a ＋（－ b）2 018的值． 10
1 解：(1)①②③是方程 2 x－y＝6的解．
(2)③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解．
1 x－y＝6， 的解． (3)③是方程组 2 2 x＋31 y＝－11
12. 2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网800元， 其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元．设
小李预定的小组赛的球票有x张，淘汰赛的球票有y张．
(1)你能列出相应的方程组吗？
x＝8， (2) 是方程组的解吗？小李预定的小组赛和淘汰 y＝2
赛的球票分别为多少张？
x＋y＝10， 解：(1)由题意可得 550 x＋700 y＝5 800. x＝8， (2) 是方程组的解．小李预定的小组赛的球票 y＝2
x＝－3， 代入②，得b＝10； 解：将 y＝－1 x＝5， 将 代入①，得a＝－1. y＝4 1 2 018 1 2 017 2 017 所以a ＋(－ b ) ＝(－1) ＋(－ 10)2 018＝0. 10 10