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第7章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的，是分析力学的两个基本原理之一。
该原理揭示，对动力系统加入惯性力后，惯性力与外力构成平衡，因而提供一种用静力平衡方法处理动力学问题的普遍方法——动静法。
§7.1 质点系的达朗贝尔原理7.1.1 惯性力与质点的达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理如图7.1所示，质量为m 的质点沿曲线轨道运动，受主动力F 和约束力N F 作用，由牛顿第二定律有N m +=F F a即0N m +-=F Fa 引入惯性力I m =-F a (7-1)则有0N I ++=F F F (7-2)这就是质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的所有主动力、约束力和惯性力组成平衡力系。
这样，我们完全可以采用静力学的方法和技巧，求解动力学问题。
顺便指出，达朗贝尔原理作为分析力学的基本原理之一是不需要推导证明的。
这里由牛顿第二定律导出，可以说明它与牛顿力学在数学上的等价性。
问题7-1 如图所示，重为G 的小球用细绳悬挂，试求AC 绳断瞬时AB 绳的张力。
答 研究小球，加惯性力I F ，受力如图所示，由质点达朗贝尔原理，有0I T ++=F G F由力三角形有cos T F G =θ可见，加上惯性力，采用静力学中三力平衡的几何法求解决，直观简便。
2、惯性力的概念质点的惯性力I F 可以想象为：当质点加速运动时外部物质世界作用在质点上的一个场图7.1 质点达朗贝尔原理IF 问题7-1图力，其大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。
惯性力与万有引力是完全等效的。
惯性力与参考系相关，如图7.2(a)所示，小球在旋转水平圆台上沿光滑直槽运动。
在地面惯性参考系观察，小球运动的绝对轨迹为螺旋线，见图7.2(b)，在水平面内受滑槽侧壁对它的作用力N F 作用，加速度如图所示；从转动圆台非惯性参考系观察，小球的运动轨迹沿槽直线，在半径方向，受牵连法向惯性力2()nnIe Ie F mr ω=F 作用，小球沿直槽加速向外运动。
达朗贝尔定理
达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）定理或称达朗贝尔原理是指，在刚体静力学中，一个刚体在平衡状态下，其任一点的受力与其对该点的矩（即力乘以距离）相等。
换句话说，如果一个刚体处于平衡状态，那么作用在这个刚体上的所有力的矩之和为零。
这个定理是由法国数学家达朗贝尔在他的著作《静力学原理》中提出的。
它是刚体静力学的基本原理之一，对于分析刚体的平衡状态和设计刚体结构具有重要意义。
达朗贝尔定理的数学表达式为：对于一个刚体，如果它处于平衡状态，则对于任一点，作用在该点的所有力的矢量和为零。
用数学语言表达，如果M是刚体上所有力矩的矢量和，则对于任一向量v，有M·v = 0。
这个原理可以应用于分析和设计各种刚体结构，例如桥梁、建筑、机械零件等。
通过应用达朗贝尔定理，工程师可以确保他们的设计符合刚体静力学原理，从而确保结构的稳定性和安全性。
第12章 达朗贝尔原理12.1 主要内容12.1.1 质点的达朗贝尔原理设一质量为m 的质点M ，在主动力F 、约束力F N 的作用下运动，根据牛顿第二定律m a =F +F N移项后整理得F ＋F N ＋F I =0其中F I = –ma 称为惯性力，它可表述为：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，这个力的方向与其加速度的方向相反，大小等于其质量与加速度的乘积。
此式表明：在质点运动的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力F I ，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一平衡力系。
这就是质点的达朗贝尔原理。
12.1.2 质点系的达朗贝尔原理设某质点系由n 个质点组成。
如果在某质点i m 上假想地加上一惯性力F I i ＝–m i a i则对于整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该质点系上的主动力、约束力将组成一平衡力系，即0I N =∑+∑+∑i i i F F F()()()0I N =∑+∑+∑i O i O i O F M F M F M这就是质点系的达朗贝尔原理。
12.1.3 刚体惯性力系的简化（１）、刚体平移平移刚体的惯性力系可简化为一合力F I = –m a c它的作用线通过刚体的质心，方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积。
（２）、定轴转动惯性力系简化的主矢为c M a F -=RI惯性力系对简化中心O 的主矩为：()()kj i k j i M z y x z xz yz yz xz o M M M I I I I I I I I 22I ++=-++-=εωωε 绕定轴转动刚体的惯性力系向转轴上任意点O 简化时，惯性力主矢、主矩由上式计算。
但应注意，惯性力系的简化结果，主矢和主矩必须作用在同一个简化中心上。
（３）、平面运动随同质心平移而虚加的惯性力系将合成为一合力F I ，合力作用线通过质心，方向与a c 的方向相反，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，即F I ＝–M a c相对质心转动而虚加的惯性力系的主矢等于零（质心在转轴上），主矩为一惯性力偶，且作用于质心C 处，它的转向与角加速度ε的转向相反，大小等于角加速度与刚体对于质心的转动惯量的乘积，即M I = –I c ε12.1.4 定轴转动刚体的轴承动约束力设刚体上的惯性力系向O 点简化的主矢和主矩为ji ji y x c c c c F F x y M y x M F I I 22I )()(+=-++=εωεω ()()k j i kj i z y x z xz yz yz xz o M M M I I I I I M I I I 22I ++=-++-=εωεωε 根据达朗贝尔原理求解可知，轴承动约束力由两部分组成：一是由主动力引起的，与运动无关，为静约束力；二是由惯性力主矢、主矩引起的，为附加动约束力。
